高三數(shù)學(xué) 第四篇 第八節(jié)課件 理 北師大版

1、第八節(jié)基本不等式,1基本不等式,a0，b0,ab,2.常用的幾個(gè)重要不等式 (1)a2b2 (a，bR),3算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù) 設(shè)a0，b0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為 ，幾何平均數(shù)為 ，基本不等式可敘述為： ,兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù),2ab,4利用基本不等式求最值問(wèn)題 已知x0，y0，則 (1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，xy有 值是 2 .(簡(jiǎn)記：積定和最小) (2)如果和xy是定值 ，那么當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，xy有 值是.(簡(jiǎn)記：和定積最大),xy,最小,xy,最大,1下列結(jié)論中不正確的是() Aa0時(shí)，a 2 B. 2 Ca2b22ab Da2b2 【解析】 2

2、，只有當(dāng)a、b同號(hào)且不為零時(shí)成立，故 2不一定成立 【答案】B,2x ，則f(x)4x 的最小值為() A3 B2 C5 D7,【解析】f(x)4x 4x5 5， x ，4x50，4x5 2， 故f(x)257，等號(hào)成立的條件是x . 【答案】D,3若直線axby10(a0，b0)平分圓x2y28x2y10，則 的最小值為() A8 B12 C20 D16,【解析】直線平分圓， 直線過(guò)圓心，又圓心坐標(biāo)為(4，1)， 4ab10，4ab1，,【答案】D 4設(shè)x，y都是正實(shí)數(shù)，且x4y40，則lgxlgy的最大值是_ 【解析】x，y都是正實(shí)數(shù)，x4y4 ，, 10，xy100， 而lgxlgylg

3、(xy)lg1002， 等號(hào)成立的條件是x20，y5. 【答案】2 5下列函數(shù)中，y的最小值為4的是_(填序號(hào)) yx (x0); y ； yex4ex; ysin x .,【答案】,求下列各題的最值,(1)已知x0，y0，lgxlgy1，求z 的最小值 (2)x0，求f(x) 3x的最小值 (3)x0， 3x36是常數(shù)，故可直接利用基本不等式 (3)因 f(x) x33，又x30，故需變號(hào),x不是常數(shù)，故需變形,g(t)在1,2上是減函數(shù)， g(t)ming(2)2 ， f(x)min ，等號(hào)成立的條件是sin2 x12. sin2 x1，sin x1， xk (kZ)， 故f(x)的最小值

4、是 .,(t1t2) . t10，g(t1)g(t2)，,【方法點(diǎn)評(píng)】1.利用基本不等式求最值需注意的問(wèn)題 (1)各數(shù)(或式)均為正； (2)和或積為定值； (3)等號(hào)能否成立，即“一正、二定、三相等”，這三個(gè)條件缺一不可 2基本不等式的幾種變形公式 對(duì)于基本不等式，不僅要記住原始形式，而且還要掌握它的幾種常見(jiàn)的變形形式及公式的逆運(yùn)用等，如：,3創(chuàng)設(shè)應(yīng)用基本不等式的條件 (1)合理拆分項(xiàng)或配湊因式是常用的技巧，而拆與湊的目標(biāo)在于使等號(hào)成立，且每項(xiàng)為正值，必要時(shí)需出現(xiàn)積為定值或和為定值 (2)當(dāng)多次使用基本不等式時(shí)，一定要注意每次是否能保證等號(hào)成立，并且要注意取等號(hào)的條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò)，

5、因此在利用基本不等式處理問(wèn)題時(shí)，列出等號(hào)成立的條件不僅是解題的必要步驟，而且也是檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法,1(1)設(shè)00，y0且xy1，求 的最小值 【解析】(1)020，,(1)已知a0，b0，ab1，求證： 4. (2)證明：a4b4c4d44abcd. 【思路點(diǎn)撥】(1)利用ab1將要證不等式中的1代換，即可得證 (2)利用a2b22ab兩兩結(jié)合即可求證但需兩次利用不等式，注意等號(hào)成立的條件 【自主探究】(1)方法一：a0，b0，ab1，,原不等式成立 方法二：a0，b0，ab1，,原不等式成立 (2)a4b4c4d42a2b22c2d2 2(a2b2c2d2)22abcd4abcd.

6、 故原不等式得證，等號(hào)成立的條件是a2b2且c2d2且a2b2c2d2. 【方法點(diǎn)評(píng)】1.利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，其實(shí)質(zhì)就是從已知的不等式入手，借助不等式性質(zhì)和基本不等式，經(jīng)過(guò)逐步的邏輯推理，最后推得所證問(wèn)題，其特征是“由因?qū)Ч?2證明不等式時(shí)要注意靈活變形，多次利用基本不等式時(shí)，注意每次等號(hào)是否都成立同時(shí)也要注意應(yīng)用基本不等式的變形形式,已知不等式(xy) 9對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x、y恒成立，求正數(shù)a的最小值 【思路點(diǎn)撥】展開(kāi)后，利用基本不等式，而后解不等式可求a值 【自主探究】(xy),正數(shù)a的最小值是4. 【方法點(diǎn)評(píng)】利用基本不等式求參數(shù)的值或范圍時(shí)，只需求出式

7、子的最小值或最大值，使其滿足已知條件即可，如本例只需求得(xy) 的最小值，讓最小值大于等于9即可,3設(shè)a、b、c都是正數(shù)，且a、b滿足 1，求使abc恒成立的c的取值范圍 【解析】a、b、c都是正實(shí)數(shù)，且 1，,ab16，要使abc恒成立，則只需0c16. c的取值范圍是(0,16,即b3a時(shí)成立，此時(shí)a4，b12,1(2009年天津高考)設(shè)a0，b0.若 是3a與3b的等比中項(xiàng)，則 的最小值為() A8B4 C1 D. 【解析】 是3a與3b的等比中項(xiàng)， ( )23a3b. 即33ab，ab1. 此時(shí) 故選B.,【答案】B,2(2009年重慶高考)已知a0，b0，則 的最小值是() A2

8、B2 C4 D5,【答案】C 3(2009年天津高考)設(shè)x，yR，a1，b1.若axby3，ab2 ，則 的最大值為(),【解析】axby3，xloga3，ylogb3， log3alog3blog3ablog3 log331，故選C. 【答案】C,5(2009年湖北高考)圍建一個(gè)面積為360 m2的矩形場(chǎng)地，要求矩形場(chǎng)地的一面利用舊墻(利用的舊墻需維修)，其他三面圍墻要新建，在舊墻對(duì)面的新墻上要留一個(gè)寬度為2 m的進(jìn)出口，如圖所示已知舊墻的維修費(fèi)用為45元/m，新墻的造價(jià)為180元/m.設(shè)利用的舊墻長(zhǎng)度為x(單位：m)，修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用為y(單位：元),(1)將y表示為x的函數(shù)； (2)試確定x，使修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用最小，并求出最小總費(fèi)用 【解析】(1)如圖，設(shè)矩形的另一邊長(zhǎng)為a m，,則y45x180(x2)1802a225x360a360. 由已知xa360，得a ， 所以y225x 360(x0) (2)x0，225x 2 10 800. y225x 36010 440. 當(dāng)且僅當(dāng)225x 時(shí)，等號(hào)成立 即當(dāng)x24 m時(shí)，修建圍墻的總費(fèi)用最小， 最小總費(fèi)用是10 440元,1創(chuàng)