信號(hào)09-3.ppt

1、3-1 信號(hào)的正交函數(shù)表示,一、矢量正交概念,則稱這兩個(gè)矢量正交。,1、平面空間：若矢量,2、三維空間：,第三章 連續(xù)信號(hào)頻域分析,若矢量,3、n維空間：,若矢量,則稱f1(t) 和f2(t)為正交函數(shù)。,二、正交函數(shù)：,若實(shí)函數(shù)f1(t) 和f2(t)在( t1 ，t2)上滿足:,1、實(shí)變函數(shù)：,2、復(fù)變函數(shù)：,3、完備正交函數(shù)集：,n個(gè)復(fù)變函數(shù)fi(t) （i=1，n）在區(qū)間( t1，t2)上滿足:,若f1(t) ， fn(t) 在區(qū)間( t1，t2)上為正交函數(shù)集，不再存在任意函數(shù)(t)與其正交。則f1(t) ， fn(t) 稱為完備正交函數(shù)集。,定理1. 若f1(t) ， fn(t)

2、在區(qū)間( t1，t2)上為完備正交函數(shù)集，則在 ( t1，t2)上任意函數(shù) f(t)可用表示為：,三.用完備正交函數(shù)集表示任意信號(hào),其中,定理2. 若f(t)可用完備正交函數(shù)集 f1(t) ， fn(t) 表示，則:,（Parserval定理）,物理意義：,一個(gè)信號(hào)所含有的能量（功率）恒等于此信號(hào)在 完備正交函數(shù)集中各分量能量（功率)之和。,1、三角交函數(shù)集:,四.常用完備正交函數(shù)集,( t0，t0 +T ),2、指數(shù)函數(shù)集:,( t0，t0 +T ),3、抽樣函數(shù)集:,4、Walsh函數(shù)集:,( - ， ),( 0，1 ),一. 三角形式傅立葉級(jí)數(shù):,直流分量,余弦分量幅度,正弦分量幅度,其

3、中：,3-2 周期信號(hào)傅立葉級(jí)數(shù)展開,周期信號(hào)f(t)=f(t+nT) ，滿足狄氏條件時(shí)，可展成：,余弦形式,兩種形式系數(shù)間的關(guān)系：,周期信號(hào)可分解為直流，基波和各次諧波 （基波角頻率的整數(shù)倍）的線性組合。,三角函數(shù)形式,例題：,求下圖所示周期鋸齒波的傅里葉級(jí)數(shù)展開式。,解：,傅里葉級(jí)數(shù)展開式為：,基波,直流,諧波,二.指數(shù)形式傅立葉級(jí)數(shù),周期信號(hào)f(t)=f(t+nT) ，滿足狄氏條件時(shí)，可展成：,其中：,(n0),(n0),系數(shù)與三角形式傅立葉級(jí)數(shù)的關(guān)系：,三周期信號(hào)對(duì)稱性與傅里葉級(jí)數(shù)的關(guān)系,（1） f(t)為奇函數(shù),對(duì)稱于坐標(biāo)原點(diǎn),奇函數(shù)展開成傅立葉級(jí)數(shù)后，直流分量和余 弦項(xiàng)為零，正弦項(xiàng)

4、不為零。,（2） f(t)為偶函數(shù),對(duì)稱于坐標(biāo)縱軸,偶函數(shù)展開成傅立葉級(jí)數(shù)后，正弦項(xiàng)為零， 直流分量和余弦項(xiàng)不為零。,波形移動(dòng)T/2后，與原波形橫軸對(duì)稱。,f(t)的傅氏級(jí)數(shù)偶次諧波為零,奇次諧波：,（3）f(t)為奇諧函數(shù),n=1,3,5,f(t)的傅氏級(jí)數(shù)奇次諧波為零,（4）f(t)為偶諧函數(shù),波形移動(dòng)T/2后，與原波形重合。,偶次諧波：,n=0,2,4,四傅里葉級(jí)數(shù)的性質(zhì)（第2版p83),1）,2）,3）,4）,5）,3-3 周期信號(hào)頻譜,一、周期信號(hào)的頻譜圖,周期信號(hào)展開為傅氏級(jí)數(shù)時(shí)在不同頻率點(diǎn)的振幅、相位隨頻率變化的圖形。,振幅頻譜：描述傅氏級(jí)數(shù)振幅隨頻率變化的圖形。,相位頻譜：描述

5、傅氏級(jí)數(shù)相位隨頻率變化的圖形。,余弦形式：,指數(shù)形式：,單邊頻譜,雙邊頻譜,1）,2）,例1：,請(qǐng)畫出信號(hào)f（t）的幅度譜和相位譜。,【解】,化成余弦形式：,（單邊頻譜）,化成指數(shù)形式：,（雙邊頻譜）,求圖示周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式。,【解】,例2:：,：求圖示沖激序列的付里葉級(jí)數(shù)展開式。,例3,本節(jié)以周期矩形脈沖信號(hào)為例，討論頻譜的特點(diǎn)。,二. 周期矩形脈沖的頻譜,1）頻譜的結(jié)構(gòu),(2) 頻譜具有離散性、諧波性和衰減性,(3) 其最大值在 n=0 處,2.頻譜特點(diǎn),例：語音信號(hào)頻率約為 300 3400Hz 音樂信號(hào)頻率約為 50 15,000Hz 擴(kuò)大器與揚(yáng)聲器有效帶寬約為 1520,0

6、00Hz,（5） 有效頻譜寬度：第一個(gè)零頻率。,（4） 存在使得Fn=0的頻率。,占有頻帶,設(shè)f(t) E不變，不變，當(dāng)周期變化時(shí)，頻譜如何變化。,3.頻譜隨參數(shù)的變化,周期函數(shù) 非周期函數(shù),（2）矩形脈沖信號(hào)的頻帶寬度：,離散頻譜 連續(xù)頻譜,（3）矩形脈沖頻譜特點(diǎn)：離散性，諧波性，收斂性,或,占有帶寬與脈寬成反比,對(duì)于一般信號(hào)，頻帶寬度定義為幅值下降為,討論：,定義：,4、周期信號(hào)的功率,計(jì)算：,例：求圖示信號(hào)f(t)的功率。,【解】,3-3 非周期信號(hào)頻域分析,一.頻譜密度函數(shù),單位頻帶上的頻譜值,周期信號(hào)的傅氏級(jí)數(shù)：,周期信號(hào)的頻譜：,（2）可寫為：,令,則：,f(t)的頻譜密度函數(shù)，簡(jiǎn)

7、稱頻譜函數(shù)。,周期信號(hào) 非周期信號(hào),離散譜 連續(xù)譜，幅度無限小,（1）可寫為：,令,則：,二. 傅立葉變換對(duì),象函數(shù),原函數(shù),正變換：,反變換：,1、F(j)反映單位頻率上幅值與相位分布情況， 故稱頻譜密度函數(shù)。,討論：,2、 F(j)為復(fù)變函數(shù),3、付氏變換存在的充分條件：,4、f(t)的分解,l任意信號(hào)f(t)可分解為無窮多個(gè)幅度為無窮小的 連續(xù)指數(shù)信號(hào)之和。,l任意信號(hào)f(t)可分解為無窮多個(gè)幅度為無窮小的 連續(xù)余弦信號(hào)之和。,l任意信號(hào)f(t)可分解為實(shí)函數(shù)和虛函數(shù)之和。,1、單邊指數(shù)信號(hào),三.典型非周期信號(hào)頻譜函數(shù),2、單位階躍信號(hào),3、偶雙邊指數(shù)信號(hào),4、直流信號(hào),5、奇雙邊指數(shù)信

8、號(hào),6、符號(hào)函數(shù)信號(hào),7、單位沖激函數(shù),8、矩形脈沖信號(hào),小結(jié)：,3-4 傅立葉變換的基本性質(zhì),一.線性性質(zhì),例：,若：,則：,二、折疊性,例1：,三、對(duì)稱性,解：,（非常有用）,例2：,解：,例3：,解：,例：,解：,四、時(shí)頻展縮性（尺度變換）,五、時(shí)移性,例：,六、頻移性,例1：,解：,則有,則有：,解：,例2,十一.時(shí)域卷積定理,則有,十二.頻域卷積定理,則有,時(shí)域卷積定理證明：,卷積定理揭示了信號(hào)時(shí)域與頻域的運(yùn)算關(guān)系，在通訊、信息傳輸?shù)裙こ填I(lǐng)域中具有重要理論意義和應(yīng)用價(jià)值。,（得證）,解：,例,七、時(shí)域微分性,例2：,八、時(shí)域積分性,例1：,解：,則有,則有,解：,例3,注意：當(dāng)已知f

9、(t)的頻譜求其微分后的頻譜時(shí)可用微分性； 當(dāng)已知f(t)微分后的頻譜求f(t)頻譜時(shí)用積分性。,九、頻域微分性,例1：,十、 頻域積分性,則有,則有,當(dāng)f（0）=0時(shí)，,即求：,例2,解:,1）利用傅立葉變換定義求,2）利用微積分性質(zhì)求,3）利用頻域卷積定理求解,其中:,十三、帕塞瓦爾定理,推廣：,意義： 能量守恒:信號(hào)時(shí)域能量等于頻域能量。,解：,例1：,由Parserval定理可得：,3-5 周期信號(hào)的傅立葉變換,一、基本周期信號(hào)的傅立葉變換,二、單位沖激序列信號(hào)的傅立葉變換,三、任意周期信號(hào)的傅立葉變換,展為傅立葉級(jí)數(shù)：,解：方法1：,例：,方法2：,3-6 功率信號(hào)與能量信號(hào)的頻譜,一、功率信號(hào)與能量信號(hào),1、功率有限的信號(hào)稱為功率信號(hào),2、能量有限的信號(hào)稱為能量信號(hào)，即,例：周期信號(hào)、部分非周期信號(hào)U(t)、Sgn(t)等信號(hào);,例：G(t)、單個(gè)三角信號(hào)、 指數(shù)衰減信號(hào)等,二、 功率譜 ：,功率信號(hào)的頻譜密度函數(shù)，即：信號(hào)在單位頻率的功率,簡(jiǎn)稱功率譜 。記為D().,周期信號(hào)：,( 功率譜 ）,三、 能量譜 ：,能量信號(hào)的頻譜密度函數(shù)，即：信號(hào)在單位頻率的能量，簡(jiǎn)稱能量譜 。記為G().,例1：,( 能量譜 ）,解：,本章要點(diǎn)：,1、了解信號(hào)