第5章 常微分方程初值問題初步.ppt

1、1,第五章 常微分方程的數(shù)值解法,馬爾薩斯人口模型：假設(shè)某特定區(qū)域在 t0 時刻的人口p(t0) = p0為已知的，該區(qū)域人口的自然增長率為。人口的增長與人口的總數(shù)成正比，所以 t 時刻的人口總數(shù) p(t)滿足如下的微分方程：,生活中常常有這樣一類問題：,問 題 的 提 出,這些常微分方程有各種各樣的解析方法，但解析方法只能用來求解一些特殊類型的問題，實際問題中歸結(jié)出來的微分方程主要靠數(shù)值解法。,解析法：給出精確解析解。只適合少數(shù)簡單情況。 近似解法：給出解的近似表達(dá)式。如級數(shù)法,逐步逼近法。 數(shù)值方法：給出方程在離散點上的近似解。它適合計算機(jī)求解,應(yīng)用廣泛,具有理論應(yīng)用價值。,常微分方程的解

2、法：,內(nèi)容分類：,定解問題,初值問題,邊值問題,單步法,Euler方法,Taylor方法和Runge-Kutta方法,多步法,Adams方法和一般線性多部法,線性多部法的收斂性與穩(wěn)定性,一階常微分方程初值問題的一般形式：,問題:,其中: f (x, y) 為已知函數(shù), 是已知值. (可能是觀察值或?qū)嶒炛?,基本條件：,f (x,y)在D上連續(xù)； f (x,y)在D上關(guān)于變量y滿足Lipschitz連續(xù)條件：,設(shè),對求解區(qū)域a,b做剖分,在區(qū)間xk, xk+1上對微分方程做積分,則有,常用等步長:, 則有,將微分方程的準(zhǔn)確解記為y(x),稱為步長。,的近似解記為,能不能將微分轉(zhuǎn)化為積分？,因此，

3、建立節(jié)點處近似值yn滿足的差分公式,稱之為Euler公式.,對右邊的積分應(yīng)用左矩形公式，則有,Euler公式的幾何意義,特點：簡單，精度低.,例 求解初值問題,解： Euler公式的具體形式為,取步長 h=0.1，那么即可計算該微分方程。 具體結(jié)果見下頁。,解析解：,(2) 前向差分近似微分法,前向差分,近似 , 得,將近似號改為等號，結(jié)合初始條件即得：,前面Euler方法是通過左矩形積分方法推導(dǎo)出來的，實際上 Euler方法還可以通過其他幾種方法推導(dǎo)出來。,(3) Taylor展開法,忽略高階項 ，,結(jié)合初值條件y (x0)=即得,將 y (xk+1)在x = xk點進(jìn)行Taylor展開,1

4、1,Euler公式的局部截斷誤差：,后退的Euler公式,如果采用后向差分,近似 , 得,將近似號改為等號，結(jié)合初始條件即得：,這一類公式稱為隱式的，相對應(yīng)的前面介紹的Euler公式稱為顯式的,顯式：更加方便計算 隱式：數(shù)值穩(wěn)定性更好,顯式與隱式的特點：,隱式方程的計算方法：,隱式方程常用迭代法計算，而迭代的過程實質(zhì)是逐步顯式化。,設(shè)用Euler公式 給出迭代的初值 ，用它代入后退Euler公式，使之轉(zhuǎn)化為顯式，得,然后再代入后退Euler公式,如此反復(fù)進(jìn)行得：,如果迭代過程收斂，則極限值 必滿足隱式方程，從而獲得后退Euler方法的解。,后退Euler方法局部截斷誤差為,例 用后退Euler

5、方法求解初值問題,解： (1)取步長 h=0.1，首先用Euler方法計算初值，,(2)用它代入后退Euler公式，使之轉(zhuǎn)化為顯式，得,Euler,后退Euler, 誤差,如果將這兩種方法進(jìn)行算術(shù)平均，即可消除誤差的主要部分 從而獲得更高的精度。這種平均化的方法通常稱為梯形方法，其計算公式為：,即為前面導(dǎo)出的梯形微分方程公式.,若對上式右邊的積分應(yīng)用梯形求積公式，則可導(dǎo)出差分公式,梯形公式也可以通過積分的方法來獲得：,將微分方程化為積分方程的形式,梯形方法的求解,梯形方法是隱式的，可用迭代法求解。同后退的Euler方法一樣，仍用Euler方法提供迭代初值，則梯形法的迭代公式為：,例 用梯形方法

6、求解初值問題,解： (1)取步長 h=0.1，首先用Euler方法計算初值，,(2)用它代入梯形公式，使之轉(zhuǎn)化為顯式，得,梯形法雖然提高了精度，但其算法復(fù)雜，在迭代公式進(jìn)行計算時，每迭代一次，都要重新計算函數(shù) f 的值，而迭代又要反復(fù)進(jìn)行若干次，計算量很大，而且往往難以預(yù)測。,1,用Euler公式求得一個初步的近似值,再用梯度公式將它校正一次,為了控制計算量，通常只迭代一兩次就轉(zhuǎn)入下一步的計算,2,預(yù)測值,校正值,這個方法也叫做：改進(jìn)的Euler公式 或 預(yù)估-校正公式,預(yù)測,校正,這個公式也可以寫為,梯形法步驟：,預(yù)估校正法步驟：,Euler 梯形 梯形 梯形,Euler 梯形 Euler

7、梯形,Euler兩步方法,前面介紹過的數(shù)值方法，無論是Euler方法，后退的Euler方法，還是改進(jìn)的Euler方法，他們都是單步法，其特點是在計算 yn+1 時值用到前一步的信息 yn；然而Euler兩步法中的公式除了 yn 外，還顯含更前面一部的信息 yn-1，即調(diào)用了前面兩步的信息，Euler兩步法因此而得名。,單步法的優(yōu)點：,單步法的優(yōu)點是“自開始的”，只要給出初值 y0 ，依計算公式可順次計算 y1， y2 而兩步法除了給出初值 y0 ，還需要求助于其他單步法再提供一個開始值 y1 ，然后才能啟動計算公式依次計算 y2， y3 ,兩步法的優(yōu)點：,兩步法的優(yōu)點是它調(diào)用了兩個節(jié)點上的已知信息，從而能以較少的計算量獲得較高的精度。,如果用Euler兩步公式與梯形公式相匹配，得到下列預(yù)測-校正系統(tǒng)：,校正,預(yù)測,例 用Euler兩步法求解初值問題,解： (1)取步長 h=0.1，首先用Euler方法計算初值，,(2)用它代入Euler兩步法公式，得,例 用Euler兩步法的預(yù)測校正方法求解初值問題,解： (1)取步長 h=0.1，首先用Euler方法計算初值，,(2)用它代入Euler兩步法公式，得,(3)用它代入梯形公式，