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文檔簡介

1、1,3 克萊姆法則,一、克萊姆法則,二、齊次線性方程組有 非零解的充要條件,2,(14),定理二 （克萊姆法則） 設(shè)線性方程組,的系數(shù)行列式,一、克萊姆法則,(15),3,則線性方程組(14)有唯一解:,(16),其中,(第i行),(第j列),4,證明: 先驗證(16)是(14)的解, 即驗證:,D0,?,按第1列展開,按第2列展開,按第n列展開,因為,(17),5,由定理一及引理,再證(14)只有一個解.,6,將以上 n 個恒等式相加, 就有,7,根據(jù)定理一及其推論, 上式為,證畢.,8,用克萊姆法則解線性方程 組時, 必須具備兩個條件:,注意,1. 未知數(shù)個數(shù) = 方程個數(shù);,2. 系數(shù)行

2、列式0.,9,齊次線性方程組:,(18),定理三. 若齊次線性方程組(18)有非零解,則(18)的系數(shù)行列式D=0.,證明: 反證.,若 D0, 由克萊姆法則知(18)只有零解.,矛盾!,證畢.,二、齊次線性方程組有非零解的充要條件,10,注: 由定理三可知, 方程組(18)的系數(shù)行列式 D=0是方程組(18)有非零解的必要條件. 在第四章將會看到, D=0也是齊次線性方程組(18)有非零解的充要條件.,齊次線性方程組(18)有非零解的充要條件是系數(shù)行列式 D=0.,說明:,(1). D0,(18)有唯一解,即零解.,(3). (18) 有非零解,(有無窮多組解).,綜合上述, 得到:,(2). (18) 有零解:,11,例1. 解線性方程組,解:,12,又因為,13,14,例 用 Cramer 法則解線性方程組,解 因為,15,所以,16,例2.,解:,其系數(shù)行列式,17,所以有唯一解.,又因為,18,故所求多項式為,例3. 設(shè)齊次線性方程組,19,解:,因為所給齊次線性方程組,有非零解,所以其系數(shù)行列式,20,下述齊次方程組有非零解？,解 此齊次線性方程組有非零解的充要條件為其系數(shù)行列式為 0 .而,21,思考題,計算n階行列式,其中,22,計算,23,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明上式成立 假設(shè)

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