線(xiàn)性代數(shù)習(xí)題課

1、二次型知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖,二次型,矩陣表示 f = x TAx,標(biāo)準(zhǔn)形,正定二次型,化標(biāo)準(zhǔn)形,正定二次型,正定二次型,慣性定律,定義,充要條件,必要條件,慣性指數(shù)R（A）=r; 正慣性指數(shù)p; 負(fù)慣性指數(shù)q.,一、用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,（1）寫(xiě)出二次型的矩陣A； （2）求A的特征值、特征向量； （3）對(duì)于A的各不相同的特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量已經(jīng)正交，只需單位化；對(duì)于A的k 重特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的，需用施密特正交化方法將這k個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量化成兩兩正交的單位向量； （4）用所求得的n 個(gè)兩兩正交的單位向量構(gòu)造正交矩陣 P = (P1,P2,Pn) （5）令x = Py，則得標(biāo)準(zhǔn)形

2、f =1y12+2y22+ nyn2.,二、正定的判別法,（1）用定義，x 0 ,總有xTAx 0,（2）用順次主子式全大于零；,（3）用n個(gè)特征值全大于零；,（4）用正慣性指數(shù)p = n；,（5）存在可逆矩陣C，使A = CTC.,例1設(shè)f=x12+4x22+4x32+2x1x22x1x3+4x2x3為正定二 次型，則的取值范圍是_,解二次型對(duì)應(yīng)的正定矩陣為,三、典型例題,1.填空題、選擇題,解得21，故應(yīng)填21,由正定矩陣的有關(guān)定理可知,例2、設(shè)二次型,則其秩為 ；,例3,a=,b=,_,_.,解,據(jù)題意，可知A的特征值為0，1，4,3,1,例4 設(shè)三階實(shí)對(duì)稱(chēng)陣,（ ）,C,例5已知矩陣,

3、正定，其相似的對(duì)角矩陣為,解由于A正定，所以特征值為正數(shù)，故(C),(D)不成 立又因trA8，而1+3+48，1+2+58，但|A|10， 而13412，12510，故選（B).,B,2、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,例6設(shè)， 均為實(shí)3維的單位列向量， 且T = 0，令A(yù)= T+T，求一個(gè)正 交變換將f = xTAx化成標(biāo)準(zhǔn)形,解因?yàn)椋?為單位向量，且T = 0，故 的秩為2從而有x0,使得即,Tx = 0, Tx = 0,于是有,Ax= (T+ T) x= Tx+ Tx=0.,A =(T+ T) = T + T= ,A = (T+ T) = T + T = ,因此，A的特征值為1，1，0，對(duì)應(yīng)的特征向

4、量為， ，x.,顯然， A為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，所以存在正交變換 xPy，將f = xTAx化成標(biāo)準(zhǔn)形,由于T = 0， Tx = 0, Tx = 0,所以， ，x 兩兩正交，將x單位化得,則可得正交矩陣P=(, , )，作正交變換 x=Py，故x=Py將f = xTAx化成標(biāo)準(zhǔn)形為,f = xTAxy12+y22.,3、二次型正定性的判定,例7 設(shè)A為mn矩陣，若Ax=0有唯一解，試證 ATA為正定矩陣,證明 因?yàn)?ATA)T= AT(AT)T= ATA,所以ATA實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，又因?yàn)锳x=0有唯一解,即零解.因此對(duì)任給n維列向量 x0，恒有Ax0，于是,xT(ATA)x= (Ax)T(Ax)=| Ax|0.,所以xT(ATA)x為正定二次型，故ATA為正 定矩陣,注：設(shè)A為nn階可逆矩陣，或A為mn階列滿(mǎn)秩矩陣，則ATA為正定矩陣,例8設(shè)A為3階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣,且滿(mǎn)足A2+2A=0,R(A)=2， 求A的全部特征值，k為何值時(shí)，A+kE為正定矩陣,解 設(shè)是A的特征值，x是A的關(guān)于所對(duì)應(yīng)的特 征向量，則,(A2+2A)x=0 (2+2)x=0 (+2)=0,所以A的特征值為0和2又因?yàn)镽(A)=2，所以有1=0，232,由此得A+