第三章 靜態(tài)場及其邊值問題的解.ppt

1、1,第3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解,2,本章內(nèi)容 3.1 靜電場分析 3.2 導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場分析 3.3 恒定磁場分析 3.4 靜態(tài)場的邊值問題及解的惟一性定理 3.5 鏡像法 3.6 分離變量法,靜態(tài)電磁場：場量不隨時間變化，包括： 靜電場、恒定電場和恒定磁場,時變情況下，電場和磁場相互關(guān)聯(lián)，構(gòu)成統(tǒng)一的電磁場 靜態(tài)情況下，電場和磁場由各自的源激發(fā)，且相互獨(dú)立,3,3.1 靜電場分析,學(xué)習(xí)內(nèi)容 3.1.1 靜電場的基本方程和邊界條件 3.1.2 電位函數(shù) 3.1.3 導(dǎo)體系統(tǒng)的電容與部分電容 3.1.4 靜電場的能量,4,2. 邊界條件,微分形式：,本構(gòu)關(guān)系：,1. 基本方程,積分形

2、式：,或,或,3.1.1 靜電場的基本方程和邊界條件,若分界面上不存在面電荷，即 ，則,5,在靜電平衡的情況下，導(dǎo)體內(nèi)部的電場為0，則導(dǎo)體表面的邊界條件為,或,場矢量的折射關(guān)系,導(dǎo)體表面的邊界條件,6,由,即靜電場可以用一個標(biāo)量函數(shù)的梯度來表示，標(biāo)量函數(shù) 稱為靜電場的標(biāo)量電位或簡稱電位。,1. 電位函數(shù)的定義,3.1.2 電位函數(shù),7,2. 電位的表達(dá)式,對于連續(xù)的體分布電荷，由,同理得，面電荷的電位：,故得,點(diǎn)電荷的電位：,線電荷的電位：,8,3. 電位差,上式兩邊從點(diǎn)P到點(diǎn)Q沿任意路徑進(jìn)行積分，得,關(guān)于電位差的說明,P、Q 兩點(diǎn)間的電位差等于電場力將單位正電荷從P點(diǎn)移至Q 點(diǎn) 所做的功，電

3、場力使單位正電荷由高電位處移到低電位處。 電位差也稱為電壓，可用U 表示。 電位差有確定值，只與首尾兩點(diǎn)位置有關(guān)，與積分路徑無關(guān)。,9,靜電位不惟一，可以相差一個常數(shù)，即,選參考點(diǎn),令參考點(diǎn)電位為零,電位確定值(電位差),兩點(diǎn)間電位差有定值,選擇電位參考點(diǎn)的原則 應(yīng)使電位表達(dá)式有意義。 應(yīng)使電位表達(dá)式最簡單。若電荷分布在有限區(qū)域，通常取無 限遠(yuǎn)作電位參考點(diǎn)。 同一個問題只能有一個參考點(diǎn)。,4. 電位參考點(diǎn),為使空間各點(diǎn)電位具有確定值，可以選定空間某一點(diǎn)作為參考點(diǎn)，且令參考點(diǎn)的電位為零，由于空間各點(diǎn)與參考點(diǎn)的電位差為確定值，所以該點(diǎn)的電位也就具有確定值，即,幾種常見電荷分布的電位參考點(diǎn) 點(diǎn)電荷：

4、設(shè)點(diǎn)電荷q在原點(diǎn)，參考點(diǎn)Q，場點(diǎn) (電位考察點(diǎn))P，選擇路徑PM Q(路徑可以任意選擇)進(jìn)行積分，有,積分貢獻(xiàn)為零,線電荷：設(shè)線電荷l在原點(diǎn)，參考點(diǎn)Q，場點(diǎn) (電位考察點(diǎn))P，沿如前路徑進(jìn)行積分，有,如果選擇參考點(diǎn)在rQ=，得P=，顯然不合理。 如果選擇rQ=1，得，顯然這種形式最簡單。,面電荷(例3.1.2)：無限大面電荷產(chǎn)生的電場在空間均勻分布。設(shè)均勻電場E0，場中任意兩點(diǎn)P1和P2的電位差為,13,例 3.1.1 求電偶極子的電位.,解 在球坐標(biāo)系中,用二項式展開，由于，得,代入上式，得,表示電偶極矩，方向由負(fù)電荷指向正電荷。,14,將 和 代入上式，解得E線方程為,由球坐標(biāo)系中的梯度公

5、式，可得到電偶極子的遠(yuǎn)區(qū)電場強(qiáng)度,電場線微分方程：,等位線方程：,15,解 選定均勻電場空間中的一點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，而任意點(diǎn)P 的位置矢量為r ，則,若選擇點(diǎn)O為電位參考點(diǎn)，即 ，則,在球坐標(biāo)系中，取極軸與 的方向一致，即 ，則有,在圓柱坐標(biāo)系中，取 與x 軸方向一致，即 ，而 ，故,例3.1.2 求均勻電場的電位分布。,16,解 采用圓柱坐標(biāo)系，令線電荷與 z 軸相重合，中點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)。由于軸對稱性，電位與 無關(guān)。 在帶電線上位于 處的線元 ，它 到點(diǎn) 的距離 ， 則,例3.1.3 求長度為2L、電荷線密度為 的均勻帶電線的電位。,17,在上式中若令 ，則可得到無限長直線電荷的電位。當(dāng) 時，

6、上式可寫為,當(dāng) 時，上式變?yōu)闊o窮大，這是因為電荷不是分布在有限區(qū)域內(nèi)，而將電位參考點(diǎn)選在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)之故。這時可在上式中加上一個任意常數(shù)，則有,并選擇有限遠(yuǎn)處為電位參考點(diǎn)。例如，選擇= a 的點(diǎn)為電位參 考點(diǎn)，則有,18,在均勻介質(zhì)中，有,5. 電位的微分方程,在無源區(qū)域，,19,6. 靜電位的邊界條件,設(shè)P1和P2是介質(zhì)分界面兩側(cè)緊貼界面的相鄰兩點(diǎn)，其電位分別為1和2。當(dāng)兩點(diǎn)間距離l0時,導(dǎo)體表面上電位的邊界條件：,由 和,若介質(zhì)分界面上無自由電荷，即,常數(shù)，,20,例3.1.4 兩塊無限大接地導(dǎo)體平板分別置于 x = 0 和 x = a 處，在兩板之間的 x = b 處有一面密度為 的均勻電荷

7、分布，如圖所示。求兩導(dǎo)體平板之間的電位和電場。,解 在兩塊無限大接地導(dǎo)體平板之間，除 x = b 處有均勻面電荷分布外，其余空間均無電荷分布，故電位函數(shù)滿足一維拉普拉斯方程,方程的解為,21,利用邊界條件，有,處，,最后得,處，,處，,所以,由此解得,22,例：半徑為a的帶電導(dǎo)體球，已知球體電位為U， 求空間電位分布及電場強(qiáng)度分布。,解法一：導(dǎo)體球是等勢體。,時：,23,時：,24,解法二：電荷均勻分布在導(dǎo)體球上，呈點(diǎn)對稱。,設(shè)導(dǎo)體球帶電總量為Q，則可由高斯定理求得，在球外空間，電場強(qiáng)度為：,25,小結(jié)：求空間電場分布的方法,在實際應(yīng)用中，間接求解法應(yīng)用最為廣泛，適用于邊值問題的求解。,26,

8、電容器廣泛應(yīng)用于電子設(shè)備的電路中： 在電子電路中，利用電容器來實現(xiàn)濾波、移相、隔直、旁 路、選頻等作用。 通過電容、電感、電阻的排布，可組合成各種功能的復(fù)雜 電路。 在電力系統(tǒng)中，可利用電容器來改善系統(tǒng)的功率因數(shù)，以 減少電能的損失和提高電氣設(shè)備的利用率。,3.1.3 導(dǎo)體系統(tǒng)的電容與部分電容,27,電容是導(dǎo)體系統(tǒng)的一種基本屬性，是描述導(dǎo)體系統(tǒng) 儲存電荷能力的物理量。,孤立導(dǎo)體的電容定義為所帶電量q與其電位 的比值，即,1. 電容,孤立導(dǎo)體的電容,兩個帶等量異號電荷（q）的導(dǎo)體組成的電容器，其電容為,電容的大小只與導(dǎo)體系統(tǒng)的幾何尺寸、形狀和及周圍電介質(zhì) 的特性參數(shù)有關(guān)，而與導(dǎo)體的帶電量和電位無

9、關(guān)。,28,(1) 假定兩導(dǎo)體上分別帶電荷+q 和q ； (2) 計算兩導(dǎo)體間的電場強(qiáng)度E；,計算電容的步驟：,(4) 求比值 ，即得出所求電容。,(3) 由 ，求出兩導(dǎo)體間的電位差；,29,解：設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電荷為q ，則由高斯定理可求得內(nèi)外導(dǎo)體間的電場,同心導(dǎo)體間的電壓,球形電容器的電容,當(dāng) 時，,例3.1.4 同心球形電容器的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a 、外導(dǎo)體半徑為b，其間填充介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)。求此球形電容器的電容。,30,例 3.1.5 如圖所示的平行雙線傳輸線，導(dǎo)線半徑為a ，兩導(dǎo)線的軸線距離為D ，且D a ，求傳輸線單位長度的電容。,解 設(shè)兩導(dǎo)線單位長度帶電量分別為 和 。由于 ，故可近似

10、地認(rèn)為電荷分別均勻分布在兩 導(dǎo)線的表面上。應(yīng)用高斯定理和疊加原 理，可得到兩導(dǎo)線之間的平面上任一點(diǎn) P 的電場強(qiáng)度為,兩導(dǎo)線間的電位差,故單位長度的電容為,31,例3.1.6 同軸線內(nèi)導(dǎo)體半徑為a ，外導(dǎo)體半徑為b ，內(nèi)外導(dǎo)體間填充的介電常數(shù)為 的均勻介質(zhì)，求同軸線單位長度的電容。,內(nèi)外導(dǎo)體間的電位差,解 設(shè)同軸線的內(nèi)、外導(dǎo)體單位長度帶電量分別為 和 ，應(yīng)用高斯定理可得到內(nèi)外導(dǎo)體間任一點(diǎn)的電場強(qiáng)度為,故得同軸線單位長度的電容為,32,如果充電過程進(jìn)行得足夠緩慢，就不會有能量輻射，充電過程中外加電源所做的總功將全部轉(zhuǎn)換成電場能量，或者說電場能量就等于外加電源在此電場建立過程中所做的總功。,靜電場

11、能量來源于建立電荷系統(tǒng)的過程中外源提供的能量。,靜電場最基本的特征是對電荷有作用力，這表明靜電場具有 能量。,任何形式的帶電系統(tǒng)，都要經(jīng)過從沒有電荷分布到某個最終電荷分布的建立(或充電)過程。在此過程中，外加電源必須克服電荷之間的相互作用力而做功。,3.1.4 靜電場的能量,33,1. 靜電場的能量,設(shè)系統(tǒng)從零開始充電，最終帶電量為 q 、電位為 。 充電過程中某一時刻的電荷量為q 、電位為 。(01) 當(dāng)增加為(+ d)時，外電源做功為: (q d)。 對從0 到 1 積分，即得到外電源所做的總功為,根據(jù)能量守恒定律，此功也就是電量為 q 的帶電體具有的電場能量We ，即,對于電荷體密度為的

12、體分布電荷，體積元dV中的電荷dV具有的電場能量為,34,故體分布電荷的電場能量為,對于面分布電荷，電場能量為,對于多導(dǎo)體組成的帶電系統(tǒng)，則有, 第i 個導(dǎo)體所帶的電荷, 第i 個導(dǎo)體的電位,式中：,關(guān)于靜電場能量表達(dá)式的補(bǔ)充說明,討論的是充電完成系統(tǒng)穩(wěn)定后的情況，所以只適用于靜電場 積分區(qū)域為存在電荷分布的空間，由于在無電荷分布的區(qū)域積分為零，所以積分也可以為整個空間 能量是分布在有電場存在的整個空間，并非僅僅存在于有電荷分布的區(qū)域，所以被積函數(shù) 不代表能量密度,關(guān)于點(diǎn)電荷系統(tǒng)和導(dǎo)體系統(tǒng)能量的補(bǔ)充說明,在點(diǎn)電荷系統(tǒng)中，i為第i個電荷處的電位，由其他電荷產(chǎn)生 在帶電導(dǎo)體系統(tǒng)中，i為第i個導(dǎo)體的

13、電位，由其自身所帶電荷和其他導(dǎo)體所帶電荷共同產(chǎn)生 分別表示點(diǎn)電荷之間的相互作用能和導(dǎo)體系統(tǒng)的總能量（包括自能和相互作用能）,37,2. 電場能量密度,從場的觀點(diǎn)來看，靜電場的能量分布于電場所在的整個空間。,電場能量密度：,電場的總能量：,對于線性、各向同性介質(zhì)，則有,38,由于體積V外的電荷密度0，若將上式中的積分區(qū)域擴(kuò)大到整個場空間，結(jié)果仍然成立。只要電荷分布在有限區(qū)域內(nèi)，當(dāng)閉合面S 無限擴(kuò)大時，則有,故,推證：,39,例3.1.7 半徑為a 的球形空間內(nèi)均勻分布有電荷體密度為的電荷，試求靜電場能量。,解： 方法一，利用 計算,根據(jù)高斯定理求得電場強(qiáng)度,故,40,方法二：利用 計算,先求出電

14、位分布,故,例3.1.8 原子核是一個帶電為q的點(diǎn)電荷，周圍均勻分布有帶負(fù)電的球形電子云。電子云的半徑為r0，其總電量為q。求原子模型的結(jié)合能。,解：結(jié)合能=電子云自能+云與核的相互作用能。由高斯定理得電子云產(chǎn)生的電場,43,由邊界條件知在邊界兩邊 連續(xù)。,解：設(shè)同軸線內(nèi)導(dǎo)體單位長度帶電量為Q。,44,45,或,知識延展：對電容器,46,此題也可用式 來計算,q不變,設(shè)極板上保持總電荷q 不變，則,由此可得,由于,同樣得到,47,3.2 導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場分析,3.2.1 恒定電場的基本方程和邊界條件 3.2.2 恒定電場與靜電場的比擬 3.2.3 漏電導(dǎo),48,由JE 可知，導(dǎo)體中若存在恒

15、定電流，則必有維持該電流的電場，雖然導(dǎo)體中產(chǎn)生電場的電荷作定向運(yùn)動，但導(dǎo)體中的電荷分布是一種不隨時間變化的恒定分布，這種恒定分布電荷產(chǎn)生的電場稱為恒定電場。,恒定電場與靜電場的重要區(qū)別： （1）恒定電場可以存在于導(dǎo)體內(nèi)部。 （2）恒定電場中有電場能量的損耗,要維持導(dǎo)體中的恒定電流，就必須有外加電源來不斷補(bǔ)充被損耗的電場能量。,恒定電場和靜電場都是有源無旋場，具有相同的性質(zhì)。,3.2.1 恒定電場的基本方程和邊界條件,49,1. 基本方程,恒定電場的基本方程為,微分形式：,積分形式：,恒定電場的基本場矢量是電流密度 和電場強(qiáng)度,線性各向同性導(dǎo)電媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系,恒定電場的電位函數(shù),由,若媒質(zhì)是均勻

16、的，則,50,2. 恒定電場的邊界條件,場矢量的邊界條件,即,即,導(dǎo)電媒質(zhì)分界面上的電荷面密度,場矢量的折射關(guān)系,51,電位的邊界條件,恒定電場同時存在于導(dǎo)體內(nèi)部和外部，在導(dǎo)體表面上的電場 既有法向分量又有切向分量，電場并不垂直于導(dǎo)體表面，因 而導(dǎo)體表面不是等位面；,說明：,52,如2 1、且290，則10， 即電場線近似垂直于與良導(dǎo)體表面。 此時，良導(dǎo)體表面可近似地看作為 等位面；,若媒質(zhì)1為理想介質(zhì)，即10，則 J1=0，故J2n= 0 且 E2n= 0，即導(dǎo)體 中的電流和電場與分界面平行。,53,3.2.2 恒定電場與靜電場的比擬,如果兩種場，在一定條件下，場方程有相同的形式，邊界形狀相

17、同，邊界條件等效，則其解也必有相同的形式，求解這兩種場分布必然是同一個數(shù)學(xué)問題。只需求出一種場的解，就可以用對應(yīng)的物理量作替換而得到另一種場的解。這種求解場的方法稱為比擬法。,54,恒定電場與靜電場的比擬,基本方程,靜電場（ 區(qū)域）,本構(gòu)關(guān)系,位函數(shù),邊界條件,恒定電場（電源外）,關(guān)于恒定電場的進(jìn)一步說明,與靜電場性質(zhì)相同，但產(chǎn)生的源不同，分別為運(yùn)動電荷和靜止電荷，但其密度都不隨時間變化 恒定電場同時存在于導(dǎo)電體外和導(dǎo)電體內(nèi)，其表面同時有法向和切向分量，電場不垂直于表面，此時導(dǎo)電體不是等位體,電場矢量在分界面上的折射關(guān)系,如21， 290，10，電力線近似垂直良導(dǎo)體表面，近似等位體 如介質(zhì)1為

18、理想介質(zhì)，10，J1=0，導(dǎo)電體一側(cè)中只有切向電流和切向電場,恒定電場問題可利用對應(yīng)量變換，先變成靜電場問題求解，最后再換回來,由J 的邊界條件可得,56,例3.2.1一個有兩層介質(zhì)的平行板電容器，其參數(shù)分別為1、1 和 2、2 ，外加電壓U。求介質(zhì)面上的自由電荷密度。,解：極板是理想導(dǎo)體，為等位面，電流沿z 方向。,57,例3.2.2 填充有兩層介質(zhì)的同軸電纜，內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體半徑為c，介質(zhì)的分界面半徑為b。兩層介質(zhì)的介電常數(shù)為1 和2 、電導(dǎo)率為 1 和 2 。設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電壓為U0 ，外導(dǎo)體接地。求：（1）兩導(dǎo)體之間的電流密度和電場強(qiáng)度分布；（2）介質(zhì)分界面上的自由電荷面密度。,外導(dǎo)

19、體,內(nèi)導(dǎo)體,介質(zhì)2,介質(zhì)1,58,（1）設(shè)同軸電纜中單位長度的徑向電流為I ,則由 可得電流密度,介質(zhì)中的電場,解 電流由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體，在分界面上只有法向分量，所以電流密度成軸對稱分布。可先假設(shè)電流為I，由求出電流密度 的表達(dá)式，然后求出 和 ，再由 確定出電流 I。,59,故兩種介質(zhì)中的電流密度和電場強(qiáng)度分別為,由于,于是得到,60,（2）由 可得，介質(zhì)1內(nèi)表面的電荷面密度為,介質(zhì)2外表面的電荷面密度為,兩種介質(zhì)分界面上的電荷面密度為,61,工程上，常在電容器兩極板之間、同軸電纜的芯線與外殼之間，填充不導(dǎo)電的材料作電絕緣。這些絕緣材料的電導(dǎo)率遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于金屬材料的電導(dǎo)率，但畢竟不為零，因而當(dāng)

20、在電極間加上電壓U 時，必定會有微小的漏電流 J 存在。,漏電流與電壓之比為漏電導(dǎo)，即,其倒數(shù)稱為絕緣電阻，即,3.2.3 漏電導(dǎo),62,(1) 假定兩電極間的電流為I ； 計算兩電極間的電流密度 矢量J ； 由J = E 得到 E ; 由 ，求出兩導(dǎo) 體間的電位差； (5) 求比值 ，即得出 所求電導(dǎo)。,計算電導(dǎo)的方法一：,計算電導(dǎo)的方法二：,(1) 假定兩電極間的電位差為U； (2) 計算兩電極間的電位分布 ； (3) 由 得到E ; (4) 由 J = E 得到J ; (5) 由 ，求出兩導(dǎo)體間 電流； (6) 求比值 ，即得出所 求電導(dǎo)。,計算電導(dǎo)的方法三：,靜電比擬法：,63,例3.

21、2.3 求同軸電纜的絕緣電阻。設(shè)內(nèi)外的半徑分別為a 、b，長度為l ，其間媒質(zhì)的電導(dǎo)率為、介電常數(shù)為。,解：直接用恒定電場的計算方法,電導(dǎo),絕緣電阻,設(shè)由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體的電流為I 。,64,方程通解為,例3.2.4 在一塊厚度為h 的導(dǎo)電板上， 由兩個半徑為r1 和 r2 的圓弧和夾角為 0 的兩半徑割出的一段環(huán)形導(dǎo)電媒質(zhì)，如圖所示。計算沿 方向的兩電極之間的電阻。設(shè)導(dǎo)電媒質(zhì)的電導(dǎo)率為。,解： 設(shè)在沿 方向的兩電極之間外加電壓U0，則電流沿 方向流動，而且電流密度是隨 變化的。但容易判定電位 只是變量 的函數(shù)，因此電位函數(shù) 滿足一維拉普拉斯方程,代入邊界條件,可以得到,65,電流密度,兩電極

22、之間的電流,故沿 方向的兩電極之間的電阻為,所以,例3.2.5 同軸線內(nèi)外導(dǎo)體半徑分別為a和b，其間填充電導(dǎo)率為的導(dǎo)電介質(zhì)，求單位長度的絕緣電阻。,解：先變成靜電場。內(nèi)外導(dǎo)體間,例3.2.6 求半徑為a的金屬導(dǎo)體球形接地器的接地電阻。土壤的電導(dǎo)率為。,解：導(dǎo)體深埋，不考慮地表對接地電阻的影響,67,例題一 已知同軸線內(nèi)外導(dǎo)體半徑分別為a,b，導(dǎo)體間填充介質(zhì)，介質(zhì)介電常數(shù)為 ，導(dǎo)電率為 。已知內(nèi)外導(dǎo)體間電壓為U。 求：內(nèi)外導(dǎo)體間的 1） ；2） ；3） ；4） ； 5） ；6） ；,分析：為恒定電場問題。 電荷只存在于導(dǎo)體表面，故可用靜電場高斯定理求解。,解法一：應(yīng)用高斯定理求解。,設(shè)內(nèi)導(dǎo)體單位

23、長度電量為Q。則,68,69,解法二：間接求解法,由于內(nèi)外導(dǎo)體間不存在電荷分布，電位方程為,70,解法三：恒定電場方法求解,令由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體單位長度總電流強(qiáng)度為I，則,71,例題二 導(dǎo)體球殼，內(nèi)徑為b，外徑為c，球殼球心為半徑為a導(dǎo)體球，導(dǎo)體球帶電量Q。中間充滿兩種介質(zhì)，介電系數(shù)分別為1和2，介質(zhì)分界面如圖所示。 求：（1）空間場分布E(r)； （2）空間電位分布； （3）極化電荷分布； （4）系統(tǒng)電場能量。,解：由邊界條件知， 連續(xù)。,（1）ra，該區(qū)域為導(dǎo)體空間， 故： =0；,arb，由高斯定理有,72,brc，該區(qū)域為導(dǎo)體空間，故： =0；,rc，,（2）求電位分布。,rc，,73

24、,brc，為導(dǎo)體區(qū)域，等勢體，電位等于外表面電位,arb，,ra,74,（3）媒質(zhì)為均勻媒質(zhì)，其內(nèi)部不存在極化電荷,r=a面上：,r=b面上：,75,（4）總電場能量為,76,3.3.1 恒定磁場的基本方程和邊界條件 3.3.2 恒定磁場的矢量磁位和標(biāo)量磁位 3.3.3 電感 3.3.4 恒定磁場的能量,3.3 恒定磁場分析,77,微分形式:,1. 基本方程,2. 邊界條件,本構(gòu)關(guān)系：,或,若分界面上不存在面電流，即JS0，則,積分形式:,或,3.3.1 恒定磁場的基本方程和邊界條件,78,矢量磁位的定義,磁矢位的任意性 與電位一樣，磁矢位也不是惟一確定的，它加上任意一個標(biāo)量 的梯度以后，仍然

25、表示同一個磁場，即,由,即恒定磁場可以用一個矢量函數(shù)的旋度來表示。,磁矢位的任意性是因為只規(guī)定了它的旋度，沒有規(guī)定其散度造成的。為了得到確定的A，可以對A的散度加以限制，在恒定磁場中通常規(guī)定，并稱為庫侖規(guī)范。,1. 恒定磁場的矢量磁位,3.3.2 恒定磁場的矢量磁位和標(biāo)量磁位,79,磁矢位的微分方程,在無源區(qū)：,磁矢位的表達(dá)式,80,磁矢位的邊界條件,（可以證明滿足 ）,對于面電流和細(xì)導(dǎo)線電流回路，磁矢位分別為,利用磁矢位計算磁通量：,細(xì)線電流：,面電流：,由此可得出,81,例 3.3.1 求小圓環(huán)電流回路的遠(yuǎn)區(qū)矢量磁位與磁場。小圓形回路的半徑為a ，回路中的電流為I 。,解 如圖所示，由于具

26、有軸對稱性，矢量磁位和磁場均與 無關(guān)，計算 xO z 平面上的矢量磁位與磁場將不失一般性。,82,對于遠(yuǎn)區(qū)，有r a ，所以,由于在 = 0 面上 ，所以上式可寫成,于是得到,83,式中S =a 2是小圓環(huán)的面積。,載流小圓環(huán)可看作磁偶極子， 為磁偶極子的磁矩（或磁偶極矩），則,或,84,解：先求長度為2L 的直線電流的磁矢位。電流元 到點(diǎn) 的距離 。則,例 3.3.2 求無限長線電流 I 的磁矢位，設(shè)電流沿+z 方向流動。,與計算無限長線電荷的電位一樣，令 可得到無限長線電流的磁矢位,85,2. 恒定磁場的標(biāo)量磁位,一般情況下，恒定磁場只能引入磁矢位來描述，但在無傳導(dǎo)電流（J0）的空間 中，

27、則有,即在無傳導(dǎo)電流（J0）的空間中，可以引入一個標(biāo)量位函數(shù)來描述磁場。,標(biāo)量磁位的引入,磁標(biāo)位的微分方程,將 代入,86,與靜電位相比較，有,標(biāo)量磁位的邊界條件,在線性、各向同性的均勻媒質(zhì)中,標(biāo)量磁位的表達(dá)式,和,式中：, 等效磁荷面密度,87,靜電位 磁標(biāo)位,磁標(biāo)位與靜電位的比較,靜電位 0 P,磁標(biāo)位 m 0m,88,當(dāng)r l 時，可將磁柱體等效成磁偶極子，則利用與靜電場的比較和電偶極子場，有,解：M0為常數(shù)，m= 0，柱內(nèi)沒有磁荷。在柱的兩個端面上，磁化磁荷為,例3.3.3半徑為a、長為l 的圓柱永磁體，沿軸向均勻磁化，其磁化強(qiáng)度為 。求遠(yuǎn)區(qū)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。,89,1. 磁通與磁鏈,3.

28、3.3 電感,單匝線圈形成的回路的磁鏈定 義為穿過該回路的磁通量,多匝線圈形成的導(dǎo)線回路的磁 鏈定義為所有線圈的磁通總和,粗導(dǎo)線構(gòu)成的回路，磁鏈分為 兩部分：一部分是粗導(dǎo)線包圍 的、磁力線不穿過導(dǎo)體的外磁通量o ；另一部分是磁力線穿過 導(dǎo)體、只有粗導(dǎo)線的一部分包圍的內(nèi)磁通量i。,90,設(shè)回路 C 中的電流為I ，所產(chǎn)生的磁場與回路 C 交鏈的磁鏈為，則磁鏈 與回路 C 中的電流 I 有正比關(guān)系，其比值,稱為回路 C 的自感系數(shù)，簡稱自感。, 外自感,2. 自感, 內(nèi)自感；,粗導(dǎo)體回路的自感：L = Li + Lo,自感只與回路的幾何形狀、尺寸以及周圍的磁介質(zhì)有關(guān)，與電流無關(guān)。,自感的特點(diǎn)：,9

29、1,解：先求內(nèi)導(dǎo)體的內(nèi)自感。設(shè)同軸線中的電流為I ，由安培環(huán)路定理,穿過沿軸線單位長度的矩形面積元dS = d的磁通為,例3.3.4 求同軸線單位長度的自感。設(shè)內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體厚度可忽略不計，其半徑為b，空氣填充。,得,與di 交鏈的電流為,則與di 相應(yīng)的磁鏈為,92,因此內(nèi)導(dǎo)體中總的內(nèi)磁鏈為,故單位長度的內(nèi)自感為,再求內(nèi)、外導(dǎo)體間的外自感。,則,故單位長度的外自感為,單位長度的總自感為,93,例3.3.5 計算平行雙線傳輸線單位長度的自感。設(shè)導(dǎo)線的半徑為a ，兩導(dǎo)線的間距為D ，且 D a 。導(dǎo)線及周圍媒質(zhì)的磁導(dǎo)率為0 。,穿過兩導(dǎo)線之間沿軸線方向為單位長度的面積的外磁鏈為,解 設(shè)兩

30、導(dǎo)線流過的電流為I 。由于D a ，故可近似地認(rèn)為導(dǎo)線中的電流是均勻分布的。應(yīng)用安培環(huán)路定理和疊加原理，可得到兩導(dǎo)線之間的平面上任一點(diǎn)P 的磁感應(yīng)強(qiáng)度為,94,于是得到平行雙線傳輸線單位長度的外自感,兩根導(dǎo)線單位長度的內(nèi)自感為,故得到平行雙線傳輸線單位長度的自感為,95,對兩個彼此鄰近的閉合回路C1 和回路 C2 ，當(dāng)回路 C1 中通過電流 I1 時，不僅與回路 C1 交鏈的磁鏈與I1 成正比，而且與回路 C2 交鏈的磁鏈12 也與 I1 成正比，其比例系數(shù),稱為回路 C1 對回路 C2 的互感系數(shù)，簡稱互感。,3. 互感,同理，回路 C2 對回路 C1 的互感為,96,互感只與回路的幾何形狀

31、、尺寸、兩回路的相對位置以及周圍 磁介質(zhì)有關(guān)，而與電流無關(guān)。,滿足互易關(guān)系，即M12 = M21,當(dāng)與回路交鏈的互感磁通與自感磁通具有相同的符號時，互 感系數(shù) M 為正值；反之，則互感系數(shù) M 為負(fù)值。,互感的特點(diǎn)：,97,4. 紐曼公式,如圖所示的兩個回路 C1 和回路 C2 ， 回路 C1中的電流 I1 在回路 C2 上的任一 點(diǎn)產(chǎn)生的矢量磁位,回路 C1中的電流 I1 產(chǎn)生的磁場與回路 C2 交鏈的磁鏈為,同理,故得,98,由圖中可知,穿過三角形回路面積的磁通為,解 設(shè)長直導(dǎo)線中的電流為I ，根據(jù) 安培環(huán)路定理，得到,例3.3.6 如圖所示，長直導(dǎo)線與三角 形導(dǎo)體回路共面，求它們之間的互

32、感。,99,因此,故長直導(dǎo)線與三角形導(dǎo)體回路的互感為,100,例3.3.7 如圖所示，兩個互相平行且共軸的圓形線圈C1和 C2，半徑分別為a1和 a2 ，中心相距為d 。求它們之間的互感。,于是有,解 利用紐曼公式來計算，則有,式中=21為 與 之間的夾角，dl1= a1d1、dl2= a1d2 ，且,101,若d a1，則,于是,一般情況下，上述積分只能用橢圓積分來表示。但是若d a1或 d a2 時，可進(jìn)行近似計算。,102,3.3.4 恒定磁場的能量,1. 磁場能量,在恒定磁場建立過程中，電源克服感應(yīng)電動勢做功所供給的能量，就全部轉(zhuǎn)化成磁場能量。,電流回路在恒定磁場中受到磁場力的作用而運(yùn)

33、動，表明恒定 磁場具有能量。,磁場能量是在建立電流的過程中，由電源供給的。當(dāng)電流從 零開始增加時，回路中的感應(yīng)電動勢要阻止電流的增加，因 而必須有外加電壓克服回路中的感應(yīng)電動勢。,假定建立并維持恒定電流時，沒有熱損耗。,假定在恒定電流建立過程中，電流的變化足夠緩慢，沒有輻 射損耗。,103,設(shè)回路從零開始充電，最終的電流為 I 、交鏈的磁鏈為 。 在時刻 t 的電流為i =I 、磁鏈為 = 。 (01),根據(jù)能量守恒定律，此功也就是電流為 I 的載流回路具有的磁場能量Wm ，即,對從0 到 1 積分，即得到外電源所做的總功為,外加電壓應(yīng)為,所做的功,當(dāng)增加為(+ d)時，回路中的感應(yīng)電動勢:,

34、104,對于N 個載流回路，則有,對于體分布電流，則有,例如，對于兩個電流回路 C1 和回路C2 ，有,105,2. 磁場能量密度,從場的觀點(diǎn)來看，磁場能量分布于磁場所在的整個空間。,磁場能量密度：,磁場的總能量：,對于線性、各向同性介質(zhì)，則有,106,若電流分布在有限區(qū)域內(nèi)，當(dāng)閉合面S無限擴(kuò)大時，則有,故,推證：,例3.38 求半徑為a的無限長直導(dǎo)線單位長度內(nèi)自感。,解：設(shè)導(dǎo)體內(nèi)電流為I，則由安培環(huán)路定律,則導(dǎo)體內(nèi)單位長度磁能為,108,例3.3.9 同軸電纜的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a ，外導(dǎo)體的內(nèi)、外半徑分別為 b 和 c ，如圖所示。導(dǎo)體中通有電流 I ，試求同軸電纜中單位長度儲存的磁場能量與自感

35、。,解：由安培環(huán)路定理，得,109,三個區(qū)域單位長度內(nèi)的磁場能量分別為,110,單位長度內(nèi)總的磁場能量為,單位長度的總自感,111,3.4 靜態(tài)場的邊值問題及解的惟一性定理,討論內(nèi)容 3.4.1 邊值問題的類型 3.4.2 惟一性定理,邊值問題：在給定的邊界條件下，求解位函數(shù)的泊松方程或 拉普拉斯方程,112,3.4.1 邊值問題的類型,已知場域邊界面上的位函數(shù)值，即,第一類邊值問題（或狄里赫利問題）,已知場域邊界面上的位函數(shù)的法向?qū)?shù)值，即,已知場域一部分邊界面上的位函數(shù)值，而另一部分邊界面上則已知位函數(shù)的法向?qū)?shù)值，即,第三類邊值問題（或混合邊值問題）,第二類邊值問題（或紐曼問題）,113

36、,自然邊界條件 （無界空間）,周期邊界條件,銜接條件,不同媒質(zhì)分界面上的邊界條件，如,114,例：,（第一類邊值問題）,（第三類邊值問題）,例：,115,在場域V 的邊界面S上給定 或 的值，則泊松方程或拉普拉斯方程在場域V 具有惟一值。,3.4.2 惟一性定理,惟一性定理的重要意義,給出了靜態(tài)場邊值問題具有惟一解的條件,為靜態(tài)場邊值問題的各種求解方法提供了理論依據(jù),為求解結(jié)果的正確性提供了判據(jù),惟一性定理的表述,116,惟一性定理的證明,反證法：假設(shè)解不惟一，則有兩個位函數(shù) 和 在場域V內(nèi)滿足同樣的方程，即,且在邊界面S 上有,令 ，則在場域V內(nèi),且在邊界面S 上滿足同樣的邊界條件。,或,或

37、,117,由格林第一恒等式,可得到,對于第一類邊界條件：,對于第二類邊界條件：若 和 取同一點(diǎn)Q為參考點(diǎn) ，則,對于第三類邊界條件：,118,唯一性定理綜述,涵義：只要給定了邊界條件，標(biāo)量位拉方程或泊方程的解就是唯一確定的（至多相差一個常數(shù)） 意義：無論用什么方法求得拉方程或泊方程的解，只要滿足給定的邊界條件，所得的解就是正確的,119,3.5.1 鏡像法的基本原理 3.5.2 接地導(dǎo)體平面的鏡像 3.5.3 導(dǎo)體球面的鏡像,3.5 鏡像法,120,當(dāng)有電荷存在于導(dǎo)體或介質(zhì)表面附近時，導(dǎo)體和介質(zhì)表面會出現(xiàn)感應(yīng)電荷或極化電荷，而感應(yīng)電荷或極化電荷將影響場的分布。,非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解

38、，可以用等效電荷的電位替代,1. 問題的提出,幾個實例 接地導(dǎo)體板附近有一個點(diǎn)電荷，如圖所示。,q,q,非均勻感應(yīng)電荷,等效電荷,3.5.1 鏡像法的基本原理,121,接地導(dǎo)體球附近有一個點(diǎn)電荷，如圖。,非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代,接地導(dǎo)體柱附近有一個線電荷。情況與上例類似，但等效電 荷為線電荷。,q,非均勻感應(yīng)電荷,q,等效電荷,結(jié)論：所謂鏡像法是將不均勻電荷分布的作用等效為點(diǎn)電荷 或線電荷的作用。,問題：這種等效電荷是否存在？ 這種等效是否合理？,122,2. 鏡像法的原理,用位于場域邊界外虛設(shè)的較簡單的鏡像電荷分布來等效替代該邊界上未知的較為復(fù)雜的電荷分布

39、，從而將原含該邊界的非均勻媒質(zhì)空間變換成無限大單一均勻媒質(zhì)的空間，使分析計算過程得以明顯簡化的一種間接求解法。,在導(dǎo)體形狀、幾何尺寸、帶電狀況和媒質(zhì)幾何結(jié)構(gòu)、特性不變的前提條件下，根據(jù)惟一性定理，只要找出的解答滿足在同一泛定方程下問題所給定的邊界條件，那就是該問題的解答，并且是惟一的解答。鏡像法正是巧妙地應(yīng)用了這一基本原理、面向多種典型結(jié)構(gòu)的工程電磁場問題所構(gòu)成的一種有效的解析求解法。,3. 鏡像法的理論基礎(chǔ) 解的惟一性定理,鏡像法的理論依據(jù) 由唯一性定理，滿足同一方程和同樣邊界條件的電位分布的解是相同的（至多相差一個常數(shù)），所以引入像電荷（等效電荷）后，應(yīng)該有 電位函數(shù)仍然滿足原方程（拉氏方

40、程或泊松方程） 電位分布仍滿足原邊界條件 如果要使得這兩個條件同時滿足，需要合理地選擇像電荷的位置和電量,理論依據(jù),唯一性定理,解的可靠性,像電荷的確定,124,像電荷的個數(shù)、位置及其電量大小“三要素” 。,4. 鏡像法應(yīng)用的關(guān)鍵點(diǎn),5. 確定鏡像電荷的兩條原則,等效求解的“有效場域”。,鏡像電荷的確定,像電荷必須位于所求解的場區(qū)域以外的空間中。,像電荷的個數(shù)、位置及電荷量的大小以滿足所求解的場 區(qū)域 的邊界條件來確定。,3.5.2 接地導(dǎo)體平面的鏡像,1.點(diǎn)電荷對無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像 原問題,由圖可知，接地導(dǎo)體板附近有一個點(diǎn)電荷時，電力線垂直導(dǎo)體板，等位線平行導(dǎo)體板。這是點(diǎn)電荷與導(dǎo)體板上

41、的感應(yīng)電荷共同作用的結(jié)果。,計算機(jī)模擬的接地導(dǎo)體板附近有一個點(diǎn)電荷時的電場分布圖,顯然可將感應(yīng)電荷的作用用位于h的像電荷qq替代。,顯然，滿足邊界條件，原問題不變，所得的解是正確的。,q,-h,考察原問題是否得到滿足：由于像電荷位于z0區(qū)域，原方程不變，且有,127,上半空間( z0 ）的電位函數(shù),q,導(dǎo)體平面上的感應(yīng)電荷密度為,導(dǎo)體平面上的總感應(yīng)電荷為,128,2. 線電荷對無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像,鏡像線電荷：,滿足原問題的邊界條件，所得的解是正確的。,電位函數(shù),原問題,當(dāng)z = 0 時，,129,3. 點(diǎn)電荷對相交半無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像,如圖所示，兩個相互垂直相連的半無限大接地導(dǎo)體平

42、板，點(diǎn)電荷q 位于(d1, d2 )處。,顯然，q1 對平面 2 以及 q2 對平面 1 均不能滿足邊界條件。,對于平面1，有鏡像電荷q1=q，位于(d1, d2 ),對于平面2，有鏡像電荷q2=q，位于( d1, d2 ),只有在(d1, d2 )處再設(shè)置一 鏡像電荷q3 = q，所有邊界條件才能 得到滿足。,電位函數(shù),R,R1,R2,R3,用計算機(jī)模擬的，當(dāng)夾角為60的兩個半無限大接地導(dǎo)體平板之間有一個點(diǎn)電荷q時，鏡像電荷的位置示意圖,由圖可知，點(diǎn)電荷q共有5個像電荷 6個電荷兩兩成對地分別構(gòu)成兩個平面（包括平面的延伸部分）的鏡像關(guān)系，缺一不可,131,例3.5.1 一個點(diǎn)電荷q與無限大導(dǎo)

43、體平面距離為d，如果把它移至無窮遠(yuǎn)處，需要做多少功？,解：移動電荷q時，外力需要克服電場力做功，而電荷q受的電場力來源于導(dǎo)體板上的感應(yīng)電荷。可以先求電荷q 移至無窮遠(yuǎn)時電場力所做的功。,由鏡像法，感應(yīng)電荷可以用像電荷 替代。當(dāng)電荷q 移至x時，像電荷 應(yīng)位于x，則像電荷產(chǎn)生的電場強(qiáng)度,132,3.5.3 導(dǎo)體球面的鏡像,1. 點(diǎn)電荷對接地導(dǎo)體球面的鏡像,球面上的感應(yīng)電荷可用鏡像電荷 q來等效。 q 應(yīng)位于導(dǎo)體球內(nèi)（顯然 不影響原方程），且在點(diǎn)電荷q與球 心的連線上，距球心為d。則有,如圖所示，點(diǎn)電荷q 位于半徑 為a 的接地導(dǎo)體球外，距球心為d 。,方法：利用導(dǎo)體球面上電位為零確定 和 q。,

44、問題：,133,令ra，由球面上電位為零， 即 0，得,此式應(yīng)在整個球面上都成立。,條件：若,134,可見，導(dǎo)體球面上的總感應(yīng)電荷也與所設(shè)置的鏡像電荷相等。,球外的電位函數(shù)為,導(dǎo)體球面上的總感應(yīng)電荷為,球面上的感應(yīng)電荷面密度為,用計算機(jī)模擬的，接地導(dǎo)體球旁有一個點(diǎn)電荷q時，空間的電位、電場分布圖,由圖可知，點(diǎn)電荷q產(chǎn)生的電力線只有一部分終止在導(dǎo)體球上，另一部分延伸至無窮遠(yuǎn)。所以,點(diǎn)電荷對接地空心導(dǎo)體球殼的鏡像 原問題,r,P,用鏡像法求空間任意點(diǎn)的電位，顯然應(yīng)該將鏡像電荷q選擇在導(dǎo)體球外，有,利用點(diǎn)電荷在球外時的結(jié)果，得,| q|q|，可見球外的電荷量大于球內(nèi)電荷量（絕對值） 像電荷的位置和電量與外半徑b無關(guān)（為什么？）,137,球殼內(nèi)的電位,感應(yīng)電荷分布在導(dǎo)體球面的內(nèi)表面上，電荷面密度為,導(dǎo)體球面的內(nèi)表面上的總感應(yīng)電荷為,可見，在這種情況下，鏡像電荷與感應(yīng)電荷的電荷量不相等。,用計算機(jī)模擬的，接地空心導(dǎo)體球殼中有一個點(diǎn)電荷q時，球內(nèi)空間的電位、電場分布圖,