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文檔簡介

1、1,力學(Mechanics), 質點力學:,復習、提高,1.使知識系統(tǒng)化,條理化; 2.注意定理、定律的條件(不要亂套公式);, 剛體、相對論:,要認真體會其思想、觀點,掌握其處理問,新內容,題的方法。,4.數(shù)學方法上要有提高(矢量運算,微積分)。,3.提高分析能力(量綱分析,判斷結果的合,理性等);,2,1.1 參考系 、坐標系(書1.1節(jié) ),1.2質點的位置矢量、運動函數(shù)(書1.1節(jié) ),1.3 位移、速度、加速度(書1.2、1.3 節(jié)),1.4 勻加速運動(書1.4、1.5、1.6節(jié) ),1.5 圓周運動(書1.7 節(jié)),1.6 平面曲線運動,1.7 相對運動(書1.8 節(jié)),質點運

2、動學,注:打的內容為自學或略講的內容(下同),3,1.1 參考系 、坐標系,一.參考系(frame of reference, reference system),由運動的相對性,,描述運動必須選取參考系。,參考系:,用來描述物體運動而選作參考的物體,或物體系。,運動學中參考系可任選,,不同參考系中物體,的運動形式(如軌跡、速度等)可以不同。, 太陽參考系(太陽 恒星參考系) 地心參考系(地球 恒星參考系) 地面參考系或實驗室參考系 質心參考系(第三章3.6),常用的參考系:,4,二. 坐標系(coordinate system),為定量描述運動,需在參考系上固結坐標系。,坐標系:,固結在參考

3、系上的一組有刻度的射線、,曲線或角度。,參考系選定后,坐標系還可任選。 不同坐標系中,運動的數(shù)學表述可以不同。, 球極坐標系( r, ), 柱坐標系(, , z ), 自然“坐標系”(本章1.6),x,y,z,r, 直角坐標系( x , y , z ),常用的坐標系:,5,1.2 質點的位置矢量、 運動函數(shù),一.質點位置矢量(position vector of a particle),用來確定某時刻,位置矢量:,位置矢量(位矢、矢徑):,質點位置的矢量(用矢端表示)。,或,6,可以給出質點,二. 運動函數(shù)(function of motion),機械運動是物體(質點)位置隨時間的改變。,在坐

4、標系中配上一套同步時鐘,, 運動函數(shù)。,或,位置坐標和時間的函數(shù)關系,7,1.3 位移,速度,加速度,一. 位移(displacement),位移 質點在一段時間內位置的改變。,P1,P2,位移:,軌跡,8,二. 路程(path),質點實際運動軌跡的長度 叫路程。,注意:,要分清 等的幾何意義。,9,三. 速度(velocity),質點位矢對時間的變化率叫速度。,1.平均速度(average velocity):,2.(瞬時)速度(instantaneous velocity):,速度方向:沿軌跡切線方向。,速度大?。ㄋ俾剩╯peed):,10,四. 加速度(acceleration),質點

5、速度對時間的變化率叫加速度。,加速度:,加速度的方向:,變化的方向,加速度的大?。?11,1.4 勻加速運動 (uniformly acceleration motion),(自學書第一章1. 4、1. 5、1. 6),直線運動:(rectilinear motion) 拋體運動:(projectile motion),運動學的兩類問題:,求導,12,1.5 圓周運動(circular motion),13,一. 描述圓周運動的物理量,2.角速度,3.角加速度,4.線速度(linear velocity),(angular velocity),(angular acceleration),14

6、,5. 線加速度(linear acceleration), 0,t 0時,,t0,15,是引起速度大小改變的加速度。,是引起速度方向改變的加速度。,16,二.角量與線量的關系,左圖中分別是什么情形?,17,1.6 平面曲線運動,一個任意的平面曲線運動,可以視為由一系,加速度:,系稱自然坐標系。,曲率半徑,列小段圓周運動所組成。,當?shù)氐那芯€和法線所組成的坐標,在曲線上的各點固結一系列由,(plane curvilinear motion),18,1.7 相對運動(relative motion),相對運動是指不同參考系中觀察同一物體的運動。,位移關系:,速度關系:,稱為絕對速度(absolut

7、e velocity),稱為相對速度(relative velocity),稱為牽連速度(connected velocity),僅討論參考系 S 相對參考系 S 以速度 平動的情形:,19,稱為伽利略速度變換 (Galilean velocity transformation),例 雨天騎車人只在胸前鋪,加速度關系:,在 相對于S平動的條件下,若,一塊塑料布即可遮雨。,20,幾點說明:,1.以上結論是在絕對時空觀下得出的:,只有假定“長度的測量不依賴于參考系”,只有假定“時間的測量不依賴于參考系”,絕對時空觀只在 u c 時才成立。,和,才能給出位移關系式:,(空間的絕對性),,(時間的絕對

8、性),,才能進一步給出關系式:,21,2.不可將速度的合成與分解和伽利略速度,速度的合成是在同一個參考系中進行的,,伽利略速度變換則應用于兩個參考系之間,,3. 只適用于相對運動為平動的情形。,變換關系相混淆。,只在u c時才成立。,總能夠成立;,22, 小結速度和加速度的性質:,相對性:必須指明參考系 矢量性:有大小和方向,可進行合成與分解, 合成與分解遵守平行四邊形法則 瞬時性:大小和方向可以隨時間改變 在 u c時,有伽利略速度變換和加速度變換,第一章結束,23,2.1 牛頓運動定律,2.2 SI單位和量綱(書2.2 ),2.3 常見的幾種力(書2.3 ),2.4 基本的自然力(書2.4

9、 ),2.5 牛頓定律應用舉例,2.6 非慣性系中的動力學問題 (書2.6 2.9 ),牛頓運動定律,注:打的內容為自學或略講的內容(下同),24,2.1 牛頓運動定律,第一定律 的意義:,慣性系:,力:,物體運動狀態(tài)的原因)。,定義了“慣性系”(inertial frame),定性給出了“力”與“慣性”的概念,除非作用在它上面的力迫使它改變這種狀態(tài)。,任何物體都保持靜止或勻速直線運動的狀態(tài),,牛頓第一定律成立的參考系。,改變物體運動狀態(tài)的原因,(并非維持,25, 第二定律(Second law),物體所受的合外力。,m :質量(mass),,度,也稱慣性質量(inertial mass)。,

10、若m = const. ,,物體的加速度。,它是物體慣性大小的量,則有:,26, 第三定律(Third Law),對牛頓定律的說明:,1.牛頓定律只適用于慣性系;,2.牛頓定律是對質點而言的,,而一般物體可認,為是質點的集合,,故牛頓定律具有普遍意義。,27,牛頓會高興的(Newton would have been pleased),2012年將返回地球。,1978年發(fā)射空間飛船ISEE3,,4年后經(jīng)37次點火和5次,飛近太陽而進入了一個復雜的軌道。,85年攔截了一個,86年與哈雷慧星相遇,,彗星,,28,2.2 SI單位和量綱 (書第二章2.2節(jié)), 國際單位制(SI)的力學基本量和單位:

11、,質量,9 192 631 770 倍,時間,秒,s,138Cs原子某特征頻率光波周期的,長度,米,m,光在真空中在(1/299 792 458)s內所經(jīng)過的距離,千克,kg,保存在巴黎度量衡局的“kg標準原器”的質量,29, 量綱:,基本量以外的其他量和單位都可根據(jù)一定的關系式由基本量及其單位導出,分別稱為導出量和導出單位。,為定性表示導出量和基本量間的關系,,在SI中,基本力學量是長度、質量、時間,,常不考慮關系,式中的數(shù)字因數(shù),,這樣的式子稱為該物理量的量綱式,簡稱量綱。,某物理量 Q 的量綱通常表示為 Q 。,而將物理量用若干基本量的乘方之積,表示,,它們的量,綱分別用 L、M、T 表

12、示。,這樣,導出量如速度v和力F,的量綱就分別為 v = LT1 和 F = MLT2。,只有量綱相同的項才能進行加減或用等式聯(lián)接。,30,2.3 常見的幾種力 (自學書第二章2.3節(jié)),2.4 基本的自然力 (自學書第二章2.4節(jié)),31,2.5 牛頓定律應用舉例,書第二章2.5的各個例題一定要認真看。,再補充一例,同時說明做題的要求。,m,mg,z,z0,r,N,已知:桶繞 z 軸轉動, = const.,水對桶靜止。,求:水面形狀(z - r關系),解:, 選對象:,一小塊水為隔離體 m ;, 看運動:,m作勻速率圓周運動:, 查受力:,受重力,(非粘滯流體間只能承受相互的壓力);,水,

13、任選表面上,及其余水的壓力 ,,32, 列方程:,z向:,r向:,由導數(shù)關系:,(3),(1)(2)(3)得:,分離變量:,等號雙方積分:,33,解得:,(旋轉拋物面),則由旋轉前后水的體積不變,,得:,若已知不旋轉時水深為h,,桶半徑為R ,,有:,34, 驗結果:, 量綱的分析:, = 1/ T2 ,,正確。, 過渡到特殊情形:,= 0,有 z = z0 = h,,正確。, 看變化趨勢:,r 一定時, ( z-zo ),,合理。,復雜問題往往除動力學方程外,還需補充一些,課后作業(yè)的基本要求與此例相同。,運動學方程或幾何關系如前面(3)式。,g = m / T2,,r = m,,35,2.6

14、非慣性系中的動力學問題,牛頓定律僅適用于慣性系。,為何還要在非慣性系中研究問題呢?,有些問題需要在非慣性系中研究,,有些問題在非慣性系中研究較為方便。,S : 牛頓定律成立,S :牛頓定律不成立,地面參考系,,地心參考系,,太陽參考系,,例如:,S,靜止,靜止,靜止,地球自轉加速度,地球繞太陽公轉加速度,太陽繞銀河系轉加速度,(對S ),如:,S,理由:,(赤道),36,一. 平動非慣性系中的慣性力,S :,故,由,得,定義慣性力(inertial force),則有,慣性系,修改牛頓第二定律,使之于適用平動非慣性系:, 非慣性系中的,牛頓第二定律,37,相互作用,,慣性力是參考系加速運動引起

15、的附加力,,本質上是物體慣性的體現(xiàn)。,它不是物體間的,沒有反作用力,,但有真實的效果。,二戰(zhàn)中的小故事:,美 Tinosa號潛艇,攜帶16枚魚雷,離敵艦4000碼,發(fā)射4枚,斜向攻擊,使敵艦停航,離敵艦 875碼,垂直攻擊,發(fā)射11枚,均未爆炸!,在太平洋海域,分析:,S,近距、垂直, 滑塊受摩擦力大, 雷管不能被觸發(fā),38,(1)在 M 參考系,討論 M 自由下滑后,m 對地面的運動情況。,M m,地面,直接討論 m 對地面的運動較困難。,可分兩步討論:,m 作速率,為v 的圓周運動。,(2)M 對地作自由,落體運動。,中觀察,,m 對地面的運動,,是以上兩種運動的疊加。,失重情況, 在非慣

16、性系中討論問題更方便的情況舉例:,39, 失重問題,在太空中自由降落的升降機或繞地球自由飛,在那里物體可以真正做到“不受力”。,引力引起的指向地心的加速度),,受的引力被慣性離心力完全抵消而出現(xiàn)失重。,行的飛船均可以視為平動的非慣性系,其中物體所,所以在,這樣的非慣性系中,反而能夠真正做到驗證慣,性定律。,(有地球,40,在飛船中幾個球可以在空中擺成一個圈,41, 潮汐(tide)與慣性力,問題:,(2)為什么潮汐同時在向月和背月側發(fā)生?,解釋:,由于引力不均勻(有引力梯度)才引起潮汐。,引力分布不均勻 (有引力梯度),(1) 為什么月球對潮汐的影響比太陽大?,42,經(jīng)計算(書P101P103

17、),太陽引起的潮高:,月亮引起的潮高:,一般情況下,hS 和 hM 是矢量相加的,,只有太陽、地球和月亮幾乎在同一直線上時,,二者才是算術相加的。,43,引潮力常觸發(fā)地震,,地震常發(fā)生于陰歷初一、十五附近(大潮期)。,1976.陰7.2,唐山,1993.陰8.15,印度,1995.陰12.17,神戶,2001.陰2.1,四川雅江,如:,2001.陰2.2,印尼,44, 固體潮(形變):, 使月球自轉和公轉周期最終達到一致。,影響:, 使地球自轉變慢。, 使接近大星體的小星體(r rc)被引潮力撕碎。,化石生長線判斷:,3億年前,一年約400天。,由植物年輪,珊瑚和牡蠣,如SL9彗星被木星引潮力

18、撕碎(199294)。,45,根據(jù)計算(趙凱華羅蔚茵編力學P385),,將被主星的引潮力撕碎。,R 主星半徑, 主星密度, 伴星密度, 洛希極限,對地球月球系統(tǒng):,若伴星的軌道半徑小于某個臨界半徑 rc,它,46,令,設 S系相對慣性系 S 勻速轉動。,1. 物體 m 在 S中靜止,即:,S:,則, 慣性離心力(inertial centrifugal force),二.勻速轉動非慣性系中的慣性力,中向心力與慣性離心力平衡, m 靜止。,47, 重力和緯度的關系:,重力并非地球引力,而是引力和慣性離心力的合力。,重力加速度 g 和地球緯度 的,式中:,G 萬有引力常量 ,,Me 地球質量 ,,

19、R 地球半徑 ,, 地球自轉角速度 。,關系式為(自己推導):,由于地球自轉,地面物體會受到慣性離心力的作用。,48,2. 物體 m 在 S中運動,設物體 m 在 S中有速度,,,有關的慣性力。,先看一個特例:,在慣性系(地面)S:,在非慣性系(桌面)S:,(1)科里奧利力,則在 S中看,,m 除受慣性離心力外,,還要附加一個與速度,49,把,變換為:,令 慣性力:,則有:,在轉動參考系 S中,牛頓第二定律形式上成立。,科里奧利力(Coriolis force),簡稱科氏力。,稱作,50,總慣性力:,要附加一個科里奧利力(Coriolis force):,S 中牛頓第二定律為:,可以證明,,一

20、般情況下,,在勻速轉動參考,運動物體除受慣性離心力外,,系S 中,,都還,51, 強熱帶風暴漩渦的形成。, 河岸沖刷,雙軌磨損(北半球右,南半球左)。,北半球的科氏力,信風的形成,風暴漩渦的形成, 落體偏東。,與科里奧利力(科氏力)有關的問題,52,傅科擺, 傅科擺,擺錘28kg,擺平面轉動),擺平面轉動周期,北京,,巴黎,,這是在地球上驗證地球轉動的著名的實驗。,(傅科,1851,巴黎偉人祠,擺長67m,,地球,擺,53,再回到 慣性系 S 中,牛頓第二定律為:,于是有:, 絕對加速度, 相對加速度, 牽連加速度, 科里奧利加速度,第二章結束,(2)科里奧利加速度,54,3.1 沖量,動量,

21、質點動量定理,3.2 質點系動量定理,3.3 動量守恒定律,3.4 變質量系統(tǒng)、火箭飛行原理,3.5 質心,3.6 質心運動定理,3.7 質點的角動量,3.8 角動量守恒定律,3.9 質點系的角動量,3.10 質心系中的角動量定理,前言,第三章 動量與角動量,55,前言,我們往往只關心過程中力的效果,力對時間和空間的積累效應。,力在時間上的積累效應:,平動,沖量,動量的改變,轉動,沖量矩,角動量的改變,力在空間上的積累效應,功,改變能量,牛頓定律是瞬時的規(guī)律。,在有些問題中,,如:碰撞(宏觀)、,(微觀),散射,56,3.1 沖量,動量,質點動量定理,定義:,力的沖量(impulse),質點的

22、動量(momentum),質點動量定理:,(微分形式),(積分形式),(theorem of momentum of a particle),57,平均沖力,例已知:一籃球質量m = 0.58kg,,求:籃球對地的平均沖力,解:,籃球到達地面的速率,從h=2.0m的高度下落,,到達地面后,,接觸地面時間 t = 0.019s。,速率反彈,,以同樣,58,船行“八面風”,59,分析:,60,3.2 質點系動量定理,為質點 i 受的合外力,,為質點 i 受質點 j 的內力,,為質點 i 的動量。,對質點 i :,對質點系:,由牛頓第三定律有:,(theorem of momentum of par

23、ticle system),61,所以有:,令,則有:,或,質點系動量定理(積分形式),用質點系動量定理處理問題可避開內力。,系統(tǒng)總動量由外力的沖量決定,與內力無關。,62,3.3動量守恒定律,這就是質點系的動量守恒定律。,即,幾點說明: 1.動量守恒定律是牛頓第三定律的必然推論。 2.動量定理及動量守恒定律只適用于慣性系。,質點系所受合外力為零時,,質點系的總動量,不隨時間改變。,(law of conservation of momentum),63,4.若某個方向上合外力為零,,5.當外力內力,6.動量守恒定律是比牛頓定律更普遍、更基本,則該方向上動,盡管總動量可能并不守恒。,量守恒,,

24、且作用時間極短時,(如碰撞),,可認為動量近似守恒。,的定律,,它在宏觀和微觀領域均適用。,7.用守恒定律作題,應注意分析 過程、系統(tǒng),切慣性系中均守恒。,3. 動量若在某一慣性系中守恒,,則在其它一,和條件。,64, 粘附 主體的質量增加(如滾雪球) 拋射 主體的質量減少(如火箭發(fā)射),低速(v c)情況下的兩類變質量問題:,下面僅以火箭飛行為例,討論變質量問題。,3.4變質量系統(tǒng)、火箭飛行原理 (自學書3.4節(jié)和本電子教案),這是相對論情形,,不在本節(jié)討論之列。,以隨速度改變 m = m(v),,情況下,,還有另一類變質量問題是在高速(v c),這時即使沒有粘附和拋射,質量也可,65,條件

25、:燃料相對箭體以恒速u噴出,初態(tài):系統(tǒng)質量 M,速度v (對地),動量 M v,一. 火箭不受外力情形(在自由空間飛行),1.火箭的速度,系統(tǒng): 火箭殼體 + 尚存燃料,總體過程:i (點火) f (燃料燒盡),先分析一微過程: t t +dt,末態(tài):噴出燃料后,噴出燃料的質量:dm = dM,,噴出燃料速度(對地): v u,66,火箭殼體 +尚存燃料的質量: M dm,系統(tǒng)動量: ( M dm)(v + d v) + dM(v u) ,火箭殼體 +尚存燃料的速度(對地):v + d v,由動量守恒,有 M v = dM(v - u) +( M dm)(v + d v ),經(jīng)整理得: Mdv

26、 = udM,速度公式:,67,引入火箭質量比:,得,提高 vf 的途徑: (1)提高 u(現(xiàn)可達 u = 4.1 km/s) (2)增大 N(單級火箭N 提得很高不合算),為有效提高N,采用多級火箭(如2級、3級),v = u1ln N1+ u2ln N2+ u3ln N3,資料:長征三號(3級大型運載火箭) 全長:43.25m, 最大直徑:3.35m, 起飛質量:202噸,起飛推力:280噸力。,68,t +dt時刻:速度 v u, 動量dm(v u),由動量定理,dt內噴出氣體所受沖量,2.火箭所受的反推力,研究對象:噴出氣體 dm,t 時刻:速度v (和主體速度相同),,動量 vdm,

27、F箭對氣dt = dm(v u) vdm = F氣對箭dt,由此得火箭所受燃氣的反推力為,69,二. 重力場中的火箭發(fā)射,可得 t 時刻火箭的速度(自己推導):,忽略地面附近重力加速度 g 的變化,,Mt : t 時刻火箭殼和尚余燃料的質量,70,3.5質心(center of mass),一. 質心的概念和質心位置的確定,定義質心 C 的位矢為:,質心位置是質點位置以,質量為權重的平均值。,為便于研究質點系總體運動,引入質心概念。,71,二.幾種系統(tǒng)的質心, 兩質點系統(tǒng),m1 r1 = m2 r2, 連續(xù)體,72, “小線度”物體的質心和重心是重合的,例如圖示,,C,xC,求挖掉小圓盤后系統(tǒng)

28、的質心坐標。,由對稱性分析,質心C應在x軸上。,解:,令 為質量的面密度,則,質心坐標為:,73,3.6質心運動定理 (theorem of motion of center of mass),一. 質心運動定理,即質點系的總動量,是質點系的“平均”速度,74,由, 質心運動定理,有,球往哪邊移動?,該質點集中了整個質點系的質量和所受,質心的運動如同一個在質心位置處的質點的,運動,,的外力。,實際上是物體質心的運動。,在質點力學中所謂“物體”的運動,,思考,75,系統(tǒng)內力不會影響質心的運動,, 在光滑水平面上滑動,的扳手,, 做跳馬落地動作的運,動員盡管在翻轉,但, 爆炸的焰火彈雖然碎片四散,

29、,但其質心仍在做拋物線運動,其質心仍做拋物線運動,例如:,其質心做勻,速直線運動,76,若合外力為零,,二 . 動量守恒與質心的運動,質點系動量守恒,若合外力分量為0,,質點系分動量守恒,質點系動量守恒和質心勻速運動等價!,相應的質心分速度不變,77,1. 質心系,質心系是固結在質心上的平動參考系。,質心系不一定是慣性系。,質點系的復雜運動通??煞纸鉃椋?在質心系中考察質點系的運動,討論天體運動及碰撞等問題時常用到質心系。,質點系整體隨質心的運動,各質點相對于質心的運動 ,78,2.質心系的基本特征,質心系是零動量參考系。,質心系中看兩粒子碰撞,等值、反向的動量。,兩質點系統(tǒng)在其,質心系中,,

30、總是具有,79,3.7 質點的角動量 (angular momentum of a particle),一. 質點的角動量,角動量是質點運動中的一個重要的物理量,,在物理學的許多領域都有著十分重要的應用。,質點m對慣性系中的固,定點O的角動量定義為:,單位:kg m2/s,大?。?方向:,決定的平面(右螺旋),80,質點作勻速率圓周運動時,,對圓心的角動量的大小為,方向圓面不變。,L = mvR,,同一質點的同一運動,其角動量卻可以隨固,定點的不同而改變。,例如:,方向變化,方向豎直向上不變,81,二. 質點的角動量定理,力矩,由,有:,定義力對定點 O 的力矩 (moment of forc

31、e) 為:,稱力臂,82,于是有, 質點角動量定理,或,積分,質點角動量定理,稱沖量矩,力矩對時間的積累作用,(積分形式),(微分形式),83,例 錐擺的角動量,對O點:,合力矩不為零,角動量變化。,對O點:,合力矩為零,角動量大小、方向都不變。,(合力不為零,動量改變?。?84,三. 質點對軸的角動量,1. 力對軸的力矩,把對O點的力矩向過O,點的軸(如 z 軸)投影:,力對軸的力矩。,85,2.質點對軸的角動量, 質點對軸的角動量,3.對軸的角動量定理,即, 質點對軸的 角動量定理,86, 質點角動量,(1) mv r sin = const.,,(2)軌道在同一平面內。,守恒定律,87,

32、角動量守恒定律可導出行星運動的開普勒第二定律:,(書161頁例3.16), 質點對軸的角 動量守恒定律,角動量守恒定律是物理學的基本定律之一,,它不僅適用于宏觀體系,,也適用于微觀體系,,而且在高速低速范圍均適用。,離心節(jié)速器 (KL014),88, 星云具有盤形結構:,pc 秒差距,1pc = 3.0861016m,旋轉的星云,89,星球所需向心力:,星球具有原始角動量,引力不能再使 r 減小 。,可以在引力作用下不斷收縮。,粗略的解釋:,引力使r到一定程度,r 就不變了,,但在z 軸方向卻無此限制,,可近似認為引力:,90,3.9 質點系的角動量,質點系的角動量,(自己證), 質點系角動量

33、定理,于是有:,91,質點系角動量守恒定律,質點系角動量守恒和動量守恒是否相互獨立?,思考, 脈沖星的角動量守恒,92,星體不被慣性離心力甩散,必須滿足條件:,如此推算,脈沖星的 超過了白矮星密度。,這說明,脈沖星是高速旋轉的中子星。,93,例,一長為l 的輕質桿端部固結一小球m1 ,,碰撞時重力和軸力都通過O,,解:,選m1(含桿)+ m2為系統(tǒng),另一小球m2以水平速度v0碰桿中部并與桿粘合。,求:碰撞后桿的角速度,對O 力矩為零,故角動量守恒。,解得:,有,94,O系為慣性系,O 是慣性系中的一個定點,C 是質心兼質心坐標系原點,對質心,對O點,C 對O,3.10 質心系中的角動量定理,一

34、. 質心系中的角動量,利用關系:,可以證明(自己推導):,95,二. 質點系對質心的角動量定理:, 質心系中質點對質心的角動量定理,即有,96,這再次顯示了質心,盡管質心系可能不是慣性系,,但對質心來,說,角動量定理仍然成立。,的特殊之處,和選擇質心系來討論問題的優(yōu)點。,若質心系是非慣性系,,則外力矩中應包括,慣性力對質心的力矩:,設質心加速度為,則有,這正是即使質心系為非慣性系,但質點系對,質心的角動量仍能滿足角動量定理的原因。,97,第三章結束,小結:動量與角動量的比較,角動量,矢量,與固定點有關,與內力矩無關,守恒條件,動量,矢量,與內力無關,守恒條件,與固定點無關,98,4.1 功,4

35、.2 動能定理,4.3 一對力的功,4.4 保守力,4.5 勢能(書4.5,4.6,4.7節(jié)),4.6 由勢能求保守力(書4.8節(jié)),4.7 功能原理,機械能守恒定律(書4.9節(jié)),4.8 守恒定律的意義(書4.10節(jié)),4.9 碰撞(書4.11節(jié)),4.10 質心系中的功能關系,4.11 兩體問題(書4.12節(jié)),前言,第四章 功和能,99,前 言,機械能守恒定律。, 功的計算是否依賴參考系? 勢能是否與參考系的選擇有關? 機械能守恒是否與慣性系的選擇有關? 摩擦生熱是否與參考系選擇有關?,本章討論力對空間的積累效應, 功、,動能、,勢能、,動能定理、,要求:,1.深入理解以上概念,,搞清它

36、們是屬于質點、,還是屬于系統(tǒng)?,與參考系的選擇有無關系?,2.搞清規(guī)律的內容、,來源、,對象、,適用條件、,與參考系的關系等。,如:,100, 4.1 功(work),功:力和力所作用的質點(或質元)的位移的, 功依賴于參考系;,標量積。, 功是標量,有正、負之分。,101,4.2 動能定理(kinetic energy theorem), 對質點,由牛頓第二定律,有動能定理:, 動能,(對慣性系), 對質點系,有動能定理:,(各質點位移不一定相同)。,注意:,內力雖成對出現(xiàn),,但內力功的和不一定,為零,102,4.3 一對力的功,一. 一對力:,m2相對m1 的元位移。,分別作用在兩個物體上

37、的大小相等、,它們通常是作用力與反作用力,,但也可不是。,方向相反的力。,二. 一對力的功,103,(1)表示初位形,即 m1在A1,m2在A2;,(2)表示末位形,即 m1在B1,m2在B2 。,況下,,1.W對 與參考系選取無關。,說明:,2.一對滑動摩擦力的功恒小于零。,(摩擦生熱是一對滑動摩擦力作功的結果),3.在無相對位移或相對位移與一對力垂直的情,一對力的功必為零。,104,例如:,105,4.4 保守力(conservative force),一. 定義,則這樣的力稱為保守力。,若 為保守力,,如果一對力的功與相對移動的路徑無關,,而只決定于相互作用物體的始末相對位置,,則:,(

38、此式也可作為保守力的定義),106,二. 幾種保守力,1.萬有引力,任何中心力 都是保守力。,107,2. 彈力,一維運動時,x 對自然長度的增加量, k 彈簧的勁度(stiffness)。,3. 重力,重力并不是地球表面附近的萬有引力。,三. 非保守力 作功與路徑有關的力稱為非保守力。 例如: 摩擦力(耗散力): 一對滑動摩擦力作功恒為負; 爆炸力:作功為正。,108,4.5 勢能(potential energy),利用保守力的功與路徑無關的特點,可引入,一. 系統(tǒng)的勢能 Ep,其勢能的減少(增量的負值)等于保守內力的功。,若規(guī)定系統(tǒng)在位形(0)的勢能為零, 則:,“勢能” 的概念。,定義

39、:,系統(tǒng)由位形(1)變到位形(2)的過程中,,109,說明:,能零點的選擇與參考系的選擇相混淆。,二. 幾種勢能,1.萬有引力勢能,令,有,則 C = 0,,1.勢能屬于相互作用的系統(tǒng);,2.勢能不依賴于參考系的選擇,,不要將勢,110,2.重力勢能,令,3.彈性勢能,令,有,有,111,4.6 由勢能求保守力,一. 由勢能函數(shù)求保守力,所以有,112,通常 EP 可以是幾個坐標的函數(shù),,若,則有:, EP 的梯度(gradient),此時有:,113,二 . 由勢能曲線求保守力,例:雙原子分子勢能曲線,是引力。,是斥力。,則有,引入算符,114,4.7 功能原理,機械能守恒定律,一. 功能原

40、理(work-energy theorem),對質點系有:,引入系統(tǒng)的機械能,(積分形式),(微分形式),115,二. 機械能守恒定律 ( law of conservation of mechanical energy),在只有保守內力作功時,系統(tǒng)的機械能不變。,即, 機械能守恒定律,顯然,孤立的保守系統(tǒng)機械能守恒。,即,116,如果考慮各種物理現(xiàn)象,計及各種能量, 則 一個孤立系統(tǒng)不管經(jīng)歷何種變化, 系統(tǒng)所有能量的總和保持不變。 普遍的能量守恒定律,三. 普遍的能量守恒定律,機械運動范圍內的體現(xiàn)。,機械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在,保守內力作功是系統(tǒng)勢能與動能相互轉,化的手段和度量。,

41、117,四.守恒定律聯(lián)合應用舉例,例1,已知:m = 0.2kg, M=2kg, v = 4.9m/s 。,求:hmax = ?,解:,m + M + 地球:,W外= 0,W內非 = 0 ,,當 h= h max 時,M 與 m有相同的水平速度 。,取地面 Ep = 0,有:,故機械能守恒。,118,分析結果的合理性:, 量綱對。,代入數(shù)據(jù):,正確。,m + M:,水平方向F外= 0,故水平方向,mv =(m+M)V,(2),動量守恒,119,例2分析蕩秋千原理:,m 表示人的質心, 12:人迅速蹲下,使有效,擺長 由l 變?yōu)閘 ;, 23:對(人+地球)系統(tǒng),,(1),角動量守恒:,(2),

42、 45:對(人+地球)系統(tǒng),機械能守恒:,(3),只有重力作功,機械能守恒:,120,(1)、(2)、(3)聯(lián)立解得:,人越擺越高,能量從哪兒來?,即人越擺越高。,錐體上滾 (KL003),121,4.8 守恒定律的意義,第一,從方法論上看:,自然界中許多物理量,如動量、,角動量、,機械能、,電荷、,質量等等,,都具有相應的守恒定律。,利用守恒定律研究問題,,低速均適用。,而對系統(tǒng)始、末態(tài)下結論,可避開過程的細節(jié),,(特點、優(yōu)點)。,第二,從適用性來看:,守恒定律適用范圍廣,,宏觀、,微觀、,高速、,物理學特別注意對守恒量和守恒定律的研究,,這是因為:,122,第三,從認識世界來看:,守恒定律

43、是認識世界的很有力的武器。 在新現(xiàn)象研究中,若發(fā)現(xiàn)某守恒定律不成立, 則往往做以下考慮: (1)尋找被忽略的因素,從而使守恒定律成立, 如中微子的發(fā)現(xiàn)。 (2)引入新概念,使守恒定律更普遍化(補救)。 (3)當無法補救時,則宣布該守恒定律不成立, 如弱相互作用宇稱(parity)不守恒。,123,不論哪種情況,都是對自然界的認識上了新,都能對人類認識自然起到巨大的推動作用。,第四,從本質上看: 守恒定律揭示了自然界普遍的屬性對稱性。,臺階。,因此守恒定律的發(fā)現(xiàn)、,推廣、,甚至否定,,對稱 在某種“變換”下的不變性。 每一個守恒定律都相應于一種對稱性: 動量守恒相應于空間平移的對稱性; 能量守恒

44、相應于時間平移的對稱性; 角動量守恒相應于空間轉動的對稱性;,124, 4.9 碰撞(Collision)(書4.11節(jié)),碰撞)等規(guī)律對問題求解。,碰撞過程一般都十分復雜,難于對過程的,細節(jié)進行分析。,但是通常我們只關心物體在,碰撞前后運動狀態(tài)的變化,,而在碰撞中相對于,內力(往往是沖擊力)來說,,外力又往往可以,忽略。,因而碰撞中我們就可以利用動量守恒、,角動量守恒,和碰撞前后總動能不變(對彈性,書上的例題要認真閱讀。,125,4.10 質心系中的功能關系,S(慣性系):,S(質心系):,126,可以證明,質心系中功能原理仍然成立:,二. 質心系中的功能原理,(積分形式),(微分形式),

45、克尼希定理,所以,127,C,S系 :,(內力成對出現(xiàn)),證明,S 系:,(1),(2),(2),(1),128,質心系中的功能原理成立,也可以簡單地,做如下的證明:,若質心系是慣性系,則功能原理必然成立。,若質心系是非慣性系,則還需考慮慣性力的功。,即:,設質心加速度為,則,于是有,129,質心系中機械能守恒定律:,守恒定律都與慣性系中形式相同。,三. 質心系中兩質點系統(tǒng)的動能,慣性系 S:,不管質心系是否為慣性系,,功能原理和機械能,130,質心系S :,= ,令, 相對速度, 約化質量(reduced mass),則有,131,若,則,例如對物體(m) 地球(Me)系統(tǒng):,Me m,,地

46、球 物體質心系中,地球和物體總動能為:,地球動能的道理。, = m,,此即地心系中物體的動能,,這就是我們討論,地球 物體系統(tǒng)的能量問題時,,可以不考慮,132,例,k為常量。,已知:質子間相互作用電勢能為,求:二者能達到的最近距離 rmin,解:,分別以速率v0 和 2v0 相向運動。,勢能之和守恒(忽略萬有引力) 。,能轉化為靜電勢能。,(在實驗室系如何?),兩個質子從相距很遠處,兩質子間只有保守內力作用,,動能和靜電,在質心系中兩質子達到最近距離時,,全部動,133,4.11 兩體問題,兩物體在相互作用下的運動問題稱兩體問題,,這類問題可簡化為單體問題處理。,如: 粒子被原子核散射,,設

47、質點間的作用力為中心力,,(1),(2),行星繞太陽運動等。,134,(3),這里固結于 m2 的平動參考系雖然不是慣性系, 但只 要將m1用代替,則牛頓第二定律就適用。,在中心力作用下質點 m1 相對于 m2 的運動,,135,在兩體問題中,,前面10的例題中,也可按二體問題處理:,選其中的一個質子為原點,,這和在質心系中的能量守恒方程完全一致。,第四章結束,故動量和能量的定理也都適用。,由于把另一質點的質量改為約化質量,則能量守恒關系為,參考系來說,,對固結于其中一個質點的平動,時牛頓定律成立,,136,質點力學小結提綱,一. 質點力學線索框圖(見下頁),二. 解題的基本方法與步驟 1.

48、用牛頓定律解題 2. 用功能、動量、角動量及守恒定律解題,三. 總結自己在哪些方面、哪些問題上較中學有,四. 專題小結(例如慣性力、角動量、質心系),對參考系的依賴關系。,要搞清各規(guī)律的內容、,來源、,適用對象、,成立條件、,所提高。,137,牛,系,質點,牛,牛,質點,牛,系,牛,系,138,5.1 剛體的運動,5.2 剛體的定軸轉動定律,5.3 轉動慣量的計算,5.4 轉動定律應用舉例,5.5 定軸轉動中的功能關系,5.6 剛體定軸轉動的角動量守恒定律,5.7 旋進,第五章 剛體定軸轉動,139,由于彈性,力在連續(xù)體內傳播需要一定時間:,5.1 剛體的運動,一. 剛體(rigid body

49、)的概念,t,固體中彈性波的速度,(k勁度),若 v ,則 k ,,此時物體有無限的剛性,,它受作用力不會變形,因而可以瞬時傳遞力。,我們把這種不能變形的物體稱為剛體。,140,顯然,剛體是個理想化的模型,,而且考慮到剛體的特點,規(guī)律的表示還可較一,剛體是特殊的質點系,,其上各質點間的相對,位置保持不變。,質點系的規(guī)律都可用于剛體,,般的質點系有所簡化。,通常v固體 103m/s,,所以只要我們討論的運動,過程的速度比此慢得多,,就可把固體視為剛體。,實際的意義。,但是它有,141,的直線在運動各個時刻的位置都彼此平行。,二 . 剛體的運動形式,1.平動(translation):,剛體做平動

50、時,可用質心或其上任何一,平動是剛體的基本運動形式之一。,2.轉動(rotation):,轉動也是剛體的基本運動形式之一, 它又可分為定軸轉動和定點轉動。,連接剛體內任意兩點,點的運動來代表整體的運動。,142, 定軸轉動:,且各圓心都在同一條固定的直線(轉軸)上。, 定點轉動:,整個剛體繞過該定點的某一瞬時軸線轉動。,3.平面運動:,剛體上各點的運動都平行于某一,4.一般運動:,剛體不受任何限制的的任意運動。,它可分解為以下兩種剛體的基本運動:, 隨基點O(可任選)的平動, 繞通過基點O的瞬時軸的定點轉動,運動中各質元均做圓周運動,,運動中剛體上只有一點固定不動,,固定平面的運動。,143,

51、轉動與基點的選取無關。,兩種分解,基點選取不同,,例如:,平動可以不同,,動力學中,常選質心為基點。,三 . 剛體轉動的描述(運動學問題),1.定點轉動(rotation about a fixed point),(1)角量的描述,為反映瞬時軸的方向及剛體轉動的快慢,轉動卻相同,,或,和轉向,引入角速度矢量,144,與轉向成右螺旋關系。,(不一定沿著瞬時軸),的方向沿瞬時軸,,為反映 的變化情況,引入角加速度矢量 。,145,(2)線量和角量的關系,2.定軸轉動(rotation about a fixed axis),轉軸固定,,146,147,5.2 剛體的定軸轉動定律,把剛體看作無限多質元構成的質點系。,令,148,則,即,轉動定律,其中,定軸情況下,可不寫下標 z ,,與牛頓第二定律相比,有:,M 相應F ,,J 相應 m ,, 相應 a 。,記作:,149,5.3 轉動慣量的計算,J

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