2011年高中數(shù)學 第一章 分段函數(shù)及映射課件 新人教A版必修1.ppt

1、函數(shù)的表示法(二)映射,實例分析,.集合全班同學，集合（全班同學的姓，對應關系是：集合中的每一個同學在集合中都有一個屬于自己的姓.,.集合中國，美國，英國，日本，北京，東京，華盛頓，倫敦，對應關系是：對于集合中的每一個國家，在集合中都有一個首都與它對應.,.設集合,， 集合，,對應關系是：集合中的每一個數(shù)，在集合中都有一個其對應的平方數(shù).,探索研究,三個對應的共同特點：,（）第一個集合中的每一個元素在第二個集合中都有對應元素；,（）對于第一個集合中的每一個元素在 第二個集 合中的對應元素是唯一的.,映射定義：,設A、B是兩個非空的集合，如果 按某一個確定的對應法則f，使對于集合A中 的任意一個

2、元素x，在集合B中都有唯一確定 的元素y與之對應，那么就稱對應f：A,為從集合A到集合B的一個映射（mapping） 記作“f：A,1.映射的概念,中的元素x稱為原象，,中的對應元素y稱為x的象，,映射三要素：,兩個集合，一種對應關系,2.對映射的理解,（1）映射具有方向性；,（2）對映射f:A B來說,應滿足：,集合A中的每一個元素在集合B中都有象，并且是唯一的；,集合A中的不同元素在集合B中的象可以是同一個；,不要求集合B 中的每一個元素在集合A中都有原象；,從對應形式上來說可以是多對一、一對一，但不能是一對多。,3.函數(shù)與映射的區(qū)別和聯(lián)系,（1）相同點：,函數(shù)與映射分別都有三要素,對應關

3、系都具有方向性,對應關系f:A B中，A中元素都具有任意性，B中元素都具有唯一性,函數(shù)與映射中的兩個集合都是非空的,（2）區(qū)別：,函數(shù)中兩個集合是非空數(shù)集，而映射中兩個集合的元素是任意的,（3）聯(lián)系：,函數(shù)是一種特殊的映射，映射是函數(shù)的擴展,是一種特殊的映射，具備兩個條件：,1.中的不同元素的象也不同,2.中的每一個元素都有原象,一一映射：,知識應用,1. 已知集合Axx0，xR，BR，對應法則是“取負倒數(shù)”(1) 畫圖表示從集合A到集合B的對應（在集合A中任取四個元素）；(2) 判斷這個對應是否為從集合A到集合B的映射；是否為一一映射？(3) 元素2的象是什么？3的原象是什么？(4) 能不能

4、構成以集合B到集合A的映射？,2. 點(x，y)在映射f下的象是(2xy，2xy)， (1 )求點（，）在映射f下的像； （）求點(4，6)在映射f下的原象.,知識應用,(1)點(2,3)在映射f下的像是(1,7); (2)點（4，6）在映射f下的原象是（5/2，1）,問題探究,（1）試建立一個由A到B的映射；,（2）由A到B的映射共有多少個？,結論：若集合A中有m個元素，若集合B中有n個元素,那么由A到B的映射共有nm個.,學點一,學點二,學點三,學點四,1.在定義域內，對于自變量x的不同取值區(qū)間，有不同的對應法則，這樣的函數(shù)叫 . 2.分段函數(shù)的定義域是各段定義域的 ，其值域是各段值域的

5、.,分段函數(shù),并集,并集,已知函數(shù) （1）畫出函數(shù)的圖象； （2）根據(jù)已知條件分別求f(1),f(-3),ff(-3),fff(-3)的值.,【分析】給出的函數(shù)是分段函數(shù)，應注意在不同的范圍上用不同的關系式. （1）函數(shù)f(x)在不同區(qū)間上的關系都是常見的基本初等函數(shù)關系，因而可利用常見函數(shù)的圖象作圖. （2）根據(jù)自變量的值所在的區(qū)間，選用相應的關系式求函數(shù)值.,【解析】（1）分別畫出y=x2(x0),y=1(x=0),y=0(x0)的圖象，即得所求函數(shù)的圖象如圖所示. （2）f(1)=12=1, f(-3)=0, ff(-3)=f(0)=1, fff(-3)=ff(0)=f(1)=12=1.

6、,【評析】分段函數(shù)的對應關系是借助于幾個不同的表達式來表示的，處理分段函數(shù)的問題時，首先要確定自變量的數(shù)值屬于哪一個區(qū)間，從而選相應的對應關系.對于分段函數(shù)，各個分段的“端點”要注意處理好.,已知函數(shù)f(x)的解析式為： （1）求 的值； （2）畫出這個函數(shù)的圖象； （3）求f(x)的最大值.,（2）如圖，在函數(shù)y=3x+5圖象上截取x0的部分，在函數(shù)y=x+5圖象上截取01的部分.圖中實線組成的圖形就是函數(shù)f(x)的圖象.,（3）由函數(shù)圖象可知,當x=1時，f(x)的最大值為6.,學點二 分段函數(shù)的求值問題,【分析】求分段函數(shù)的函數(shù)值時，一般先確定自變量的取值在定義域的哪個子區(qū)間，然后用與這

7、個區(qū)間相對應的對應關系來求函數(shù)值.,已知 求fff(3),【評析】解決此類問題應自內向外依次求值.,【解析】32,+), f(3)=32-43=-3. -3(-,-2, ff(3)=f(-3)= (-3)= . (-2,2), fff(3)=f( )=.,已知函數(shù) （1）求 （2）若f(a)=3,求a的值； （3）求f(x)的定義域與值域.,（1） （2）f(a)=3, 當a-1時,a+2=3,a=1-1（舍去）， 當-1a2時，2a=3,a= (-1,2),當a2時， a2=3,a= 2, 綜上知,當f(a)=3時，a= 或a= . （3）f(x)的定義域為(-,-1(-1,2)2,+)=R

8、. 當x-1時,f(x)(-,1; 當-1x2時,f(x)(-2,4); 當x2時，f(x)2,+). (-,1(-2,4)2,+)=R,f(x)的值域為R.,學點三 分段函數(shù)的解析式,如圖所示，等腰梯形ABCD的兩底分別為AD=2,BC=1,BAD=45,直線MNAD交AD于M,交折線ABCD于N,記AM=x，試將梯形ABCD位于直線MN左側的面積y表示為x的函數(shù),并寫出函數(shù)的定義域和值域.,【分析】求函數(shù)解析式是解決其他問題的關鍵,根據(jù)題意,此題應對N分別在AB，BC，CD三段上分三種情況寫出函數(shù)的解析式.,【評析】分段函數(shù)的定義域是各部分x的取值范圍的并集,值 域也是y在各部分值的取值范

9、圍的并集,因此,函數(shù)的解析式、定義域、值域通常是逐段求解,最后綜合求出.,所求函數(shù)的關系式為 函數(shù)的定義域為0,2,值域為0, ,如圖所示,在邊長為4的正方形ABCD的邊上有一點P,沿著折線BCDA由點B(起點)向點A(終點)運動.設點P運動的路程為x,ABP的面積為y. (1)求y與x之間的函數(shù)關系式; (2)畫出y=f(x)的圖象.,(1)當P點在BC上，即0 x4時，SABP= 4x=2x; 當P點在CD上時， SABP= 44=8; 當P點在AD上時， SABP= 4(12-x).,（2）畫出y=f(x)的圖象，如右圖所示.,所求的函數(shù)關系式為,A,B兩地相距150公里,某汽車以每小時

10、50公里的速度從A地運行到B地,在B地停留2小時之后,又以每小時60公里的速度返回A地,寫出該車離開A地的距離s(公里)與時間t(小時)的函數(shù)關系.,【解析】由50t1=150得t1=3, 由60t2=150得t2= , 當0t3時，s=50t; 當3t5時，s=150; 當5t7.5時，s=150-60(t-5)=450-60t. 所求函數(shù)關系式為,學點四 分段函數(shù)的應用問題,【分析】因行駛速度不一樣，故S與t的關系需用分段函 數(shù)表示.,【評析】解決數(shù)學應用題的一般步驟：首先要在閱讀材料、理解題意的基礎上，把實際問題抽象成數(shù)學問題，經(jīng)過去粗取精，利用數(shù)學知識建立相應的數(shù)學模型，再利用數(shù)學知識

11、對數(shù)學模型進行分析、研究，得出數(shù)學結論，最后把數(shù)學結論（結果）返回到實際問題中.,某汽車以52 km/h的速度從A地運行到260 km遠處的B地，在B地停留面1.5 h后，再以65 km/h的速度返回A地.試將汽車離開A地后行走的路程S表示為時間t的函數(shù).,因為行駛速度不一樣，可考慮分段表示, 26052=5(h),26065=4(h).,所以,1.怎樣正確地理解分段函數(shù)？ 對于自變量x的不同取值區(qū)間，有著不同的對應法則的函數(shù)，稱為分段函數(shù)，不能認為它是幾個函數(shù)，它只是一個函數(shù)的表達式，只是在表達形式上同以前學過的函數(shù)不同，在表示時，用“”表示出各段解析式關系.,2.如何加強對分段函數(shù)的認識？

12、 首先對分段函數(shù)的定義要理解并掌握，其次從簡單的分段函數(shù)入手多認識、多識記. 教材中通過例題的形式給出了“分段函數(shù)”的概念，從而說明：對于一個函數(shù)來說，對應法則可以由一個解析式來表示，也可以由幾個解析式來表示；用圖象表示時，既可以是一條平滑的曲線，也可以是一些點、一段曲線、幾條曲線等.,1.分段函數(shù)的圖象是一些線段或曲線段構成的，定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集. 2.各段不一定等長.,分段函數(shù)及映射,1所謂“分段函數(shù)”，習慣上指在定義域的不同部分，有,不同的_的函數(shù),解析式,0,4由映射的定義可以看出，映射是_概念的推廣，函 數(shù)是一種特殊的映射，要注意構成函數(shù)的兩個集合 A、B

13、 必須是,_,函數(shù),非空集合,5在映射 f：AB 中，AB(x，y)|x、yR，且 f：(x, y) (xy，xy)，則與 A 中的元素(1,2)對應的 B 中的元素為 _,(3,1),3設 A、B 是兩個非空集合，如果按照某種對應關系 f，使 對于集合 A 中的任意一個元素 x，在集合 B 中_確定 的元素 y 與之對應，那么就稱對應 f：AB 為從集合 A 到集合 B,的_,都有唯一,一一映射,重點,分段函數(shù),(1)分段函數(shù)的表達式因其特點可以分成兩個或兩個以上的 不同表達式，所以它的圖象是由幾個部分組成的總體(有的可以 是一些孤立的點) (2)求分段函數(shù)的函數(shù)值時，關鍵是看自變量的取值屬

14、于哪 一段，就用哪一段的解析式； (3)分段函數(shù)是一個函數(shù)，而不是幾個，各段定義域的并集 即為分段函數(shù)的定義域，各段值域的并集，即為分段函數(shù)的值 域,難點,理解映射概念時要注意的幾點,(1)映射是函數(shù)的一種推廣，兩個集合 A、B，它們可以是數(shù) 集，也可以是點集或其他集合； (2)集合 A、B 及對應關系 f 是確定的，是一個系統(tǒng)； (3)集合 A 中的每一個元素，在集合 B 中都有唯一的元素和 它對應； (4)集合 A 中的不同的元素，在集合 B 中對應的元素可以是 同一個，即可以多個元素對應一個元素，但不能一個元素對應 多個元素； (5)集合 B 中的元素在集合 A 中可以沒有對應的，即集合

15、 B 中可以有“剩余”的元素,分段函數(shù)及其應用,例 1：如圖 1，一動點 P 自邊長為 1 的正方形 ABCD 的頂,圖 1,點A 出發(fā)，沿正方形的邊界逆時針運動一周，再回到 A 點若點 P運動的路程為 x，點 P 到頂點 A 的距離為 y，求 A、P 兩點間的距離 y 與點 P 運動的路程 x 之間的函數(shù)關系式,思維突破：利用數(shù)學知識建立相應的數(shù)學模型，求目標函 數(shù)解析式本題需要對點 P 的位置分類討論，確定 y 與 x 之間 的函數(shù)關系,解決數(shù)學應用題的一般程序：首先要在閱讀 材料、理解題意的基礎上，把實際問題抽象成數(shù)學問題，建立 相應的數(shù)學模型，對其進行分析、研究，得出數(shù)學結論，最后 把

16、數(shù)學結論(結果)返回到實際問題中,11.如圖 2，根據(jù)函數(shù) f(x)的圖象寫出它的解析式,圖 2,12.如圖 3，在邊長為 4 的正方形 ABCD 的邊上有一點 P， 沿著折線 BCDA 由 B 點(起點)向 A 點(終點)移動，設 P 點移動的 路程為x，ABP 的面積為 ，求 ABP 的面積與 P 點移動的路 程間的函數(shù)關系,圖 3,映射問題,例 2：圖 4 建立了集合 P 中元素與集合 M 中元素的對應 f，,其中為映射的對應是哪幾個？為什么？,圖 4,思維突破：依映射定義判斷,(1)判斷一個對應 AB 是否為映射，主要的 依據(jù)是：集合 A 中的元素是否在集合 B 中都有元素與之對應； 集