2011年高中數(shù)學(xué) 第一章 分段函數(shù)及映射課件 新人教A版必修1.ppt

1、函數(shù)的表示法(二)映射,實(shí)例分析,.集合全班同學(xué)，集合（全班同學(xué)的姓，對(duì)應(yīng)關(guān)系是：集合中的每一個(gè)同學(xué)在集合中都有一個(gè)屬于自己的姓.,.集合中國(guó)，美國(guó)，英國(guó)，日本，北京，東京，華盛頓，倫敦，對(duì)應(yīng)關(guān)系是：對(duì)于集合中的每一個(gè)國(guó)家，在集合中都有一個(gè)首都與它對(duì)應(yīng).,.設(shè)集合,， 集合，,對(duì)應(yīng)關(guān)系是：集合中的每一個(gè)數(shù)，在集合中都有一個(gè)其對(duì)應(yīng)的平方數(shù).,探索研究,三個(gè)對(duì)應(yīng)的共同特點(diǎn)：,（）第一個(gè)集合中的每一個(gè)元素在第二個(gè)集合中都有對(duì)應(yīng)元素；,（）對(duì)于第一個(gè)集合中的每一個(gè)元素在 第二個(gè)集 合中的對(duì)應(yīng)元素是唯一的.,映射定義：,設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合，如果 按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則f，使對(duì)于集合A中 的任意一個(gè)

2、元素x，在集合B中都有唯一確定 的元素y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)對(duì)應(yīng)f：A,為從集合A到集合B的一個(gè)映射（mapping） 記作“f：A,1.映射的概念,中的元素x稱(chēng)為原象，,中的對(duì)應(yīng)元素y稱(chēng)為x的象，,映射三要素：,兩個(gè)集合，一種對(duì)應(yīng)關(guān)系,2.對(duì)映射的理解,（1）映射具有方向性；,（2）對(duì)映射f:A B來(lái)說(shuō),應(yīng)滿足：,集合A中的每一個(gè)元素在集合B中都有象，并且是唯一的；,集合A中的不同元素在集合B中的象可以是同一個(gè)；,不要求集合B 中的每一個(gè)元素在集合A中都有原象；,從對(duì)應(yīng)形式上來(lái)說(shuō)可以是多對(duì)一、一對(duì)一，但不能是一對(duì)多。,3.函數(shù)與映射的區(qū)別和聯(lián)系,（1）相同點(diǎn)：,函數(shù)與映射分別都有三要素,對(duì)應(yīng)關(guān)

3、系都具有方向性,對(duì)應(yīng)關(guān)系f:A B中，A中元素都具有任意性，B中元素都具有唯一性,函數(shù)與映射中的兩個(gè)集合都是非空的,（2）區(qū)別：,函數(shù)中兩個(gè)集合是非空數(shù)集，而映射中兩個(gè)集合的元素是任意的,（3）聯(lián)系：,函數(shù)是一種特殊的映射，映射是函數(shù)的擴(kuò)展,是一種特殊的映射，具備兩個(gè)條件：,1.中的不同元素的象也不同,2.中的每一個(gè)元素都有原象,一一映射：,知識(shí)應(yīng)用,1. 已知集合Axx0，xR，BR，對(duì)應(yīng)法則是“取負(fù)倒數(shù)”(1) 畫(huà)圖表示從集合A到集合B的對(duì)應(yīng)（在集合A中任取四個(gè)元素）；(2) 判斷這個(gè)對(duì)應(yīng)是否為從集合A到集合B的映射；是否為一一映射？(3) 元素2的象是什么？3的原象是什么？(4) 能不能

4、構(gòu)成以集合B到集合A的映射？,2. 點(diǎn)(x，y)在映射f下的象是(2xy，2xy)， (1 )求點(diǎn)（，）在映射f下的像； （）求點(diǎn)(4，6)在映射f下的原象.,知識(shí)應(yīng)用,(1)點(diǎn)(2,3)在映射f下的像是(1,7); (2)點(diǎn)（4，6）在映射f下的原象是（5/2，1）,問(wèn)題探究,（1）試建立一個(gè)由A到B的映射；,（2）由A到B的映射共有多少個(gè)？,結(jié)論：若集合A中有m個(gè)元素，若集合B中有n個(gè)元素,那么由A到B的映射共有nm個(gè).,學(xué)點(diǎn)一,學(xué)點(diǎn)二,學(xué)點(diǎn)三,學(xué)點(diǎn)四,1.在定義域內(nèi)，對(duì)于自變量x的不同取值區(qū)間，有不同的對(duì)應(yīng)法則，這樣的函數(shù)叫 . 2.分段函數(shù)的定義域是各段定義域的 ，其值域是各段值域的

5、.,分段函數(shù),并集,并集,已知函數(shù) （1）畫(huà)出函數(shù)的圖象； （2）根據(jù)已知條件分別求f(1),f(-3),ff(-3),fff(-3)的值.,【分析】給出的函數(shù)是分段函數(shù)，應(yīng)注意在不同的范圍上用不同的關(guān)系式. （1）函數(shù)f(x)在不同區(qū)間上的關(guān)系都是常見(jiàn)的基本初等函數(shù)關(guān)系，因而可利用常見(jiàn)函數(shù)的圖象作圖. （2）根據(jù)自變量的值所在的區(qū)間，選用相應(yīng)的關(guān)系式求函數(shù)值.,【解析】（1）分別畫(huà)出y=x2(x0),y=1(x=0),y=0(x0)的圖象，即得所求函數(shù)的圖象如圖所示. （2）f(1)=12=1, f(-3)=0, ff(-3)=f(0)=1, fff(-3)=ff(0)=f(1)=12=1.

6、,【評(píng)析】分段函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系是借助于幾個(gè)不同的表達(dá)式來(lái)表示的，處理分段函數(shù)的問(wèn)題時(shí)，首先要確定自變量的數(shù)值屬于哪一個(gè)區(qū)間，從而選相應(yīng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.對(duì)于分段函數(shù)，各個(gè)分段的“端點(diǎn)”要注意處理好.,已知函數(shù)f(x)的解析式為： （1）求 的值； （2）畫(huà)出這個(gè)函數(shù)的圖象； （3）求f(x)的最大值.,（2）如圖，在函數(shù)y=3x+5圖象上截取x0的部分，在函數(shù)y=x+5圖象上截取01的部分.圖中實(shí)線組成的圖形就是函數(shù)f(x)的圖象.,（3）由函數(shù)圖象可知,當(dāng)x=1時(shí)，f(x)的最大值為6.,學(xué)點(diǎn)二 分段函數(shù)的求值問(wèn)題,【分析】求分段函數(shù)的函數(shù)值時(shí)，一般先確定自變量的取值在定義域的哪個(gè)子區(qū)間，然后用與這

7、個(gè)區(qū)間相對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)求函數(shù)值.,已知 求fff(3),【評(píng)析】解決此類(lèi)問(wèn)題應(yīng)自內(nèi)向外依次求值.,【解析】32,+), f(3)=32-43=-3. -3(-,-2, ff(3)=f(-3)= (-3)= . (-2,2), fff(3)=f( )=.,已知函數(shù) （1）求 （2）若f(a)=3,求a的值； （3）求f(x)的定義域與值域.,（1） （2）f(a)=3, 當(dāng)a-1時(shí),a+2=3,a=1-1（舍去）， 當(dāng)-1a2時(shí)，2a=3,a= (-1,2),當(dāng)a2時(shí)， a2=3,a= 2, 綜上知,當(dāng)f(a)=3時(shí)，a= 或a= . （3）f(x)的定義域?yàn)?-,-1(-1,2)2,+)=R

8、. 當(dāng)x-1時(shí),f(x)(-,1; 當(dāng)-1x2時(shí),f(x)(-2,4); 當(dāng)x2時(shí)，f(x)2,+). (-,1(-2,4)2,+)=R,f(x)的值域?yàn)镽.,學(xué)點(diǎn)三 分段函數(shù)的解析式,如圖所示，等腰梯形ABCD的兩底分別為AD=2,BC=1,BAD=45,直線MNAD交AD于M,交折線ABCD于N,記AM=x，試將梯形ABCD位于直線MN左側(cè)的面積y表示為x的函數(shù),并寫(xiě)出函數(shù)的定義域和值域.,【分析】求函數(shù)解析式是解決其他問(wèn)題的關(guān)鍵,根據(jù)題意,此題應(yīng)對(duì)N分別在AB，BC，CD三段上分三種情況寫(xiě)出函數(shù)的解析式.,【評(píng)析】分段函數(shù)的定義域是各部分x的取值范圍的并集,值 域也是y在各部分值的取值范

9、圍的并集,因此,函數(shù)的解析式、定義域、值域通常是逐段求解,最后綜合求出.,所求函數(shù)的關(guān)系式為 函數(shù)的定義域?yàn)?,2,值域?yàn)?, ,如圖所示,在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD的邊上有一點(diǎn)P,沿著折線BCDA由點(diǎn)B(起點(diǎn))向點(diǎn)A(終點(diǎn))運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x,ABP的面積為y. (1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式; (2)畫(huà)出y=f(x)的圖象.,(1)當(dāng)P點(diǎn)在BC上，即0 x4時(shí)，SABP= 4x=2x; 當(dāng)P點(diǎn)在CD上時(shí)， SABP= 44=8; 當(dāng)P點(diǎn)在AD上時(shí)， SABP= 4(12-x).,（2）畫(huà)出y=f(x)的圖象，如右圖所示.,所求的函數(shù)關(guān)系式為,A,B兩地相距150公里,某汽車(chē)以每小時(shí)

10、50公里的速度從A地運(yùn)行到B地,在B地停留2小時(shí)之后,又以每小時(shí)60公里的速度返回A地,寫(xiě)出該車(chē)離開(kāi)A地的距離s(公里)與時(shí)間t(小時(shí))的函數(shù)關(guān)系.,【解析】由50t1=150得t1=3, 由60t2=150得t2= , 當(dāng)0t3時(shí)，s=50t; 當(dāng)3t5時(shí)，s=150; 當(dāng)5t7.5時(shí)，s=150-60(t-5)=450-60t. 所求函數(shù)關(guān)系式為,學(xué)點(diǎn)四 分段函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題,【分析】因行駛速度不一樣，故S與t的關(guān)系需用分段函 數(shù)表示.,【評(píng)析】解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題的一般步驟：首先要在閱讀材料、理解題意的基礎(chǔ)上，把實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，經(jīng)過(guò)去粗取精，利用數(shù)學(xué)知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，再利用數(shù)學(xué)知識(shí)

11、對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析、研究，得出數(shù)學(xué)結(jié)論，最后把數(shù)學(xué)結(jié)論（結(jié)果）返回到實(shí)際問(wèn)題中.,某汽車(chē)以52 km/h的速度從A地運(yùn)行到260 km遠(yuǎn)處的B地，在B地停留面1.5 h后，再以65 km/h的速度返回A地.試將汽車(chē)離開(kāi)A地后行走的路程S表示為時(shí)間t的函數(shù).,因?yàn)樾旭偹俣炔灰粯?，可考慮分段表示, 26052=5(h),26065=4(h).,所以,1.怎樣正確地理解分段函數(shù)？ 對(duì)于自變量x的不同取值區(qū)間，有著不同的對(duì)應(yīng)法則的函數(shù)，稱(chēng)為分段函數(shù)，不能認(rèn)為它是幾個(gè)函數(shù)，它只是一個(gè)函數(shù)的表達(dá)式，只是在表達(dá)形式上同以前學(xué)過(guò)的函數(shù)不同，在表示時(shí)，用“”表示出各段解析式關(guān)系.,2.如何加強(qiáng)對(duì)分段函數(shù)的認(rèn)識(shí)？

12、 首先對(duì)分段函數(shù)的定義要理解并掌握，其次從簡(jiǎn)單的分段函數(shù)入手多認(rèn)識(shí)、多識(shí)記. 教材中通過(guò)例題的形式給出了“分段函數(shù)”的概念，從而說(shuō)明：對(duì)于一個(gè)函數(shù)來(lái)說(shuō)，對(duì)應(yīng)法則可以由一個(gè)解析式來(lái)表示，也可以由幾個(gè)解析式來(lái)表示；用圖象表示時(shí)，既可以是一條平滑的曲線，也可以是一些點(diǎn)、一段曲線、幾條曲線等.,1.分段函數(shù)的圖象是一些線段或曲線段構(gòu)成的，定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集. 2.各段不一定等長(zhǎng).,分段函數(shù)及映射,1所謂“分段函數(shù)”，習(xí)慣上指在定義域的不同部分，有,不同的_的函數(shù),解析式,0,4由映射的定義可以看出，映射是_概念的推廣，函 數(shù)是一種特殊的映射，要注意構(gòu)成函數(shù)的兩個(gè)集合 A、B

13、 必須是,_,函數(shù),非空集合,5在映射 f：AB 中，AB(x，y)|x、yR，且 f：(x, y) (xy，xy)，則與 A 中的元素(1,2)對(duì)應(yīng)的 B 中的元素為 _,(3,1),3設(shè) A、B 是兩個(gè)非空集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)關(guān)系 f，使 對(duì)于集合 A 中的任意一個(gè)元素 x，在集合 B 中_確定 的元素 y 與之對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)對(duì)應(yīng) f：AB 為從集合 A 到集合 B,的_,都有唯一,一一映射,重點(diǎn),分段函數(shù),(1)分段函數(shù)的表達(dá)式因其特點(diǎn)可以分成兩個(gè)或兩個(gè)以上的 不同表達(dá)式，所以它的圖象是由幾個(gè)部分組成的總體(有的可以 是一些孤立的點(diǎn)) (2)求分段函數(shù)的函數(shù)值時(shí)，關(guān)鍵是看自變量的取值屬

14、于哪 一段，就用哪一段的解析式； (3)分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，而不是幾個(gè)，各段定義域的并集 即為分段函數(shù)的定義域，各段值域的并集，即為分段函數(shù)的值 域,難點(diǎn),理解映射概念時(shí)要注意的幾點(diǎn),(1)映射是函數(shù)的一種推廣，兩個(gè)集合 A、B，它們可以是數(shù) 集，也可以是點(diǎn)集或其他集合； (2)集合 A、B 及對(duì)應(yīng)關(guān)系 f 是確定的，是一個(gè)系統(tǒng)； (3)集合 A 中的每一個(gè)元素，在集合 B 中都有唯一的元素和 它對(duì)應(yīng)； (4)集合 A 中的不同的元素，在集合 B 中對(duì)應(yīng)的元素可以是 同一個(gè)，即可以多個(gè)元素對(duì)應(yīng)一個(gè)元素，但不能一個(gè)元素對(duì)應(yīng) 多個(gè)元素； (5)集合 B 中的元素在集合 A 中可以沒(méi)有對(duì)應(yīng)的，即集合

15、 B 中可以有“剩余”的元素,分段函數(shù)及其應(yīng)用,例 1：如圖 1，一動(dòng)點(diǎn) P 自邊長(zhǎng)為 1 的正方形 ABCD 的頂,圖 1,點(diǎn)A 出發(fā)，沿正方形的邊界逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)一周，再回到 A 點(diǎn)若點(diǎn) P運(yùn)動(dòng)的路程為 x，點(diǎn) P 到頂點(diǎn) A 的距離為 y，求 A、P 兩點(diǎn)間的距離 y 與點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)的路程 x 之間的函數(shù)關(guān)系式,思維突破：利用數(shù)學(xué)知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，求目標(biāo)函 數(shù)解析式本題需要對(duì)點(diǎn) P 的位置分類(lèi)討論，確定 y 與 x 之間 的函數(shù)關(guān)系,解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題的一般程序：首先要在閱讀 材料、理解題意的基礎(chǔ)上，把實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立 相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，對(duì)其進(jìn)行分析、研究，得出數(shù)學(xué)結(jié)論，最后 把

16、數(shù)學(xué)結(jié)論(結(jié)果)返回到實(shí)際問(wèn)題中,11.如圖 2，根據(jù)函數(shù) f(x)的圖象寫(xiě)出它的解析式,圖 2,12.如圖 3，在邊長(zhǎng)為 4 的正方形 ABCD 的邊上有一點(diǎn) P， 沿著折線 BCDA 由 B 點(diǎn)(起點(diǎn))向 A 點(diǎn)(終點(diǎn))移動(dòng)，設(shè) P 點(diǎn)移動(dòng)的 路程為x，ABP 的面積為 ，求 ABP 的面積與 P 點(diǎn)移動(dòng)的路 程間的函數(shù)關(guān)系,圖 3,映射問(wèn)題,例 2：圖 4 建立了集合 P 中元素與集合 M 中元素的對(duì)應(yīng) f，,其中為映射的對(duì)應(yīng)是哪幾個(gè)？為什么？,圖 4,思維突破：依映射定義判斷,(1)判斷一個(gè)對(duì)應(yīng) AB 是否為映射，主要的 依據(jù)是：集合 A 中的元素是否在集合 B 中都有元素與之對(duì)應(yīng)； 集