Z變換(數(shù)字信號處理).ppt

1、3 序列的Z變換,3.1 Z變換的定義 序列x(n)的Z變換定義為,(3.1),式中z是一個復(fù)變量， 它所在的復(fù)平面稱為z平面。 注意在定義中， 對n求和是在之間求和， 可以稱為雙邊Z變換。 還有一種稱為單邊Z變換的定義， 如下式,(3.2),使(3.3)式成立， Z變量取值的域稱為收斂域。 一 般收斂域用環(huán)狀域表示,這種單邊Z變換的求和限是從零到無限大， 因此對于因果序列， 用兩種Z變換定義計算出的結(jié)果是一樣的。 本書中如不另外說明， 均用雙邊Z變換對信號進(jìn)行分析和變換。 (3.1)式Z變換存在的條件是等號右邊級數(shù)收斂， 要求級數(shù)絕對可和， 即,(3.3),圖 3.1 Z變換的收斂域,常用的

2、Z變換是一個有理函數(shù)， 用兩個多項式之比表示 分子多項式P(z)的根是X(z)的零點， 分母多項式Q(z)的根是X(z)的極點。 在極點處Z變換不存在， 因此收斂域中沒有極點， 收斂域總是用極點限定其邊界。 對比序列的傅里葉變換定義， 很容易得到FT和ZT之間的關(guān)系， 用下式表示：,(3.4),式中z=e j表示在z平面上r=1的圓， 該圓稱為單位圓。 (3.4)式表明單位圓上的Z變換就是序列的傅里葉變換。 如果已知序列的Z變換， 可用(3.4)式， 很方便的求出序列的FT， 條件是收斂域中包含單位圓。 例 3.1 x(n)=u(n)， 求其Z變換。 解： X(z)存在的條件是|z-1|1，,

3、|z|1,由x(z)表達(dá)式表明， 極點是z=1， 單位圓上的Z變換不存在， 或者說收斂域不包含單位圓。 因此其傅里葉變換不存在， 更不能用(3.4)式求FT。 該序列的FT不存在， 但如果引進(jìn)奇異函數(shù)()， 其傅里葉變換可以表示出來(見表2.3.2)。 該例同時說明一個序列的傅里葉變換不存在， 在一定收斂域內(nèi)Z變換是存在的。,3.2 序列特性對收斂域的影響 序列的特性決定其Z變換收斂域。 1. 有限長序列 如序列x(n)滿足下式： x(n) n1nn2 x(n)= 0 其它,即序列x(n)從n1到n2序列值不全為零， 此范圍之外序列值為零， 這樣的序列稱為有限長序列。 其Z變換為,設(shè)x(n)為

4、有界序列， 由于是有限項求和， 除0與兩點是否收斂與n1、 n2取值情況有關(guān)外， 整個z平面均收斂。 如果n10， 則收斂域不包括z=0點； 如果是因果序列， 收斂域包括z=點。 具體有限長序列的收斂域表示如下：,n10時， 00時， 0z 例 3.2求x(n)=RN(n)的Z變換及其收斂域 解：,這是一個因果的有限長序列， 因此收斂域為0z。 但由結(jié)果的分母可以看出似乎z=1是X(z)的極點， 但同時分子多項式在z=1時也有一個零點， 極零點對消， X(z)在單位圓上仍存在， 求RN(n)的FT， 可將z=ej代入X(z)得到， 其結(jié)果和例題2.2.1中的結(jié)果(2.3.5)公式是相同的。,2

5、. 右序列 右序列是在nn1時，序列值不全為零，而其它nn1，序列值全為零。 ROC： 分析： 當(dāng) n1 0時,第一項為有限長序列， 設(shè)n1-1， 其收斂域為0|z|。 第二項為因果序列， 其收斂域為Rx-|z|， Rx-是第二項最小的收斂半徑。 將兩收斂域相與， 其收斂域為Rx- |z|。 如果x(n)是因果序列， 收斂域定為Rx- |z|。 推論：如序列x(n)的Z變換的收斂域包含點，則x(n)是因果序列,例 3.3求x(n)=anu(n)的Z變換及其收斂域 解：,在收斂域中必須滿足|az-1|a|。 3. 左序列 左序列是在nn2時， 序列值不全為零， 而在nn2， 序列值全為零的序列。

6、 左序列的Z變換表示為,當(dāng) n20 當(dāng) n20 第二項為有限長序列， 在整個Z平面收斂（ z=點不收斂）。 第一項根據(jù)前式的論述，當(dāng) 時收斂 因此左序列的收斂域是半徑為R+的圓內(nèi)區(qū)域,例 3.4求x(n)=-anu(-n-1)的Z變換及其收斂域。,X(z)存在要求|a-1 z|1， 即收斂域為|z|a|,4. 雙邊序列 一個雙邊序列可以看作一個左序列和一個右序列之和， 其Z變換表示為,X(z)的收斂域是X1(z)和X2(z)收斂域的公共收斂區(qū)域。 如果Rx+Rx-， 其收斂域為Rx- |z| Rx+ ， 這是一個環(huán)狀域， 如果Rx+ Rx- ， 兩個收斂域沒有公共區(qū)域， X(z)沒有收斂域，

7、因此X(z)不存在。 例 3.5 x(n)=a|n|， a為實數(shù)， 求x(n)的Z變換及其收斂域。 解：,第一部分收斂域為|az|a|。 如果|a|1， 兩部分的公共收斂域為|a|z|a|-1， 其Z變換如下式：,|a|z|a|-1,如果|a|1， 則無公共收斂域， 因此X(z)不存在。 當(dāng)0a1時， x(n)的波形及X(z)的收斂域如圖3.2所示。,圖 3.2 例3.5圖,3.3 Z反變換 已知序列的Z變換及其收斂域， 求序列稱為Z反變換。 序列的Z變換及共Z反變換表示如下：,(3.5),1. 用留數(shù)定理求Z反變換 如果X(z)zn-1在圍線c內(nèi)的極點用zk表示， 根據(jù)留數(shù)定理,(3.6),

8、式中 表示被積函數(shù)X(Z)Zn-1在 極點Z=Zk的留數(shù)， Z反變換則是圍線c內(nèi)所有的極點留 數(shù)之和。 如果Zk是單階極點， 則根據(jù)留數(shù)定理,(3.7),如果zk是N階極點， 則根據(jù)留數(shù)定理,(3.8),例 3.6 已知X(z)=(1-az-1)-1， |z|a， 求其Z反變換x(n)。,為了用留數(shù)定理求解， 先找出F(z)的極點， 極點有： z=a; 當(dāng)n0時z=0共二個極點， 其中z=0極點和n的取值有關(guān)。 n0時， z=0不是極點。 n0時， z=0是一個n階極點。 因此分成n0和n0兩種情況求x(n)。 n0 時，,n0時， z=0的-n階極點， 綜合以上二步可得,例 3.7已知 ，

9、求其反變換x(n)。 解： 該例題沒有給定收斂域， 為求出唯一的原序列x(n)， 必須先確定收斂域。 分析X(z)， 得到其極點分布如圖3.5所示。 圖中有二個極點z=a和z=a-1， 這樣收斂域有三種選法， 它們是 (1) |z|a-1|， 對應(yīng)的x(n)是右序列； (2) |a|z|z-1|， 對應(yīng)的x(n)是雙邊序列； (3) |z|a|， 對應(yīng)的x(n)是左序列。,圖 3.5 例3.7 X(z)極點分布圖,下面按照收斂域的不同求其x(n)。 (1) 收斂域|z|a-1|,種收斂域是因果的右序列， 無須求n0時的x(n)。 當(dāng)n0時， 圍線積分c內(nèi)有二個極點z=a和z=a-1， 因此,最

10、后表示成： x(n)=(an-a-n)u(n)。 (2) 收斂域|z|a| 這種情況原序列是左序列， 無須計算n0情況， 當(dāng)n0時， 圍線積分c內(nèi)沒有極點， 因此x(n)=0。 n0時， c內(nèi)只有一個極點z=0， 且是n階極點， 改求c外極點留數(shù)之和,最后將x(n)表示成 x(n)=(a-n-an)u(-n-1) (3) 收斂域|a|z|a-1| 這種情況對應(yīng)的x(n)是雙邊序列。 根據(jù)被積函數(shù)F(z)， 按n0和n0兩情況分別求x(n)。 n0時， c內(nèi)極點z=a x(n)=ResF(z), a=an,n0時， c內(nèi)極點有二個， 其中z=0是n階極點， 改求c外極點留數(shù)， c外極點只有z=a

11、-1， 因此 x(n)=-ResF(z), a-1=a-n 最后將x(n)表示為 an n0 x(n)= x(n)=a|n| a-n n0,2. 冪級數(shù)法(長除法) 按照Z變換定義(3.1)式， 可以用長除法將X(z)寫成冪級數(shù)形式， 級數(shù)的系數(shù)就是序列x(n)。 要說明的是， 如果x(n)是右序列， 級數(shù)應(yīng)是負(fù)冪級數(shù)； 如x(n)是左序列， 級數(shù)則是正冪級數(shù)。 例 3.8已知 用長除法求其Z反變換x(n)。 解由收斂域判定這是一個右序列， 用長除法將其展成負(fù)冪級數(shù),1-az-1,例 3.9 已知求 其Z反變換x(n)。 解：由收斂域判定，x(n)是左序列，用長除法將X(z)展成正冪級數(shù),3.

12、 部分分式展開法 對于大多數(shù)單階極點的序列，常常用這種部分分式展開法求Z反變換。 設(shè)x(n)的Z變換X(z)是有理函數(shù)，分母多項式是N階，分子多項式是M階，將X(z)展成一些簡單的常用的部分分式之和，通過查表(參考表3.1)求得各部分的反變換，再相加即得到原序列x(n)。設(shè)X(z)只有N個一階極點，可展開為,觀察上式，X(z)/z在z=0的極點留數(shù)就是系數(shù)A0，在z=zm的極點留數(shù)就是系數(shù)Am。,(3.11),(3.12),(3.13),(3.14),求出Am系數(shù)(m=0,1,2,N)后，很容易示求得x(n)序列。,例3.10已知 ，求Z反變換。,解,因為收斂域為22。第二部分極點z=-3，收

13、斂域應(yīng)取|z|3。查表3.1得到 x(n)=2nu(n)+(-3)nu(-n-1) 一些常見的序列的Z變換可參考表3.1。,表3.1 常見序列Z變換,3.4 Z 變換的性質(zhì)和定理 Z變換有許多重要的性質(zhì)和定理，下面進(jìn)行介紹。 1.線性 設(shè) X(z)=ZTx(n),Rx-|z|Rx+ Y(z)=ZTy(n), Ry- |z| Ry+ 則 M(z)=ZTm(n) =aX(z)+bY(z), R m-|z|R m+ (3.15) Rm+=max Rx+,Ry+ Rm-=max Rx,Ry-,這里M(z)的收斂域(Rm-，Rm+)是X(z)和Y(z)的公式收斂域，如果沒有公共收斂域，例如當(dāng) R x+R

14、 x-R y+R y-時，則M(z)不存在。 2. 序列的移位 設(shè)X(z)=ZTx(n), R x-|z|R x+ 則ZTx(n-n0)=z-n0X(z), R x-|z|R x+ (3.16),3. 乘以指數(shù)序列 設(shè) X(z)=ZTx(n), R x-|z|R x+ y(n)=anx(n), a為常數(shù) 則 Y(z)=ZTanx(n) =X(a-1 z) |a|R x-|z|a|R x+ (3.17),證明,因為Rx-|a-1 z|Rx+，得到|a| Rx- |z|a| Rx+ 。,4.序列乘以n 設(shè),則,(3.18),證明,5.復(fù)序列的共軛 設(shè),則,證明,(3.19),6.初值定理 設(shè) x(

15、n)是因果序列，X(z)=ZTx(n),(3.20),證明,因此,7.終值定理 若x(n)是因果序列，其Z變換的極點，除可以有一 個一階極點在z=1上，其它極點均在單位圓內(nèi)，則,(3.21),證明,因為x(n)是因果序列，,因為(z-1)X(z)在單位圓上無極點，上式兩端對z=1 取極限,終值定理也可用X(z)在z=1點的留數(shù)，因為,(3.22),因此 如果單位圓上，X(z)無極點，則x()=0。,8. 序列卷積 設(shè),則,證明,W(z)的收斂域就是X(z)和Y(z)的公共收斂域。,例3.11已知網(wǎng)絡(luò)的單位取樣響應(yīng)h(n)=anu(n),|a|1，網(wǎng)絡(luò)輸入序列x(n)=u(n)，求網(wǎng)絡(luò)的輸出序列

16、y(n)。 解：y(n)=h(n)*x(n) 求y(n)可用二種方法，一種直接求解線性卷積，另一種是用Z變換法。,由收斂域判定y(n)=0,n0。 n0 y(n)=ResY(z)z n-1,1+ResY(z)z n-1,a,將y(n)表示為,9.復(fù)卷積定理 如果 ZTx(n)=X(z)， R x-|z|R x+ ZTy(n)=Y(z), R y-|z|R y+ w(n)=x(n)y(n) 則,W(z)的收斂域,(3.24)式中v平面上，被積函數(shù)的收斂域為,(3.24),(3.25),(3.26),證明,由X(z)收斂域和Y(z)的收斂域，得到,例3.12已知x(n)=u(n),y(n)=a|n

17、|，若w(n)=x(n)y(n)，求W(z)=ZTw(n) 解：,因此,W(z)收斂域為|a|z|；被積函數(shù)v平面上收斂域為max(|a|,0)|v|min(|a-1|,|z|)，v平面上極點：a、a-1和z,c內(nèi)極點z=a。,10.帕斯維爾(Parseval)定理 利用復(fù)卷積定理可以證明重要的帕斯維爾定理。,那么,v平面上，c所在的收斂域為,證明 令 w(n)=x(n)y*(n) 按照(3.24)式，得到,按照(3.25)式，R x-R y-|z|R x+R y+，按照假 設(shè)，z=1在收斂域中，令z=1代入W(z)中。,如果x(n)和y(n)都滿足絕對可和，即單位圓上收斂，在上式中令v=e

18、j，得到,(3.29),令x(n)=y(n)得到,上面得到的公式和在傅里葉變換中所講的帕期維 爾定理(2.2.34)式是相同的。(3.28)式還可以表示成下式：,3.5 利用Z變換分析信號和系統(tǒng)的頻域特性,3.5.1 頻率響應(yīng)函數(shù)與系統(tǒng)函數(shù) 設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)為零，系統(tǒng)對單位脈沖序列(n)的響應(yīng)，稱為系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)，對h(n)進(jìn)行傅里葉變換得到H(e j),(3.5.1),一般稱H(e j)為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)，它表征系統(tǒng)的頻率特性。,設(shè)h(n)進(jìn)行Z變換，得到H(z)，一般稱H(z)為系統(tǒng)函數(shù)，它表征了系統(tǒng)的復(fù)頻域特性。對N階差分方程(1.4.2)式，進(jìn)行Z變換，得到系統(tǒng)函數(shù)的一般表

19、示式,(3.5.2),如果H(z)的收斂域包含單位圓|z|=1，H(e j)與 H(z)之間關(guān)系如下式：,(3.5.3),3.5.2用系統(tǒng)函數(shù)的極點分布分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性 因果(可實現(xiàn))系統(tǒng)其單位脈響應(yīng)h(n)一定滿足當(dāng)n0時，h(n)=0，那么其系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域一定包含點，即點不是極點，極點分布在某個圓的圓內(nèi)，收斂域在某個圓外。 一個穩(wěn)定線性系統(tǒng)的充要條件是H(z)的收斂域包含單位圓。 一個線性系統(tǒng)是因果的充要條件是系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域Z= 一個穩(wěn)定因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域1|z| 一個穩(wěn)定因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)的全部極點在單位圓內(nèi),例3.5.1已知 分析其因果性和穩(wěn)定性. 解：H(z)的極點為z=a，z=a-1，如圖3.5所示。 (1)收斂域a-1|z|，對應(yīng)的系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，但由于收斂域不包含單位圓，因此是不穩(wěn)定系統(tǒng)。單位脈沖響應(yīng)h(n)=(an-a-n)u(n)(參考例題3.7)，這是一個因果序列，但不收斂。 (2)收斂域0|z|a,對應(yīng)的系統(tǒng)是非因果且不穩(wěn)定系統(tǒng)。其單位脈沖響應(yīng)h(n)=(a-n-an)u(-n-1)(參考例題3.7)，這是一個非因果且不收斂的序列。,(3)收斂域a|z|a-1，對應(yīng)的系統(tǒng)是一個非因果系統(tǒng)，但由于收斂域包含單位圓，因此是穩(wěn)定系統(tǒng)。其單位脈沖響應(yīng)h(n)=a|n|，這是一