初三數(shù)學(xué)相似三角形典型例題(附含答案解析)

1、.初三數(shù)學(xué)相似三角形（一）相似三角形是初中幾何的一個(gè)重點(diǎn)，同時(shí)也是一個(gè)難點(diǎn)，本節(jié)復(fù)習(xí)的目標(biāo)是：1. 理解線段的比、成比例線段的概念，會(huì)根據(jù)比例線段的有關(guān)概念和性質(zhì)求線段的長或兩線段的比，了解黃金分割。2. 會(huì)用平行線分線段成比例定理進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算、證明，會(huì)分線段成已知比。3. 能熟練應(yīng)用相似三角形的判定和性質(zhì)解答有關(guān)的計(jì)算與證明題。4. 能熟練運(yùn)用相似三角形的有關(guān)概念解決實(shí)際問題本節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容是相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理以及平行線分線段成比例定理。本節(jié)的難點(diǎn)內(nèi)容是利用判定定理證明兩個(gè)三角形相似以及相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用。相似三角形是平面幾何的主要內(nèi)容之一，在中考試題中時(shí)常與四邊形、圓的知識(shí)相

2、結(jié)合構(gòu)成高分值的綜合題，題型常以填空、選擇、簡答或綜合出現(xiàn)，分值一般在10%左右，有時(shí)也單獨(dú)成題，形成創(chuàng)新與探索型試題；有利于培養(yǎng)學(xué)生的綜合素質(zhì)。（二）重要知識(shí)點(diǎn)介紹：1. 比例線段的有關(guān)概念：精品.在比例式abc (a： bc：d )中， a、 d叫外項(xiàng)， db、c叫內(nèi)項(xiàng)，a、c叫前項(xiàng)，精品.b、d 叫后項(xiàng)， d 叫第四比例項(xiàng)，如果b=c，那么 b 叫做 a、 d 的比例中項(xiàng)。2把線段 ab分成兩條線段ac和 bc，使 ac=abbc，叫做把線段ab 黃金分割， c叫做線段 ab的黃金分割點(diǎn)。精品.2. 比例性質(zhì)：基本性質(zhì)：acbd合比性質(zhì)：acbdadbcabcd bd精品.精品.等比性質(zhì)

3、：acbdm (bdnn 0)acma bdnb精品.3. 平行線分線段成比例定理：定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，如圖：l 1 l 2 l 3 。精品.ab則 bcde ， ab efacde ， bc dfacef ，df精品.推論： 平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。定理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。4. 相似三角形的判定：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直

4、角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角形相似平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交， 所構(gòu)成的三角形與原三角形相似直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似5. 相似三角形的性質(zhì)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比相似三角形周長的比等于相似比相似三角形面積的比等于相似比的平方【典型例題】例 1.（1）在比例尺是1：8000000 的中國行政區(qū)地圖上，量得a、b 兩城市的距離是 7.5 厘米，那么a、b 兩城市的實(shí)際距離是 千米。（ 2）小芳的身高是1.6m，在某一時(shí)刻，她的影子

5、長2m，此刻測得某建筑物的影長是18 米，則此建筑物的高是 米。解： 這是兩道與比例有關(guān)的題目，都比較簡單。（ 1）應(yīng)填 600（ 2）應(yīng)填 14.4 。例 2.如圖，已知de bc，ef ab，則下列比例式錯(cuò)誤的是： 精品.a. adaeabacceeab.cffb精品.c. deadbcbdd. efcfabcb精品.分析： 由de bc，ef ab 可知， a、b、d都正確。而不能得到debcad ，bd精品.故應(yīng)選 c。利用平行線分線段成比例定理及推論求解時(shí)，一定要分清誰是截線、誰是被截精品.線， c中de 很顯然是兩平行線段的比，因此應(yīng)是利用三角相似后對(duì)應(yīng)邊成比bc精品.例這一性質(zhì)來

6、寫結(jié)論，即debcadaeabac精品.例 3.如圖，在等邊abc中， p 為 bc上一點(diǎn)， d 為 ac上一點(diǎn)，且apd=60 ，精品.bp1， cd2 ，求3abc的邊長精品.解： abc是等邊三角形 c= b=60又 pdc= 1+ apd=1+60 apb= 1+ c= 1+60 pdc= apb pdc apb pccdabpb設(shè) pc=x， 則 ab=bc=1+x2精品.x 1x3 ， x2，1精品. ab=1+x=3。 abc的邊長為3。例 4.如圖：四邊形abeg、gefh、hfcd都是邊長為a 的正方形，（ 1）求證： aef cea（ 2）求證： afb+ acb=45分析

7、： 因?yàn)?aef、 cea有公共角 aef故要證明 aef cea只需證明兩個(gè)三角形中，夾aef、 cea的兩邊對(duì)應(yīng)成比例即可。證明：（ 1）四邊形abeg、gefh、hfcd是正方形 ab=be=ef=fc=，a abe=90ae2a， ec2a精品. aeef2a2， ec2a2aae2a精品. aeecefae又 cea= aef cea aef（ 2） aef cea afe= eac四邊形abeg是正方形 adbc， ag=g，e agge acb= cad， eag=45 afb+ acb= eac+cad= eag afb+ acb=45例 5.已知： 如圖， 梯形 abcd中，

8、ad bc，ac、bd交于點(diǎn)o，ef經(jīng)過點(diǎn)o且和兩底平行， 交 ab 于 e， 交 cd 于 f求證： oe=of證明： ad efbc精品.oe bcae ， oeebabadab精品.oeadaeabebababab11ad 1oe 11bcadof oebc1bc同理：11oeof1 oe=of精品.從本例的證明過程中，我們還可以得到以下重要的結(jié)論：精品. ad ef bc111adbcoe精品. ad ef bcoeof1 ef2精品. ad ef bc11112即112精品.adbcoe1 efof2adbcef精品.這是梯形中的一個(gè)性質(zhì)，由此可知，在ad、bc、ef 中，已知任何兩

9、條線段的長度，都可以求出第三條線段的長度。例 6.已知：如圖，abc中， adbc于 d，de ab 于 e， df ac于 f求證：aeacafab分析： 觀察 ae、af、ac、 ab在圖中的位置不宜直接通過兩個(gè)三角形相似加以解決。因此可根據(jù)圖中直角三角形多，因而相似三角形多的特點(diǎn)，可設(shè)法尋求中間量進(jìn)行代精品.換，通過abd ade ，可得：abadad ，于是得到aead 2aeab，同理精品.可得到ad 2afac，故可得：aeabafac，即aeacafab精品.證明： 在 abd和 ade中， adb= aed=90 bad= dae abd ade abadadae2 ad=ae

10、ab同理： acd adf2可得： ad=afac aeab=afac aeacafab例 7.如圖，d 為 abc中 bc邊上的一點(diǎn)， cad= b，若 ad=6，ab=8，bd=7，求 dc的長。分析： 本題的圖形是證明比例中項(xiàng)時(shí)經(jīng)常使用的“公邊共角”的基本圖形，我們可以由基本圖形中得到的相似三角形，從而得到對(duì)應(yīng)邊成比例，從而構(gòu)造出關(guān)于所求線段的方程，使問題得以解決。解： 在 adc和 bac中 cad= b， c= c adc bac精品. addcac abacbc又 ad=6， ad=8， bd=7精品. dcacac37dc4精品.dc3即ac4ac3解得： dc=9精品.7dc4

11、例 8.如圖，在矩形abcd中， e 是 cd的中點(diǎn)， be ac于 f，過 f 作 fg ab交 ae于 g，2求證： ag=affc證明： 在矩形 abcd中， ad=bc， adc= bce=90又 e 是 cd的中點(diǎn)， de=ce rt ade rt bce ae=be fgab aeagbebf ag=bf在 rt abc中， bf ac于 f rt bfc rt afb affbbffc2 bf =affc2 ag=affc例 9.如圖，在梯形abcd中， ad bc，若 bcd的平分線ch ab 于點(diǎn) h， bh=3ah，且四邊形 ahcd的面積為21，求 hbc的面積。精品.分

12、析： 因?yàn)閱栴}涉及四邊形ahcd，所以可構(gòu)造相似三角形。把問題轉(zhuǎn)化為相似三角形的面積比而加以解決。解： 延長 ba、cd交于點(diǎn) p chab， cd平分 bcd cb=cp，且 bh=ph bh=3ah pa：ab=1： 2 pa：pb=1： 3 adbc pad pbcs pad ： s pbc1： 9精品. spch12 spbc精品. s pads四邊形 ahcd2： 7 s四邊形 ahcd21s pad6精品. spbc s hbc541 s2pbc27精品.a2b9一、填空題精品.1. 已知2ab5 ， 則 a：b 精品.2. 若三角形三邊之比為3： 5：7，與它相似的三角形的最長邊

13、是21cm，則其余兩邊之和是 cm3. 如圖， abc中， d、e 分別是 ab、ac的中點(diǎn)， bc=6，則 de= ； ade與abc的面積之比為： 。4. 已知線段a=4cm， b=9cm，則線段a、 b 的比例中項(xiàng)c 為 cm。5. 在 abc 中，點(diǎn)d、e 分別在邊ab、ac 上， de bc，如果ad=8， db=6， ec=9，那么ae= 6. 已知三個(gè)數(shù)1， 2，3 ，請(qǐng)你添上一個(gè)數(shù)，使它能構(gòu)成一個(gè)比例式，則這個(gè)數(shù)是精品.7. 如圖，在梯形abcd中， adbc， efbc，若ad=12cm， bc=18cm， ae： eb=2：3，則 ef= 8. 如圖， 在梯形 abcd中，

14、ad bc， a=90， bd cd，ad=6，bc=10，則梯形的面積為：二、選擇題1. 如果兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比是3： 4，那么它們的對(duì)應(yīng)高的比是 a. 9：16b.3 ： 2c. 3： 4d. 3 ： 72. 在比例尺為1：m的某市地圖上，規(guī)劃出長a 厘米， 寬 b 厘米的矩形工業(yè)園區(qū)，該園區(qū)2的實(shí)際面積是 米精品.10 4 ma.ab104 m2b.ababmc.104abm 2d.104精品.3. 已知，如圖，de bc，ef ab，則下列結(jié)論：精品.aebeecfcadab bfbc精品. efdeabbcceea cfbf精品.其中正確的比例式的個(gè)數(shù)是 a. 4個(gè)b. 3個(gè)c

15、. 2個(gè)d. 1 個(gè)4. 如圖，在 abc中， ab=24， ac=18，d 是 ac上一點(diǎn)， ad=12，在 ab上取一點(diǎn)e， 使 a 、d、e 三點(diǎn)為頂點(diǎn)組成的三角形與abc相似，則ae的長是 精品.a. 16b. 14c. 16或 14d. 16或 95. 如圖，在rt abc中， bac=90 ， d是 bc的中點(diǎn)， aead，交 cb的延長線于點(diǎn)e， 則下列結(jié)論正確的是 a. aed acbb. aeb acdc. bae aced. aec dac三、解答題：1.如圖， ad eg bc， ad=6， bc=9， ae： ab=2： 3，求 gf的長。2. 如圖， abc中， d是

16、 ab上一點(diǎn)，且ab=3ad， b=75， cdb=60 ，求證： abc cbd。3. 如圖， be為 abc的外接圓o的直徑， cd為 abc的高，求證： acbc=becd精品.4. 如圖， rt abc中， acb=90 ， ad平分 cab交 bc于點(diǎn) d，過點(diǎn) c 作 cead于e， ce的延長線交ab于點(diǎn) f，過點(diǎn) e 作 eg bc交 ab于點(diǎn) g，aead=16， ab45 ，（1）求證： ce=ef（2）求 eg的長 參考答案 一、填空題：精品.1. 19： 132. 243. 3 ；1： 44. 65. 126.只要是使得其中兩個(gè)數(shù)的比值等于另外兩個(gè)數(shù)的比值即可，如：22

17、 、2 等 。2精品.7. 14.48.166二、選擇題：1. c2. d3. c4. d5. c三、解答題：1. 解： adeg bcegae在 abc中，有bcabefbe在 abd中，有adabae： ab=2： 3be： ab=1： 3精品.eg23bc， ef1 ad3精品.bc=9， ad=6eg=6， ef=2精品.gf=eg ef=42. 解： 過點(diǎn) b 作 be cd于點(diǎn) e， cdb=60 ， cbd=75 dbe=30 ，cbe= cbd dbe=75 30=45 cbe是等腰直角三角形。ab=3ad，設(shè) ad=k，則 ab=3k， bd=2kde=k， be3k bc6k bd2k2 ，bc6k3bc6k2ab3k3 bdbcbcab abc cbd3. 連 結(jié) ec， bcbc e= a又 be 是 o的直徑 bce=90又 cd ab adc=90 adc ecb accdebbc即 acbc=be cd4. （ 1） ad平分 cab cae=fae又 ae cf cea=fea=90又