概率論知識(shí)點(diǎn)總結(jié)69873

1、.概率論總結(jié) 目 錄一、 前五章總結(jié)第一章 隨機(jī)事件和概率 1第二章 隨機(jī)變量及其分布.5第三章 多維隨機(jī)變量及其分布10第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征13第五章 極限定理.18二、 學(xué)習(xí)概率論這門課的心得體會(huì)20 一、前五章總結(jié)第一章 隨機(jī)事件和概率第一節(jié)：1.、將一切具有下面三個(gè)特點(diǎn)：（1）可重復(fù)性（2）多結(jié)果性（3）不確定性的試驗(yàn)或觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn)，簡稱為試驗(yàn)，常用e表示。 在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事情（結(jié)果）稱為隨機(jī)事件，簡稱為事件。 不可能事件：在試驗(yàn)中不可能出現(xiàn)的事情，記為。 必然事件：在試驗(yàn)中必然出現(xiàn)的事情，記為s或。2、我們把隨機(jī)試驗(yàn)的每個(gè)基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，記作e 或

2、. 全體樣本點(diǎn)的集合稱為樣本空間. 樣本空間用s或表示. 一個(gè)隨機(jī)事件就是樣本空間的一個(gè)子集。基本事件單點(diǎn)集，復(fù)合事件多點(diǎn)集精品.一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)該事件所包含的一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)。事件間的關(guān)系及運(yùn)算，就是集合間的關(guān)系和運(yùn)算。3、定義：事件的包含與相等 若事件a發(fā)生必然導(dǎo)致事件b發(fā)生，則稱b包含a，記為ba或ab。 若ab且ab則稱事件a與事件b相等，記為ab。定義：和事件“事件a與事件b至少有一個(gè)發(fā)生”是一事件，稱此事件為事件a與事件b的和事件。記為ab。 用集合表示為: ab=e|ea，或eb。定義：積事件 稱事件“事件a與事件b都發(fā)生”為a與b的積事件，記為ab或ab，用集合表示為a

3、b=e|ea且eb。定義：差事件稱“事件a發(fā)生而事件b不發(fā)生,這一事件為事件a與事件b的差事件,記為ab,用集合表示為 a-b=e|ea，eb 。定義：互不相容事件或互斥事件 如果a，b兩事件不能同時(shí)發(fā)生，即ab ，則稱事件a與事件b是互不相容事件或互斥事件。定義6：逆事件/對(duì)立事件 稱事件“a不發(fā)生”為事件a的逆事件，記為 。a與滿足：a= s,且a=。運(yùn)算律： 設(shè)a，b，c為事件，則有（1）交換律：ab=ba，ab=ba （2）結(jié)合律：a(bc)=(ab)c=abc a(bc)=(ab)c=abc 精品.（3）分配律：a(bc)(ab)(ac) a(bc)(ab)(ac)= abac（4）

4、德摩根律：小結(jié)：事件的關(guān)系、運(yùn)算和運(yùn)算法則可概括為 四種關(guān)系：包含、相等、對(duì)立、互不相容； 四種運(yùn)算：和、積、差、逆； 四個(gè)運(yùn)算法則：交換律、結(jié)合律、分配律、對(duì)偶律。第二節(jié)：1、 設(shè)試驗(yàn)e是古典概型, 其樣本空間s由n個(gè)樣本點(diǎn)組成 , 事件a由k個(gè)樣本點(diǎn)組成 . 則定義事件a的概率為：p(a)k/na包含的樣本點(diǎn)數(shù)/s中的樣本點(diǎn)數(shù)。2、 幾何概率：設(shè)事件a是s的某個(gè)區(qū)域，它的面積為 (a)，則向區(qū)域s上隨機(jī)投擲一點(diǎn)，該點(diǎn)落在區(qū)域a的概率為：p（a）=（a）/（s） 假如樣本空間s可用一線段，或空間中某個(gè)區(qū)域表示，并且向s上隨機(jī)投擲一點(diǎn)的含義如前述，則事件a的概率仍可用（*）式確定，只不過把 理

5、解為長度或體積即可.概率的性質(zhì)：（1）p(f)=0,（2）（3）精品.（4） 若ab，則p(b-a)=p(b)-p(a), p(b) p(a).第四節(jié)：條件概率：在事件b發(fā)生的條件下，事件a發(fā)生的概率稱為a對(duì)b的條件概率，記作p(a|b). 而條件概率p(a|b)是在原條件下又添加“b發(fā)生”這個(gè)條件時(shí)a發(fā)生的可能性大小，即p(a|b)仍是概率.乘法公式： 若p(b)0,則p(ab)=p(b)p(a|b) p(a)0,則p(ab)=p(a)p(b|a)全概率公式：設(shè)a1,a2,an是試驗(yàn)e的樣本空間的一個(gè)劃分，且p(ai)0，i =1,2,n, b是任一事件, 則 貝葉斯公式：設(shè)a1,a2,an

6、是試驗(yàn)e的樣本空間的一個(gè)劃分，且p(ai)0，i =1,2,n, b是任一事件且p(b)0, 則 第五節(jié) ：若兩事件a、b滿足 p(ab)= p(a) p(b) 則稱a、b獨(dú)立，或稱a、b相互獨(dú)立.將兩事件獨(dú)立的定義推廣到三個(gè)事件：對(duì)于三個(gè)事件a、b、c，若p(ac)= p(a)p(c) p(ab)= p(a)p(b) p(abc)= p(a)p(b)p(c) p(bc)= p(b)p(c) 四個(gè)等式同時(shí) 成立,則稱事件 a、b、c相互獨(dú)立. 第六節(jié)：定理 對(duì)于n重貝努利試驗(yàn)，事件a在n次試驗(yàn)中出現(xiàn)k次的概率為 總結(jié)：精品.1. 條件概率是概率論中的重要概念，其與獨(dú)立性有密切的關(guān)系，在不具有獨(dú)

7、立性的場合，它將扮演主要的角色。2. 乘法公式、全概公式、貝葉斯公式在概率論的計(jì)算中經(jīng)常使用，請(qǐng)牢固掌握。3. 獨(dú)立性是概率論中的最重要概念之一，亦是概率論特有的概念，應(yīng)正確理解并應(yīng)用于概率的計(jì)算。4. 貝努利概型是概率論中的最重要的概型之一，在應(yīng)用上相當(dāng)廣泛。第二章：隨機(jī)變量及其分布1 、隨機(jī)變量：分為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量。分布函數(shù)：設(shè) x 是一個(gè) r.v，x為一個(gè)任意實(shí)數(shù)，稱函數(shù)f(x)=p（xx）為 x 的分布函數(shù)。x 的分布函數(shù)是f(x)記作 x f(x) 或 fx(x).如果將 x 看作數(shù)軸上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么分布函數(shù) f(x) 的值就表示 x落在區(qū)間 （xx）。3、 離散

8、型隨機(jī)變量及其分布定義1 ：設(shè)xk(k=1,2, )是離散型隨機(jī)變量x所取的一切可能值，稱等式p(x=xk)=pk, 為離散型隨機(jī)變量x的概率函數(shù)或分布律，也稱概率分布. 其中pk,0；pk=1精品.分布律與分布函數(shù)的關(guān)系：（1）已知隨機(jī)變量x的分布律，可求出x的分布函數(shù)： 設(shè)一離散型隨機(jī)變量x的分布律為 px=xk=pk (k=1，2，) 由概率的可列可加性可得x的分布函數(shù)為 已知隨機(jī)變量x的分布律, 亦可求任意隨機(jī)事件的概率。（2）已知隨機(jī)變量x的分布函數(shù)，可求出x的分布律：一、 三種常用離散型隨機(jī)變量的分布. 1（01）分布： 設(shè)隨機(jī)變量x只可能取0與1兩個(gè)值，它的分布律為 px=k=p

9、k(1-p)1-k , k=0，1. (0p1)則稱x服從（01）分布,記為x（01）分布。 （01）分布的分布律用表格表示為：x 0 1p 1-p p 易求得其分布函數(shù)為2.二項(xiàng)分布（binomial distribution)：定義：若離散型隨機(jī)變量x的分布律為其中0p0 是常數(shù),則稱 x 服從參數(shù)為 入 的泊松分布,記作xp(入).、連續(xù)型隨機(jī)變量1概率密度f(x)的性質(zhì) （1）f(x)0（2）(3).x落在區(qū)間(x1，x2)的概率 幾何意義：x落在區(qū)間(x1，x2)的概率px10則稱 x 服從參數(shù)為 入的指數(shù)分布. 常簡記為 xe( 入)指數(shù)分布的分布函數(shù)為指數(shù)分布的一個(gè)重要特性是”無

10、記憶性”.設(shè)隨機(jī)變量x滿足：對(duì)于任意的so，t0,有 則稱隨機(jī)變量x具有無記憶性。3. 正態(tài)分布若r.v x的概率密度為其中 和 都是常數(shù)， 任意， 0，則稱x服從參數(shù)為 和 的正態(tài)分布. 記作f (x)所確定的曲線叫作正態(tài)曲線. 的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何一個(gè)一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. 隨機(jī)變量函數(shù)的分布設(shè)x為連續(xù)型隨機(jī)變量，具有概率密度fx(x)，求y=g(x) （g連續(xù)）的概率密度。1一般方法分布函數(shù)法 可先求出y的分布函數(shù)fy(y)：精品.因?yàn)閒y(y)=pyy=pg(x)y，設(shè)ly=x|g(x)y則再由fy(y)進(jìn)一步求出y的

11、概率密度 2. 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量x的密度函數(shù)為jx(x), y=f(x)連續(xù), 求y= f(x)的密度函數(shù)的方法有三種：（1）分布函數(shù)法；（2）若y=f(x)嚴(yán)格單調(diào)，其反函數(shù)有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，則 可用公式法；（3）若y=g(x)在不相重疊的區(qū)間i1,i2,上逐段嚴(yán)格單 調(diào)，其反函數(shù)分別為h1(y), h2(y), ,且h1(y), h 2(y), ,均為連續(xù)函數(shù)，則y= g(x)是連續(xù)型隨機(jī)變量， 其密度函數(shù)為 對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，在求y=g(x) 的分布時(shí)，關(guān)鍵的一步是把事件 g(x) y 轉(zhuǎn)化為x在一定范圍內(nèi)取值的形式，從而可以利用 x 的分布來求 p g(x) y .。第三章 、多維隨機(jī)變

12、量. 分布函數(shù)的性質(zhì)精品.對(duì)于任意固定的y，對(duì)于任意固定的x，離散型隨機(jī)變量的分布、連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度性質(zhì) 邊緣分布 1離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律精品.連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣分布隨機(jī)變量的獨(dú)立性：兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的分布一、 離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布 精品.二、 連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布第四章.、隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 e(x)是一個(gè)實(shí)數(shù),而非變量,它是一種加權(quán)平均,與一般的平均值不同 , 它從本質(zhì)上體現(xiàn)了隨機(jī)變量 x 取可能值的真正的平均值, 也稱均值.2.連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義數(shù)學(xué)期望的本質(zhì) 定積分 它是一個(gè)數(shù)不再是隨機(jī)變量3.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)e (c ) = c e

13、 (cx ) = ce (x )精品.e (x + y ) = e (x ) + e (y ) 當(dāng)x ,y 獨(dú)立時(shí)，e (x y ) = e (x )e (y )若存在數(shù) a 使 p(x a) = 1, 則 e (x ) a ；若存在數(shù) b 使 p(x b) = 1, 則 e (x ) b.第二節(jié)：隨機(jī)變量的方差方差的定義d(x ) 描述 r.v. x 的取值偏離平均值 的平均偏離程度5. 隨機(jī)變量方差的計(jì)算 利用公式計(jì)算方差的性質(zhì) 1.d (c) = 0 2.d (cx ) = c2d(x)d(ax+b ) = a2d(x)特別地，若x ,y 相互獨(dú)立，則若xi，xj均相互獨(dú)立，均為常數(shù)，則

14、2若x ,y 相互獨(dú)立可得精品.逆命題不成立；3若x ,y 相互獨(dú)立可得逆命題不成立。4. 對(duì)任意常數(shù)c, d (x ) e(x c)2 ,當(dāng)且僅當(dāng)c = e(x )時(shí)等號(hào)成立5. d (x ) = 0 等價(jià)于p (x = e(x)=1 稱為x 依概率 1 等于常數(shù) e(x)。切比雪夫不等式 設(shè)隨機(jī)變量x有期望e(x)和方差 ，則對(duì)于任給 0,精品.第三節(jié)、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)若則稱x，y不相關(guān)。注：（1）x和y的相關(guān)系數(shù)又成為標(biāo)準(zhǔn)協(xié)方差，它是一個(gè)無量綱的量。2、若隨機(jī)變量x和y相互獨(dú)立 精品.協(xié)方差的計(jì)算公式1、 cov(x,y)=e(xy)-e(x)e(y)2、 d(x+_y)=d(x)+d(

15、y)+2cov(x,y)協(xié)方差的性質(zhì)：相關(guān)系數(shù)：1、 二維正態(tài)分布密度函數(shù)中，參數(shù)p代表了與y的相關(guān)系數(shù)。2、 二維正態(tài)隨機(jī)變量x和y相關(guān)系數(shù)為零等價(jià)于x和y相互獨(dú)立。即 xy相互獨(dú)立 等價(jià)于 xy不相關(guān)不相關(guān)的充要條件相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：精品.第五章：極限定理大數(shù)定理：設(shè)xn為一隨機(jī)變量序列,e(xn)存在，記 則稱xn服從（弱）大數(shù)定律。 切比雪夫大數(shù)定律： 設(shè) x1,x2, 是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，它們都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即 d(xi) k，i=1,2, ，則對(duì)任意的0馬爾科夫條件：在切比雪夫大數(shù)定理的證明過程中可以看出只要 ()， 則大數(shù)定理就能成立。切比雪夫大數(shù)定律的特殊情況：設(shè)x1,x2, 是獨(dú)立隨機(jī)變量序列，且e(xi)= ，d(xi)= ， i=1,2,則對(duì)任給 0,辛欽大