講座多元微分學(xué)

1、最新資料推薦第八章多元函數(shù)微分學(xué)第一節(jié)基本概念、定理與公式一、二元函數(shù)的定義及定義域1 二元函數(shù)的定義定義 1 設(shè) x ， y ， z 是三個(gè)變量如果當(dāng)變量 x ， y 在在一定范圍 D 內(nèi)任意取定一對數(shù)值時(shí)， 變量z 按照一定的法則 f 總有確定的數(shù)值與它們對應(yīng)， 則稱變量 z 是變量 x ，y 的二元函數(shù)，記為 z f ( x, y) . 其中 x ， y 稱為自變量， z 稱為因變量 . 自變量 x ， y 的取值范圍 D 稱為函數(shù)的定義域 .二 元函數(shù)在 點(diǎn)x0 , y0所取得的 函數(shù)值記 為z xx0 ， z ( x ,y) 或 f ( x0 , y0 )yy00 02 二元函數(shù)的定

2、義域二元函數(shù)的定義域一般為平面區(qū)域上的點(diǎn)集二元函數(shù)的定義域較復(fù)雜，它可以是一個(gè)點(diǎn)，也可能是一條曲線或幾條曲線所圍成的部分平面，甚至可能是整個(gè)平面整個(gè)平面或由曲線圍成的部分平面稱為區(qū)域；圍成區(qū)域的曲線稱為該區(qū)域的邊界；邊界上的點(diǎn)稱為邊界點(diǎn)，邊界內(nèi)的點(diǎn)稱為內(nèi)點(diǎn)不包括邊界的區(qū)域稱為開區(qū)域， 連同邊界在內(nèi)的區(qū)1最新資料推薦域稱為閉區(qū)域，部分包括邊界的區(qū)域稱為半開半閉區(qū)域能用封閉曲線圍成的區(qū)域稱為有界區(qū)域， 反之稱為無界區(qū)域開區(qū)域如 : ( x, y) 1 x2y24yyoxxo閉區(qū)域 如:( x, y) 1x2y24注：和一元函數(shù)一樣，二元和二元以上的函數(shù)也只與定義域和對應(yīng)關(guān)系有關(guān)， ，與用什么字母表

3、示自變量與因變量無關(guān)例 1求下列函數(shù)的定義域，并畫出的圖形(1)zln 1 x2y2（2） zarcsin(xy)解（ 1） 要使函數(shù)有意義，應(yīng)有 1x2y20即x2y21，定義域?yàn)橛薪玳_區(qū)域( x, y) x2y 21（ 2 ） 要 使 函 數(shù) 有 意 義 ， 應(yīng) 有 x y1 ， 即2最新資料推薦1xy1定義域?yàn)闊o界閉區(qū)域( x, y)1xy13 二元函數(shù)的幾何意義設(shè) P( x, y) 是二元函數(shù) zf (x, y) 的定義域 D 內(nèi)的任一點(diǎn) , 則相應(yīng)的函數(shù)值為zf ( x, y) , 有序數(shù)組 x ，y ， z 確 定 了 空 間 一 點(diǎn) M (x, y, z) , 稱 點(diǎn) 集( x,

4、 y, z) zf ( x, y),( x, y) D 為二元函數(shù)的圖形 .二元函數(shù) zf ( x, y) 的圖形通常是一張曲面 .注：和一元函數(shù)一樣，二元和二元以上的函數(shù)也只與定義域和對應(yīng)關(guān)系有關(guān)，與用什么字母表示自變量與因變量無關(guān) .二、二元函數(shù)的極限與連續(xù)1二元函數(shù)的極限以點(diǎn) P0 ( x0 , y0 ) 為中心，為半徑的圓內(nèi)所有點(diǎn)的集3最新資料推薦合 ( x, y) (xx0 )2( y y0 ) 2稱為點(diǎn) P的鄰域，記0作 U ( P0 , ) 定義 2設(shè)二元函數(shù) zf ( x, y) 在點(diǎn) P0 ( x0 , y0 )的某一鄰域內(nèi)有定義（點(diǎn)P0 可以除外） , 點(diǎn) P(x, y)

5、是該領(lǐng)域內(nèi)異于P0 的任意一點(diǎn)如果當(dāng)點(diǎn) P(x, y) 沿任意路徑趨于點(diǎn) P0 ( x0 , y0 ) 時(shí) , 函數(shù) f ( x, y)總無限趨于常 數(shù) A ， 那 么 稱 A 為 函 數(shù) zf ( x, y) 當(dāng)( x, y) ( x0 , y0 ) 時(shí)的極限，記為limf ( x, y) A或limf ( x, y) Ax x0( x, y) ( x0 , y0 )y y0說明：（1）定義中 PP0的方式可能是多種多樣的，方向可能任意多，路徑可以是千姿百態(tài)的，所謂極限存在是指當(dāng)動點(diǎn)從四面八方以可能有的任何方式和任何路徑趨于定點(diǎn)時(shí)，函數(shù)都趨于同一常數(shù) .（2）倘若沿兩條不同的路徑，limf

6、(x, y)不相等，x x0y y0limf ( x, y)不存在，這是證明多元函數(shù)極限則可斷定 x x0y y0不存在的有效方法（ 3）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似，如局部有界性、局部保號性、夾逼準(zhǔn)則、無窮小、等價(jià)無窮小代換等 .4最新資料推薦例 2lim sin(x2 y)求極限 x 0x2y2y 0解其中l(wèi)imsin(x2y)lim sin( x2y)x2yx2y2x 0x 0x2 y x2y2y 0y 0x2 y1sin( x2 y)0x2y22 xlimy2x 0 x2y0例 3 證明limx3 y不存在x6y2x 0y 0證明：設(shè) y3limx3 ylimkx6k其6626

7、2kx，則 x0xy2x0xkx1ky0y0值隨 k 的不同而變化，故極限不存在確定極限不存在的方法：（1）令點(diǎn) P( x, y) 沿 ykx趨向于 P0 (x0 , y0 ) ，若極限值與k 有關(guān)，則 f ( x, y) 在點(diǎn) P0 ( x0 , y0 ) 處極限不存在 ;（2）找出兩種不同趨近方式，使lim f (x, y) 存在，但x x0y y0兩者不相等，則此時(shí)f ( x, y) 在點(diǎn) P0 ( x0 , y0 ) 處極限不存在;2二元函數(shù)的連續(xù)性定義 3 設(shè)函數(shù) zf ( x, y) 在點(diǎn) P0 (x0, y0 ) 的某一鄰域內(nèi)有定義，如果處連續(xù) .x x0, y0 ), 則稱函數(shù)

8、f ( x, y)在點(diǎn)P0(x0 , y0 )lim f (x, y) f (x0yy05最新資料推薦定義 4 設(shè)函數(shù) z f ( x, y) 在點(diǎn) P0 (x0 , y0 ) 的某一鄰域內(nèi)有定義，分別給自變量 x ， y 在 x0 ， y0 處以增量 x ， y ，得全增量z f (x0x, y0y)f (x0 , y0 )如果極限limz0x0y0則稱 z f ( x, y) 在 P0 ( x0 , y0 ) 處連續(xù)如果函數(shù) zf ( x, y) 在區(qū)域 D 內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù) , 則稱函數(shù) f ( x, y) 在區(qū)域D 內(nèi)連續(xù) .如 果函 數(shù) zf ( x, y)在 點(diǎn) P0 ( x0 ,

9、y0 ) 不連 續(xù) ，則稱 點(diǎn)P0 (x0 , y0 ) 是函數(shù)f (x, y) 的間斷點(diǎn) .例 4求 lim xy x2xyy 3解 因?yàn)楹瘮?shù) f (x, y) xxyy 是初等函數(shù) , 且點(diǎn) (2,3) 在該函數(shù)的定義域內(nèi) , 故 limx yf (2,3)5x 2xy6 .y 3例 5討論函數(shù) f (x, y)x2xyy2 ,x2y200,x2y20的連續(xù)性解當(dāng) (x, y)(0,0)時(shí)， f (x, y) 為初等函數(shù) , 故函數(shù)在( x, y)(0,0)點(diǎn) 處 連 續(xù) . 當(dāng) ( x, y)(0,0)時(shí) ， 由 例 6知lim f ( x, y)lim2 xyy2不存在 , 所以函數(shù)

10、f (x, y) 在點(diǎn)(0,0)x 0x 0 xy 0y 06最新資料推薦處不連續(xù)，即原點(diǎn)(0,0) 是函數(shù)的間斷點(diǎn)3有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì) 1（最值定理）在有界閉區(qū)域上連續(xù)的二元函數(shù)，在該區(qū)域上一定有最大值和最小值性質(zhì) 2（介值定理） 在有界閉區(qū)域上連續(xù)的二元函數(shù)，必能取得介于函數(shù)的最大值與最小值之間的任何值三、偏導(dǎo)數(shù)1. 偏導(dǎo)數(shù)的定義定義 5設(shè)函數(shù) zf ( x, y) 在 P0 (x0, y0 ) 的某鄰域內(nèi)有定義 ,固定 y y0 , 在 x0處給自變量 x 以增量 x , 相應(yīng)地得到函數(shù) z 關(guān)于 x 的得增量 ( 稱為偏增量 ):xz f ( x0x, y0 ) f (x0

11、 , y0 )如果極限 lim0x zlimf ( x0x, y0 )f (x0 , y0 )xxx0x存在 , 則稱此極限值為函數(shù)z f (x, y) 在點(diǎn) P0 ( x0 , y0 ) 處對 x的偏導(dǎo)數(shù) , 記為zxx x0y y0， f xxx， zx xx0或 fx (x0 , y0 ) .0yy0yy0類似地 , 函數(shù) zf ( x, y) 在點(diǎn) ( x0,y0 ) 處對 y 的偏導(dǎo)數(shù)定義為 :limy zlimf ( x0 , y0y)f ( x0, y0 )，y 0yy0y記為zyx x0y y0， f yxx0， zy xx0 或 f y (x0, y0 ) .yy0yy07最

12、新資料推薦例 6求 zx23xy y2 在點(diǎn) (1, 2)處的偏導(dǎo)數(shù) .解把y看 成 常 數(shù) , 得 z2x 3y ， 則xzx2 1328 ；x 1 y 2把 x 看成常數(shù) , 得 z3x 2y ，則 zyy3 1227.x 1 y 2例 7求函數(shù) f (x, y)arctan x 的偏導(dǎo)數(shù)y解:z11yy2 ，z1xxxx2 yx2x1x2y2x2y21yy例 8222設(shè) ux2y2z2，證明uuu1 .xyz證明：因?yàn)?ux ， uy ， uz ，xuyuzu22u2x2y2z2u 2所以uu1xyzu2u2例 9已知理想氣體的狀態(tài)方程(為常數(shù) ).PV=RTR求證： PVT1VTPRT

13、PRTRTVRPV證:,因?yàn)?PVVV 2；VPT P； TRTV. 所以PVTRTR VRTPVTPV2PR1RPV注：偏導(dǎo)數(shù)的記號z ,z 是一個(gè)整體 , 不能看成微xy商, 否則導(dǎo)致運(yùn)算錯(cuò)誤例 10求 f ( x, y)x2xyy2, x2y20 在點(diǎn) (0,0)處的偏0,x2y208最新資料推薦導(dǎo)數(shù) .x 00解: fx (0,0)f (0x,0) f (0,0)(x)202limlim0x 0xx0xy 00f (0y,0)f (0,0)( y)2020 .f y (0,0) limlimy 0yy0y注意 : (1)二元函數(shù)在某點(diǎn)存在偏導(dǎo)數(shù) , 并不能保證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù), 與一元函

14、數(shù)可導(dǎo)必連續(xù)是不相同的(2) 在分界點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)，用偏導(dǎo)數(shù)定義求(3) 由偏導(dǎo)數(shù)的概念可知， f ( x, y) 在點(diǎn) (x0 , y0 ) 處關(guān)于 x的偏導(dǎo)數(shù)f x ( x0 , y0 ) 顯然就是偏導(dǎo)數(shù)f x ( x, y) 在點(diǎn) (x0 , y0 ) 處的函數(shù)值；fy ( x0 , y0 ) 是偏導(dǎo)數(shù) fy ( x, y) 在點(diǎn) (x0 , y0 ) 處的函 數(shù)值從偏導(dǎo)數(shù)的定義中可以看出，偏導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)就是把一個(gè)自變量固定，而將二元函數(shù)看作另一自變量的一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2. 偏導(dǎo) 數(shù)的 幾何 意義：設(shè) P0 (x0 , y0 , f (x0 , y0 ) 為曲 面zf ( x, y) 上的一點(diǎn)

15、，過P0 作平面 y y0 截此曲面 z f (x, y) 得一曲線，其方程為zf ( x, y0 ) ，則導(dǎo)數(shù)f x ( x0 , y0 ) 就是曲線zf ( x, y0 ) 在點(diǎn) P0 ( x0 , y0 , f (x0, y0 ) 處的切線對x 軸的斜率（設(shè)切線與 x 軸的傾斜角為，則 fx (x0 , y0 )tan）9最新資料推薦同樣，偏導(dǎo)數(shù)f y (x0 , y0 ) 是曲面 zf ( x, y) 與平面 xx0 的交線在點(diǎn) P0 (x0 , y0 , f ( x0 , y0 ) 處的切線對y 軸的斜率（設(shè)切線與 y 軸的傾斜角為，則 f y ( x0 , y0 ) tan ）3、

16、高階偏導(dǎo)數(shù)函數(shù) zf ( x, y) 的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)zf x ( x, y) ， zf y (x, y) 它們xy都是 x ， y 的二元函數(shù) , 如果這兩個(gè)函數(shù)關(guān)于x ， y 的偏導(dǎo)數(shù)也存在 ,即z ，z ，z，z ，稱它xxyxx yyy們?yōu)槎瘮?shù) zf ( x, y) 的的二階偏導(dǎo)數(shù)二元函數(shù)的二元偏導(dǎo)數(shù)最多有4 個(gè)將xz表為 2 z2 或 f xx ( x, y) 或 zxx ；xxyz表為 2 z 或 f xy (x, y) 或 zxy ；xxyxz 表為 2 z 或 f yx (x, y) 或 zyx ；yyx10最新資料推薦yz表為 2 z2 或 f yy ( x, y) 或 zy

17、y yy其中，z2 zfxy ( x, y) zxy，z2 zxx yx yf yx ( x, y) zyxyy x是二階混合偏導(dǎo)數(shù)類似地 , 二階偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，稱為原來函數(shù)的三階偏導(dǎo)數(shù)，二元函數(shù)zf ( x, y) 的三階偏導(dǎo)數(shù)最多有8個(gè)：fxxx ， f xxy ， f xyx ， f xyy ， f yxx ， f yxy ， f yyx ， f yyy一般地， n 1階偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，稱為原來函數(shù)的 n 階偏導(dǎo)數(shù)，二元函數(shù) z f ( x, y) 的 n 階偏導(dǎo)數(shù)最多有 2n 個(gè)二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)，而zx和 z 稱為函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)y注：二階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法是逐次求

18、偏導(dǎo)數(shù)定理（求偏導(dǎo)數(shù)次序無關(guān)的定理）如果函數(shù)z f ( x, y) 的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)2 z ，2 z 在區(qū)域 D 內(nèi)連x yy x續(xù), 則對任何 ( x, y) D 有2 z2 z .x yy x即二階混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的條件下, 混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)的次序無關(guān) , 對更高階的偏導(dǎo)數(shù)也有類似的結(jié)論4. 全導(dǎo)數(shù)的定義11最新資料推薦設(shè) z f (u, v) ， u(t ) ， v(t) ，且 f、 、 均可導(dǎo)，則關(guān)于 t 的一元函數(shù) z f (t ),(t ) 也可導(dǎo)，且有dzfduf dvdtudtv dtz 對 t 的導(dǎo)數(shù)叫全導(dǎo)數(shù)四、全微分1. 定義設(shè)函數(shù) zf ( x, y) 在點(diǎn) P0 (x

19、0 , y0 ) 的某鄰域內(nèi)有定義 , 給 x ， y 在 (x0 , y0 ) 分別以增量x 、 y ，相應(yīng)地得到函數(shù)的全增量 z ，若其可表示為zAxB y o()其中 A 、 B 與 x 、 y 無關(guān)( x)2( y)2 o( ) 為 x 0 ，y 0 時(shí) 的高階無窮小則稱函數(shù)f ( x, y) 在 P0 ( x0 , y0 ) 處可微A x B y稱為f ( x, y)在 000)處的全微分，記為P (x, ydz ( x, y )00當(dāng)zf ( x, y)在zf x (x0 , y0 ),Axxx0yy0dz ( x0 , y0 )zxzyx xy xx0x0y y0yy0df (x

20、0, y0 )A xB yP0 ( x0 , y0 )可微時(shí)，zfy ( x0 , y0 )， 于 是By x x0yy0注意：規(guī)定自變量的增量等于自變量的微分，即xdx ，ydy ，則全微分又可記為dzz dxz dy .xy五、二元函數(shù)的連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)及全微分之間的關(guān)系12最新資料推薦定理 2若函數(shù) zf (x, y) 在點(diǎn) P(x, y) 處可微，則函數(shù)在點(diǎn) P( x, y) 連續(xù)定理 3（可微的必要條件）如果函數(shù)z f (x, y) 在點(diǎn) P( x, y) 處可微，則在該點(diǎn)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)z、 z 必都xy存在，且 dzz dxz dy xy定理 4（可微的充分條件）若函數(shù)zf ( x,

21、y) 的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)z 、 z 在點(diǎn) P(x, y) 的某領(lǐng)域存在，并且在點(diǎn)xyP( x, y) 處連續(xù)，則函數(shù) z f ( x, y) 在點(diǎn) P( x, y) 處必可微注：若 zf ( x, y) 在 P( x, y) 處 ,z 、 z 都存在 , 不能保xy證 z f ( x, y) 在 P( x, y)處可微分 .例如： f ( x, y)x2xyy2 , x2y20 在點(diǎn) (0,0)處 fx (0,0) 0 ，0,x2y20f y (0,0) 0 但它在點(diǎn) (0,0)處不可微分 .注：（1）關(guān)于二元函數(shù)全微分的定義及可微分的充分條件可以完全類似地推廣到三元和三元以上的多元函數(shù) .（ 2）

22、函數(shù) z f ( x, y) 的偏導(dǎo)數(shù)存在與否與函數(shù)是否連續(xù)毫無關(guān)系六、多元復(fù)合函數(shù)微分定理 ( 復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) ) 設(shè)函數(shù) u( x, y) ，v( x, y)13最新資料推薦在點(diǎn) ( x, y) 處有偏導(dǎo)數(shù)， 函數(shù) zf (u, v) 在對應(yīng)點(diǎn) (u, v) 處有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) , ，則復(fù)合函數(shù) zf (x, y),( x, y) 在點(diǎn) ( x, y) 處的偏導(dǎo)數(shù)存在 , 且zzuzvzzuzvxuxvxyuyvyuxzvy七、隱函數(shù)微分1. 一元隱函數(shù)求導(dǎo)公式方程F ( x, y)0yy(x) ， F (x, y( x)0 ，鏈?zhǔn)綀DF兩邊對 x 求導(dǎo)，得：xyxFFdy則 dyFFx0 ，

23、xxydxdxFFyy2. 二元隱函數(shù)求導(dǎo)公式方程 F ( x, y, z)兩邊對 x 求導(dǎo)：兩邊對 y 求導(dǎo)：得zx0zz( x, y) 得 F (x, y, z( x, y)0FFzxz0xFFzyz0yFxzFyFzyFz14最新資料推薦7.2 偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的應(yīng)用一、空間曲線的切線與法平面xx(t )空間曲線yy(t ) ，下面給出曲線的切線的定義zz(t )定義：設(shè)點(diǎn) M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 是空間曲線上的一個(gè)定點(diǎn)，M 是曲線 上的一個(gè)動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn) M 沿著曲線 趨近于 M 0 時(shí)，割線 M 0 M 的極限位置 M 0T（如果存在）稱為曲線 在點(diǎn) M 0 的切線，并稱

24、過點(diǎn) M 0 而且垂直于切線 M 0T 的平面為曲線 在點(diǎn) M 0 的法平面下面推導(dǎo)曲線 在點(diǎn) M 0 的切線和法平面方程設(shè)對應(yīng)于定點(diǎn) M 0 的參數(shù)為 t0 ，令 x0x(t0 ) ， y0 y(t0 ) ，z0z(t0 ) ，則點(diǎn) M 0 的坐標(biāo)為 ( x0 , y0 , z0 ) ，設(shè)曲線上對應(yīng)于參數(shù)為 t 0t 的點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 ( x0x, y0y, z0z) ，根據(jù)解析幾何知識，割線 M 0 M 的方向向量為 x,y, z ，也可取為x ,y ,z ，當(dāng) t 0 時(shí)，點(diǎn) M 沿著曲線趨于 M 0 ，割線 M 0Mttt的極限位置就是曲線 在點(diǎn) M 0 的切線，若 x(t ) ，

25、y(t ) ，z(t)在 t0 處可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)不同時(shí)為零，那么此時(shí)切線的方向向量為 x (t0 ), y (t0 ), z (t0 ) ，從而曲線在點(diǎn) M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 處的切線方程為x x0y y0z z0x (t0 )y (t0 )z (t0 )曲線在點(diǎn) M 0 的法平面方程為x (t0 )( xx0 )y (t0 )( yy0 )z (t 0 )( zz0 )015最新資料推薦二、曲面的切平面與法線設(shè)曲面方程為F (x, y, z)0 ，過點(diǎn) M 0 (x0 , y0 , z0 ) 且完全在xx(t )曲 面上的曲 線 為，其參數(shù) 方 程為yy(t) ，因 此zz(

26、t)F ( x(t ), y(t ), z(t)0 對 t 求導(dǎo)，在 tt0 處（即在點(diǎn)M 0 處）有Fx (x0 , y0 , z0 )x (t0 )Fy ( x0 , y0 , z0 ) y (t 0 )Fz (x0 , y0 , z0 ) z (t0 )0向量 x (t0 ), y (t0 ), z (t0 ) 是曲線 在點(diǎn) M 0 的切線的方向向量，向量 Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz( x0 , y0 , z0 ) 和這些切線垂直， 又由于所取曲線 的任意性，可知曲面上任意一條過 M 0 的曲線 ， 它 在 點(diǎn) M 0 的 切

27、 線 皆 垂 直 于 向 量 Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 ) ，因此這些切線應(yīng)位于同一平面上，這個(gè)平面稱為曲面在點(diǎn)M 0 處的切平面，向量 Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 ) 是切平面的法向量曲面在點(diǎn) M 0 處的切平面方程為Fx (x0 , y0 , z0 )( xx0 )Fy ( x0 , y0 , z0 )( yy0 )Fz ( x0 , y0 , z0 )( zz0 )0曲面在點(diǎn) M 0 處的法線方程為x x

28、0y y0z z0Fx ( x0 , y0 , z0 )Fy (x0 , y0 , z0 )Fz( x0 , y0 , z0 )7.3 二元函數(shù)的極值一、二元函數(shù)的極值定義 1：設(shè)函數(shù) zf ( x, y) 在點(diǎn) P0 (x0, y0 ) 的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，若該鄰域內(nèi)16最新資料推薦f ( x, y)f ( x0 , y0 ) ，點(diǎn) ( x0 , y0 ) 為極大點(diǎn)，f (x0 , y0 ) 為極大值；f ( x, y)f ( x0 , y0 ) ，點(diǎn) ( x0 , y0 ) 為極小點(diǎn)， f (x0 , y0 ) 為極小值 . 極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，極小值和極大值通稱為極值定義 2

29、：方程組 f x( x, y) 0的解，稱為函數(shù) z f (x, y) 的f y ( x, y) 0駐點(diǎn)定理 1（取極值的必要條件） ：若函數(shù) zf ( x, y) 在點(diǎn)P0 (x0 , y0 ) 一階偏導(dǎo)數(shù)存在，且P0( x0 , y0 ) 是 z f ( x, y) 的極值點(diǎn)，則該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必為零，即f x ( x0, y0 )0 f y ( x0, y0 )0定理 2（極值存在的充分條件） ：設(shè)點(diǎn) P0 ( x0 , y0 ) 是函數(shù) z f ( x, y) 的駐點(diǎn)，且函數(shù)在點(diǎn) P0(x0 , y0 ) 的某鄰域內(nèi)二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，令A(yù) fxx ( x0 , y0 )Bf xy (x0 ,

30、 y0 )C f yy (x0 , y0 )則(1)當(dāng) B2AC 0 時(shí) , 點(diǎn) P0 (x0, y0 ) 是極值點(diǎn) , 且（ i）當(dāng)A0( 或C 0 ) 時(shí), 點(diǎn) P0 ( x0 , y0 ) 是極大值點(diǎn)； (ii) 當(dāng) A0 ( 或C 0 ) 時(shí), 點(diǎn) P0 ( x0 , y0 ) 是極小值點(diǎn) .（ 2）當(dāng) B2 AC 0 時(shí)，點(diǎn) P0 ( x0 , y0 ) 不是極值點(diǎn) .（ 3）當(dāng) B2 AC 0 時(shí)，點(diǎn) P0 (x0 , y0 ) 可能是極值點(diǎn)也可能不是極值點(diǎn) .例 1 求函數(shù) f (x, y) x3 4x2 2xy y 2 1的極值 .解: （1）求偏導(dǎo)數(shù) f x ( x, y)

31、3x2 8x 2y ， f y ( x, y) 2x 2 y ，17最新資料推薦f xx (x, y) 6x 8 ， f xy ( x, y)y， f yy ( x, y)2（2）解方程組 fx ( x, y) 3x28x2 y 0 得駐點(diǎn) (0,0) 及f y ( x, y)2 x2 y0(2, 2)在 (0,0)處， A8 , B 2 , C2 ,B2AC0在 (2, 2)處， A4 , B 2 , C2 ,B2AC0結(jié)論： 函數(shù)在 (0,0)處取得極大值 f (0,0)1，在 (2, 2) 無極值 .注意：對一般函數(shù), 可能的極值點(diǎn)包括駐點(diǎn)或至少一個(gè)偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).二、條件極值與無條件

32、極值1. 求二元函數(shù)無條件極值步驟如下：（1）求 fx ( x, y) ， f y ( x, y) ，并解方程組fx ( x, y)0 ，求f y (x, y) 0得所有駐點(diǎn)；（2）對于每一個(gè)駐點(diǎn) ( x, y) ，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值A(chǔ)fxx ( x0 , y0 ) ， Bfxy ( x0 , y0 ) ， Cf yy (x0 , y0 ) ；（ 3）定出 B 2 AC 的符號，利用極值存在的充分條件判斷駐點(diǎn) ( x, y) 是否為極值點(diǎn)，若是，是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)，并求出極值2. 求二元函數(shù) z f (x, y) 在約束條件 ( x, y) 0 下的極值的方法和步驟如下：方法一：條件極值無

33、條件極值18最新資料推薦（1）從約束條件( x, y)0 中求出 y( x) ；（ 2）將 y( x) 代入二元函數(shù)f (x, y) 中化為一元函數(shù)f ( x,(x) ，變?yōu)闊o條件極值；（3）求出一元函數(shù)f ( x,( x) 的極值即為所求方法二：條件極值不能轉(zhuǎn)化為無條件極值（運(yùn)用拉格朗日乘數(shù)法） .(1) 構(gòu)造輔助函數(shù) F( x, y, )f (x, y)(x, y) , 稱為拉格朗日函數(shù) , 其中參數(shù)稱為拉格朗日乘數(shù)；(2) 由 F ( x, y, ) 的一階偏導(dǎo)數(shù)組成如下方程組：Fx ( x, y)fx ( x, y)x (x, y)0Fy ( x, y)f y (x, y)y (x, y)0(x, y)0（ 3）結(jié)上述方程組得駐點(diǎn) ( x0 , y0 ) ，則 ( x0 , y0 ) 就是函數(shù)的極值點(diǎn)，依題意判斷 f (