對(duì)面積曲面積分a.ppt

1、一、對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì),引例: 設(shè)曲面形構(gòu)件具有連續(xù)面密度,類(lèi)似求平面薄板質(zhì)量的思想, 采用,可得,求質(zhì),“大化小, 常代變, 近似和, 求極限”,的方法,量 M.,其中, 表示 n 小塊曲面的直徑的,最大值 (曲面的直徑為其上任意兩點(diǎn)間距離的最大者).,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,定義:,設(shè) 為光滑曲面,“乘積和式極限”,都存在,的曲面積分,其中 f (x, y, z) 叫做被積,據(jù)此定義, 曲面形構(gòu)件的質(zhì)量為,曲面面積為,f (x, y, z) 是定義在 上的一,個(gè)有界函數(shù),或第一類(lèi)曲面積分.,若對(duì) 做任意分割和局部區(qū)域任意取點(diǎn),則稱(chēng)此極限為函數(shù) f (x, y, z)

2、在曲面 上對(duì)面積,函數(shù), 叫做積分曲面.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,則對(duì)面積的曲面積分存在., 對(duì)積分域的可加性.,則有, 線(xiàn)性性質(zhì).,在光滑曲面 上連續(xù),對(duì)面積的曲面積分與對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分性質(zhì)類(lèi)似., 積分的存在性.,若 是分片光滑的,例如分成兩,片光滑曲面,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,定理: 設(shè)有光滑曲面,f (x, y, z) 在 上連續(xù),存在, 且有,二、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法,則曲面積分,證明: 由定義知,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,而,(光滑),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,說(shuō)明:,可有類(lèi)似的公式.,1) 如果曲面方程為,2) 若曲面為參數(shù)方程,只

3、要求出在參數(shù)意義下dS,的表達(dá)式 ,也可將對(duì)面積的曲面積分轉(zhuǎn)化為對(duì)參數(shù)的,二重積分. (見(jiàn)本節(jié)后面的例4, 例5),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例1. 計(jì)算曲面積分,其中是球面,被平面,截出的頂部.,解:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,思考:,若 是球面,被平行平面 z =h 截,出的上下兩部分,則,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例2. 計(jì)算,其中 是由平面,坐標(biāo)面所圍成的四面體的表面.,解: 設(shè),上的部分, 則,與,原式 =,分別表示 在平面,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例3.,設(shè),計(jì)算,解: 錐面,與上半球面,交線(xiàn)為,為上半球面夾于錐面間的部分,它在 xoy 面

4、上的,投影域?yàn)?則,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,思考: 若例3 中被積函數(shù)改為,計(jì)算結(jié)果如何 ?,例4. 求半徑為R 的均勻半球殼 的重心.,解: 設(shè) 的方程為,利用對(duì)稱(chēng)性可知重心的坐標(biāo),而,用球坐標(biāo),思考題: 例 3 是否可用球面坐標(biāo)計(jì)算 ?,例3 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例5. 計(jì)算,解: 取球面坐標(biāo)系, 則,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例6. 計(jì)算,其中 是球面,利用對(duì)稱(chēng)性可知,解: 顯然球心為,半徑為,利用重心公式,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例7. 計(jì)算,其中 是介于平面,之間的圓柱面,分析: 若將曲面分為前后(或左右

5、),則,解: 取曲面面積元素,兩片,則計(jì)算較繁.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例8. 求橢圓柱面,位于 xoy 面上方及平面,z = y 下方那部分柱面 的側(cè)面積 S .,解:,取,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例9.,設(shè)有一顆地球同步軌道通訊衛(wèi)星, 距地面高度,h = 36000 km,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,運(yùn)行的角速度與地球自轉(zhuǎn)角速度相同,試計(jì)算該通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比.,(地球半徑 R = 6400 km ),解:,建立坐標(biāo)系如圖,覆蓋曲面 的,半頂角為 ,利用球坐標(biāo)系, 則,衛(wèi)星覆蓋面積為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,故通訊衛(wèi)星的覆蓋面積

6、與地球表面積的比為,由以上結(jié)果可知, 衛(wèi)星覆蓋了地球,以上的面積,故使用三顆相隔,角度的通訊衛(wèi)星就幾乎可以覆蓋地球,全表面.,說(shuō)明: 此題也可用二重積分求 A (見(jiàn)下冊(cè)P109 例2) .,內(nèi)容小結(jié),1. 定義:,2. 計(jì)算: 設(shè),則,(曲面的其他兩種情況類(lèi)似),注意利用球面坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、對(duì)稱(chēng)性、重心公式,簡(jiǎn)化計(jì)算的技巧.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,P158 題4(1)., 在 xoy 面上的投影域?yàn)?這是 的面積 !,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,P159 題7.,如圖所示, 有,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,P184 題2. 設(shè),一卦限中的部分, 則有( ).,( 2000 考研 ),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,備用題 1. 已知曲面殼,求此曲面殼在平面 z1以上部分 的,的面密度,質(zhì)量 M .,解: 在 x