D9_1基本概念.ppt

1、推廣,第九章,一元函數(shù)微分學,多元函數(shù)微分學,注意: 善于類比, 區(qū)別異同,多元函數(shù)微分法,及其應用,第九章,第一節(jié),一、平面點集 n維空間,二、多元函數(shù)的概念,三、多元函數(shù)的極限,四、多元函數(shù)的連續(xù)性,多元函數(shù)的基本概念,一、 平面點集 n維空間,平面點集 在平面中引入直角坐標系后, 平面上的點與有序二元實數(shù)組(x, y)之間就建立了一一對應. 二元有序?qū)崝?shù)組(x, y)的全體, 即 R2=RR=(x, y) | x, yR 就表示坐標平面. 坐標平面上具有某種性質(zhì)P的點的集合, 稱為平面點集, 記作 E=(x, y) | (x, y)具有某種性質(zhì)P 例如: 平面上以原點為中心、r為半徑的圓

2、內(nèi)所有點的集合為 C=(x, y) | x2+y2r2 若以點P表示(x, y), 則 C=P | |OP|r.,2. 鄰域,點集,稱為點 P0 的 鄰域.,例如, 在平面上,(圓鄰域),在空間中,(球鄰域),說明：若不需要強調(diào)鄰域半徑 , 也可寫成,點 P0 的去心鄰域記為,在討論實際問題中也常使用方鄰域,平面上的方鄰域為,。,因為方鄰域與圓,鄰域可以互相包含.,3. 區(qū)域,(1) 內(nèi)點、外點、邊界點,設有點集 E 及一點 P :, 若存在點 P 的某鄰域 U(P) E , 若存在點 P 的某鄰域 U(P) E = , 若對點 P 的任一鄰域 U(P) 既含 E中的內(nèi)點也含 E,則稱 P 為

3、 E 的內(nèi)點；,則稱 P 為 E 的外點 ;,則稱 P 為 E 的邊界點 .,的外點 ,顯然, E 的內(nèi)點必屬于 E ,E 的外點必不屬于 E ,E 的,邊界點可能屬于 E, 也可能不屬于 E .,E的邊界點的全體, 稱為E的邊界， 記作,(2) 聚點,若對任意給定的 ,點P 的去心,鄰域,內(nèi)總有E 中的點 ,則,稱 P 是 E 的聚點.,聚點可以屬于 E , 也可以不屬于 E,(因為聚點可以為,所有聚點所成的點集成為 E 的導集 .,E 的邊界點 ),(3) 開區(qū)域及閉區(qū)域, 若點集 E 的點都是內(nèi)點，則稱 E 為開集；,若點集 E E , 則稱 E 為閉集； 例如, 集合(x, y) |1

4、x2+y22是開集, (x, y) |1 x2+y2 2是閉集, (x, y) |1 x2+y2 2非開集,非閉集, 若集 D 中任意兩點都可用一完全屬于 D 的折線相連 , 開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.,則稱 D 是連通的 ;, 連通的開集稱為開區(qū)域 ,簡稱區(qū)域 ;,。 。, E 的邊界點的全體稱為 E 的邊界, 記作E ;,例如，在平面上,開區(qū)域,閉區(qū)域, 整個平面, 點集,是開集，,是最大的開域 ,也是最大的閉域 ;,但非區(qū)域 ., 對區(qū)域 D , 若存在正數(shù) K , 使一切點 PD 與某定點,A 的距離 AP K ,則稱 D 為有界域 ,界域 .,否則稱為無,*4. n 維空間,

5、n 元有序數(shù)組,的全體所構成的集合記作,即,中的每一個元素用單個粗體字母 x 表示, 即,定義:,線性運算,其元素稱為點或,n 維向量.,xi 稱為 x 的第 i 個坐標 或 第 i 個分量.,稱為 n 維空間,的距離定義為,中點 a 的 鄰域為,與零元 0 的距離為,則稱 x,顯然,趨于a ,二、多元函數(shù)的概念,引例:, 圓柱體的體積, 定量理想氣體的壓強, 三角形面積的海倫公式,定義1. 設非空點集,點集 D 稱為函數(shù)的定義域 ;,數(shù)集,稱為函數(shù)的值域 .,特別地 , 當 n = 2 時, 有二元函數(shù),當 n = 3 時, 有三元函數(shù),映射,稱為定義,在 D 上的 n 元函數(shù) , 記作,例

6、如, 二元函數(shù),定義域為,圓域,說明:,二元函數(shù) z = f (x, y), (x, y) D,圖形為中心在原點的上半球面.,的圖形一般為空間曲面 .,三元函數(shù),定義域為,圖形為,空間中的超曲面.,單位閉球,三、多元函數(shù)的極限,定義2. 設 n 元函數(shù),點 ,則稱 A 為函數(shù),(也稱為 n 重極限),當 n =2 時, 記,二元函數(shù)的極限可寫作：,P0 是 D 的聚,若存在常數(shù) A ,對一,記作,都有,對任意正數(shù) , 總存在正數(shù) ,切,例1. 設,求證:,證:,故,總有,要證,例2. 設,求證：,證：,故,總有,要證, 若當點,趨于不同值或有的極限不存在，,解: 設 P(x , y) 沿直線

7、y = kx 趨于點 (0, 0) ,在點 (0, 0) 的極限.,則可以斷定函數(shù)極限,則有,k 值不同極限不同 !,在 (0,0) 點極限不存在 .,以不同方式趨于,不存在 .,例3. 討論函數(shù),函數(shù),例4. 求,解: 因,而,此函數(shù)定義域 不包括 x , y 軸,則,故,多元函數(shù)的極限運算法則, 與一元函數(shù)的運算法則類似. 例4 求 解 定義域為D=(x, y)|x 0, yR, (0,2)為D的聚點. 由積的運算法則, 得,僅知其中一個存在,推不出其它二者存在.,注. 二重極限,不同.,如果它們都存在, 則三者相等.,例如,顯然,與累次極限,但由例3 知它在(0,0)點二重極限不存在 .

8、,例3,四、 多元函數(shù)的連續(xù)性,定義3 . 設 n 元函數(shù),定義在 D 上,如果函數(shù)在 D 上各點處都連續(xù), 則稱此函數(shù)在 D 上,如果存在,否則稱為不連續(xù),此時,稱為間斷點 .,則稱 n 元函數(shù),連續(xù).,連續(xù),例如, 函數(shù),在點(0 , 0) 極限不存在,又如, 函數(shù),上間斷.,故 ( 0, 0 )為其間斷點.,在圓周,結論: 一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).,定理：若 f (P) 在有界閉域 D 上連續(xù), 則,* (4) f (P) 必在D 上一致連續(xù) .,在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;,(3) 對任意,(有界性定理),(最值定理),(介值定理),(一致連續(xù)性定理),閉域上

9、多元連續(xù)函數(shù)有與一元函數(shù)類似的如下性質(zhì):,(證明略),解: 原式,例5.求,例6. 求函數(shù),的連續(xù)域.,解:,內(nèi)容小結,1. 區(qū)域,鄰域 :,區(qū)域,連通的開集,2. 多元函數(shù)概念,n 元函數(shù),常用,二元函數(shù),(圖形一般為空間曲面),三元函數(shù),有,3. 多元函數(shù)的極限,4. 多元函數(shù)的連續(xù)性,1) 函數(shù),2) 閉域上的多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):,有界定理 ;,最值定理 ;,介值定理,3) 一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù),29,Thanks,P64 題 2; 4; 5 (3), (5) ( 畫圖 ) ; 6; 8,思考與練習,解答提示:,P61 題 2.,稱為二次齊次函數(shù) .,P61 題 4.,P61 題 5(3).,定義域,P61 題 5(5).,定義域,P62 題 8.,間斷點集,P129 題 3.,定義域,P129 題 *4.,令 y= k x ，,若令, 則,可見極限 不存在,P61 5 (2), (4), (6