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文檔簡介
1、最新資料推薦典型例題一例 1 橢圓的一個頂點為 A 2,0 ,其長軸長是短軸長的 2 倍,求橢圓的標準方程分析:題目沒有指出焦點的位置,要考慮兩種位置解:(1)當 A 2,0 為長軸端點時, a2 , b 1 ,橢圓的標準方程為: x2y21 ;41(2)當 A 2,0 為短軸端點時, b 2, a 4 ,橢圓的標準方程為: x2y21 ;416說明:橢圓的標準方程有兩個, 給出一個頂點的坐標和對稱軸的位置, 是不能確定橢圓的橫豎的,因而要考慮兩種情況典型例題二例 2 一個橢圓的焦點將其準線間的距離三等分,求橢圓的離心率解:2ca 221 3c2a2 ,c3 e13 33說明:求橢圓的離心率問
2、題,通常有兩種處理方法,一是求a ,求 c ,再求比二是列含 a 和 c 的齊次方程,再化含 e 的方程,解方程即可典型例題三例 3 已知中心在原點,焦點在 x 軸上的橢圓與直線 x y1 0 交于 A 、 B 兩點, M 為 AB 中點,OM 的斜率為 0.25 ,橢圓的短軸長為 2,求橢圓的方程解:由題意,設(shè)橢圓方程為x 2y 21,a 2xy10a 2 x22a2 x由 x2y21,得 10 ,a2 xMx1x21a2, yM1 xM1222 ,a1 akOMyM11 , a24,xMa 241最新資料推薦 x2y 21為所求4說明:( 1)此題求橢圓方程采用的是待定系數(shù)法; (2)直線
3、與曲線的綜合問題,經(jīng)常要借用根與系數(shù)的關(guān)系,來解決弦長、弦中點、弦斜率問題典型例題四x229例 4 橢圓y1上不同三點,與焦點, 的距離成等差數(shù)列,259A x1 y1 , B 45, C x2 y2F 4 0(1)求證 x1x28 ;(2)若線段 AC 的垂直平分線與 x 軸的交點為 T ,求直線 BT 的斜率 k 證明:(1)由橢圓方程知 a5 , b3 , c4 由圓錐曲線的統(tǒng)一定義知:AFc ,AF a ex14x1 a 2a5 5cx1同理CF54x2 AFCF 2 BF ,且 BF9,55441855 x155 x25 ,即x1x28 (2)因為線段 AC 的中點為y1y2,所以它
4、的垂直平分線方程為4,2yy12y2 x1x2 x4 y1y2又點 T 在 x 軸上,設(shè)其坐標為x0,0 ,代入上式,得 x04y12y222 x1x2又點 A x1, y1 , B x2, y2 都在橢圓上, y12 9 25 x12 25y229 25 x2225922y1y225x1x2 x1x2 93605將此式代入,并利用x1 x28 的結(jié)論得 x0 4 kBT5254 x04典型例題五2最新資料推薦例 5 已知橢圓 x2y 21 ,F(xiàn)1 、F2 為兩焦點,問能否在橢圓上找一點 M ,使 M 到左準線 l 的距離 MN43是 MF1 與 MF2 的等比中項?若存在,則求出點 M 的坐
5、標;若不存在,請說明理由解:假設(shè) M 存在,設(shè) M x1, y1,由已知條件得a 2 , b3 , c1 , e1 左準線 l 的方程是 x4 ,2 MN 4 x1 又由焦半徑公式知:MF1 a ex1 21 x1 , MF2a ex121 x1 21 x121 x1 MNMF1 MF2 , x14222222整理得 5x1232 x148 0 解之得 x14 或 x112 5另一方面2 x12則與矛盾,所以滿足條件的點M 不存在說明:(1)利用焦半徑公式解??珊喕忸}過程(2)本例是存在性問題,解決存在性問題,一般用分析法,即假設(shè)存在,根據(jù)已知條件進行推理和運算進而根據(jù)推理得到的結(jié)果,再作判
6、斷(3)本例也可設(shè) M 2 cos ,3 sin存在,推出矛盾結(jié)論(讀者自己完成) 典型例題六例 6 已知橢圓x2y21,求過點P1122, 且被 P 平分的弦所在的直線方程2分析一: 已知一點求直線,關(guān)鍵是求斜率,故設(shè)斜率為k ,利用條件求 k 解法一: 設(shè)所求直線的斜率為 k ,則直線方程為 y1k x1 代入橢圓方程,并整理得221 2k 2 x22k 22k x1 k 2k30 22由韋達定理得 x1x22k222k 12k3最新資料推薦 P 是弦中點, x1x21故得 k1 2所以所求直線方程為2x4y30 分析二:設(shè)弦兩端坐標為x1, y1、 x2, y2,列關(guān)于 x1 、x2 、
7、y1 、y2 的方程組,從而求斜率: y1y2 x1x2解法二: 設(shè)過 P11的直線與橢圓交于 A x1, y1、 B x2, y2,則由題意得2,2x12y121,2x22y221,2x1x21,y1y21.得 x12x22y12y2202將、代入得 y1y21 ,即直線的斜率為1 所求直線方程為 2x 4y 3 0 x1x222說明:(1)有關(guān)弦中點的問題,主要有三種類型:過定點且被定點平分的弦;平行弦的中點軌跡;過定點的弦中點軌跡(2)解法二是“點差法” ,解決有關(guān)弦中點問題的題較方便,要點是巧代斜率(3)有關(guān)弦及弦中點問題常用的方法是: “韋達定理應(yīng)用”及“點差法” 有關(guān)二次曲線問題也
8、適用典型例題七例 7 求適合條件的橢圓的標準方程(1)長軸長是短軸長的2 倍,且過點2, 6 ;(2)在 x 軸上的一個焦點與短軸兩端點的聯(lián)機互相垂直,且焦距為6分析: 當方程有兩種形式時,應(yīng)分別求解,如(1)題中由 x2y21 求出 a 2148 , b237 ,a2b2在得方程 x 2y 21 后,不能依此寫出另一方程y 2x2114837148372222解:(1)設(shè)橢圓的標準方程為 x 2y2 1 或 y2x21 abab由已知 a2b 又過點 2, 6,因此有4最新資料推薦22626 2221a2b21 或a 2b2由、,得 a 2148 , b237 或 a252 , b213 故
9、所求的方程為x2y21 或 y2x21 148375213(2)設(shè)方程為 x2y21 由已知, c3 , bc 3,所以 a218 故所求方程為 x2y21 a2b2189說明:根據(jù)條件求橢圓的標準方程的思路是“選標準,定參數(shù)” 關(guān)鍵在于焦點的位置是否確定,若不能確定,應(yīng)設(shè)方程x2y21 或y2x212222abab典型例題八例 8橢圓 x 2y21 的右焦點為 F ,過點 A 1, 3,點 M 在橢圓上,當 AM 2 MF 為最小值時,1612求點 M 的坐標分析:本題的關(guān)鍵是求出離心率e1 ,把 2 MF 轉(zhuǎn)化為 M 到右準線的距離,從而得最小值一2般地,求 AM1 MF 均可用此法e1
10、,右準線解:由已知: a4, c2 所以 el:x8 2過 A 作 AQ l ,垂足為 Q ,交橢圓于 M ,故MQ2 MF 顯然AM 2 MF 的最小值為 AQ ,即 M 為所求點,因此yM3 ,且 M 在橢圓上故 xM 23 所以 M 23, 3說明: 本題關(guān)鍵在于未知式AM2 MF 中的“2”的處理事實上,如圖, e1 ,即 MF 是 M 到右準線的距離的一半, 即圖中的 MQ ,問題轉(zhuǎn)化為求橢圓上一點 M ,2使 M 到 A 的距離與到右準線距離之和取最小值典型例題九例 9 求橢圓 x2y21上的點到直線 x y 6 0 的距離的最小值3分析:先寫出橢圓的參數(shù)方程,由點到直線的距離建立
11、三角函數(shù)關(guān)系式,求出距離的最小值解:橢圓的參數(shù)方程為x3 cos ,sin,則點到直線的距離為y設(shè)橢圓上的點的坐標為3 cossin .5最新資料推薦3 cos sin62 sin36d22當 sin1 時, d最小值 2 2 3說明:當直接設(shè)點的坐標不易解決問題時,可建立曲線的參數(shù)方程典型例題十例 10 設(shè)橢圓的中心是坐標原點, 長軸在 x 軸上,離心率 e332,已知點 P 0, 到這個橢圓上的2點的最遠距離是 7 ,求這個橢圓的方程,并求橢圓上的點 P 的距離等于 7的點的坐標分析:本題考查橢圓的性質(zhì)、距離公式、最大值以及分析問題的能力,在求d 的最大值時,要注意討論 b 的取值范圍此題
12、可以用橢圓的標準方程,也可用橢圓的參數(shù)方程,要善于應(yīng)用不等式、平面幾何、三角等知識解決一些綜合性問題,從而加強等價轉(zhuǎn)換、 形數(shù)結(jié)合的思想, 提高邏輯推理能力解法一: 設(shè)所求橢圓的直角坐標方程是x2y 2a21 ,其中 a b 0 待定b22c2a2b21b2由 ea2a2a2 可得b1 e213 1 ,即 a 2b a42設(shè)橢圓上的點 x, y 到點 P 的距離是 d ,則32y29d 2x2ya2 1y23y2b249124b23y23y3 y42342b其中byb 如果 b1 ,則當 yb 時, d 2 (從而 d )有最大值223231 ,與 b1 矛盾由題設(shè)得7b,由此得 b72222
13、因此必有 b1 成立,于是當 y1 時, d 2 (從而 d )有最大值22由題設(shè)得72423,可得 b1 , a2b6最新資料推薦所求橢圓方程是 x2y21411及求得的橢圓方程可得,橢圓上的點1,點1到點 P3的距離是7 由 y3,3,0,2222解法二:根據(jù)題設(shè)條件,可取橢圓的參數(shù)方程是xa cos,其中 ab0 ,待定, 02 ,yb sin為參數(shù)c2a 2b2b2由 e21可得a2a2ab1 e213 1 ,即 a 2b a42設(shè)橢圓上的點 x, y到點 P3的距離為 d ,則0,2y 322d 2x2a2 cos2bsin3224b23b2 sin 23b sin94123b2si
14、n4232bb如果 11,即 b1 ,則當 sin1 時, d 2 (從而 d )有最大值2b223231 ,與 b1 矛盾,因此必有1b,由此得 b71成立由題設(shè)得722222b于是當 sin1 時 d 2 (從而 d )有最大值2b22由題設(shè)知743, b1 , a2 b所求橢圓的參數(shù)方程是x2 cosysin由 sin1 , cos3 ,可得橢圓上的是3, 1,3, 12222典型例題十一例 11 設(shè) x , yR , 2x23 y26x ,求 x2y22x 的最大值和最小值分析: 本題的關(guān)鍵是利用形數(shù)結(jié)合,觀察方程2x23 y26x 與橢圓方程的結(jié)構(gòu)一致設(shè)7最新資料推薦x2y 22xm
15、 ,顯然它表示一個圓,由此可以畫出圖形,考慮橢圓及圓的位置關(guān)系求得最值解:由 2x23y26x ,得2x32y219432可見它表示一個橢圓,其中心在3 ,0 點,焦點在 x 軸上,且過( 0,0)點和( 3,0)點2設(shè) x2y 22xm ,則x1 2y 2m1它表示一個圓,其圓心為(1,0)半徑為m1 m1 在同一坐標系中作出橢圓及圓,如圖所示觀察圖形可知,當圓過(0,0)點時,半徑最小,即m 1 1,此時 m 0 ;當圓過( 3,0)點時,半徑最大,即m 1 4 , m 15 x2y 22x 的最小值為 0,最大值為 15典型例題十二x2y21 a b 0, A 、 B 是其長軸的兩個端點
16、例 12 已知橢圓 C:2b2a(1)過一個焦點 F 作垂直于長軸的弦PP ,求證:不論 a 、 b 如何變化,APB120 (2)如果橢圓上存在一個點Q ,使AQB120 ,求 C 的離心率 e 的取值范圍分析:本題從已知條件出發(fā),兩問都應(yīng)從 APB 和 AQB 的正切值出發(fā)做出估計,因此要從點的坐標、斜率入手本題的第( 2)問中,其關(guān)鍵是根據(jù)什么去列出離心率 e 滿足的不等式,只能是橢圓的固有性質(zhì): xa , yb ,根據(jù)AQB 120 得到2aya23 ,將 x2a 2 a2y 2 代入,x2y 2b28最新資料推薦消去 x ,用 a 、b 、c 表示 y ,以便利用 yb 列出不等式這
17、里要求思路清楚,計算準確,一氣呵成解:(1)設(shè) F c,0, Aa,0, B a,0xcb2b2 x2a2 y2a2b2P c,a于是 k APb2, kBPb2a caa cab2b22a2 APB 是 AP 到 BP 的角 tanAPBa caa cab4c 21a2c2a2 a2c2 tanAPB2故 tanAPB3 APB 120 (2)設(shè) Q x, y ,則 kQAy, kQByxxaa由于對稱性,不妨設(shè) y0,于是AQB 是 QA 到 QB 的角yy2ay tanAQBxaxay2x2y2a21x2a 2 AQB120 ,2ay32y2a2x整理得3x2y2a22022a22 3
18、1a2y22ay0ay xab2 yb2 y0 , y2ab 2 yb , 2ab2b3c23c22ab3c 2 , 4a2 a 2c23c2 4c44a2c24a 40 , 3e44e24 0 e23 或 e22 (舍),6e123典型例題十三例 13已知橢圓x2y 21的離心率 e1,求 k 的值k892分析:分兩種情況進行討論解:當橢圓的焦點在 x 軸上時, a2k8 , b29 ,得 c 2k1由 e1 ,得 k 4 29最新資料推薦當橢圓的焦點在 y 軸上時, a 29 , b2k 8 ,得 c21 k 由 e1 ,得 1 k1 ,即 k5 2945 4滿足條件的 k4 或 k4說明
19、:本題易出現(xiàn)漏解排除錯誤的辦法是:因為 k 8 與 9 的大小關(guān)系不定,所以橢圓的焦點可能在 x 軸上,也可能在 y 軸上故必須進行討論典型例題十四例 14已知橢圓 x 2y 21上一點 P 到右焦點 F2 的距離為 b (b1) ,求 P 到左準線的距離4b2b 2分析:利用橢圓的兩個定義,或利用第二定義和橢圓兩準線的距離求解解法一: 由 x 2y 21,得 a2b , c3b , e3 4b 2b 22由橢圓定義, PF1PF22a4b ,得PF14b PF24bb3b PF1e, d1 為 P 到左準線的距離,由橢圓第二定義,d1 d1PF123b ,e即 P 到左準線的距離為23b P
20、F2e, d2 為 P 到右準線的距離, ec3,解法二: a2d 2PF22 3a283 d2b 又橢圓兩準線的距離為 2cb e33 P 到左準線的距離為 8 3 b2 3 b 2 3b 33說明:運用橢圓的第二定義時,要注意焦點和準線的同側(cè)性否則就會產(chǎn)生誤解橢圓有兩個定義,是從不同的角度反映橢圓的特征,解題時要靈活選擇,運用自如一般地,如遇到動點到兩個定點的問題, 用橢圓第一定義; 如果遇到動點到定直線的距離問題,則用橢圓的第二定義典型例題十五x4 cos ,,求 P 點坐標例 15 設(shè)橢圓2( 為參數(shù) ) 上一點 P 與 x 軸正向所成角 POxy3 sin .3分析:利用參數(shù)與POx
21、 之間的關(guān)系求解10最新資料推薦解:設(shè) P(4 cos , 23 sin ) ,由 P 與 x 軸正向所成角為,3 tan23 sin,即 tan234 cos而 sin0 , cos0 ,由此得到 cos5, sin25 , P 點坐標為 ( 4 5 , 415 ) 5555典型例題十六設(shè) P( x0 , y0 ) 是離心率為 e 的橢圓 x22例 162y21 ( ab0) 上的一點, P 到左焦點 F1 和右焦點abF2 的距離分別為 r1 和 r2 ,求證: r1a ex0 , r2aex0 分析:本題考查橢圓的兩個定義,利用橢圓第二定義,可將橢圓上點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為點到相應(yīng)準線距離
22、a2x0a2PF1e ,解: P 點到橢圓的左準線 l : x的距離, PQ,由橢圓第二定義,PQcc r1 e PQ a ex0 ,由橢圓第一定義, r2 2a r1aex0 說明:本題求證的是橢圓的焦半徑公式,在解決與橢圓的焦半徑(或焦點弦)的有關(guān)問題時,有著廣泛的應(yīng)用請寫出橢圓焦點在 y 軸上的焦半徑公式典型例題十七例 17已知橢圓 x2y21 內(nèi)有一點 A(1 ,1) , F1 、 F2 分別是橢圓的左、右焦點,點P 是橢圓上一點95(1)求 PAPF1的最大值、最小值及對應(yīng)的點 P 坐標;(2)求 PA3 PF2 的最小值及對應(yīng)的點 P 的坐標2分析:本題考查橢圓中的最值問題,通常探
23、求變量的最值有兩種方法:一是目標函數(shù)當,即代數(shù)方法二是數(shù)形結(jié)合,即幾何方法本題若按先建立目標函數(shù),再求最值,則不易解決;若抓住橢圓的定義,轉(zhuǎn)化目標,運用數(shù)形結(jié)合,就能簡捷求解11最新資料推薦解:(1) 如上圖,2a6 , F2 (2 , 0) , AF22 ,設(shè) P 是橢圓上任一點,由PF1PF22a6 ,PAPF2AF2 , PAPF1PF1PF2AF22aAF262 ,等號僅當 PAPF2AF2 時成立,此時 P 、 A 、 F2 共線由 PAPF2AF2, PAPF1PF1PF2AF22a AF2 62 , 等 號 僅 當PAPF2AF2 時成立,此時 P 、 A 、 F2 共線建立 A
24、 、 F2 的直線方程 x y20 ,解方程組xy20,5x29 y2得兩交點45P1 ( 9 152 , 5 15 2) 、 P2( 9 15 2 , 5 15 2) 714714714714綜上所述, P 點與 P1 重合時, PAPF1 取最小值 62 , P 點與 P2 重合時, PAPF2 取最大值62 (2) 如下圖,設(shè) P 是橢圓上任一點, 作 PQ 垂直橢圓右準線, Q 為垂足,由 a3 ,c2 , e2 由3PF2e2, PQ3, PA3PF2PA PQ ,要使其和最小需有 A 、P 、橢圓第二定義知3PF22PQ2Q 共線,即求 A 到右準線距離右準線方程為x9 212最新資料推薦 A 到右準線距離為 7此時 P 點縱坐標與 A 點縱坐標相同為1,代入橢圓得滿足條件的點 P 坐2標 (6 5 , 1) 說明: 求 PA1 PF2 的最小值,就是用第二定義轉(zhuǎn)化后,過A 向相應(yīng)準線作垂線段巧5e用焦點半徑 PF2 與點準距 PQ 互化是解決有關(guān)問題的重要手段典型例題十八22例 18(1) 寫出橢圓 xy1 的參數(shù)方程;9 4(2) 求橢圓內(nèi)接矩形的最大面積分析:本題考查橢圓的參數(shù)方程及其應(yīng)用為簡化運算和減少未知數(shù)的個數(shù),常用橢圓的參數(shù)方程表示曲線上一點坐標,所求問題便化歸為三角問題x3cosR) 解: (1
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