高中理科橢圓的典型例題

1、最新資料推薦典型例題一例 1 橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為 A 2，0 ，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的 2 倍，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分析：題目沒有指出焦點(diǎn)的位置，要考慮兩種位置解：（1）當(dāng) A 2，0 為長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)， a2 ， b 1 ，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： x2y21 ；41（2）當(dāng) A 2，0 為短軸端點(diǎn)時(shí)， b 2， a 4 ，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： x2y21 ；416說明：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩個(gè)， 給出一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)和對(duì)稱軸的位置， 是不能確定橢圓的橫豎的，因而要考慮兩種情況典型例題二例 2 一個(gè)橢圓的焦點(diǎn)將其準(zhǔn)線間的距離三等分，求橢圓的離心率解：2ca 221 3c2a2 ，c3 e13 33說明：求橢圓的離心率問

2、題，通常有兩種處理方法，一是求a ，求 c ，再求比二是列含 a 和 c 的齊次方程，再化含 e 的方程，解方程即可典型例題三例 3 已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓與直線 x y1 0 交于 A 、 B 兩點(diǎn)， M 為 AB 中點(diǎn)，OM 的斜率為 0.25 ，橢圓的短軸長(zhǎng)為 2，求橢圓的方程解：由題意，設(shè)橢圓方程為x 2y 21，a 2xy10a 2 x22a2 x由 x2y21，得 10 ，a2 xMx1x21a2， yM1 xM1222 ，a1 akOMyM11 ， a24，xMa 241最新資料推薦 x2y 21為所求4說明：（ 1）此題求橢圓方程采用的是待定系數(shù)法； （2）直線

3、與曲線的綜合問題，經(jīng)常要借用根與系數(shù)的關(guān)系，來解決弦長(zhǎng)、弦中點(diǎn)、弦斜率問題典型例題四x229例 4 橢圓y1上不同三點(diǎn)，與焦點(diǎn)， 的距離成等差數(shù)列，259A x1 y1 ， B 45， C x2 y2F 4 0（1）求證 x1x28 ；（2）若線段 AC 的垂直平分線與 x 軸的交點(diǎn)為 T ，求直線 BT 的斜率 k 證明：（1）由橢圓方程知 a5 ， b3 ， c4 由圓錐曲線的統(tǒng)一定義知：AFc ，AF a ex14x1 a 2a5 5cx1同理CF54x2 AFCF 2 BF ，且 BF9，55441855 x155 x25 ，即x1x28 （2）因?yàn)榫€段 AC 的中點(diǎn)為y1y2，所以它

4、的垂直平分線方程為4，2yy12y2 x1x2 x4 y1y2又點(diǎn) T 在 x 軸上，設(shè)其坐標(biāo)為x0，0 ，代入上式，得 x04y12y222 x1x2又點(diǎn) A x1， y1 ， B x2， y2 都在橢圓上， y12 9 25 x12 25y229 25 x2225922y1y225x1x2 x1x2 93605將此式代入，并利用x1 x28 的結(jié)論得 x0 4 kBT5254 x04典型例題五2最新資料推薦例 5 已知橢圓 x2y 21 ，F(xiàn)1 、F2 為兩焦點(diǎn)，問能否在橢圓上找一點(diǎn) M ，使 M 到左準(zhǔn)線 l 的距離 MN43是 MF1 與 MF2 的等比中項(xiàng)？若存在，則求出點(diǎn) M 的坐

5、標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由解：假設(shè) M 存在，設(shè) M x1， y1，由已知條件得a 2 ， b3 ， c1 ， e1 左準(zhǔn)線 l 的方程是 x4 ，2 MN 4 x1 又由焦半徑公式知：MF1 a ex1 21 x1 ， MF2a ex121 x1 21 x121 x1 MNMF1 MF2 ， x14222222整理得 5x1232 x148 0 解之得 x14 或 x112 5另一方面2 x12則與矛盾，所以滿足條件的點(diǎn)M 不存在說明：（1）利用焦半徑公式解?？珊?jiǎn)化解題過程（2）本例是存在性問題，解決存在性問題，一般用分析法，即假設(shè)存在，根據(jù)已知條件進(jìn)行推理和運(yùn)算進(jìn)而根據(jù)推理得到的結(jié)果，再作判

6、斷（3）本例也可設(shè) M 2 cos ，3 sin存在，推出矛盾結(jié)論（讀者自己完成） 典型例題六例 6 已知橢圓x2y21，求過點(diǎn)P1122， 且被 P 平分的弦所在的直線方程2分析一： 已知一點(diǎn)求直線，關(guān)鍵是求斜率，故設(shè)斜率為k ，利用條件求 k 解法一： 設(shè)所求直線的斜率為 k ，則直線方程為 y1k x1 代入橢圓方程，并整理得221 2k 2 x22k 22k x1 k 2k30 22由韋達(dá)定理得 x1x22k222k 12k3最新資料推薦 P 是弦中點(diǎn)， x1x21故得 k1 2所以所求直線方程為2x4y30 分析二：設(shè)弦兩端坐標(biāo)為x1， y1、 x2， y2，列關(guān)于 x1 、x2 、

7、y1 、y2 的方程組，從而求斜率： y1y2 x1x2解法二： 設(shè)過 P11的直線與橢圓交于 A x1， y1、 B x2， y2，則由題意得2，2x12y121，2x22y221，2x1x21，y1y21.得 x12x22y12y2202將、代入得 y1y21 ，即直線的斜率為1 所求直線方程為 2x 4y 3 0 x1x222說明：（1）有關(guān)弦中點(diǎn)的問題，主要有三種類型：過定點(diǎn)且被定點(diǎn)平分的弦；平行弦的中點(diǎn)軌跡；過定點(diǎn)的弦中點(diǎn)軌跡（2）解法二是“點(diǎn)差法” ，解決有關(guān)弦中點(diǎn)問題的題較方便，要點(diǎn)是巧代斜率（3）有關(guān)弦及弦中點(diǎn)問題常用的方法是： “韋達(dá)定理應(yīng)用”及“點(diǎn)差法” 有關(guān)二次曲線問題也

8、適用典型例題七例 7 求適合條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（1）長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2 倍，且過點(diǎn)2， 6 ；（2）在 x 軸上的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的聯(lián)機(jī)互相垂直，且焦距為6分析： 當(dāng)方程有兩種形式時(shí)，應(yīng)分別求解，如（1）題中由 x2y21 求出 a 2148 ， b237 ，a2b2在得方程 x 2y 21 后，不能依此寫出另一方程y 2x2114837148372222解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x 2y2 1 或 y2x21 abab由已知 a2b 又過點(diǎn) 2， 6，因此有4最新資料推薦22626 2221a2b21 或a 2b2由、，得 a 2148 ， b237 或 a252 ， b213 故

9、所求的方程為x2y21 或 y2x21 148375213（2）設(shè)方程為 x2y21 由已知， c3 ， bc 3，所以 a218 故所求方程為 x2y21 a2b2189說明：根據(jù)條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的思路是“選標(biāo)準(zhǔn)，定參數(shù)” 關(guān)鍵在于焦點(diǎn)的位置是否確定，若不能確定，應(yīng)設(shè)方程x2y21 或y2x212222abab典型例題八例 8橢圓 x 2y21 的右焦點(diǎn)為 F ，過點(diǎn) A 1， 3，點(diǎn) M 在橢圓上，當(dāng) AM 2 MF 為最小值時(shí)，1612求點(diǎn) M 的坐標(biāo)分析：本題的關(guān)鍵是求出離心率e1 ，把 2 MF 轉(zhuǎn)化為 M 到右準(zhǔn)線的距離，從而得最小值一2般地，求 AM1 MF 均可用此法e1

10、，右準(zhǔn)線解：由已知： a4， c2 所以 el：x8 2過 A 作 AQ l ，垂足為 Q ，交橢圓于 M ，故MQ2 MF 顯然AM 2 MF 的最小值為 AQ ，即 M 為所求點(diǎn)，因此yM3 ，且 M 在橢圓上故 xM 23 所以 M 23， 3說明： 本題關(guān)鍵在于未知式AM2 MF 中的“2”的處理事實(shí)上，如圖， e1 ，即 MF 是 M 到右準(zhǔn)線的距離的一半， 即圖中的 MQ ，問題轉(zhuǎn)化為求橢圓上一點(diǎn) M ，2使 M 到 A 的距離與到右準(zhǔn)線距離之和取最小值典型例題九例 9 求橢圓 x2y21上的點(diǎn)到直線 x y 6 0 的距離的最小值3分析：先寫出橢圓的參數(shù)方程，由點(diǎn)到直線的距離建立

11、三角函數(shù)關(guān)系式，求出距離的最小值解：橢圓的參數(shù)方程為x3 cos ，sin，則點(diǎn)到直線的距離為y設(shè)橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)為3 cossin .5最新資料推薦3 cos sin62 sin36d22當(dāng) sin1 時(shí)， d最小值 2 2 3說明：當(dāng)直接設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)不易解決問題時(shí)，可建立曲線的參數(shù)方程典型例題十例 10 設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)， 長(zhǎng)軸在 x 軸上，離心率 e332，已知點(diǎn) P 0， 到這個(gè)橢圓上的2點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是 7 ，求這個(gè)橢圓的方程，并求橢圓上的點(diǎn) P 的距離等于 7的點(diǎn)的坐標(biāo)分析：本題考查橢圓的性質(zhì)、距離公式、最大值以及分析問題的能力，在求d 的最大值時(shí)，要注意討論 b 的取值范圍此題

12、可以用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，也可用橢圓的參數(shù)方程，要善于應(yīng)用不等式、平面幾何、三角等知識(shí)解決一些綜合性問題，從而加強(qiáng)等價(jià)轉(zhuǎn)換、 形數(shù)結(jié)合的思想， 提高邏輯推理能力解法一： 設(shè)所求橢圓的直角坐標(biāo)方程是x2y 2a21 ，其中 a b 0 待定b22c2a2b21b2由 ea2a2a2 可得b1 e213 1 ，即 a 2b a42設(shè)橢圓上的點(diǎn) x， y 到點(diǎn) P 的距離是 d ，則32y29d 2x2ya2 1y23y2b249124b23y23y3 y42342b其中byb 如果 b1 ，則當(dāng) yb 時(shí)， d 2 （從而 d ）有最大值223231 ，與 b1 矛盾由題設(shè)得7b，由此得 b72222

13、因此必有 b1 成立，于是當(dāng) y1 時(shí)， d 2 （從而 d ）有最大值22由題設(shè)得72423，可得 b1 ， a2b6最新資料推薦所求橢圓方程是 x2y21411及求得的橢圓方程可得，橢圓上的點(diǎn)1，點(diǎn)1到點(diǎn) P3的距離是7 由 y3，3，0，2222解法二：根據(jù)題設(shè)條件，可取橢圓的參數(shù)方程是xa cos，其中 ab0 ，待定， 02 ，yb sin為參數(shù)c2a 2b2b2由 e21可得a2a2ab1 e213 1 ，即 a 2b a42設(shè)橢圓上的點(diǎn) x， y到點(diǎn) P3的距離為 d ，則0，2y 322d 2x2a2 cos2bsin3224b23b2 sin 23b sin94123b2si

14、n4232bb如果 11，即 b1 ，則當(dāng) sin1 時(shí)， d 2 （從而 d ）有最大值2b223231 ，與 b1 矛盾，因此必有1b，由此得 b71成立由題設(shè)得722222b于是當(dāng) sin1 時(shí) d 2 （從而 d ）有最大值2b22由題設(shè)知743， b1 ， a2 b所求橢圓的參數(shù)方程是x2 cosysin由 sin1 ， cos3 ，可得橢圓上的是3， 1，3， 12222典型例題十一例 11 設(shè) x ， yR ， 2x23 y26x ，求 x2y22x 的最大值和最小值分析： 本題的關(guān)鍵是利用形數(shù)結(jié)合，觀察方程2x23 y26x 與橢圓方程的結(jié)構(gòu)一致設(shè)7最新資料推薦x2y 22xm

15、 ，顯然它表示一個(gè)圓，由此可以畫出圖形，考慮橢圓及圓的位置關(guān)系求得最值解：由 2x23y26x ，得2x32y219432可見它表示一個(gè)橢圓，其中心在3 ，0 點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x 軸上，且過（ 0，0）點(diǎn)和（ 3，0）點(diǎn)2設(shè) x2y 22xm ，則x1 2y 2m1它表示一個(gè)圓，其圓心為（1，0）半徑為m1 m1 在同一坐標(biāo)系中作出橢圓及圓，如圖所示觀察圖形可知，當(dāng)圓過（0，0）點(diǎn)時(shí)，半徑最小，即m 1 1，此時(shí) m 0 ；當(dāng)圓過（ 3，0）點(diǎn)時(shí)，半徑最大，即m 1 4 ， m 15 x2y 22x 的最小值為 0，最大值為 15典型例題十二x2y21 a b 0， A 、 B 是其長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)

16、例 12 已知橢圓 C：2b2a（1）過一個(gè)焦點(diǎn) F 作垂直于長(zhǎng)軸的弦PP ，求證：不論 a 、 b 如何變化，APB120 （2）如果橢圓上存在一個(gè)點(diǎn)Q ，使AQB120 ，求 C 的離心率 e 的取值范圍分析：本題從已知條件出發(fā)，兩問都應(yīng)從 APB 和 AQB 的正切值出發(fā)做出估計(jì)，因此要從點(diǎn)的坐標(biāo)、斜率入手本題的第（ 2）問中，其關(guān)鍵是根據(jù)什么去列出離心率 e 滿足的不等式，只能是橢圓的固有性質(zhì)： xa ， yb ，根據(jù)AQB 120 得到2aya23 ，將 x2a 2 a2y 2 代入，x2y 2b28最新資料推薦消去 x ，用 a 、b 、c 表示 y ，以便利用 yb 列出不等式這

17、里要求思路清楚，計(jì)算準(zhǔn)確，一氣呵成解：（1）設(shè) F c，0， Aa，0， B a，0xcb2b2 x2a2 y2a2b2P c，a于是 k APb2， kBPb2a caa cab2b22a2 APB 是 AP 到 BP 的角 tanAPBa caa cab4c 21a2c2a2 a2c2 tanAPB2故 tanAPB3 APB 120 （2）設(shè) Q x， y ，則 kQAy， kQByxxaa由于對(duì)稱性，不妨設(shè) y0，于是AQB 是 QA 到 QB 的角yy2ay tanAQBxaxay2x2y2a21x2a 2 AQB120 ，2ay32y2a2x整理得3x2y2a22022a22 3

18、1a2y22ay0ay xab2 yb2 y0 ， y2ab 2 yb ， 2ab2b3c23c22ab3c 2 ， 4a2 a 2c23c2 4c44a2c24a 40 ， 3e44e24 0 e23 或 e22 （舍），6e123典型例題十三例 13已知橢圓x2y 21的離心率 e1，求 k 的值k892分析：分兩種情況進(jìn)行討論解：當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在 x 軸上時(shí)， a2k8 ， b29 ，得 c 2k1由 e1 ，得 k 4 29最新資料推薦當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在 y 軸上時(shí)， a 29 ， b2k 8 ，得 c21 k 由 e1 ，得 1 k1 ，即 k5 2945 4滿足條件的 k4 或 k4說明

19、：本題易出現(xiàn)漏解排除錯(cuò)誤的辦法是：因?yàn)?k 8 與 9 的大小關(guān)系不定，所以橢圓的焦點(diǎn)可能在 x 軸上，也可能在 y 軸上故必須進(jìn)行討論典型例題十四例 14已知橢圓 x 2y 21上一點(diǎn) P 到右焦點(diǎn) F2 的距離為 b (b1) ，求 P 到左準(zhǔn)線的距離4b2b 2分析：利用橢圓的兩個(gè)定義，或利用第二定義和橢圓兩準(zhǔn)線的距離求解解法一： 由 x 2y 21，得 a2b ， c3b ， e3 4b 2b 22由橢圓定義， PF1PF22a4b ，得PF14b PF24bb3b PF1e， d1 為 P 到左準(zhǔn)線的距離，由橢圓第二定義，d1 d1PF123b ，e即 P 到左準(zhǔn)線的距離為23b P

20、F2e， d2 為 P 到右準(zhǔn)線的距離， ec3，解法二： a2d 2PF22 3a283 d2b 又橢圓兩準(zhǔn)線的距離為 2cb e33 P 到左準(zhǔn)線的距離為 8 3 b2 3 b 2 3b 33說明：運(yùn)用橢圓的第二定義時(shí)，要注意焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的同側(cè)性否則就會(huì)產(chǎn)生誤解橢圓有兩個(gè)定義，是從不同的角度反映橢圓的特征，解題時(shí)要靈活選擇，運(yùn)用自如一般地，如遇到動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的問題， 用橢圓第一定義； 如果遇到動(dòng)點(diǎn)到定直線的距離問題，則用橢圓的第二定義典型例題十五x4 cos ,，求 P 點(diǎn)坐標(biāo)例 15 設(shè)橢圓2( 為參數(shù) ) 上一點(diǎn) P 與 x 軸正向所成角 POxy3 sin .3分析：利用參數(shù)與POx

21、 之間的關(guān)系求解10最新資料推薦解：設(shè) P(4 cos , 23 sin ) ，由 P 與 x 軸正向所成角為，3 tan23 sin，即 tan234 cos而 sin0 ， cos0 ，由此得到 cos5， sin25 ， P 點(diǎn)坐標(biāo)為 ( 4 5 , 415 ) 5555典型例題十六設(shè) P( x0 , y0 ) 是離心率為 e 的橢圓 x22例 162y21 ( ab0) 上的一點(diǎn)， P 到左焦點(diǎn) F1 和右焦點(diǎn)abF2 的距離分別為 r1 和 r2 ，求證： r1a ex0 ， r2aex0 分析：本題考查橢圓的兩個(gè)定義，利用橢圓第二定義，可將橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線距離

22、a2x0a2PF1e ，解： P 點(diǎn)到橢圓的左準(zhǔn)線 l ： x的距離， PQ，由橢圓第二定義，PQcc r1 e PQ a ex0 ，由橢圓第一定義， r2 2a r1aex0 說明：本題求證的是橢圓的焦半徑公式，在解決與橢圓的焦半徑（或焦點(diǎn)弦）的有關(guān)問題時(shí)，有著廣泛的應(yīng)用請(qǐng)寫出橢圓焦點(diǎn)在 y 軸上的焦半徑公式典型例題十七例 17已知橢圓 x2y21 內(nèi)有一點(diǎn) A(1 ,1) ， F1 、 F2 分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P 是橢圓上一點(diǎn)95(1)求 PAPF1的最大值、最小值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn) P 坐標(biāo)；(2)求 PA3 PF2 的最小值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn) P 的坐標(biāo)2分析：本題考查橢圓中的最值問題，通常探

23、求變量的最值有兩種方法：一是目標(biāo)函數(shù)當(dāng)，即代數(shù)方法二是數(shù)形結(jié)合，即幾何方法本題若按先建立目標(biāo)函數(shù)，再求最值，則不易解決；若抓住橢圓的定義，轉(zhuǎn)化目標(biāo)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，就能簡(jiǎn)捷求解11最新資料推薦解：(1) 如上圖，2a6 ， F2 (2 , 0) ， AF22 ，設(shè) P 是橢圓上任一點(diǎn)，由PF1PF22a6 ，PAPF2AF2 ， PAPF1PF1PF2AF22aAF262 ，等號(hào)僅當(dāng) PAPF2AF2 時(shí)成立，此時(shí) P 、 A 、 F2 共線由 PAPF2AF2， PAPF1PF1PF2AF22a AF2 62 ， 等 號(hào) 僅 當(dāng)PAPF2AF2 時(shí)成立，此時(shí) P 、 A 、 F2 共線建立 A

24、 、 F2 的直線方程 x y20 ，解方程組xy20,5x29 y2得兩交點(diǎn)45P1 ( 9 152 , 5 15 2) 、 P2( 9 15 2 , 5 15 2) 714714714714綜上所述， P 點(diǎn)與 P1 重合時(shí)， PAPF1 取最小值 62 ， P 點(diǎn)與 P2 重合時(shí)， PAPF2 取最大值62 (2) 如下圖，設(shè) P 是橢圓上任一點(diǎn)， 作 PQ 垂直橢圓右準(zhǔn)線， Q 為垂足，由 a3 ，c2 ， e2 由3PF2e2， PQ3， PA3PF2PA PQ ，要使其和最小需有 A 、P 、橢圓第二定義知3PF22PQ2Q 共線，即求 A 到右準(zhǔn)線距離右準(zhǔn)線方程為x9 212最新資料推薦 A 到右準(zhǔn)線距離為 7此時(shí) P 點(diǎn)縱坐標(biāo)與 A 點(diǎn)縱坐標(biāo)相同為1，代入橢圓得滿足條件的點(diǎn) P 坐2標(biāo) (6 5 , 1) 說明： 求 PA1 PF2 的最小值，就是用第二定義轉(zhuǎn)化后，過A 向相應(yīng)準(zhǔn)線作垂線段巧5e用焦點(diǎn)半徑 PF2 與點(diǎn)準(zhǔn)距 PQ 互化是解決有關(guān)問題的重要手段典型例題十八22例 18(1) 寫出橢圓 xy1 的參數(shù)方程；9 4(2) 求橢圓內(nèi)接矩形的最大面積分析：本題考查橢圓的參數(shù)方程及其應(yīng)用為簡(jiǎn)化運(yùn)算和減少未知數(shù)的個(gè)數(shù)，常用橢圓的參數(shù)方程表示曲線上一點(diǎn)坐標(biāo)，所求問題便化歸為三角問題x3cosR) 解： (1