奧數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)例題、練習及答案

1、最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)（一）教學目標：1通過學生對應用題的條件與問題的全面分析，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的意識。2通過比較與辨析，使學生進一步理解和掌握“最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)”應用題的解題規(guī)律。3培養(yǎng)學生的合作交流意識和創(chuàng)新意識，發(fā)展學生的空間觀念與想像力。教學過程：一、基本概念知識1.公約數(shù)和最大公約數(shù) 如果一個自然數(shù)a能被自然數(shù)b整除，那么稱a為b的倍數(shù)，b為a的約數(shù)。如果一個自然數(shù)同時是若干個自然數(shù)的約數(shù)，那么稱這個自然數(shù)是這若干個自然數(shù)的公約數(shù)。在所有公約數(shù)中最大的一個公約數(shù)，稱為這若干個自然數(shù)的最大公約數(shù)。例如：12的約數(shù)有：1，2，3，4，6，12; 18的約數(shù)有：1，2，3，

2、6，9，18。自然數(shù)的最大公約數(shù)通常用符號（）表示，例如，12和18的公約數(shù)有：1，2，3，6.其中6是12和18的最大公約數(shù)，記作(12，18)=6。（8，12）=4，（6，9，15）=3。2.公倍數(shù)和最小公倍數(shù)如果一個自然數(shù)同時是若干個自然數(shù)的倍數(shù)，那么稱這個自然數(shù)是這若干個自然數(shù)的公倍數(shù)。在所有公倍數(shù)中最小的一個公倍數(shù)，稱為這若干個自然數(shù)的最小公倍數(shù)。例如：12的倍數(shù)有：12，24，36，48，60，72，84， 18的倍數(shù)有：18，36，54，72，90，自然數(shù)的最小公倍數(shù)通常用符號表示，例如12和18的公倍數(shù)有：36，72，.其中36是12和18的最小公倍數(shù)，記作12，18=36。8

3、，12=24，6，9，15=90。3.互質(zhì)數(shù) 如果兩個數(shù)的最大公約數(shù)是1，那么這兩個數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。 常用的求最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的方法是分解質(zhì)因數(shù)法和短除法。用短除法求若干個數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的區(qū)別：求個數(shù)的最大公約數(shù)：（1） 必須每次都用個數(shù)的公約數(shù)去除；（2） 一直除到個數(shù)的商互質(zhì)（但不一定兩兩互質(zhì)）；（3） 個數(shù)的最大公約數(shù)即為短除式中所有除數(shù)的乘積。求個數(shù)的最小公倍數(shù)：（1） 必須先用（如果有）個數(shù)的公約數(shù)去除，除到個數(shù)沒有除去1以外的公約數(shù)后，在用個數(shù)的公約數(shù)去除，除到個數(shù)沒有除1以外的公約數(shù)后，再用個數(shù)的公約數(shù)去除，如此繼續(xù)下去，為保證這一條，每次所用的除數(shù)均可選質(zhì)數(shù)；（

4、2） 只要有兩個數(shù)（被除數(shù)）能被同一數(shù)整除，就要繼續(xù)除，一定要除到個數(shù)的商兩兩互質(zhì)為止；（3） 個數(shù)的最小公倍數(shù)即為短除式中，所有除數(shù)和最后兩兩互質(zhì)的商的乘積。例1 用60元錢可以買一級茶葉144克，或買二級茶葉180克，或買三級茶葉240克?，F(xiàn)將這三種茶葉分別按整克數(shù)裝袋，要求每袋的價格都相等，那么每袋的價格最低是多少元錢？分析與解： 因為144克一級茶葉、180克二級茶葉、240克三級茶葉都是60元，分裝后每袋的價格相等，所以144克一級茶葉、180克二級茶葉、240克三級茶 葉，分裝的袋數(shù)應相同，即分裝的袋數(shù)應是144，180，240的公約數(shù)。題目要求每袋的價格盡量低，所以分裝的袋數(shù)應盡

5、量多，應是 144，180，240的最大公約數(shù)。是144，180，240的最大公約數(shù)。 所以（144，180，240）=223=12，即每60元的茶葉分裝成12袋，每袋的價格最低是6012=5（元）。例2 用自然數(shù)a去除498，450，414，得到相同的余數(shù)，a最大是多少？分析與解：因為498，450，414除以a所得的余數(shù)相同，所以它們兩兩之差的公約數(shù)應能被a整除。498-450=48，450-414=36，498-414=84。所求數(shù)是（48，36，84）=12。 例3 現(xiàn)有三個自然數(shù)，它們的和是1111，這樣的三個自然數(shù)的公約數(shù)中，最大的可以是多少？分析與解： 只知道三個自然數(shù)的和，不知

6、道三個自然數(shù)具體是幾，似乎無法求最大公約數(shù)。只能從唯一的條件“它們的和是1111”入手分析。三個數(shù)的和是1111，它們 的公約數(shù)一定是1111的約數(shù)。因為1111=10111，它的約數(shù)只能是1，11，101和1111，由于三個自然數(shù)的和是1111，所以三個自然數(shù) 都小于1111，1111不可能是三個自然數(shù)的公約數(shù)，而101是可能的，比如取三個數(shù)為101，101和909。所以所求數(shù)是101。例4 在一個3024的方格紙上畫一條對角線（見下頁上圖），這條對角線除兩個端點外，共經(jīng)過多少個格點（橫線與豎線的交叉點）？分析與解：（30，24）=6，說明如果將方格紙橫、豎都分成6份，即分成66個相同的矩形

7、，那么每個矩形是由（306）（246）=54（個）小方格組成。在66的簡化圖中，對角線也是它所經(jīng)過的每一個矩形的對角線，所以經(jīng)過5個格點（見左下圖）。在對角線所經(jīng)過的每一個矩形的54個小方格中，對角線不經(jīng)過任何格點（見右下圖）。所以，對角線共經(jīng)過格點（30，24）-1=5（個）。例5 甲、乙、丙三人繞操場競走，他們走一圈分別需要1分、1分15秒和1分30秒。三人同時從起點出發(fā)，最少需多長時間才能再次在起點相會？分析與解：甲、乙、丙走一圈分別需60秒、75秒和90秒，因為要在起點相會，即三人都要走整圈數(shù)，所以需要的時間應是60，75，90的公倍數(shù)。所求時間為60，75，90=900（秒）=15（

8、分）。 例6 爺爺對小明說：“我現(xiàn)在的年齡是你的7倍，過幾年是你的6倍，再過若干年就分別是你的5倍、4倍、3倍、2倍?！蹦阒罓敔敽托∶鳜F(xiàn)在的年齡嗎？分析與解：爺爺和小明的年齡隨著時間的推移都在變化，但他們的年齡差是保持不變的。爺爺?shù)哪挲g現(xiàn)在是小明的7倍，說明他們的年齡差是6的倍數(shù)；同理，他們的年齡差也是5，4，3，2，1的倍數(shù)。由此推知，他們的年齡差是6，5，4，3，2的公倍數(shù)。6，5，4，3，2=60，爺爺和小明的年齡差是60的整數(shù)倍?？紤]到年齡的實際情況，爺爺與小明的年齡差應是60歲。所以現(xiàn)在小明的年齡=60（7-1）=10（歲），爺爺?shù)哪挲g=107=70（歲）。二、隨堂練習 最大公約數(shù)

9、與最小公倍數(shù)（二）摘要：這一講主要講最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的關(guān)系，并對最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的概念加以推廣。在求18與12的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)時，由短除法可知，（18，12）=23=6，18，12=2332=36。如果把18與12的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)相乘，那么（18，12）18，12=（23）（2332）=（233）（232）=1812。也就是說，18與12的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積，等于18與12的乘積。當把18，12換成其它自然數(shù)時，依然有類似的結(jié)論。從而得出一個重要結(jié)論：兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積，等于這兩個自然數(shù)的乘積。即，（a，b）a，b=ab。例1 兩個自

10、然數(shù)的最大公約數(shù)是6，最小公倍數(shù)是72。已知其中一個自然數(shù)是18，求另一個自然數(shù)。解：由上面的結(jié)論，另一個自然數(shù)是（672）18=24。例2 兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)是7，最小公倍數(shù)是210。這兩個自然數(shù)的和是77，求這兩個自然數(shù)。分析與解：如果將兩個自然數(shù)都除以7，則原題變?yōu)椋骸皟蓚€自然數(shù)的最大公約數(shù)是1，最小公倍數(shù)是30。這兩個自然數(shù)的和是11，求這兩個自然數(shù)。”改變以后的兩個數(shù)的乘積是130=30，和是11。30=130=215=310=56，由上式知，兩個因數(shù)的和是11的只有56，且5與6互質(zhì)。因此改變后的兩個數(shù)是5和6，故原來的兩個自然數(shù)是75=35和76=42。例3 已知a與b，a與

11、c的最大公約數(shù)分別是12和15，a，b，c的最小公倍數(shù)是120，求a，b，c。分析與解：因為12，15都是a的約數(shù)，所以a應當是12與15的公倍數(shù)，即是12，15=60的倍數(shù)。再由a，b，c=120知， a只能是60或120。a，c=15，說明c沒有質(zhì)因數(shù)2，又因為a，b，c=120=2335，所以c=15。因為a是c的倍數(shù)，所以求a，b的問題可以簡化為：“a是60或120，（a，b）=12，a，b=120，求a，b。”當a=60時，b=（a，b）a，ba=1212060=24；當a=120時，b=（a，b）a，ba=12120120=12。所以a，b，c為60，24，15或120，12，15

12、。要將它們?nèi)糠謩e裝入小瓶中，每個小瓶裝入液體的重量相同。問：每瓶最多裝多少千克？分析與解：如果三種溶液的重量都是整數(shù)，那么每瓶裝的重量就是三 種溶液重量的最大公約數(shù)?，F(xiàn)在的問題是三種溶液的重量不是整數(shù)。要解決這個問題，可以將重量分別乘以某個數(shù)，將分數(shù)化為整數(shù)，求出數(shù)值后，再除以這個數(shù)。 為此，先求幾個分母的最小公倍數(shù)，6，4，9=36，三種溶液的重量都乘以36后，變?yōu)?50，135和80，（150，135，80）=5。上式說明，若三種溶液分別重150，135，80千克，則每瓶最多裝5千克。可實際重量是150，135，80的1/36，所以每瓶最多裝在例4中，出現(xiàn)了與整數(shù)的最大公約數(shù)類似的分數(shù)問

13、題。為此，我們將最大公約數(shù)的概念推廣到分數(shù)中。如果若干個分數(shù)（含整數(shù)）都是某個分數(shù)的整數(shù)倍，那么稱這個分數(shù)是這若干個分數(shù)的公約數(shù)。在所有公約數(shù)中最大的一個公約數(shù)，稱為這若干個分數(shù)的最大公約數(shù)。由例4的解答，得到求一組分數(shù)的最大公約數(shù)的方法：（1）先將各個分數(shù)化為假分數(shù)；（2）求出各個分數(shù)的分母的最小公倍數(shù)a；（3）求出各個分數(shù)的分子的最大公約數(shù)b； （4）即為所求。例5 求，的最大公約數(shù)。類似地，我們也可以將最小公倍數(shù)的概念推廣到分數(shù)中。如果某個分數(shù)（或整數(shù)）同時是若干個分數(shù)（含整數(shù)）的整數(shù)倍，那么稱這個分數(shù)是這若干個分數(shù)的公倍數(shù)。在所有公倍數(shù)中最小的一個公倍數(shù)，稱為這若干個分數(shù)的最小公倍數(shù)。求一組分數(shù)的最小公倍數(shù)的方法：（1）先將各個分數(shù)化為假分數(shù)；（2）求出各個分數(shù)的分子的最小公倍數(shù)a；（3）求出各個分數(shù)的分母的最大公約數(shù)b；一個陷井。它們之中誰先掉進陷井？它掉進陷井時另一個跳了多遠？同理，黃鼠狼掉進陷井時與起點的距離為所以黃鼠狼掉進陷井時跳了31 1/26 3/10=5（次）。黃鼠狼先掉進陷井，它掉進陷井時，狐貍跳了專題練習1.將72和120的乘積寫成它們的最大公約數(shù)和最最小公倍數(shù)的乘積的形式。2.兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)是12，最小公倍數(shù)是72。滿足條件的自