第一屆全國大學生數(shù)學競賽決賽數(shù)學類試題解答

1、首屆全國大學生數(shù)學競賽決賽試卷詳細答案（數(shù)學類）tian27546西西 填空題（共分，每空分）a b （）設ba，則 a b pb b解： （ b a） aa 1x2(2) : 若關于x的方程kx +常數(shù)k = = 1(k 0)在區(qū)間（0,）內有唯一的實數(shù)根，則1x2x) = k -,經過分析f (x)在x = 3 2 取得最小值，2解：設f (x) = kx +,則f（x3k2k 22 3f (3) = 33 = 1時只有唯一解，所以k =.記得這個是一個高考模擬試題。k49x(3) : 設函數(shù)f（x)在區(qū)間【a, b上連續(xù)，由積分中值公式得 f (t)dt = (x - a) f (x )

2、0(a x x b), 若導數(shù)f (a)存在且非零，則lim x - a 的值等于 +x - axa+解：lim x - a = x - af (x ) - f (a) 1 f (x ) - f (a) lim=limf (x ) - f (a)x - ax - af + (a) xa+x - axa+xa+xaf（t)dt - (x - a) f（a) 1 f (x) - f (a)=lim= 1limf + (a) xa+= 1（x - a)22(x - a)2f + (a) xa+(4) : 設（a b) c = 6,則（a + b) (b + c) (a + c) = 解（: （a +

3、 b) (b + c) (a + c) = (a b + a c + b c) (a + c)= (b c) a + (a b) c = 2(a b) c = 12總結一下這些題目，是不是很簡單，也是不是都做過都看過呢，第一題吉米上和一些數(shù)分 基本都有，就是把它換成一個重積分就是了，當然還有一種方法就是用含參積分做，讀者不妨 試一試，第二題不用說了，在高中模擬卷上經常見的到的題目，第三題很多書上都有包括周民強的數(shù)分演練上有幾個在一起，其次在數(shù)分最新方法里有個一般結論，大家去看看。第4題是個基礎 題，在解幾書籍后面習題都會有，當然2007年天津市也競賽過。所以數(shù)學類的填空題是不是很簡單二 (10

4、分）設f (x)在（-1,1）上有定義，在x = 0處可導，且f（0）=0：證明n k f (0)f () =.limn22nk =1證明：由有限增量公式：f (x) = f (x) - f (0) = f (0)x + 0(x), 得到1 k n時f (0) k + 0( k ),n) = f (0) n +12n k ) =f ( kn2 f（ 0）因此 f (+ o(1) .22n2nn2k =1這個也是老題，大家都看過，在1977年莫斯科大學競賽考過，9幾年江蘇非理科 也考過，當然歷年復旦數(shù)學分析也考過這個題，大家去查查。 三 (12分）：此題和非數(shù)最后一題一樣，所以略 四（12分）設

5、D =（ x, y) | x2 + y 2 1, f (x, y)在D內連續(xù)，g（x, y)在D內連續(xù) 有界，且滿足條件：（1）當x2 + y2 1時，f（x, y) ，(2)在D中f與g有二階偏 2 f2 f2 g2 g導數(shù)， 2 += e ,+ e , 證明：f (x, y) g(x, y)在D內處處成立。 fgxyxy222證：考慮函數(shù)h = f - g, 那么由條件有 lim = +,因此函數(shù)h在區(qū)域D內某點 x2 + y 2 1p(x0 , y0 )會取得最小值，并且這個最小值也一定是極小值，下面來證明在點p的這個極小值非負，若不然，h(x0 , y0 ) = f (x0 , y0

6、) - g(x0 , y0 ) 0, 那么由于 2h + 2h2h + 2h2hfg e - e ,因此在極值點p(x , y )會有 1且向量（a , a ，*a )與（b1, b2 *,bn )線性無關，n 對V中向量 nn12nni=1i=1i=1i=1i=1nnnnnf1(a) = xiai , f2 (a) = xibi , f1(a1 ) = yiai , f1(a2 ) = ziai , f2 (a1) = yibii=1i=1i=1i=1i=1nf2 (a2 ) = zibi ,。問題等價于對任意的一組復數(shù)x1, x2 ,*xn，都可以找到i=1nnnnn一組復數(shù)y1, y2 , y3 * yn , z1,* zn，使得 yiai = 0，ziai = xiai， yibi = xibii=1i=1i=1i=1i=1n zibii=1= 0, 這是一個線性方程組，其系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩都為4，因此必然有解解法2：由條件f1, f2非零且線性無關有n 1，考慮V1 = ker