數(shù)字信號處理

1、第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析,2.1引言 2.2時域離散信號的傅里葉變換的定義及性質(zhì) 2.3周期序列的離散傅里葉級數(shù)及傅里葉變換表示式 2.4時域離散信號的傅里葉變換與模擬信號 傅里葉變換之間的關(guān)系 2.5序列的Z變換 2.6利用Z變換分析信號和系統(tǒng)的頻響特性 習題與上機題,2.1引言 我們知道，信號和系統(tǒng)的分析方法有兩種，即時域分析方法和頻域分析方法。在模擬領(lǐng)域中，信號一般用連續(xù)變量時間的函數(shù)表示，系統(tǒng)則用微分方程描述。在頻率域，則用信號的傅里葉變換(Fourier Transform)或拉普拉斯變換表示。而在時域離散信號和系統(tǒng)中，信號用時域離散信號（序列）表示，系統(tǒng)則用差分方程描述。

2、在頻率域，則用信號的傅里葉變換或Z變換表示。 本章學習序列的傅里葉變換和Z變換，以及利用Z變換分析系統(tǒng)和信號頻域特性。該章內(nèi)容是本書也是數(shù)字信號處理的理論基礎(chǔ)。,p(t),t,T,理想抽樣,DTFT,r=1,P34 式（2.2.5）,P46 圖（2.4.1）,P24 圖（1.5.3）c),數(shù)字頻率,歸一化頻率,Fs=1000Hz, 則100Hz對應(yīng)0.2,Fs=2000Hz, 則100Hz對應(yīng)0.1,FT為Fourier Transform的縮寫。FTx(n)存在的充分必要條件是序列x(n)滿足絕對可和的條件，即滿足下式：,（2.2.2）,X(ej)的傅里葉反變換為,（2.2.3）,離散時間傅

3、里葉變換,正變換為,DTFT,離散頻率傅里葉變換,DFFT?,圖2.2.1R4(n)的幅度與相位曲線,圖2.2.2cosm 的波形,e-even o-odd r-real i-image,將上式兩邊n用n代替，并取共軛，得到： 對比上面兩公式，因左邊相等，因此得到：,（2.2.10）,（2.2.11）,上面兩式表明共軛對稱序列其實部是偶函數(shù)，而虛部是奇函數(shù)。類似地，可定義滿足下式的共軛反對稱序列：,（2.2.12）,將xo(n)表示成實部與虛部，如下式：,即共軛反對稱序列的實部是奇函數(shù)，而虛部是偶函數(shù)。,5 時域卷積定理 設(shè) y(n)=x(n)*h(n) 則 Y(ej)=X(ej)H(ej)

4、（2.2.31） 證明,令k=nm，則,7 帕斯維爾（Parseval）定理,（2.2.35）,證明,表2.2.1序列傅里葉變換的性質(zhì)定理,t,DFTT,例2 設(shè)計一如圖數(shù)字低通 濾波器求單位沖擊響應(yīng),設(shè)fs=2000Hz,則截止頻率fc=?,傅氏變換 一.連續(xù)時間、連續(xù)頻率的傅氏變換-傅氏變換,離散時間傅里葉變換DTFT,1.正變換:,2.反變換:,離散頻率傅里葉變換DFFT,-,-,時域離散化,頻域離散化,一個周期內(nèi)抽樣N個點,擴展到整個頻域,P75 式3.1.1-2,P40 式2.3.1,P41 式2.3.3,DTFT,DFS,DFT,共軛/周期特性,FFT,分析系統(tǒng),周期,離散,理解方

5、式1,理解方式2,采樣間隔,T0,s,T0信號的周期,0信號的角頻率,Ts采樣間隔,時域,s頻譜的周期,0采樣間隔,頻域,頻率分辨率,0,1,.,N-1含義,數(shù)字頻率：,采樣頻率：,采樣角頻率：,信號角頻率：,2.3周期序列的離散傅里葉級數(shù)及傅里葉變換表示式 因為周期序列不滿足（2.2.2）式絕對可和的條件，因此它的FT并不存在，但由于是周期性的，可以展成離散傅里葉級數(shù)，引入奇異函數(shù)()，其FT可以用公式表示出來。,2.3.1周期序列的離散傅里葉級數(shù) 設(shè)是以N為周期的周期序列，可以展成離散傅里葉級數(shù)。如下: (2.3.1) 為求系數(shù)ak，將上式兩邊乘以，并對n在一個周期N中求和，即,式中,(2

6、.3.2),(2.3.2)式的證明作為練習請讀者自己證明。因此 (2.3.3)式中，k和n均取整數(shù)。因為， l取整數(shù),即是周期為N的周期函數(shù)，所以，系數(shù)ak也是周期序列，滿足ak=ak+lN。,令 , 并將(2.3.3)式代入， 得到: (2.3.4) 式中， 也是以N為周期的周期序列, 稱為 的離散傅里葉級數(shù)系數(shù)，用DFS(Discrete Fourier Series) 表示。,用,(2.3.5),將（2.3.4）式和（2.3.5）式重寫如下：,(2.3.6),(2.3.7),代替(2.3.1)式中的ak,得到,（2.3.6）式和（2.3.7）式稱為一對DFS。（2.3.5）式表明將周期序

7、列分解成N次諧波，第k個諧波頻率為k=(2/N)k, k=0, 1, 2, , N1, 幅度為。 基波分量的頻率是2/N，幅度是。一個周期序列可以用其DFS系數(shù)表示它的頻譜分布規(guī)律。【例2.3.1】設(shè)x(n)=R4(n)，將x(n)以N=8為周期進行周期延拓，得到如圖2.3.1(a)所示的周期序列，周期為8，求DFS。 解按照（2.3.6）式, 有,其幅度特性如圖2.3.1(b)所示。,圖2.3.1例2.3.1圖,2.3.2周期序列的傅里葉變換表示式 在模擬系統(tǒng)中，其傅里葉變換是在=0處的單位沖激函數(shù)，強度是2，即,r取整數(shù) 因此 的FT為 (2.3.9) (2.3.9)式表示復(fù)指數(shù)序列的FT

8、是在0+2r處的單位沖激函數(shù)，強度為2，如圖2.3.2所示。但這種假定如果成立，則要求按照（2.2.4）式的逆變換必須存在，且唯一等于 ，下面進行驗證。按照逆變換定義，（2.2.4）式右邊,觀察圖2.3.2，在區(qū)間，只包括一個單位沖激函數(shù)(0)，等式右邊為，因此得到下式： 證明了（2.3.9）式確實是的FT，前面的暫時假定是正確的。,圖2.3.2的FT,對于一般周期序列，按（2.3.6）式展成DFS，第k次諧波為，類似于復(fù)指數(shù)序列的FT，其FT為 因此的FT如下式： ,式中，k=0, 1, 2, , N1。如果讓k在區(qū)間變化，上式可簡化成 （2.3.10） 式中 (2.3.10)式就是周期性序

9、列的傅里葉變換表示式。需要說明的是，上面公式中的()表示單位沖激函數(shù)，而(n)表示單位脈沖序列，由于括弧中的自變量不同, 因而不會引起混淆。 表2.3.2中綜合了一些基本序列的FT。,表2.3.2基本序列的傅里葉變換,表中u(n)序列的傅里葉變換推導(dǎo)如下： 令 (2.3.11) (2.3.12) 對(2.3.12)式進行FT，得到: ,對(2.3.11)式進行FT，得到： 【例2.3.2】求例2.3.1中周期序列的FT。 解將例2.3.1中得到的代入（2.3.10）式中，得到： 其幅頻特性如圖2.3.3所示。,圖2.3.3例2.3.2圖,對比圖2.3.1，對于同一個周期信號，其DFS和FT分別

10、取模的形狀是一樣的，不同的是FT用單位沖激函數(shù)表示（用帶箭頭的豎線表示）。因此周期序列的頻譜分布用其DFS或者FT表示都可以，但畫圖時應(yīng)注意單位沖激函數(shù)的畫法。 【例2.3.3】令為有理數(shù)，求其FT。 解將用歐拉公式展開： 按照（2.3.9）式，其FT推導(dǎo)如下：,圖2.3.4cos0n的FT,2.4時域離散信號的傅里葉變換與模擬信號傅里葉變換之間的關(guān)系 時域離散信號與模擬信號是兩種不同的信號，傅里葉變換也不同，如果時域離散信號是由某模擬信號采樣得來，那么時域離散信號的傅里葉變換和該模擬信號的傅里葉變換之間有一定的關(guān)系。下面推導(dǎo)這一關(guān)系式。 公式x(n)=xa(t)|t=nT=xa(nT)表示了

11、由采樣得到的時域離散信號和模擬信號的關(guān)系，而理想采樣信號和模擬信號的關(guān)系用（1.5.2）式表示，重寫如下:,對上式進行傅里葉變換, 得到:,令=T，且x(n)=xa(nT)，得到： （2.4.1） 或者寫成： （2.4.2） 式中 (2.4.2)式也可以表示成 （2.4.3）,圖2.4.1模擬頻率與數(shù)字頻率之間的定標關(guān)系,DTFT,FT,拉氏變換,能否 離散化?,拉氏變換,序列的Z變換,Z的模只與S的實部相對應(yīng), Z的相角只與S虛部相對。,=0,即S平面的虛軸 r=1,即Z平面單位圓,0,即S的左半平面 r1,即Z的單位圓內(nèi),0, 即S的右半平面 r1,即Z的單位圓外,j,0,0,DTFT,=

12、 0，S平面的實軸， = 0，Z平面正實軸；=0(常數(shù))，S:平行實軸的直線， = 0T,Z:始于 原點的射線； S:寬 的水平條帶， 單位圓內(nèi).,0,jImZ,ReZ,(2).與的關(guān)系（=T）,2.5序列的Z變換 在模擬信號系統(tǒng)中，用傅里葉變換進行頻域分析，拉普拉斯變換可作為傅里葉變換的推廣，對信號進行復(fù)頻域分析。在時域離散信號和系統(tǒng)中，用序列的傅里葉變換進行頻域分析，Z變換則是其推廣，用以對序列進行復(fù)頻域分析。因此Z變換在數(shù)字信號處理中同樣起著很重要的作用。,這種單邊Z變換的求和限是從零到無限大，因此對于因果序列，用兩種Z變換定義計算的結(jié)果是一樣的。本書中如不另外說明，均用雙邊Z變換對信號

13、進行分析和變換。 （2.5.1）式Z變換存在的條件是等號右邊級數(shù)收斂，要求級數(shù)絕對可和，即 （2.5.3） 使（2.5.3）式成立，Z變量取值的域稱為收斂域。一般收斂域為環(huán)狀域，即,令z=rej，代入上式得到RxrRx，收斂域是分別以Rx和Rx為收斂半徑的兩個圓形成的環(huán)狀域(如圖 2.5.1 中所示的斜線部分)。 當然，Rx可以小到零，Rx可以大到無窮大。收斂域的示意圖如圖2.5.1所示。,圖2.5.1變換的收斂域,z=rej,常用的Z變換是一個有理函數(shù)，用兩個多項式之比表示： 分子多項式P(z)的根是X(z)的零點，分母多項式Q(z)的根是X(z)的極點。在極點處Z變換不存在，因此收斂域中沒

14、有極點，收斂域總是用極點限定其邊界。 對比序列的傅里葉變換定義（2.2.1）式，很容易得到傅里葉變換和Z變換（ZT）之間的關(guān)系，用下式表示：,X(z)存在的條件是|z1|1, 因此 X(z)表達式表明，極點是z=1，單位圓上的Z變換不存在，或者說收斂域不包含單位圓，因此其傅里葉變換不存在，更不能用（2.5.4）式求傅里葉變換。該序列的傅里葉變換不存在，但如果引進奇異函數(shù)()，其傅里葉變換則可以表示出來（見表2.3.2）。該例同時說明一個序列的傅里葉變換不存在，但在一定收斂域內(nèi)Z變換是可以存在的。, 設(shè)x(n)為有界序列，由于是有限項求和，除0與兩點是否收斂與n1、n2取值情況有關(guān)外，整個z平面

15、均收斂。如果n10，則收斂域不包括z=0點；如果是因果序列，收斂域包括z=點。具體有限長序列的收斂域表示如下： n10時，00時，0|z|,【例2.5.2】求x(n)=RN(n)的Z變換及其收斂域。 解 這是一個因果的有限長序列，因此收斂域為0z。但由結(jié)果的分母可以看出，似乎z=1是X(z)的極點，但同時分子多項式在z=1時也有一個零點，極、零點對消，X(z)在單位圓上仍存在，求RN(n)的傅里葉變換，可將z=ej代入X(z)得到，其結(jié)果和例題2.2.1中的結(jié)果（2.2.5）式是相同的。,2 右序列 右序列是指在nn1時，序列值不全為零，而在nn1時，序列值全為零的序列。 右序列的Z變換表示為

16、 第一項為有限長序列，設(shè)n11，其收斂域為0|z|。第二項為因果序列，其收斂域為Rx|z|，Rx是第二項最小的收斂半徑。將兩收斂域相與，其收斂域為Rx|z|。如果是因果序列，收斂域為Rx|z|。,FT,拉氏變換,Z變換,DTFT,【例2.5.3】求x(n)=anu(n)的Z變換及其收斂域。解 在收斂域中必須滿足|az1|a|。,3 左序列 左序列是指在nn2時，序列值不全為零，而在nn2時，序列值全為零的序列。左序列的Z變換表示為 如果n20, z=0點收斂，z=點不收斂，其收斂域是在某一圓（半徑為Rx+）的圓內(nèi)，收斂域為0|z|Rx+。如果n20，則收斂域為0|z|Rx+。,【例2.5.4】

17、求x(n)=anu(n1)的Z變換及其收斂域。 解這里x(n)是一個左序列，當n0時，x(n)=0， X(z)存在要求|z n a1|1，即收斂域為|z|a|, 因此 ,4 雙邊序列 一個雙邊序列可以看做是一個左序列和一個右序列之和，其Z變換表示為 X(z)的收斂域是X1(z)和X2(z)收斂域的交集。如果Rx+Rx，則其收斂域為Rx|z|Rx+，是一個環(huán)狀域；如果Rx+Rx，兩個收斂域沒有交集，X(z)則沒有收斂域，因此X(z)不存在。,【例2.5.5】x(n)=a|n|, a為實數(shù)，求x(n)的Z變換及其收斂域。 解 第一部分收斂域為|az|a|。如果|a|1, 兩部分的公共收斂域為|a|

18、z|a|1, 其Z變換如下式: 如果|a|1，則無公共收斂域，因此X(z)不存在。當0a1時，x(n)的波形及X(z)的收斂域如圖2.5.2所示。,圖2.5.2例2.5.5圖,2.5.3逆Z變換 已知序列的Z變換X(z)及其收斂域，求原序列x(n)的過程稱為求逆Z變換。計算逆Z變換的方法有留數(shù)法、部分分式展開法和冪級數(shù)法（長除法）。下面僅介紹留數(shù)法和部分分式展開法，重點放在留數(shù)法。,Z變換,逆Z變換,式中, c是X(z)收斂域中一條包圍原點的逆時針的閉合曲線，如圖2.5.3所示。求逆Z變換時，直接計算圍線積分是比較麻煩的，用留數(shù)定理求則很容易。為了表示簡單，用F(z)表示被積函數(shù)：,F(z)=

19、X(z)zn1,圖2.5.3圍線積分路徑,圍線c內(nèi)的極點用zk表示,則根據(jù)留數(shù)定理有,F(z)表示被積函數(shù),F(z)=X(z)zn1,【例2.5.6】已知X(z)=(1az1)1，|z|a, 求其逆Z變換x(n)。 解 為了用留數(shù)定理求解，先找出F(z)的極點。顯然，F(xiàn)(z)的極點與n的取值有關(guān)。,極點有兩個：z=a；當n0時，其中z=0的極點和n的取值有關(guān)。n0時，z=0不是極點；n0時，z=0是一個n階極點。因此，分成n0和n0兩種情況求x(n)。 n0時，F(xiàn)(z)在c內(nèi)只有1個極點：z1=a； n0時，F(xiàn)(z)在c內(nèi)有2個極點：z1=a, a2=0（n階）；所以，應(yīng)當分段計算x(n)。

20、n0 時，,圖2.5.4例2.5.6中n0時F(z)的極點分布,【例2.5.7】已知, 求其逆變換x(n)。 解該例題沒有給定收斂域，為求出唯一的原序列x(n)，必須先確定收斂域。分析X(z)， 得到其極點分布如圖2.5.5所示。圖中有兩個極點：z=a和z=a1，這樣收斂域有三種選法，它們是 （1） |z|a1|，對應(yīng)的x(n)是因果序列； （2） |z|a|，對應(yīng)的x(n)是左序列； （3） |a|z|a1|，對應(yīng)的x(n)是雙邊序列。,x(n)=a|n|,圖2.5.5例2.5.7中X(z)的極點,下面分別按照不同的收斂域求其x(n)。 （1） 收斂域為|z|a1|: 這種情況的原序列是因果

21、的右序列，無須求n0時的x(n)。當n0時，F(xiàn)(z)在c內(nèi)有兩個極點：z=a和z=a1，因此,最后表示成：x(n)=(anan)u(n)。,（2） 收斂域為|z|a|: 這種情況原序列是左序列，無須計算n0情況。實際上，當n0時，圍線積分c內(nèi)沒有極點，因此x(n)=0。n0時，c內(nèi)只有一個極點z=0，且是n階極點，改求c外極點留數(shù)之和。 n0時,最后將x(n)表示成封閉式： x(n)=(anan)u(n1) （3） 收斂域為|a|z|a1|: 這種情況對應(yīng)的x(n)是雙邊序列。根據(jù)被積函數(shù)F(z)，按n0和n0兩種情況分別求x(n)。 n0時，c內(nèi)只有1個極點：z=a, x(n)=ResF(z

22、), a=an,n0時，c內(nèi)極點有2個，其中z=0是n階極點，改求c外極點留數(shù)，c外極點只有z=a1， 因此 x(n)=ResF(z), a1=an 最后將x(n)表示為 即 x(n)=a|n|,2.部分分式法 有理式：數(shù)字和字符經(jīng)有限次加、減、乘、除運算所得的式子。 有理分式：含字符的式子做分母的有理式，或兩個多項式的商。分子的次數(shù)低于分母時稱為真分式。 部分分式：把x的一個實系數(shù)的真分式分解成幾個分式 的和，使各分式具有 或 的形式 ，其中x2+Ax+B是實數(shù)范圍內(nèi)的不可約多項式，而且k是正整數(shù)。這時稱各分式為原分式的“部分分式”。,【例2.5.8】已知, 2|z|3，求逆Z變換。 解,因

23、為收斂域為22。第二部分極點是z=-3，收斂域應(yīng)取|z|3。查表2.5.1，得到： x(n)=2nu(n)+(3)nu(n1) 注意:在進行部分分式展開時，也用到求留數(shù)問題；求各部分分式對應(yīng)的原序列時，還要確定它的收斂域在哪里，因此一般情況下不如直接用留數(shù)法求方便。一些常見的序列的Z變換可參考表2.5.1。,表2.5.1常見序列的Z變換,2.5.4Z變換的性質(zhì)和定理 下面介紹Z變換重要的性質(zhì)和定理。 1 線性性質(zhì) 設(shè)m(n)=ax(n)+by(n)a, b為常數(shù) X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+ Y(z)=ZTy(n)Ry|z|Ry+ 則 M(z)=ZTm(n)=aX(z)+bY(z)R

24、m|z|Rm+,（2.5.15）,Rm+=minRx+, Ry+ Rm=maxRx, Ry 這里, M(z)的收斂域(Rm, Rm+)是X(z)和Y(z)的公共收斂域，如果沒有公共收斂域，例如當Rx+RxRy+Ry時，則M(z)不存在。,2 序列的移位性質(zhì) 設(shè)X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+ 則 （2.5.16）,3 序列乘以指數(shù)序列的性質(zhì) 設(shè) X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+ y(n)=anx(n)a為常數(shù) 則 Y(z)=ZTanx(n)=X(a1z)|a|Rx|z|a|Rx+ 因為Rx|a1z|Rx+，得到|a|Rx|z|a|Rx+。,證明,（2.5.17）,4 序列乘以n的Z

25、T 設(shè) X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+ 則 （2.5.18）證明,因此,5 復(fù)共軛序列的ZT性質(zhì) 設(shè) X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+ 則ZTx*(n)=X*(z*)Rx|z|Rx+ （2.5.19）證明 ,6 初值定理 設(shè)x(n)是因果序列，X(z)=ZTx(n)， 則 （2.5.20） 證明 因此 ,7 終值定理 若x(n)是因果序列，其Z變換的極點，除可以有一個一階極點在z=1上，其它極點均在單位圓內(nèi)，則 （2.5.21） 證明 因為x(n)是因果序列，x(n)=0, n0, 所以,因為(z1)X(z)在單位圓上無極點，上式兩端對z=1取極限：,終值定理也可用X(z)在z=

26、1點的留數(shù)表示，因為 因此 x()=ResX(z), 1（2.5.22） 如果在單位圓上X(z)無極點，則x()=0。,8 時域卷積定理 設(shè)w(n)=x(n)*y(n) X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+ Y(z)=ZTy(n)Rx|z|Ry+1 則 W(z)=ZTw(n)=X(z)Y(z)Rw|z|Rw+（2.5.23）Rw+=minRx+, Ry+ Rw=maxRx, Ry,證明 W(z) 的收斂域就是X(z)和Y(z)的公共收斂域。,【例2.5.9】已知網(wǎng)絡(luò)的單位脈沖響應(yīng)h(n)=anu(n)，|a|1, 網(wǎng)絡(luò)輸入序列x(n)=u(n)，求網(wǎng)絡(luò)的輸出序列y(n)。 解y(n)=h(n

27、)*x(n) 求y(n)可用兩種方法，一種直接求解線性卷積，另一種是Z變換法。 （1） ,由收斂域判定 y(n)=0n0 n0時， 將y(n)表示為 ,由X(z)的收斂域和Y(z)的收斂域得到： 因此 ,W(z)的收斂域為|a|z|；被積函數(shù)平面上的收斂域為max(|a|, 0)|min(|a1|, |z|)，平面上極點：a、a1和z，c內(nèi)極點：z=a。 令,x(t),y(t),【例2.5.11】差分方程y(n)=by(n-1)+x(n)。,y(n)=by(n-1)+x(n),差分方程,傳遞函數(shù),頻率響應(yīng),數(shù)字系統(tǒng)函數(shù)的描述方法,差分方程,傳遞函數(shù),頻率響應(yīng),卷積,傳遞函數(shù)的零極點形式,對應(yīng)的

28、頻率響應(yīng),=0,即S平面的虛軸 r=1,即Z平面單位圓,0,即S的左半平面 r1,即Z的單位圓內(nèi),0, 即S的右半平面 r1,即Z的單位圓外,j,0,0,DTFT,Z變換分析系統(tǒng)舉例,零極點與數(shù)字濾波器特性的關(guān)系,分析零點對幅頻特性的影響,分析零點對幅頻特性的影響,Fs=2000Hz,y(n),分析零點對幅頻特性的影響,零點附近頻率衰減 極點附近頻率加強 僅僅靠零點濾波器效果不理想,H(ej)表示系統(tǒng)對特征序列ejn的響應(yīng)特性, 這也是H(ej)的物理意義所在，下面具體闡述。 若系統(tǒng)輸入信號X(n)=ejn, 則系統(tǒng)輸出信號為 即,上式說明，單頻復(fù)指數(shù)信號ejn通過頻率響應(yīng)函數(shù)為H(ej)的系

29、統(tǒng)后，輸出仍為單頻復(fù)指數(shù)序列，其幅度放大|H(ej)|倍，相移為()。 為了加深讀者對H(ej)物理意義的理解，下面以大家熟悉的正弦信號為例進行討論。當系統(tǒng)輸入信號x(n)=cos(n)時，求系統(tǒng)的輸出信號y(n): 因為,由此可見，線性時不變系統(tǒng)對單頻正弦信號cos(n)的響應(yīng)為同頻正弦信號，其幅度放大|H(ej）|倍，相移增加()，這就是其名稱“頻率響應(yīng)函數(shù)”、“幅頻響應(yīng)”和“相頻響應(yīng)”的物理含義。如果系統(tǒng)輸入為一般的序列x(n)，則H(ej)對x(n)的不同的頻率成分進行加權(quán)處理。對感興趣的頻段，取|H（ej)|=1，其他頻段|H(ej)|=0, 則Y(ej)=X(ej)H（ej), 就

30、實現(xiàn)了對輸入信號的濾波處理。,因果（可實現(xiàn)）系統(tǒng)其單位脈沖響應(yīng)h(n)一定是因果序列 ，那么其系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域一定包含點，即點不是極點，極點分布在某個圓內(nèi)，收斂域在某個圓外。 系統(tǒng)穩(wěn)定要求 , 這里是 存在的條件,對照Z變換與傅里葉變換的關(guān)系可知，系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是H(z)的收斂域包含單位圓。如果系統(tǒng)因果且穩(wěn)定，收斂域包含點和單位圓，那么收斂域可表示為 r|z|0r1,2.6.2用系統(tǒng)函數(shù)的極點分布分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性,系統(tǒng)穩(wěn)定,function stab(A) %stab: 系統(tǒng)穩(wěn)定性判定函數(shù)，A是 H(z)的分母多項式系 數(shù)向量 disp(系統(tǒng)極點為：) P=roots(A)%求

31、H(z)的極點，并顯示 disp(系統(tǒng)極點模的最大值為：) M=max(abs(P)%求所有極點模的最大值，并顯示 if M1 disp(系統(tǒng)穩(wěn)定), else, disp(系統(tǒng)不穩(wěn)定), end,請注意，這里要求H(z)是正冪有理分式。給H(z)的分母多項式系數(shù)向量A賦值，調(diào)用該函數(shù)，求出并顯示系統(tǒng)極點，極點模的最大值M，判斷M值，如果M1, 則顯示“系統(tǒng)穩(wěn)定”，否則顯示“系統(tǒng)不穩(wěn)定”。如果H(z)的分母多項式系數(shù)A=22.980.172.3418 1.5147，則調(diào)用該函數(shù)輸出如下: P=0.90000.7000+0.6000i0.70000.6000i0.9900 系統(tǒng)極點模的最大值為：

32、M=0.9900 系統(tǒng)穩(wěn)定。,【例2.6.1】已知， 分析其因果性和穩(wěn)定性。 解H(z)的極點為z=a, z=a1，如圖2.5.5所示。 （1） 收斂域為a1|z|: 對應(yīng)的系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，但由于收斂域不包含單位圓，因此是不穩(wěn)定系統(tǒng)。單位脈沖響應(yīng)h(n)=(anan)u(n)（參考例2.5.7），這是一個因果序列，但不收斂。 （2） 收斂域為0|z|a: 對應(yīng)的系統(tǒng)是非因果且不穩(wěn)定系統(tǒng)。其單位脈沖響應(yīng)h(n)=(anan)u(n1)（參考例2.5.7），這是一個非因果且不收斂的序列。,圖2.6.1例2.6.1圖示,（3） 收斂域為a|z|a1: 對應(yīng)一個非因果系統(tǒng)，但由于收斂域包含單位圓，因此

33、是穩(wěn)定系統(tǒng)。其單位脈沖響應(yīng)h(n)=a|n|，這是一個收斂的雙邊序列，如圖2.6.1(a)所示。 下面分析如同例2.6.1這樣的系統(tǒng)的可實現(xiàn)性。 H(z)的三種收斂域中，前兩種系統(tǒng)不穩(wěn)定，不能選用；最后一種收斂域，系統(tǒng)穩(wěn)定但非因果，還是不能具體實現(xiàn)。因此嚴格地講，這樣的系統(tǒng)是無法具體實現(xiàn)的。,但是我們利用數(shù)字系統(tǒng)或者說計算機的存儲性質(zhì)，可以近似實現(xiàn)第三種情況。方法是將圖2.6.1(a)從N到N截取一段，再向右移，形成如圖2.6.1(b)所示的h(n)序列，將h(n)作為具體實現(xiàn)的系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)。N愈大，h(n)表示的系統(tǒng)愈接近h(n)系統(tǒng)。具體實現(xiàn)時，預(yù)先將h(n)存儲起來，備運算時應(yīng)用。這

34、種非因果但穩(wěn)定的系統(tǒng)的近似實現(xiàn)性，是數(shù)字信號處理技術(shù)比模擬信息處理技術(shù)優(yōu)越的地方。 說明：對一個實際的物理實現(xiàn)系統(tǒng)，其H(z)的收斂域是唯一的 。,2.6.3利用系統(tǒng)的極零點分布分析系統(tǒng)的 頻率響應(yīng)特性 將(2.6.2)式因式分解，得到： 式中，A=b0/a0, cr是H(z)的零點，dr是其極點。A參數(shù)影響頻率響應(yīng)函數(shù)的幅度大小，影響系統(tǒng)特性的是零點cr和極點dr的分布。下面我們采用幾何方法研究系統(tǒng)零極點分布對系統(tǒng)頻率特性的影響。,（2.6.4）,在z平面上，ejcr用一根由零點cr指向單位圓上ej點B的向量表示，同樣，ejdr用由極點指向ej點B的向量表示，如圖2.6.2所示，即和分別稱為

35、零點向量和極點向量，將它們用極坐標表示： 將和表示式代入(2.6.7)式，得到：,系統(tǒng)的頻響特性由(2.6.8)式和(2.6.9)式確定。當頻率從0變化到2時，這些向量的終點B沿單位圓逆時針旋轉(zhuǎn)一周，按照(2.6.8)式和(2.6.9)式，分別估算出系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性。例如圖2.6.2表示了具有一個零點和兩個極點的頻率特性。,圖2.6.2頻響的幾何表示法,按照(2.6.8)式，知道零極點的分布后，可以很容易地確定零極點位置對系統(tǒng)特性的影響。當B點轉(zhuǎn)到極點附近時，極點相量長度最短，因而幅度特性可能出現(xiàn)峰值，且極點愈靠近單位圓，極點相量長度愈短，峰值愈高愈尖銳。如果極點在單位圓上，則幅度特性

36、為，系統(tǒng)不穩(wěn)定。對于零點，情況相反，當B點轉(zhuǎn)到零點附近時，零點相量長度變短，幅度特性將出現(xiàn)谷值，零點愈靠近單位圓，谷值愈接近零。當零點處在單位圓上時，谷值為零?？偨Y(jié)以上結(jié)論：極點位置主要影響頻響的峰值位置及尖銳程度，零點位置主要影響頻響的谷點位置及形狀。,這種通過零極點位置分布分析系統(tǒng)頻響的幾何方法為我們提供了一個直觀的概念，對于分析和設(shè)計系統(tǒng)是十分有用的。基于這種概念，可以用零極點累試法設(shè)計簡單濾波器。 下面介紹用MATLAB計算零、極點及頻率響應(yīng)曲線。首先介紹MATLAB工具箱中兩個函數(shù)zplane和freqz的功能和調(diào)用格式。 zplane繪制H(z)的零、極點圖。,zplane(z,

37、p)繪制出列向量z中的零點（以符號“”表示）和列向量p中的極點（以符號“”表示），同時畫出參考單位圓，并在多階零點和極點的右上角標出其階數(shù)。如果z和p為矩陣，則zplane以不同的顏色分別繪出z和p各列中的零點和極點。 zplane(B, A)繪制出系統(tǒng)函數(shù)H(z)的零極點圖。其中B和A為系統(tǒng)函數(shù)H(z) = B(z)/A(z)的分子和分母多項式系數(shù)向量。假設(shè)系統(tǒng)函數(shù)H(z)用下式表示:,則 B=B(1)B(2)B(3)B(M+1)，A=A(1)A(2)A(3)A(N+1) freqz計算數(shù)字濾波器H(z)的頻率響應(yīng)。 H=freqz(B, A, w)計算由向量w指定的數(shù)字頻率點上數(shù)字濾波器H

38、(z)的頻率響應(yīng)H(ejw)，結(jié)果存于H向量中。B和A仍為H(z)的分子和分母多項式系數(shù)向量（同上）。 H, w= freqz(B, A, M)計算出M個頻率點上的頻率響應(yīng)，存放在H向量中，M個頻率存放在向量w中。freqz函數(shù)自動將這M個頻率點均勻設(shè)置在頻率范圍0, 上。,H, w = freqz(B, A, M, whole)自動將M個頻率點均勻設(shè)置在頻率范圍0, 2上。 當然，還可以由頻率響應(yīng)向量H得到各采樣頻點上的幅頻響應(yīng)函數(shù)和相頻響應(yīng)函數(shù)；再調(diào)用plot繪制其曲線圖。 |H(ej)|=abs(H) ()=angle(H) 式中，abs函數(shù)的功能是對復(fù)數(shù)求模，對實數(shù)求絕對值；angle

39、函數(shù)的功能是求復(fù)數(shù)的相角。,freqz(B, A)自動選取512個頻率點計算。不帶輸出向量的freqz函數(shù)將自動繪出固定格式的幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)曲線。所謂固定格式, 是指頻率范圍為0, ，頻率和相位是線性坐標，幅頻響應(yīng)為對數(shù)坐標。其他幾種調(diào)用格式可用命令help查閱。,【例2.6.2】已知H(z)=z1，分析其頻率特性。 解由H(z)=z1，可知極點為z=0，幅頻特性|H(ej)|=1, 相頻特性()=，頻響特性如圖 2.6.3所示。用幾何方法也容易確定，當=0轉(zhuǎn)到=2時，極點向量的長度始終為1。由該例可以得到結(jié)論：處于原點處的零點或極點，由于零點向量長度或者極點向量長度始終為1，因此原點處的

40、零極點不影響系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)特性, 但對相頻特性有貢獻。,y(n)=x(n-1),圖2.6.3H(z)=z1的頻響特性,【例2.6.3】設(shè)一階系統(tǒng)的差分方程為 y(n)=by(n1)+x(n) 用幾何法分析其幅度特性。 解由系統(tǒng)差分方程得到系統(tǒng)函數(shù)為 式中，0b1。系統(tǒng)極點z=b，零點z=0，當B點從=0逆時針旋轉(zhuǎn)時，在=0點，由于極點向量長度最短，形成波峰；在=點形成波谷；z=0處零點不影響幅頻響應(yīng)。極零點分布及幅度特性如圖2.6.4所示。,圖2.6.4例2.6.3插圖,N個零點等間隔分布在單位圓上，設(shè)N=8，極零點分布如圖2.6.5所示。當從0變化到2時，每遇到一個零點，幅度為零，在兩個零點

41、的中間幅度最大，形成峰值。幅度谷值點頻率為：k=(2/N)k, k=0, 1, 2, N1。一般將具有如圖2.6.5所示的幅調(diào)用zplane和freqz求解本例的程序ep264.m如下:,ep264.m: 例2.6.4求解程序 B = 1 0 0 0 0 0 0 0 1; A=1; 設(shè)置系統(tǒng)函數(shù)系數(shù)向量B和A subplot(2, 2, 1); zplane(B, A); 繪制零極點圖 H, w=freqz(B, A); 計算頻率響應(yīng) subplot(2, 2, 2); plot(w/pi, abs(H): 繪制幅頻響應(yīng)曲線 xlabel(omegapi); ylabel(|H(ejomega

42、)|); axis(0, 1, 0, 2.5) subplot(2, 2, 4); plot(w/pi, angle(H); 繪制相頻響應(yīng)曲線 xlabel(omegapi); ylabel(phi(omega);,運行上面的程序，繪制出8階梳狀濾波器的零極點圖和幅頻特性、相頻特性如圖2.6.5所示。,圖2.6.5梳狀濾波器的極零點分布及幅頻、相頻特性,圖2.6.6全通濾波器一組零極點示意,這就證明了（2.6.12）式表示的H(z)具有全通濾波特性。 下面分析全通濾波器的零點和極點的分布規(guī)律。設(shè)zk為H(z)的零點，按照（2.6.4）式，必然是H(z)的極點， 記為， 則pkzk=1，全通濾波

43、器的極點和零點互為倒數(shù)關(guān)系。如果再考慮到D(z)和D(z1)的系數(shù)為實數(shù)，其極點、零點均以共軛對出現(xiàn)， 這樣，復(fù)數(shù)零點、復(fù)數(shù)極點必然以四個一組出現(xiàn)。例如，zk是H(z)的零點，則必有零點、極點、。對實數(shù)零極點，則以兩個一組出現(xiàn)， 且零點與極點互為倒數(shù)關(guān)系。零極點位置示意圖如圖 2.6.6所示。,顯然，（2.6.15）式中極點和零點互為共軛倒易關(guān)系。其全通特性的證明留作習題。應(yīng)當注意，為了保證分子、分母多項式系數(shù)是實數(shù)，極點、零點分別以共軛對形式出現(xiàn)，當N=1時，零點、極點均為實數(shù)。 全通濾波器是一種純相位濾波器，經(jīng)常用于相位均衡。如果要求設(shè)計一個線性相位濾波器，可以設(shè)計一個具有線性相位的FIR

44、濾波器，也可以先設(shè)計一個滿足幅頻特性要求的IIR濾波器，再級聯(lián)一個全通濾波器進行相位校正，使總的相位特性是線性的。 ,2. 梳狀濾波器 在前一節(jié)例2.6.4中，曾提到具有如圖2.6.5所示的幅度特性的濾波器稱為梳狀濾波器，顯然，梳狀濾波器起名于它的幅度特性形狀。下面介紹一般梳狀濾波器的構(gòu)成方法。 設(shè)濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為H(z)，我們知道，如果其頻率響應(yīng)函數(shù)H(ej)以2為周期。將H(z)的變量z用zN代替，得到H(zN)，則相應(yīng)的頻率響應(yīng)函數(shù)H(ejN)是以2/N為周期的，在區(qū)間0, 2上有N個相同頻率特性周期。利用這種性質(zhì)，可以構(gòu)成各種梳狀濾波器。,例如，, 零點為1，極點為a，所以H(z)表

45、示一個高通濾波器。以zN代替H(z)的z，得到： 當N=8時，零點為；極點為 。H(zN) 零極點分布和幅頻響應(yīng)特性繪制程序為fig267.m，其中a=0.2部分程序如下：,% 圖2.6.7繪制程序：fig267.m a=0.2; B=1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -1; A=1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -a; subplot(2, 2, 1); zplane(B, A); title(a)零極點分布(a=0.2, N=8) Hk, w=freqz(B, A, 1024); %計算頻響特性(a=0.2，N=8)subplot(2, 2, 2); plot(

46、w/pi, abs(Hk)/max(abs(Hk); xlabel(omega/pi); axis(0, 1, 0, 1.5); title(b)幅頻特性(a=0.2, N=8) a=0.9; B=1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -1; A=1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -a; 以下程序與a=0.2時相同(省略)。,運行本書程序集程序fig267.m，繪制出當N=8, a=0.2和a=0.9時，H(zN)的零極點分布和幅頻響應(yīng)特性曲線如圖2.6.7所示。,圖2.6.7梳狀濾波器的零極點分布和幅頻響應(yīng)特性,梳狀濾波器可濾除輸入信號中 的頻率分量。這種濾波器可用于

47、消除信號中的電網(wǎng)諧波干擾。 由圖2.6.7可見，a取值越接近1，幅頻特性越平坦。將圖2.6.7和圖2.6.5比較，形狀很相似，不同的是每一個梳狀周期的形狀不同。顯然, 圖2.6.5對應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)是由(1z1)中變量z用zN代替后得到的，用于消除電網(wǎng)諧波干擾時，特性不如 的濾波性能好。但圖2.6.5對應(yīng)的梳狀濾波器適用于分離兩路頻譜等間隔交錯分布的信號，例如，彩色電視接收機中用于進行亮色分離和色分離等。,3. 最小相位系統(tǒng) 一個因果穩(wěn)定的時域離散線性非移變系統(tǒng)H(z)，其所有極點必須在單位圓內(nèi)，但其零點可在z平面上任意位置，只要頻響特性滿足要求即可。如果因果穩(wěn)定系統(tǒng)H(z)的所有零點都在單位圓內(nèi)

48、，則稱之為“最小相位系統(tǒng)”，記為Hmin(z)；反之，如果所有零點都在單位圓外，則稱之為“最大相位系統(tǒng)”，記為Hmax(z)；若單位圓內(nèi)、外都有零點，則稱之為“混合相位系統(tǒng)”。,最小相位系統(tǒng)在工程理論中較為重要。下面給出最小相位系統(tǒng)的幾個重要特點。 （1） 任何一個非最小相位系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)均可由一個最小相位系統(tǒng)Hmin(z)和一個全通系統(tǒng)Hap(z)級聯(lián)而成，即 H(z)=Hmin(z)Hap(z)（2.6.16） 證明假設(shè)因果穩(wěn)定系統(tǒng)H(z)僅有一個零點在單位圓外，令該零點為z=1/z0, |z0|1，則H(z)可表示為,該特點說明了在濾波器優(yōu)化中很有用的結(jié)論：將系統(tǒng)位于單位圓外的零

49、（或極）點zk用代替時，不會影響系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)特性。這一點在濾波器優(yōu)化設(shè)計中已用到。在那里，將單位圓外的極點用其鏡像代替，以確保濾波器因果穩(wěn)定。該結(jié)論為我們提供了一種用非最小相位系統(tǒng)構(gòu)造幅頻特性相同的最小相位系統(tǒng)的方法：將非最小相位系統(tǒng)H(z)位于單位圓外的零點z0k用代替（k=1, 2, , m0; m0為單位圓外零點數(shù)目），即得最小相位系統(tǒng)Hmin(z), 且Hmin(z)與H(z)的幅頻響應(yīng)特性相同。,（2） 在幅頻響應(yīng)特性相同的所有因果穩(wěn)定系統(tǒng)集中，最小相位系統(tǒng)的相位延遲（負的相位值）最小。 由(2.6.16)式可知，任何一個非最小相位系統(tǒng)H(z)的相位函數(shù)，是一個與H(z)的幅頻特性

50、相同的最小相位系統(tǒng)Hmin(z)的相位函數(shù)加上一個全通系統(tǒng)Hap(z)的相位函數(shù)。可以證明全通系統(tǒng)Hap(z)的相位函數(shù)是非正的1，因此任意系統(tǒng)比最小相位系統(tǒng)多了一個負相位，這樣使最小相位系統(tǒng)具有最小相位延遲的性質(zhì)，或者從時域說，最小相位系統(tǒng)的時域響應(yīng)波形延遲和能量延遲均最小。,（3） 最小相位系統(tǒng)保證其逆系統(tǒng)存在。 給定一個因果穩(wěn)定系統(tǒng)H(z)=B(z)/A(z)，定義其逆系統(tǒng)為 當且僅當H(z)為最小相位系統(tǒng)時，HINV(z)才是因果穩(wěn)定的（物理可實現(xiàn)的）。 逆濾波在信號檢測及解卷積中有重要應(yīng)用。例如，信號檢測中的信道均衡器實質(zhì)上就是設(shè)計信道的近似逆濾波器。,習題與上機題 1 設(shè)X(ej)

51、和Y(ej)分別是x(n)和y(n)的傅里葉變換，試求下面序列的傅里葉變換： (1)x(nn0)(2)x*(n) (3)x(n)(4)x(n)*y(n) (5)x(n)y(n) (6)nx(n) (7)x(2n) (8)x2(n),（9）,2 已知 求X(ej)的傅里葉反變換x(n)。,3. 線性時不變系統(tǒng)的頻率響應(yīng)（頻率響應(yīng)函數(shù)） H(ej)=|H(ej)|ej()，如果單位脈沖響應(yīng)h(n)為實序列，試證明輸入x(n)=Acos(0n+)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為 4 設(shè) 將x(n)以4為周期進行周期延拓，形成周期序列，畫出x(n)和的波形，求出的離散傅里葉級數(shù)和傅里葉變換。,5. 設(shè)題5圖所示的序列x(

52、n)的FT用X(ej)表示，不直接求出X(ej)，完成下列運算： （1） ； （2） ； （3） X(ej)； （4） 確定并畫出傅里葉變換實部ReX(ej)的時間序列xa(n)；,題5圖,（5） ； （6） 。 6 試求如下序列的傅里葉變換： ,7 設(shè)： （1） x(n)是實偶函數(shù)， （2） x(n)是實奇函數(shù)， 分別分析推導(dǎo)以上兩種假設(shè)下，其x(n)的傅里葉變換性質(zhì)。 8 設(shè)x(n)=R4(n)，試求x(n)的共軛對稱序列xe(n)和共軛反對稱序列xo(n)，并分別用圖表示。 9 已知x(n)=anu(n), 0a1，分別求出其偶函數(shù)xe(n)和奇函數(shù)xo(n)的傅里葉變換。,10 若序列h(n)是實因果序列，其傅里葉變換的實部如下式： 求序列h(n)及其傅里葉變換H(ej)。 11 若序列h(n)是實因果序列，h(0)=1，其傅里葉變換的虛部為 求序列h(n)及其傅里葉變換H(ej)。 ,12 設(shè)系統(tǒng)的單