不定積分復(fù)習(xí)

1、一花一葉第四章不定積分一、基本要求1. 理解原函數(shù)概念，理解不定積分的概念及性質(zhì)。2. 掌握不定積分的基本公式、換元法、分部積分。3. 了解有理函數(shù)及可化為有理函數(shù)的積分方法。二、主要內(nèi)容原函數(shù)概念不定積分概念不定積分性質(zhì) . 原函數(shù)與不定積分概念1. 原函數(shù)設(shè)在區(qū)間上(x)f ( x)（或 dF ( x)無理函數(shù)的積分可化為為 f (x) 在F ( x) 可導(dǎo)，且 Ff ( x) dx ）就稱 F ( x)基本積分公式基本積分法有理函數(shù)的積分的一個(gè)原函數(shù)。2. 不定積分第一類換元法第二類換元法分部積分法在區(qū)間上函數(shù)f (x) 的所有原函數(shù)的集合，成為f ( x) 在區(qū)間上的不定積分，記作f

2、(x)dx .其中 F ( x) 為 f ( x) 在上的一個(gè)原函數(shù)，C 為任意常數(shù) . . 不定積分的性質(zhì)1.d f ( x)dxf (x) dx(或 (f()dx) f( ) )xx2.dfxfxC(或f( x) dxf ( x) C)( )( )3.kf ( x)dxkf ( x)dx其中 k 為非零常數(shù) .4. f ( x)g(x)dxf ( x) dxg( x)dx . . 基本積分公式1.kdxkxC (k 為常數(shù) )2.x u dx1xu1C1 dxu13.ln xCx4.dxarctan xC1x25.dxarcsinxC1x26.cosxdxsin xC7.sinxdxcos

3、 xC1 一葉一世界一花一葉8.sec2xdxtan xC9.csc2xdxcot x C10.secx tan xdxsec xC11.cscx cot xdxcsc xC12. ex dx ex C13.a x dx1 a xCln a14. shxdx chx C15. chxdx shx C16.tan xdxln cos xC17. cot xdx18. secxdx19. cscxdx20.dx2x2a21.dxa 2x2ln sin xln sec xln csc x1arctana1 ln x 2a xCtan xCcot xCxCaaCa22.dxarcsinxCa2ax22

4、3.dxln( xx2a2 )Cx2a224.dxln( xx2a2 )Cx2a2 . 換元積分法1. 第一類換元法 .( 湊微分法 )f ( x) ( x)dxf (u)duF (u)CF(x)C ( u( x) )( 其中(x) 可導(dǎo)， F (u) 為f ( x) 的一個(gè)原函數(shù) ).2. 第二類換元法2 一葉一世界一花一葉f (x)dxf (t )(t )dtF (t)CF 1( x)C(x(t) )( 其中x(t ) 單調(diào)可導(dǎo)，且(t )0，F(xiàn) (t )為f (t)(t)的一個(gè)原函數(shù)) . 分部積分法(其中 u(x) v( x) 具有連續(xù)導(dǎo)數(shù) ) . 有理函數(shù)與三角函數(shù)有理式的積分兩個(gè)多

5、項(xiàng)式的商所表示的函數(shù)稱為有理函數(shù)，有理函數(shù)總可以化為多項(xiàng)式與真分式的代數(shù)和，而真分式總可以分解為部分分式的代數(shù)和，所以有理函數(shù)的積分可化為整式和下列四種部分分式的積分 .(1)1(2)1adx(xa)n dxx(3)bxcdx(4)bxcdx2px q( x2pxq)nx而求這四種積分也可用湊微分法或第二類換元法.三角函數(shù)有理式的積分，總可用萬能代換utan x 將原不定積分化為u 為積分變量的2有理函數(shù)的積分， 但對有些三角有理式的積分，有時(shí)用三角公式轉(zhuǎn)化，再用前所述的基本公式或積分方法求解，可能更簡便些.三、重點(diǎn)與難點(diǎn)原函數(shù)與基本積分公式換元法、分部積分法等基本積分方法抽象函數(shù)的積分四、例

6、題解析、選擇題例 1 若f ( x) 的導(dǎo)數(shù)是cos x，則 f( x) 有一個(gè)原函數(shù)為( )(A) 1cos x(B)1cosx(C)1sin x(D)1 sin x解應(yīng)選 (B). 因?yàn)?(1cosx) sin x ，而 (sin x) cosx例 2 設(shè)f ( x) 有原函數(shù) x ln x ，則x ln xdx（ ）(A) x 2 (11 ln xC )(B)x2 (11 ln xC )2442(C) x 2 (11 ln xC )(D)x2 (11ln xC )4224解xf ( x) dxx 2x 2x 2ff ( x) df ( x)2( x) dx22而( )(ln)ln1，1，

7、故x xxf ( x)f xx所以應(yīng)選 (B).3 一葉一世界一花一葉、填空題例 3 設(shè) f ( x) 為 定 義 區(qū) 間 上 單 調(diào) 連 續(xù) 可 微 函 數(shù) ， f1 (x) 為 相 應(yīng) 的 反 函 數(shù) ， 若f ( x) dx F (x) C ，則f 1 (x)dx 為解f1 ( x)dx xf 1 ( x)xdf1 ( x)、討論題例 4解下列各題，并比較其解法：xx2x3x 4(1)2x 2 dx(2)2x2 dx(3)2x 2 dx(4)2x 2 dx解 (1)x2 dx1212 d( 2x2 )1 ln( 2x2 ) C .2x2x2(2)x 2dx( 2x 2 )2dx(12)

8、dx2x22x 22x 2x2 arctanxC .2(3)x31x221 2 x2222x2 dx22x2 dx2(2 x2)dx(4)2x42 dxx44 24 dx( x 22242 )dxx2xx比較上述四題， 發(fā)現(xiàn)各小題的被積函數(shù)很相似， 但解法卻不盡相同。 注意觀察被積函數(shù)的特點(diǎn)，第一題中分子的次數(shù)比分母低一次，正好可湊微分使變量一致；第二題中分子與分母同次，需要拆項(xiàng)， 使分子次數(shù)低于分母， 即被積函數(shù)成為多項(xiàng)式與真分式的代數(shù)和才可積分； 第三題中分子次數(shù)高于分母一次， 湊微分后分子分母同次， 再仿第二題求解； 第四題中分子次數(shù)高于分母二次，湊微分則無效， 只能根據(jù)分母情況拆項(xiàng)仿第

9、二題的方法求解。 由此可見在不定積分的計(jì)算過程中需針對具體情況選擇適當(dāng)方法求解。例 5 討論利用第一類換元法求積的幾種類型( 設(shè)f (u)du F (u) C )(1) f (ax b)dx1b)d( axb)f (axa1( u axb )f (u)dua(2)f (ax nb) x n 1 dx1f (ax nb)d (axnb)an1 f (u)du ( u axn b )an如求x32 dx4)(cos x4 一葉一世界一花一葉解 原式(3)1 1 4 2 dx 44 (cos x )f (ln x) 1 dx x1 tan( x4 )C4f (ln x)d ln xf (u)duF

10、(u)Cf (ln x)C(uln x )如求3 2ln x dxx4解 原式3 2 ln xd(2 ln x)3 ( 2 ln x) 3C4(4)f (sin x) cos xdxf (sin x) d sin x如求cos xdx3cos2 x解 原式1d sin x3 1sin 2x其它一些類型， 例如f (arctan x)1dx ， f (arcsinx)1dx ， f (ex )exdx等，1x 21x 2請同學(xué)們自己加以總結(jié).V. 計(jì)算題2例 6求x arctan xdx21x分析此題先把被積函數(shù)寫成拆成兩項(xiàng)再進(jìn)行積分較方便.解x 2arctan xdx(112 ) arctan

11、 xdx1x21 x例 7求xexdxx1)2( e解xexdxx1)2 dexxd ex1(ex1) 2(ex1例 8求1x 2 dxx2解令 xsin t ，則 dxcostdt例 9求1dxxe2ex5 一葉一世界一花一葉x2 dt解 令 e2t ，即 x2 ln t ， dxtxarctan x例10 求3 dx(1x 2 ) 2解令 xtan t ， dxsec2 tdt例11 求1x 2x(1x2 ) e dx解( 1 x2 ) 2 ex dx1 2x2x22exdx1x(1 x)注：最后一步等號成立是因?yàn)榭稍O(shè)exF ( x) ，于是1的一個(gè)原函數(shù)為x 2例12求1的遞推公式dxs

12、in m x解記m1dx ，則1ln cscx cot x C .sin m x當(dāng) m 2 時(shí)，即 mcos xm2(1m) sin m 1 xmm 21例 13 求1dx2) 2 ( x 2xx( x1)解1AB1B2CxD2 ( x2x 1)x(x 2)2x 2x2x 1x( x 2)去分母后，再比較兩邊同次冪的系數(shù)得A1， B1117， C8， D34， B2196494914于是1dxx(x 2) 2 ( x2x1)=1dx1dx17dx(8x3)dx4x14( x2) 2196( x 2)49( x2x1)8(388x3(2x 1)而dx2x2x 12 dxx2x1從而1dxx(x2

13、)2 ( x2x1)6 一葉一世界一花一葉x 7例 14 求 (1 x2 )5 dx分析被積函數(shù)為有理函數(shù)，但若直接將被積函數(shù)轉(zhuǎn)化為部分分式，計(jì)算較繁，因此可考慮采用較靈活的基本積分方法 . 此題利用換元法計(jì)算較簡便 .解令 xsin t ， dxcostdtx8C .8(1x2 )4例 15求1dx3sin x cos xtan x ”之外，往往可考慮用前面分析 對于三角函數(shù)有理式的積分，除了用“萬能代換令u2的基本積分方法 .1xdx =sin 2 xcos2x解sin xcos3sin xcos3xdx=sin x dx +1dxcos3 xsin x cos x= -1d cos x

14、+13d tan xcosxtan x=1+ln tan x+ C .sin x2cos2 x例 16求dx2sin 2x解sin xdx = 1(sin xcos x)(sin xcos x)dx2 sin 2x22sin 2x= 13d (sin x cosx)1d(sin xcosx)=2(sin xcoxs)2(sin xcos x) 2= 1d(sin xcos x)d (sin xcos x)2( 3 sin xcos x)(3sin xcos x)1(sin xcos x)2= 11ln sin xcos x22 3sin xcos x例 17求I 1sin x2cos x3 s

15、in x解 3I 12I 2dx x + C1由此得I 212x3 ln 2 cos x133cos x) + C .arctan(sin x3cos xdx , I 2dx .2 cos x3sin x3sin xC .7 一葉一世界一花一葉例18 求31dxx1解令 3 1xt ， x(t 31)2，則 dx6t 2 (t 31)dt .311dx1 6t 2 (t 31)dt6t (t 31)dtxt6 t 53t 2C56 (152x ) 33(1x ) 3C.5例 19 計(jì)算下列各題(1)f ( x)f 2 (x) f( x)dx .f( x) f( x) 3(2)設(shè) f(cos x

16、2)sin2tan2x ，求 f ( x) .(3)設(shè) f (ln x)ln(1x)，求f ( x)dx .x(4)已知 f(sin x)cos2 x1且 f (0)0，求cos xf (sin x)dx .解(1)原式 =f ( x) f( x) 2f 2 (x) f( x) dx f( x) 3=f (x) f ( x) 2f ( x) f(x)dxf( x) f( x) 2=f ( x) d f ( x) = 1 f ( x) 2C .f (x)f ( x)2 f ( x)(2)設(shè) cos x2t ，則 sin 2xtan 2 x1cos2 x1cos2 xcos2x=1cos2x =1

17、(t22( x)22)cos(t 2)即 f( t)( t1( t2) 2.2) 2f ( x)f( x) dx1(x2)2dx ，2)2(x8 一葉一世界一花一葉即 f ( x)x11 (x2)3C .23(3)ln( 1eln x)即有f ( x)ln(1 ex ).f (ln x)eln x,exx(1e x ) ln(1 ex )C .(4)f (sin x)cos2 x1sin2 x ，即f(u)u 2 ，f (u)1 u3C .31 u 3 .由 f (0) 0C0 ， f (u)3cos xf (sin x)dxf (sin x)d sin x1 sin 3 xd sin x1

18、sin 4 xC .312例 20設(shè)f ( x)xx0f ( x)dx .sin xx，求0解 由于 limf ( x)f ( 0) 0 ，可知 f (x) 在 (,) 上連續(xù) .x 0因此 f ( x) 的原函數(shù)一定存在，設(shè) F ( x) 為 f ( x) 的一個(gè)原函數(shù) .因?yàn)?F ( x) 可導(dǎo)，則 F ( x) 必連續(xù) .lim F ( x)0 ， limF (x)1.x 0x 0F ( x) 在 x0 處連續(xù)，即有011.則 f ( x) 的一個(gè)原函數(shù)為F ( x)1 x2x02.cosx1x0f (x)dxF ( x)C1 x 2Cx0.故2cos x 1Cx0注：求連續(xù)分段函數(shù)f ( x) 的原函數(shù) F ( x) 時(shí)，一定要保證F ( x) 的連續(xù)性，而這時(shí)F (x) 的可導(dǎo)性就可以得到滿足 .例 21設(shè) yf ( x) 在x0 處滿足 ye2 xy(x) ，求滿足條件 f (1)0 的 f (x) .xx9 一葉一世界一花一葉解由微分定義可得 ye2 xy ，x即 xyye2 x ， ( xy)e2 x ，xy1 e2 xC ， y1 (1 e2xC ) .2x2由條件 f (1)0C1 e2 ，2則f ( x)1 ( 1 e2x1 e2 ) .x22例 22 設(shè) F ( x)