高中理科數(shù)學(xué)常見題型篇(直線和圓錐曲線)

1、直線和圓錐曲線經(jīng)常考查的一些題型直線與橢圓、雙曲線、拋物線中每一個(gè)曲線的位置關(guān)系都有相交、相切、相離三種情況，從幾何角度可分為三類：無公共點(diǎn)，僅有一個(gè)公共點(diǎn)及有兩個(gè)相異公共點(diǎn)對于拋物線來說，平行于對稱軸的直線與拋物線相交于一點(diǎn)，但并不是相切；對于雙曲線來說，平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，但并不相切直線和橢圓、雙曲線、拋物線中每一個(gè)曲線的公共點(diǎn)問題，可以轉(zhuǎn)化為它們的方程所組成的方程組求解的問題，從而用代數(shù)方法判斷直線與曲線的位置關(guān)系。解決直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的解題步驟是：（1）直線的斜率不存在，直線的斜率存在， （2）聯(lián)立直線和曲線的方程組；（3）討論類一元二次方程 （4）一元二次

2、方程的判別式（5）韋達(dá)定理，同類坐標(biāo)變換 （6）同點(diǎn)縱橫坐標(biāo)變換（7）x,y，k(斜率)的取值范圍（8）目標(biāo)：弦長，中點(diǎn)，垂直，角度，向量，面積，范圍等等運(yùn)用的知識(shí)：1、中點(diǎn)坐標(biāo)公式：，其中是點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)。2、弦長公式：若點(diǎn)在直線上，則，這是同點(diǎn)縱橫坐標(biāo)變換，是兩大坐標(biāo)變換技巧之一，或者。3、兩條直線垂直：則兩條直線垂直，則直線所在的向量4、韋達(dá)定理：若一元二次方程有兩個(gè)不同的根，則。常見的一些題型：題型一：數(shù)形結(jié)合確定直線和圓錐曲線的位置關(guān)系題型二：弦的垂直平分線問題題型三：動(dòng)弦過定點(diǎn)的問題題型四：過已知曲線上定點(diǎn)的弦的問題題型五：共線向量問題題型六：面積問題題型七：弦或弦長為定值問題題型八

3、：角度問題問題九：四點(diǎn)共線問題問題十：范圍問題（本質(zhì)是函數(shù)問題）問題十一、存在性問題：（存在點(diǎn)，存在直線y=kx+m，存在實(shí)數(shù)，存在圖形：三角形（等比、等腰、直角），四邊形（矩形、菱形、正方形），圓）題型一：數(shù)形結(jié)合確定直線和圓錐曲線的位置關(guān)系例題1、已知直線與橢圓始終有交點(diǎn)，求的取值范圍思路點(diǎn)撥：直線方程的特點(diǎn)是過定點(diǎn)（0，1），橢圓的特點(diǎn)是過定點(diǎn)（-2，0）和（2，0），和動(dòng)點(diǎn)。解：根據(jù)直線的方程可知，直線恒過定點(diǎn)（0，1），橢圓過動(dòng)點(diǎn)，如果直線和橢圓始終有交點(diǎn)，則，即。規(guī)律提示：通過直線的代數(shù)形式，可以看出直線的特點(diǎn)： 證明直線過定點(diǎn)，也是將滿足條件的直線整理成以上三種形式之一，再得出結(jié)

4、論。練習(xí)：1、過點(diǎn)P(3,2) 和拋物線 只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有（ ）條。A4B3C2D1分析：作出拋物線，判斷點(diǎn)P(3,2)相對拋物線的位置。解：拋物線 如圖，點(diǎn)P（3，2）在拋物線的內(nèi)部，根據(jù)過拋物線內(nèi)一點(diǎn)和拋物線的對稱軸平行或重合的直線和拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，可知過點(diǎn)P(3,2) 和拋物線 只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有一條。故選擇D規(guī)律提示：含焦點(diǎn)的區(qū)域?yàn)閳A錐曲線的內(nèi)部。（這里可以用公司的設(shè)備畫圖）一、過一定點(diǎn)P和拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的條數(shù)情況：（1）若定點(diǎn)P在拋物線外，則過點(diǎn)P和拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有3條：兩條切線，一條和對稱軸平行或重合的直線；（2）若定點(diǎn)P在拋物線上，則過點(diǎn)P和

5、拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有2條：一條切線，一條和對稱軸平行或重合的直線；（3）若定點(diǎn)P在拋物線內(nèi)，則過點(diǎn)P和拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有1條：和拋物線的對稱軸平行或重合的直線和拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)。二、過定點(diǎn)P和雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的條數(shù)情況：（1）若定點(diǎn)P在雙曲線內(nèi)，則過點(diǎn)P和雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有2條：和雙曲線的漸近線平行的直線和雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)；（2）若定點(diǎn)P在雙曲線上，則過點(diǎn)P和雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有3條：一條切線，2條和漸近線平行的直線；（3）若定點(diǎn)P在雙曲線外且不在漸近線上，則過點(diǎn)P和雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有4條：2條切線和2條和漸近線平行的直線；（4）若

6、定點(diǎn)P在雙曲線外且在一條漸近線上，而不在另一條漸近線上，則過點(diǎn)P和雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有2條：一條切線，一條和另一條漸近線平行的直線；（5）若定點(diǎn)P在兩條漸近線的交點(diǎn)上，即對稱中心，過點(diǎn)P和雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線不存在。題型二：弦的垂直平分線問題弦的垂直平分線問題和對稱問題是一種解題思維，首先弄清楚哪個(gè)是弦，哪個(gè)是對稱軸，用到的知識(shí)是：垂直（兩直線的斜率之積為-1）和平分（中點(diǎn)坐標(biāo)公式）。例題2、過點(diǎn)T(-1,0)作直線與曲線N ：交于A、B兩點(diǎn)，在x軸上是否存在一點(diǎn)E(,0)，使得是等邊三角形，若存在，求出；若不存在，請說明理由。分析：過點(diǎn)T(-1,0)的直線和曲線N ：相交A、B

7、兩點(diǎn)，則直線的斜率存在且不等于0，可以設(shè)直線的方程，聯(lián)立方程組，消元，分析類一元二次方程，看判別式，運(yùn)用韋達(dá)定理，得弦的中點(diǎn)坐標(biāo)，再由垂直和中點(diǎn)，寫出垂直平分線的方程，得出E點(diǎn)坐標(biāo)，最后由正三角形的性質(zhì)：中線長是邊長的倍。運(yùn)用弦長公式求弦長。解：依題意知，直線的斜率存在，且不等于0。設(shè)直線，。由消y整理，得 由直線和拋物線交于兩點(diǎn)，得即 由韋達(dá)定理，得：。則線段AB的中點(diǎn)為。線段的垂直平分線方程為： ， 令y=0,得，則為正三角形，到直線AB的距離d為。 解得滿足式 此時(shí)。思維規(guī)律：直線過定點(diǎn)設(shè)直線的斜率k，利用韋達(dá)定理法，將弦的中點(diǎn)用k表示出來，再利用垂直關(guān)系將弦的垂直平分線方程寫出來，求出

8、了橫截距的坐標(biāo)；再利用正三角形的性質(zhì)：高是邊長的倍，將k確定，進(jìn)而求出的坐標(biāo)。例題3、已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。 （）求過點(diǎn)O、F，并且與相切的圓的方程；（）設(shè)過點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)G，求點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍。分析：第一問求圓的方程，運(yùn)用幾何法：圓心在弦的垂直平分線上，圓心到切線的距離等于圓心到定點(diǎn)的距離；第二問，過定點(diǎn)的弦的垂直平分線如果和x軸相交，則弦的斜率存在，且不等于0，設(shè)出弦AB所在的直線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理求出弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由弦AB的方程求出中點(diǎn)的總坐標(biāo)，再有弦AB的斜率，得到線段AB的垂直平分線的方程，就可以得

9、到點(diǎn)G的坐標(biāo)。 解：(I) a2=2，b2=1，c=1，F(xiàn)(-1，0)，l:x=-2. 圓過點(diǎn)O、F,圓心M在直線x=-設(shè)M(-)，則圓半徑：r=|(-)-(-2)|=由|OM|=r，得，解得t=，所求圓的方程為(x+)2+(y)2=.(II)由題意可知，直線AB的斜率存在，且不等于0,設(shè)直線AB的方程為y=k(x+1)(k0)，代入+y2=1，整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0直線AB過橢圓的左焦點(diǎn)F， 方程一定有兩個(gè)不等實(shí)根,設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中點(diǎn)N(x0，y0)，則x1+x1=-AB垂直平分線NG的方程為令y=0，得點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍為（）。技巧

10、提示：直線過定點(diǎn)設(shè)直線的斜率k，利用韋達(dá)定理，將弦的中點(diǎn)用k表示出來，韋達(dá)定理就是同類坐標(biāo)變換的技巧，是解析幾何中解決直線和圓錐曲線問題的兩大技巧之第一個(gè)技巧。再利用垂直關(guān)系將弦AB的垂直平分線方程寫出來，就求出了橫截距的坐標(biāo)（關(guān)于k的函數(shù)）。直線和圓錐曲線中參數(shù)的范圍問題，就是函數(shù)的值域問題。練習(xí)1：已知橢圓過點(diǎn)，且離心率。 （）求橢圓方程； （）若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且線段的垂直平分線過定點(diǎn)，求的取值范圍。分析：第一問中已知橢圓的離心率，可以得到的關(guān)系式，再根據(jù)“過點(diǎn)”得到的第2個(gè)關(guān)系式，解方程組，就可以解出的值，確定橢圓方程。第二問，設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立方程組，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，

11、通過判別式得出的不等式，再根據(jù)韋達(dá)定理，得出弦MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，利用弦的直線方程，得到中點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由中點(diǎn)坐標(biāo)和定點(diǎn)，得垂直平分線的斜率，有垂直平分線的斜率和弦的斜率之積為-1，可得的等式，用k表示m再代入不等式，就可以求出k的取值范圍。解：（）離心率，即（1）；又橢圓過點(diǎn)，則，（1）式代入上式，解得，橢圓方程為。（）設(shè)，弦MN的中點(diǎn)A由得：，直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，即（1）由韋達(dá)定理得：，則，直線AG的斜率為：，由直線AG和直線MN垂直可得：，即，代入（1）式，可得，即，則。老師支招：如果只說一條直線和橢圓相交，沒有說直線過點(diǎn)或沒給出直線的斜率，就直接設(shè)直線的方程為：，再和曲線聯(lián)立，轉(zhuǎn)化

12、成一元二次方程，就能找到解決問題的門路。本題解決過程中運(yùn)用了兩大解題技巧：與韋達(dá)定理有關(guān)的同類坐標(biāo)變換技巧，與點(diǎn)的縱、橫坐標(biāo)有關(guān)的同點(diǎn)縱橫坐標(biāo)變換技巧。解決直線和圓錐曲線的問題的關(guān)鍵就是充分、靈活的運(yùn)用這兩大解題技巧。練習(xí)2、設(shè)、分別是橢圓的左右焦點(diǎn)是否存在過點(diǎn)的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)C、D，使得？若存在，求直線l的方程；若不存在，請說明理由分析：由得，點(diǎn)C、D關(guān)于過的直線對稱，由直線l過的定點(diǎn)A(5,0)不在的內(nèi)部，可以設(shè)直線l的方程為：，聯(lián)立方程組，得一元二次方程，根據(jù)判別式，得出斜率k的取值范圍，由韋達(dá)定理得弦CD的中點(diǎn)M的坐標(biāo)，由點(diǎn)M和點(diǎn)F1的坐標(biāo)，得斜率為，解出k值，看是否在判別

13、式的取值范圍內(nèi)。解：假設(shè)存在直線滿足題意，由題意知，過A的直線的斜率存在，且不等于。設(shè)直線l的方程為：，C、D，CD的中點(diǎn)M。由得：，又直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)C、D，則，即。由韋達(dá)定理得：，則，M(，)。又點(diǎn)，則直線的斜率為，根據(jù)得：，即，此方程無解，即k不存在，也就是不存在滿足條件的直線。老師提醒：通過以上2個(gè)例題和2個(gè)練習(xí)，我們可以看出，解決垂直平分線的問題，即對稱問題分兩步：第一步，有弦所在的直線和曲線聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為一元二次方程（或類一元二次方程），通過判別式得不等式，由韋達(dá)定理得出弦中點(diǎn)的坐標(biāo)；第二步是利用垂直關(guān)系，得出斜率之積為-1，或者是利用中點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸直線的斜率，寫出垂直平

14、分線的方程，就可以解決問題。需要注意的一點(diǎn)是，求出的參數(shù)一定要滿足判別式。題型三：動(dòng)弦過定點(diǎn)的問題圓錐曲線自身有一些規(guī)律性的東西，其中一些性質(zhì)是和直線與圓錐曲線相交的弦有關(guān)系，對這樣的一些性質(zhì)，我們必須了如指掌，并且必須會(huì)證明。隨著幾何畫板的開發(fā)，實(shí)現(xiàn)了機(jī)器證明幾何問題，好多以前我們不知道的、了解不深入的幾何或代數(shù)性質(zhì)，都如雨后春筍般的出來了，其中大部分都有可以遵循的規(guī)律，高考出題人，也得設(shè)計(jì)好思維，讓我們在他們設(shè)好的路上“走”出來。下面我們就通過幾個(gè)考題領(lǐng)略一下其風(fēng)采。例題4、已知橢圓C：的離心率為，且在x軸上的頂點(diǎn)分別為A1(-2,0),A2(2,0)。（I）求橢圓的方程； （II）若直線

15、與x軸交于點(diǎn)T,點(diǎn)P為直線上異于點(diǎn)T的任一點(diǎn)，直線PA1,PA2分別與橢圓交于M、N點(diǎn)，試問直線MN是否通過橢圓的焦點(diǎn)？并證明你的結(jié)論。分析：第一問是待定系數(shù)法求軌跡方程；第二問中，點(diǎn)A1、A2的坐標(biāo)都知道，可以設(shè)直線PA1、PA2的方程，直線PA1和橢圓交點(diǎn)是A1(-2,0)和M，通過韋達(dá)定理，可以求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，同理可以求出點(diǎn)N的坐標(biāo)。動(dòng)點(diǎn)P在直線上，相當(dāng)于知道了點(diǎn)P的橫坐標(biāo)了，由直線PA1、PA2的方程可以求出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，得到兩條直線的斜率的關(guān)系，通過所求的M、N點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線MN的方程，將交點(diǎn)的坐標(biāo)代入，如果解出的t2，就可以了，否則就不存在。解：（I）由已知橢圓C的離心率，,則

16、得。從而橢圓的方程為（II）設(shè)，直線的斜率為,則直線的方程為，由消y整理得是方程的兩個(gè)根， 則，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為，同理，設(shè)直線A2N的斜率為k2，則得點(diǎn)N的坐標(biāo)為 ，直線MN的方程為：，令y=0，得，將點(diǎn)M、N的坐標(biāo)代入，化簡后得：又，橢圓的焦點(diǎn)為 ，即 故當(dāng)時(shí)，MN過橢圓的焦點(diǎn)。方法總結(jié)：本題由點(diǎn)A1(-2,0)的橫坐標(biāo)2是方程的一個(gè)根，結(jié)合韋達(dá)定理運(yùn)用同類坐標(biāo)變換，得到點(diǎn)M的橫坐標(biāo)：，再利用直線A1M的方程通過同點(diǎn)的坐標(biāo)變換，得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)：；其實(shí)由消y整理得，得到，即，很快。不過如果看到：將中的換下來，前的系數(shù)2用2換下來，就得點(diǎn)N的坐標(biāo)，如果在解題時(shí)，能看到這一點(diǎn)，計(jì)算量將減少，這樣真容

17、易出錯(cuò)，但這樣減少計(jì)算量。 本題的關(guān)鍵是看到點(diǎn)P的雙重身份：點(diǎn)P即在直線上也在直線A2N上，進(jìn)而得到，由直線MN的方程得直線與x軸的交點(diǎn)，即橫截距，將點(diǎn)M、N的坐標(biāo)代入，化簡易得，由解出，到此不要忘了考察是否滿足。另外：也可以直接設(shè)P(t，y0)，通過A1，A2的坐標(biāo)寫出直線PA1，PA2的直線方程，再分別和橢圓聯(lián)立，通過韋達(dá)定理求出M、N的坐標(biāo)，再寫出直線MN的方程。再過點(diǎn)F，求出t值。例題5、（07山東理）已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3；最小值為1； （）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是左右頂點(diǎn)），且以AB為直

18、徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)。求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。分析：第一問，是待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二問，直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，并且橢圓的右頂點(diǎn)和A、B的連線互相垂直，證明直線過定點(diǎn)，就是通過垂直建立k、m的一次函數(shù)關(guān)系。解（I）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為， （II）設(shè)，由得，（注意：這一步是同類坐標(biāo)變換）（注意：這一步叫同點(diǎn)縱、橫坐標(biāo)間的變換）以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)且，解得，且滿足當(dāng)時(shí)，直線過定點(diǎn)與已知矛盾；當(dāng)時(shí)，直線過定點(diǎn)， 綜上可知，直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為名師經(jīng)驗(yàn)：在直線和圓錐曲線的位置關(guān)系題中，以弦為直徑的圓經(jīng)過某個(gè)點(diǎn)，就是“弦對定點(diǎn)張直角”，也就是定點(diǎn)和弦的兩端

19、點(diǎn)連線互相垂直，得斜率之積為，建立等式。直線不過定點(diǎn)，也不知道斜率，設(shè)出，是經(jīng)常用的一招，在第二講中就遇到了這樣設(shè)的直線。練習(xí)：直線和拋物線相交于A、B，以AB為直徑的圓過拋物線的頂點(diǎn)，證明：直線過定點(diǎn)，并求定點(diǎn)的坐標(biāo)。分析：以AB為直徑的圓過拋物線的頂點(diǎn)O，則OAOB，若設(shè)，則，再通過，將條件轉(zhuǎn)化為，再通過直線和拋物線聯(lián)立，計(jì)算判別式后，可以得到，解出k、m的等式，就可以了。解：設(shè)，由得，（這里消x得到的）則（1） 由韋達(dá)定理，得：，則，以AB為直徑的圓過拋物線的頂點(diǎn)O，則OAOB，即，可得，則，即，又，則，且使（1）成立，此時(shí)，直線恒過點(diǎn)。名師指點(diǎn)：本題解決過程中，有一個(gè)消元技巧，就是直線

20、和拋物線聯(lián)立時(shí)，要消去一次項(xiàng)，計(jì)算量小一些，也運(yùn)用了同類坐標(biāo)變換韋達(dá)定理，同點(diǎn)縱、橫坐標(biāo)變換-直線方程的縱坐標(biāo)表示橫坐標(biāo)。其實(shí)解析幾何就這么點(diǎn)知識(shí)，你發(fā)現(xiàn)了嗎？題型四：過已知曲線上定點(diǎn)的弦的問題若直線過的定點(diǎn)在已知曲線上，則過定點(diǎn)的直線的方程和曲線聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為一元二次方程（或類一元二次方程），考察判斷式后，韋達(dá)定理結(jié)合定點(diǎn)的坐標(biāo)就可以求出另一端點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而解決問題。下面我們就通過例題領(lǐng)略一下思維過程。例題6、已知點(diǎn)A、B、C是橢圓E： 上的三點(diǎn)，其中點(diǎn)A是橢圓的右頂點(diǎn)，直線BC過橢圓的中心O，且，如圖。(I)求點(diǎn)C的坐標(biāo)及橢圓E的方程；(II)若橢圓E上存在兩點(diǎn)P、Q，使得直線PC與直線QC

21、關(guān)于直線對稱，求直線PQ的斜率。解：(I) ，且BC過橢圓的中心O ， 又 點(diǎn)C的坐標(biāo)為。A是橢圓的右頂點(diǎn)， ，則橢圓方程為：將點(diǎn)C代入方程，得，橢圓E的方程為(II) 直線PC與直線QC關(guān)于直線對稱，設(shè)直線PC的斜率為，則直線QC的斜率為，從而直線PC的方程為：，即，由消y，整理得：是方程的一個(gè)根， 即 同理可得： 則直線PQ的斜率為定值。方法總結(jié)：本題第二問中，由“直線PC與直線QC關(guān)于直線對稱”得兩直線的斜率互為相反數(shù)，設(shè)直線PC的斜率為k，就得直線QC的斜率為-k。利用是方程的根，易得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)：，再將其中的k用-k換下來，就得到了點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)：，這樣計(jì)算量就減少了許多，在考場上就節(jié)

22、省了大量的時(shí)間。接下來，如果分別利用直線PC、QC的方程通過坐標(biāo)變換法將點(diǎn)P、Q的縱坐標(biāo)也求出來，計(jì)算量會(huì)增加許多。直接計(jì)算、，就降低了計(jì)算量?？傊?，本題有兩處是需要同學(xué)們好好想一想，如何解決此類問題，一是過曲線上的點(diǎn)的直線和曲線相交，點(diǎn)的坐標(biāo)是方程組消元后得到的方程的根；二是利用直線的斜率互為相反數(shù)，減少計(jì)算量，達(dá)到節(jié)省時(shí)間的目的。練習(xí)2、：（2009遼寧卷文、理）已知，橢圓C以過點(diǎn)A（1，），兩個(gè)焦點(diǎn)為（1，0）（1，0）。（1） 求橢圓C的方程；（2） E,F是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個(gè)定值。 分析：第一問中，知道焦

23、點(diǎn)，則 ，再根據(jù)過點(diǎn)A，通過解方程組，就可以求出 ，求出方程。第二問中，設(shè)出直線AE的斜率k，寫出直線的方程，聯(lián)立方程組，轉(zhuǎn)化成一元二次方程，由韋達(dá)定理和點(diǎn)A的坐標(biāo)，可以求出點(diǎn)E的坐標(biāo),將點(diǎn)E中的k,用-k換下來，就可以得到點(diǎn)F的坐標(biāo)，通過計(jì)算yE-yF，xE-xF，就可以求出直線EF的斜率了解：（）由題意，c=1,可設(shè)橢圓方程為 ，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入方程： ，解得 ， （舍去）所以橢圓方程為 。 （）設(shè)直線AE方程為：，代入得 設(shè),因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以 8分又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，在上式中以K代K，可得 所以直線EF的斜率即直線EF的斜率為定值，其值為。 12分老師總結(jié)：此類題

24、的關(guān)鍵就是定點(diǎn)在曲線上，定點(diǎn)的坐標(biāo)是方程的根，通過韋達(dá)定理，將動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)求出，在根據(jù)斜率互為相反數(shù)，就可以直接求出第二動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，最后由斜率公式，可以求出斜率為定值。題型五：共線向量問題解析幾何中的向量共線，就是將向量問題轉(zhuǎn)化為同類坐標(biāo)的比例問題，再通過未達(dá)定理-同類坐標(biāo)變換，將問題解決。此類問題不難解決。例題7、設(shè)過點(diǎn)D(0,3)的直線交曲線M：于P、Q兩點(diǎn)，且,求實(shí)數(shù)的取值范圍。分析：由可以得到，將P(x1,y1),Q(x2,y2),代人曲線方程，解出點(diǎn)的坐標(biāo)，用表示出來。解：設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2), 由 得(x1,y1-3)=(x2,y2-3) 即方法一：方程組消元法又P、

25、Q是橢圓+=1上的點(diǎn) 消去x2，可得 即y2=又在橢圓上，2y22， 22 解之得：則實(shí)數(shù)的取值范圍是。方法二：判別式法、韋達(dá)定理法、配湊法設(shè)直線PQ的方程為：，由消y整理后，得P、Q是曲線M上的兩點(diǎn) 即 由韋達(dá)定理得： 即 由得，代入，整理得 ， 解之得當(dāng)直線PQ的斜率不存在，即時(shí)，易知或 。 總之實(shí)數(shù)的取值范圍是。方法總結(jié)：通過比較本題的第二步的兩種解法，可知第一種解法，比較簡單，第二種方法是通性通法，但計(jì)算量較大，縱觀高考中的解析幾何題，若放在后兩題，很多情況下能用通性通法解，但計(jì)算量較大，計(jì)算繁瑣，考生必須有較強(qiáng)的意志力和極強(qiáng)的計(jì)算能力；不用通性通法，要求考生必須深入思考，有較強(qiáng)的思維

26、能力，在命題人設(shè)計(jì)的框架中，找出破解的蛛絲馬跡，通過自己的思維將問題解決。例題8：已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，離心率為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）過橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，若，求的值分析：（07福建理科）如圖，已知點(diǎn)（1，0），直線l：x1，P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過作直線l的垂線，垂足為點(diǎn)，且。 （）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡C的方程； （）過點(diǎn)F的直線交軌跡C于A、B兩點(diǎn)，交直線l于點(diǎn)M，已知，求的值。小題主要考查直線、拋物線、向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查軌跡方程的求法以及研究曲線幾何特征的基本方法，考查運(yùn)算能力和綜合解題能力.滿分1

27、4分.解法一：（）設(shè)點(diǎn)，則，由得：，化簡得.（）設(shè)直線的方程為： .設(shè)，又，聯(lián)立方程組，消去得：，故由，得：，整理得：，解法二：（）由得：， ， 所以點(diǎn)的軌跡是拋物線，由題意，軌跡的方程為：.（）由已知，得. 則：.過點(diǎn)分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，則有：.由得：，即.練習(xí)：設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，A是橢圓C上的一點(diǎn)，且，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線的距離為 （1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)Q是橢圓C上的一點(diǎn)，過Q的直線l交x軸于點(diǎn)，較y軸于點(diǎn)M，若，求直線l的方程山東2006理 雙曲線C與橢圓有相同的焦點(diǎn)，直線y=為C的一條漸近線。（I） 求雙曲線C的方程；(II)過點(diǎn)P(0,4)的直線，交雙曲線C于

28、A,B兩點(diǎn)，交x軸于Q點(diǎn)（Q點(diǎn)與C的頂點(diǎn)不重合）。當(dāng)，且時(shí)，求Q點(diǎn)的坐標(biāo)。解：（）解法一：由題意知直線的斜率存在且不等于零。設(shè)的方程：，則在雙曲線上， 同理有：若則直線過頂點(diǎn)，不合題意.是二次方程的兩根. ，此時(shí). 所求的坐標(biāo)為.解法二：由題意知直線的斜率存在且不等于零設(shè)的方程，則. ， 分的比為.由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得 下同解法一解法三：由題意知直線的斜率存在且不等于零設(shè)的方程：，則.，.， ， 又， 即 將代入得 ，否則與漸近線平行。 解法四：由題意知直線l得斜率k存在且不等于零，設(shè)的方程：，則 , 。 同理 .即（*）又 消去y得.當(dāng)時(shí)，則直線l與雙曲線得漸近線平行，不合題意，。由韋達(dá)定理

29、有： 代入（*）式得 所求Q點(diǎn)的坐標(biāo)為。練習(xí)：已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，離心率等于。（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，弦PA、PB分別過焦點(diǎn)F1、F2，（PA、PB都不與x軸垂直，其點(diǎn)P的縱坐標(biāo)不為0），若，求的值。解：（1）設(shè)橢圓C的方程為：，則b=1，由，得，則橢圓的方程為：（2）由得：，設(shè)，有得：解得：，根據(jù)PA、PB都不與x軸垂直，且，設(shè)直線PA的方程為：，代人，整理后，得：根據(jù)韋達(dá)定理，得：，則，從而， 同理可求則由為橢圓上一點(diǎn)得：， 則， 故的值為18.題型六：面積問題例題8、（07陜西理）已知橢圓C：（ab0）的離心率為

30、短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為。（）求橢圓C的方程；（）設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為，求AOB面積的最大值。解：（）設(shè)橢圓的半焦距為，依題意 ，所求橢圓方程為。（）設(shè)，。 （1）當(dāng)軸時(shí)，。（2）當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為。由已知，得。把代入橢圓方程，整理得，。當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立。當(dāng)時(shí)， 綜上所述。當(dāng)最大時(shí)，面積取最大值。練習(xí)1、（07浙江理）如圖，直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，記的面積為。（）求在，的條件下，的最大值；（）當(dāng)時(shí)，求直線AB的方程。本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)、橢圓與直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。滿分14分。解：

31、（）解：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，解得，所以 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最在值1，（）解：由得 設(shè)到的距離為，則又因?yàn)?所以代入式并整理，得 解得，代入式檢驗(yàn)，。故直線的方程是。練習(xí)2、（山東06文）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓的短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形，兩準(zhǔn)線間的距離為4。()求橢圓的方程；()直線過點(diǎn)P(0,2)且與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)AOB面積取得最大值時(shí)，求直線l的方程。解：設(shè)橢圓方程為（I）由已知得 所求橢圓方程為（II）解法一：由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為，由 消去y得關(guān)于x的方程：由直線l與橢圓相交A、B兩點(diǎn)，解得，又由韋達(dá)定理得 .原

32、點(diǎn)O到直線l的距離解法1：對兩邊平方整理得： （*） ， 整理得： 又 .從而的最大值為， 此時(shí)代入方程（*）得所以，所求直線方程為： .解法2：令， 則， . 當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)， 此時(shí).所以，所求直線方程為 .解法二：由題意知直線l的斜率存在且不為零.設(shè)直線l的方程為，則直線l與x軸的交點(diǎn)由解法一知：且 解法1： 下同解法一解法2： 下同解法一已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的離心率為，為其焦點(diǎn)，一直線過點(diǎn)與橢圓相交于兩點(diǎn)，且的最大面積為，求橢圓的方程。解：由得，所以橢圓方程設(shè)為設(shè)直線，由 得：設(shè)，則是方程的兩個(gè)根由韋達(dá)定理得 所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即軸時(shí)取等號(hào) 所以，所求橢圓方程為題型七：弦或弦長

33、為定值問題例題9、（07湖北理科）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過定點(diǎn)C（0，p）作直線與拋物線x2=2py（p0）相交于A、B兩點(diǎn)。（）若點(diǎn)N是點(diǎn)C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)，求ANB面積的最小值；（）是否存在垂直于y軸的直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得弦長恒為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由。（此題不要求在答題卡上畫圖）本小題主要考查直線、圓和拋物線等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理運(yùn)算的能力和解決問題的能力.解法1：（）依題意，點(diǎn)N的坐標(biāo)為N（0,-p）,可設(shè)A（x1,y1）,B（x2,y2），直線AB的方程為y=kx+p,與x2=2py聯(lián)立得消去y得x2-

34、2pkx-2p2=0. 由韋達(dá)定理得x1+x2=2pk,x1x2=-2p2.于是.（）假設(shè)滿足條件的直線l存在，其方程為y=a,AC的中點(diǎn)為徑的圓相交于點(diǎn)P、Q，PQ的中點(diǎn)為H，則.=令，得為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線.解法2：（）前同解法1，再由弦長公式得 又由點(diǎn)到直線的距離公式得.從而，（）假設(shè)滿足條件的直線t存在，其方程為y=a，則以AC為直徑的圓的方程為將直線方程y=a代入得設(shè)直線l與以AC為直徑的圓的交點(diǎn)為P（x2,y2）,Q（x4,y4）,則有令為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為.即拋物線的通徑所在的直線。題型八：角度問題例題9、（08重

35、慶理）如圖（21）圖，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足：（）求點(diǎn)P的軌跡方程； （）若,求點(diǎn)P的坐標(biāo).解：()由橢圓的定義，點(diǎn)P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)，長軸長2a=6的橢圓. 因此半焦距c=2，長半軸a=3，從而短半軸b=， 所以橢圓的方程為()由 得 因?yàn)椴粸闄E圓長軸頂點(diǎn)，故P、M、N構(gòu)成三角形.在PMN中， 將代入，得 故點(diǎn)P在以M、N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為的雙曲線上. 由()知，點(diǎn)P的坐標(biāo)又滿足，所以 由方程組 解得 即P點(diǎn)坐標(biāo)為練習(xí)1、（05福建理）已知方向向量為v=(1,)的直線l過點(diǎn)（0，2）和橢圓C：(ab0)的焦點(diǎn)，且橢圓C的中心關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)

36、線上.（）求橢圓C的方程；（）是否存在過點(diǎn)E（2，0）的直線m交橢圓C于點(diǎn)M、N，滿足cotMON0（O為原點(diǎn)）.若存在，求直線m的方程；若不存在，請說明理由.本小題主要考查直線、橢圓及平面向量的基本知識(shí)，平面解析幾何的基本方法和綜合解題能力.（I）解法一：直線， 過原點(diǎn)垂直的直線方程為， 解得橢圓中心O（0，0）關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上，直線過橢圓焦點(diǎn)，該焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）. 故橢圓C的方程為 解法二：直線.設(shè)原點(diǎn)關(guān)于直線對稱點(diǎn)為（p，q），則解得p=3.橢圓中心O（0，0）關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上， 直線過橢圓焦點(diǎn)，該焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）. 故橢圓C的方程為 （II）

37、 解法一：設(shè)M（），N（）.當(dāng)直線m不垂直軸時(shí)，直線代入，整理得 點(diǎn)O到直線MN的距離即 即整理得當(dāng)直線m垂直x軸時(shí)，也滿足.故直線m的方程為或或經(jīng)檢驗(yàn)上述直線均滿足.所以所求直線方程為或或解法二：設(shè)M（），N（）.當(dāng)直線m不垂直軸時(shí)，直線m：y=k(x+2)代入，整理得 E（2，0）是橢圓C的左焦點(diǎn)，|MN|=|ME|+|NE|=以下與解法一相同.解法三：設(shè)M（），N（）. 設(shè)直線，代入，整理得 |y1-y2|=即 =，整理得解得或故直線m的方程為或或經(jīng)檢驗(yàn)上述直線方程為所以所求直線方程為或或練習(xí)2、（08陜西理）已知拋物線：，直線交于兩點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，過作軸的垂線交于點(diǎn)（）證明：拋物線在

38、點(diǎn)處的切線與平行；（）是否存在實(shí)數(shù)使，若存在，求的值；若不存在，說明理由解法一：（）如圖，設(shè)，把代入得，xAy112MNBO由韋達(dá)定理得，點(diǎn)的坐標(biāo)為設(shè)拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為，將代入上式得， 直線與拋物線相切， 即（）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使，則，又是的中點(diǎn)，由（）知軸，又 ，解得 即存在，使解法二：（）如圖，設(shè)，把代入得由韋達(dá)定理得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，拋物線在點(diǎn)處的切線的斜率為，（）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使由（）知，則，解得 即存在，使問題九：四點(diǎn)共線問題例題10、（08安徽理）設(shè)橢圓過點(diǎn)，且著焦點(diǎn)為（）求橢圓的方程；（）當(dāng)過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交與兩不同點(diǎn)時(shí)，在線段上取點(diǎn)，滿足，證明：點(diǎn)總在某定直線上22解 (

39、1)由題意： ，解得，所求橢圓方程為 (2)方法一 設(shè)點(diǎn)Q、A、B的坐標(biāo)分別為。由題設(shè)知均不為零，記,則且又A，P，B，Q四點(diǎn)共線，從而于是 ， ， 從而 ，（1） ，（2）又點(diǎn)A、B在橢圓C上，即 （1）+（2）2并結(jié)合（3），（4）得， 即點(diǎn)總在定直線上方法二 設(shè)點(diǎn)，由題設(shè)，均不為零。且 又 四點(diǎn)共線，可設(shè),于是 （1） （2）由于在橢圓C上，將（1），（2）分別代入C的方程整理得 （3） (4)(4)(3) 得 即點(diǎn)總在定直線上練習(xí)1、（08四川理）設(shè)橢圓 的左、右焦點(diǎn)分別為、，離心率，右準(zhǔn)線為，、是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，（）若，求、的值；（）證明：當(dāng)取最小值時(shí)，與共線解析：數(shù)列和解幾位列倒數(shù)第

40、三和第二，意料之中開始擠牙膏吧（）由已知，由，又，：，延長交于，記右準(zhǔn)線交軸于， 由平幾知識(shí)易證， 即，（）另解：，又 聯(lián)立，消去、得：，整理得：，解得但解此方程組要考倒不少人（）， 當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，取等號(hào)此時(shí)取最小值此時(shí)與共線 （）另解：，設(shè)，的斜率分別為，由， 由 當(dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)取等號(hào)即當(dāng)最小時(shí)，此時(shí)與共線點(diǎn)評：本題第一問又用到了平面幾何看來，與平面幾何有聯(lián)系的難題真是四川風(fēng)格啊注意平面幾何可與三角向量解幾沾邊，應(yīng)加強(qiáng)對含平面幾何背景的試題的研究本題好得好，出得活，出得妙！均值定理，放縮技巧，永恒的考點(diǎn)問題十：范圍問題（本質(zhì)是函數(shù)問題）例題1、已知直線相交于A、B兩點(diǎn)。 （1）若橢圓的離心率

41、為，焦距為2，求線段AB的長； （2）若向量互相垂直（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)橢圓的離心率時(shí)，求橢圓的長軸長的最大值。（07四川理）設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)。（）若是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最大值和最小值；（）設(shè)過定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且為銳角（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的斜率的取值范圍。本題主要考察直線、橢圓、平面向量的數(shù)量積等基礎(chǔ)知識(shí)，以及綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題及推理計(jì)算能力。解：（）解法一：易知， 所以，設(shè)，則因?yàn)?，故?dāng)，即點(diǎn)為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，有最小值當(dāng)，即點(diǎn)為橢圓長軸端點(diǎn)時(shí)，有最大值解法二：易知，所以，設(shè)，則（以下同解法一）（）顯然直線不滿足題設(shè)條件，可設(shè)直線，聯(lián)立，消去，

42、整理得：由得：或又，又，即 故由、得或（2009湖南卷文）（本小題滿分13分）已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，以兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是一個(gè)面積為8的正方形（記為Q）.（）求橢圓C的方程;（）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C的左準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線與橢圓C相交于M,N兩點(diǎn)，當(dāng)線段MN的中點(diǎn)落在正方形Q內(nèi)（包括邊界）時(shí)，求直線的斜率的取值范圍。解: （）依題意，設(shè)橢圓C的方程為焦距為，由題設(shè)條件知， 所以 故橢圓C的方程為 .（）橢圓C的左準(zhǔn)線方程為所以點(diǎn)P的坐標(biāo)，顯然直線的斜率存在，所以直線的方程為。 如圖，設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為線段MN的中點(diǎn)為G， 由得. 由解得. 因?yàn)槭欠匠痰膬?/p>

43、根，所以，于是 =， .因?yàn)?，所以點(diǎn)G不可能在軸的右邊，又直線,方程分別為所以點(diǎn)在正方形內(nèi)（包括邊界）的充要條件為 即 亦即 解得，此時(shí)也成立. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 故直線斜率的取值范圍是問題十一、存在性問題：（存在點(diǎn)，存在直線y=kx+m，存在實(shí)數(shù)，存在圖形：三角形（等比、等腰、直角），四邊形（矩形、菱形、正方形），圓）(2009山東卷理)（本小題滿分14分）設(shè)橢圓E: （a,b0）過M（2，） ，N(,1)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，（I）求橢圓E的方程；（II）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說明理由。解:（1）因?yàn)闄E圓E: （a,b0）過M（2，） ，N(,1)兩點(diǎn),所以解得所以橢圓E的方程為（2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且,設(shè)該圓的切線方程為解方程組得,即, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 則=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因?yàn)橹本€為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線,所以圓的半徑為,所求的圓為,此時(shí)圓的切線都滿足或,而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線為與橢圓的兩個(gè)交