初中數(shù)學(xué)幾何模型大全+經(jīng)典題型

1、初中數(shù)學(xué)幾何模型大全+經(jīng)典題型（含答案）全等變換平移：平行等線段（平行四邊形）對(duì)稱：角平分線或垂直或半角旋轉(zhuǎn)：相鄰等線段繞公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱全等模型說明：以角平分線為軸在角兩邊進(jìn)行截長(zhǎng)補(bǔ)短或者作邊的垂線，形成對(duì)稱全等。兩邊進(jìn)行邊或者角的等量代換，產(chǎn)生聯(lián)系。垂直也可以做為軸進(jìn)行對(duì)稱全等。對(duì)稱半角模型說明：上圖依次是45、30、22.5、15及有一個(gè)角是30直角三角形的對(duì)稱（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等邊三角形、對(duì)稱全等。旋轉(zhuǎn)全等模型半角：有一個(gè)角含1/2角及相鄰線段自旋轉(zhuǎn)：有一對(duì)相鄰等線段，需要構(gòu)造旋轉(zhuǎn)全等共旋轉(zhuǎn)：有兩對(duì)相鄰等線段，直接尋找旋轉(zhuǎn)全等中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)：倍長(zhǎng)中點(diǎn)相關(guān)線段轉(zhuǎn)換成旋轉(zhuǎn)

2、全等問題旋轉(zhuǎn)半角模型說明：旋轉(zhuǎn)半角的特征是相鄰等線段所成角含一個(gè)二分之一角，通過旋轉(zhuǎn)將另外兩個(gè)和為二分之一的角拼接在一起，成對(duì)稱全等。自旋轉(zhuǎn)模型構(gòu)造方法：遇60度旋60度，造等邊三角形遇90度旋90度，造等腰直角遇等腰旋頂點(diǎn)，造旋轉(zhuǎn)全等遇中點(diǎn)旋180度，造中心對(duì)稱共旋轉(zhuǎn)模型說明：旋轉(zhuǎn)中所成的全等三角形，第三邊所成的角是一個(gè)經(jīng)常考察的內(nèi)容。通過“8”字模型可以證明。模型變形說明：模型變形主要是兩個(gè)正多邊形或者等腰三角形的夾角的變化，另外是等腰直角三角形與正方形的混用。當(dāng)遇到復(fù)雜圖形找不到旋轉(zhuǎn)全等時(shí)，先找兩個(gè)正多邊形或者等腰三角形的公共頂點(diǎn)，圍繞公共頂點(diǎn)找到兩組相鄰等線段，分組組成三角形證全等。中

3、點(diǎn)旋轉(zhuǎn)：說明：兩個(gè)正方形、兩個(gè)等腰直角三角形或者一個(gè)正方形一個(gè)等腰直角三角形及兩個(gè)圖形頂點(diǎn)連線的中點(diǎn)，證明另外兩個(gè)頂點(diǎn)與中點(diǎn)所成圖形為等腰直角三角形。證明方法是倍長(zhǎng)所要證等腰直角三角形的一直角邊，轉(zhuǎn)化成要證明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋轉(zhuǎn)頂點(diǎn)，通過證明旋轉(zhuǎn)全等三角形證明倍長(zhǎng)后的大三角形為等腰直角三角形從而得證。幾何最值模型對(duì)稱最值(兩點(diǎn)間線段最短)對(duì)稱最值(點(diǎn)到直線垂線段最短)說明：通過對(duì)稱進(jìn)行等量代換，轉(zhuǎn)換成兩點(diǎn)間距離及點(diǎn)到直線距離。旋轉(zhuǎn)最值(共線有最值)說明：找到與所要求最值相關(guān)成三角形的兩個(gè)定長(zhǎng)線段，定長(zhǎng)線段的和為最大值，定長(zhǎng)線段的差為最小值。剪拼模型三角形四

4、邊形四邊形四邊形說明：剪拼主要是通過中點(diǎn)的180度旋轉(zhuǎn)及平移改變圖形的形狀。矩形正方形說明：通過射影定理找到正方形的邊長(zhǎng)，通過平移與旋轉(zhuǎn)完成形狀改變正方形+等腰直角三角形正方形面積等分旋轉(zhuǎn)相似模型說明：兩個(gè)等腰直角三角形成旋轉(zhuǎn)全等，兩個(gè)有一個(gè)角是300角的直角三角形成旋轉(zhuǎn)相似。推廣：兩個(gè)任意相似三角形旋轉(zhuǎn)成一定角度，成旋轉(zhuǎn)相似。第三邊所成夾角符合旋轉(zhuǎn)“8”字的規(guī)律。相似模型說明：注意邊和角的對(duì)應(yīng)，相等線段或者相等比值在證明相似中起到通過等量代換來構(gòu)造相似三角形的作用。說明：（1）三垂直到一線三等角的演變，三等角以30度、45度、60度形式出現(xiàn)的居多。（2）內(nèi)外角平分線定理到射影定理的演變，注意

5、之間的相同與不同之處。另外，相似、射影定理、相交弦定理（可以推廣到圓冪定理）之間的比值可以轉(zhuǎn)換成乘積，通過等線段、等比值、等乘積進(jìn)行代換，進(jìn)行證明得到需要的結(jié)論。說明：相似證明中最常用的輔助線是做平行，根據(jù)題目的條件或者結(jié)論的比值來做相應(yīng)的平行線。初中數(shù)學(xué)經(jīng)典幾何題（附答案）經(jīng)典難題（一）1、已知：如圖，O是半圓的圓心，C、E是圓上的兩點(diǎn)，CDAB，EFAB，EGCO求證：CDGF（初二）2、已知：如圖，P是正方形ABCD內(nèi)點(diǎn)，PADPDA150 求證：PBC是正三角形（初二）3、如圖，已知四邊形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分別是AA1、BB1、CC1、DD1的

6、中點(diǎn)求證：四邊形A2B2C2D2是正方形（初二）A14、已知：如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，AD、BC的延長(zhǎng)線交MN于E、F求證：DENF經(jīng)典難題（二）1、已知：ABC中，H為垂心（各邊高線的交點(diǎn)），O為外心，且OMBC于M（1）求證：AH2OM；（2）若BAC600，求證：AHAO（初二）2、設(shè)MN是圓O外一直線，過O作OAMN于A，自A引圓的兩條直線，交圓于B、C及D、E，直線EB及CD分別交MN于P、Q求證：APAQ（初二）3、如果上題把直線MN由圓外平移至圓內(nèi)，則由此可得以下命題：設(shè)MN是圓O的弦，過MN的中點(diǎn)A任作兩弦BC、DE，設(shè)CD、EB分別交

7、MN于P、Q求證：APAQ（初二）4、如圖，分別以ABC的AC和BC為一邊，在ABC的外側(cè)作正方形ACDE和正方形CBFG，點(diǎn)P是EF的中點(diǎn)求證：點(diǎn)P到邊AB的距離等于AB的一半（初二）經(jīng)典難題（三）1、如圖，四邊形ABCD為正方形，DEAC，AEAC，AE與CD相交于F求證：CECF（初二）2、如圖，四邊形ABCD為正方形，DEAC，且CECA，直線EC交DA延長(zhǎng)線于F求證：AEAF（初二）3、設(shè)P是正方形ABCD一邊BC上的任一點(diǎn)，PFAP，CF平分DCED求證：PAPF（初二）4、如圖，PC切圓O于C，AC為圓的直徑，PEF為圓的割線，AE、AF與直線PO相交于B、D求證：ABDC，BC

8、AD（初三）經(jīng)典難題（四）1、已知：ABC是正三角形，P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，PA3，PB4，PC5求：APB的度數(shù)（初二）2、設(shè)P是平行四邊形ABCD內(nèi)部的一點(diǎn)，且PBAPDA求證：PABPCB（初二）3、設(shè)ABCD為圓內(nèi)接凸四邊形，求證：ABCDADBCACBD（初三）4、平行四邊形ABCD中，設(shè)E、F分別是BC、AB上的一點(diǎn)，AE與CF相交于P，且AECF求證：DPADPC（初二）經(jīng)典難題（五）1、設(shè)P是邊長(zhǎng)為1的正ABC內(nèi)任一點(diǎn)，LPAPBPC，求證：L22、已知：P是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，求PAPBPC的最小值3、P為正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，并且PAa，PB2a，PC3a，求正

9、方形的邊長(zhǎng)4、如圖，ABC中，ABCACB800，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，DCA300，EBA200，求BED的度數(shù)經(jīng)典難題（一）1.如下圖做GHAB,連接EO。由于GOFE四點(diǎn)共圓，所以GFHOEG,即GHFOGE,可得=,又CO=EO，所以CD=GF得證。2. 如下圖做DGC使與ADP全等，可得PDG為等邊，從而可得DGCAPDCGP,得出PC=AD=DC,和DCG=PCG150所以DCP=300 ，從而得出PBC是正三角形3.如下圖連接BC1和AB1分別找其中點(diǎn)F,E.連接C2F與A2E并延長(zhǎng)相交于Q點(diǎn)，連接EB2并延長(zhǎng)交C2Q于H點(diǎn)，連接FB2并延長(zhǎng)交A2Q于G點(diǎn)，由A2E=A1

10、B1=B1C1= FB2 ，EB2=AB=BC=FC1 ，又GFQ+Q=900和GEB2+Q=900,所以GEB2=GFQ又B2FC2=A2EB2 ，可得B2FC2A2EB2 ，所以A2B2=B2C2 ， 又GFQ+HB2F=900和GFQ=EB2A2 ,從而可得A2B2 C2=900 ，同理可得其他邊垂直且相等，從而得出四邊形A2B2C2D2是正方形。4.如下圖連接AC并取其中點(diǎn)Q，連接QN和QM，所以可得QMF=F，QNM=DEN和QMN=QNM，從而得出DENF。經(jīng)典難題（二）1.(1)延長(zhǎng)AD到F連BF，做OGAF,又F=ACB=BHD，可得BH=BF,從而可得HD=DF，又AH=GF

11、+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM(2)連接OB，OC,既得BOC=1200， 從而可得BOM=600, 所以可得OB=2OM=AH=AO,得證。3.作OFCD，OGBE，連接OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ。 由于， 由此可得ADFABG，從而可得AFC=AGE。 又因?yàn)镻FOA與QGOA四點(diǎn)共圓，可得AFC=AOP和AGE=AOQ， AOP=AOQ，從而可得AP=AQ。4.過E,C,F點(diǎn)分別作AB所在直線的高EG，CI，F(xiàn)H?？傻肞Q=。 由EGAAIC，可得EG=AI，由BFHCBI，可得FH=BI。 從而可得PQ= = ，從而得證。經(jīng)典難題（三）1.順時(shí)針

12、旋轉(zhuǎn)ADE，到ABG，連接CG. 由于ABG=ADE=900+450=1350 從而可得B，G，D在一條直線上，可得AGBCGB。 推出AE=AG=AC=GC，可得AGC為等邊三角形。 AGB=300，既得EAC=300，從而可得A EC=750。 又EFC=DFA=450+300=750. 可證：CE=CF。2.連接BD作CHDE，可得四邊形CGDH是正方形。由AC=CE=2GC=2CH， 可得CEH=300，所以CAE=CEA=AED=150，又FAE=900+450+150=1500，從而可知道F=150，從而得出AE=AF。3.作FGCD，F(xiàn)EBE，可以得出GFEC為正方形。 令A(yù)B=

13、Y ，BP=X ,CE=Z ,可得PC=Y-X 。 tanBAP=tanEPF=，可得YZ=XY-X2+XZ， 即Z(Y-X)=X(Y-X) ，既得X=Z ，得出ABPPEF ， 得到PAPF ，得證 。經(jīng)典難題（四）1. 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)ABP 600 ，連接PQ ，則PBQ是正三角形?？傻肞QC是直角三角形。所以APB=1500 。2.作過P點(diǎn)平行于AD的直線，并選一點(diǎn)E，使AEDC，BEPC.可以得出ABP=ADP=AEP，可得：AEBP共圓（一邊所對(duì)兩角相等）?？傻肂AP=BEP=BCP，得證。3.在BD取一點(diǎn)E，使BCE=ACD，既得BECADC，可得： =，即ADBC=BEAC， 又AC

14、B=DCE，可得ABCDEC，既得 =，即ABCD=DEAC， 由+可得: ABCD+ADBC=AC(BE+DE)= ACBD ，得證。4.過D作AQAE ，AGCF ，由=，可得： =，由AE=FC。 可得DQ=DG，可得DPADPC（角平分線逆定理）。經(jīng)典難題（五）1.（1）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)BPC 600 ，可得PBE為等邊三角形。既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一條直線上，即如下圖：可得最小L= ； （2）過P點(diǎn)作BC的平行線交AB,AC與點(diǎn)D，F(xiàn)。 由于APDATP=ADP，推出ADAP 又BP+DPBP 和PF+FCPC 又DF=AF 由可得：最大L 2 ； 由（1）和（2）既得：L2 。 2.順時(shí)針旋轉(zhuǎn)BPC 600 ，可得PBE為等邊三角形。既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一條直線上，即如下圖：可得最小PA+PB+PC=AF。既得AF= = = = = = 。3.順時(shí)針旋轉(zhuǎn)ABP 90