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1、導(dǎo)數(shù)結(jié)合洛必達(dá)法則巧解高考?jí)狠S題 2010年和2011年高考中的全國(guó)新課標(biāo)卷中的第21題中的第步,由不等式恒成立來求參數(shù)的取值范圍問題,分析難度大,但用洛必達(dá)法則來處理卻可達(dá)到事半功倍的效果。洛必達(dá)法則簡(jiǎn)介:法則1 若函數(shù)f(x) 和g(x)滿足下列條件:(1) 及; (2)在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi),f(x) 與g(x) 可導(dǎo)且g(x)0; (3),那么 =。 法則2 若函數(shù)f(x) 和g(x)滿足下列條件:(1) 及; (2),f(x) 和g(x)在與上可導(dǎo),且g(x)0; (3),那么 =。 法則3 若函數(shù)f(x) 和g(x)滿足下列條件:(1) 及; (2)在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi),f(x) 與g(
2、x) 可導(dǎo)且g(x)0; (3),那么 =。利用洛必達(dá)法則求未定式的極限是微分學(xué)中的重點(diǎn)之一,在解題中應(yīng)注意: 將上面公式中的xa,x換成x+,x-,洛必達(dá)法則也成立。洛必達(dá)法則可處理,型。在著手求極限以前,首先要檢查是否滿足,型定式,否則濫用洛必達(dá)法則會(huì)出錯(cuò)。當(dāng)不滿足三個(gè)前提條件時(shí),就不能用洛必達(dá)法則,這時(shí)稱洛必達(dá)法則不適用,應(yīng)從另外途徑求極限。 若條件符合,洛必達(dá)法則可連續(xù)多次使用,直到求出極限為止。二高考題處理1.(2010年全國(guó)新課標(biāo)理)設(shè)函數(shù)。(1) 若,求的單調(diào)區(qū)間;(2) 若當(dāng)時(shí),求的取值范圍原解:(1)時(shí),.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.故在單調(diào)減少,在單調(diào)增加(II)由(I)知,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)
3、等號(hào)成立.故,從而當(dāng),即時(shí),而,于是當(dāng)時(shí),.由可得.從而當(dāng)時(shí),故當(dāng)時(shí),而,于是當(dāng)時(shí),.綜合得的取值范圍為原解在處理第(II)時(shí)較難想到,現(xiàn)利用洛必達(dá)法則處理如下:另解:(II)當(dāng)時(shí),對(duì)任意實(shí)數(shù)a,均在;當(dāng)時(shí),等價(jià)于令(x0),則,令,則,知在上為增函數(shù),;知在上為增函數(shù),;,g(x)在上為增函數(shù)。由洛必達(dá)法則知,故綜上,知a的取值范圍為。2(2011年全國(guó)新課標(biāo)理)已知函數(shù),曲線在點(diǎn)處的切線方程為。()求、的值;()如果當(dāng),且時(shí),求的取值范圍。原解:()由于直線的斜率為,且過點(diǎn),故即解得,。()由()知,所以。考慮函數(shù),則。(i)設(shè),由知,當(dāng)時(shí),h(x)遞減。而故當(dāng)時(shí), ,可得;當(dāng)x(1,+)時(shí),h(x)0從而當(dāng)x0,且x1時(shí),f(x)-(+)0,即f(x)+.(ii)設(shè)0k0,故 (x)0,而h(1)=0,故當(dāng)x(1,)時(shí),h(x)0,可得h(x)0,而h(1)=0,故當(dāng)x(1,+)時(shí),h(x)0,可得 h(x)0,與題設(shè)矛盾。 綜合得,k的取值范圍為(-,0原解在處理第(II)時(shí)非常難想到,現(xiàn)利用洛必達(dá)法則處理如下:另解:(II)由題設(shè)可得,當(dāng)時(shí),k=0在上為增函數(shù)=0當(dāng)時(shí),當(dāng)x(1,+)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)x(1,+)時(shí),在上為減函數(shù),在上為增函數(shù)由洛必達(dá)法則知,即k的取值范圍為(-,0規(guī)律總結(jié):對(duì)恒成立問題中的求參數(shù)取值范圍,參數(shù)與變
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