利用洛必達(dá)法則來處理高考中的恒成立問題

1、導(dǎo)數(shù)結(jié)合洛必達(dá)法則巧解高考?jí)狠S題 2010年和2011年高考中的全國(guó)新課標(biāo)卷中的第21題中的第步，由不等式恒成立來求參數(shù)的取值范圍問題，分析難度大，但用洛必達(dá)法則來處理卻可達(dá)到事半功倍的效果。洛必達(dá)法則簡(jiǎn)介：法則1 若函數(shù)f(x) 和g(x)滿足下列條件：(1) 及； (2)在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi)，f(x) 與g(x) 可導(dǎo)且g(x)0； (3)，那么 =。 法則2 若函數(shù)f(x) 和g(x)滿足下列條件：(1) 及； (2)，f(x) 和g(x)在與上可導(dǎo)，且g(x)0； (3)，那么 =。 法則3 若函數(shù)f(x) 和g(x)滿足下列條件：(1) 及； (2)在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi)，f(x) 與g(

2、x) 可導(dǎo)且g(x)0； (3)，那么 =。利用洛必達(dá)法則求未定式的極限是微分學(xué)中的重點(diǎn)之一，在解題中應(yīng)注意： 將上面公式中的xa，x換成x+，x-，洛必達(dá)法則也成立。洛必達(dá)法則可處理，型。在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足，型定式，否則濫用洛必達(dá)法則會(huì)出錯(cuò)。當(dāng)不滿足三個(gè)前提條件時(shí)，就不能用洛必達(dá)法則，這時(shí)稱洛必達(dá)法則不適用，應(yīng)從另外途徑求極限。 若條件符合，洛必達(dá)法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止。二高考題處理1.(2010年全國(guó)新課標(biāo)理)設(shè)函數(shù)。（1） 若，求的單調(diào)區(qū)間；（2） 若當(dāng)時(shí)，求的取值范圍原解：（1）時(shí)，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故在單調(diào)減少，在單調(diào)增加（II）由（I）知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)

3、等號(hào)成立.故，從而當(dāng)，即時(shí)，而，于是當(dāng)時(shí)，.由可得.從而當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，而，于是當(dāng)時(shí)，.綜合得的取值范圍為原解在處理第（II）時(shí)較難想到，現(xiàn)利用洛必達(dá)法則處理如下：另解:（II）當(dāng)時(shí)，對(duì)任意實(shí)數(shù)a,均在；當(dāng)時(shí)，等價(jià)于令(x0),則，令，則，知在上為增函數(shù)，；知在上為增函數(shù)，；，g(x)在上為增函數(shù)。由洛必達(dá)法則知，故綜上，知a的取值范圍為。2（2011年全國(guó)新課標(biāo)理）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為。（）求、的值；（）如果當(dāng)，且時(shí)，求的取值范圍。原解：（）由于直線的斜率為，且過點(diǎn)，故即解得，。（）由（）知，所以。考慮函數(shù)，則。（i）設(shè)，由知，當(dāng)時(shí)，h（x）遞減。而故當(dāng)時(shí)， ，可得；當(dāng)x（1，+）時(shí)，h（x）0從而當(dāng)x0,且x1時(shí)，f（x）-（+）0，即f（x）+.（ii）設(shè)0k0,故 （x）0,而h（1）=0，故當(dāng)x（1，）時(shí)，h（x）0，可得h（x）0,而h（1）=0，故當(dāng)x（1，+）時(shí)，h（x）0，可得 h（x）0,與題設(shè)矛盾。 綜合得，k的取值范圍為（-，0原解在處理第（II）時(shí)非常難想到，現(xiàn)利用洛必達(dá)法則處理如下：另解：（II）由題設(shè)可得，當(dāng)時(shí)，k=0在上為增函數(shù)=0當(dāng)時(shí)，當(dāng)x（1，+）時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)x（1，+）時(shí)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)由洛必達(dá)法則知，即k的取值范圍為（-，0規(guī)律總結(jié)：對(duì)恒成立問題中的求參數(shù)取值范圍，參數(shù)與變