二次函數(shù)圖像與性質(zhì)總結(jié)

1、.二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)一、二次函數(shù)的基本形式1. 二次函數(shù)基本形式：yax2 的性質(zhì)：a 的符號開口方向頂點坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)a00 ，0x0 時， y 隨 x 的增大而增大； x0時， y 隨向上y 軸x 0 時， y 有最小值 0 x 的增大而減??；a00 ，0x0 時， y 隨 x 的增大而減??； x0時， y 隨向下y 軸x 0 時， y 有最大值 0 x 的增大而增大；a 的絕對值越大，拋物線的開口越小。2. y ax2 c 的性質(zhì)：上加下減。a 的符號開口方向頂點坐標(biāo)a0向上0 ，ca0向下0 ，c3.yax2的性質(zhì)：h左加右減。a 的符號開口方向頂點坐標(biāo)a0向上h ，0a0向下h ，

2、04.yax2k 的性質(zhì)：ha 的符號開口方向頂點坐標(biāo)a0向上h ，ka0向下h ，k對稱軸性質(zhì)x0 時， y 隨 x 的增大而增大； x0時， y 隨y 軸x 的增大而減小； x 0 時， y 有最小值 c x 0 時， y 隨 x 的增大而減??； x 0時， y 隨y 軸x 的增大而增大；x0 時， y 有最大值 c 對稱軸性質(zhì)x=hxh 時， y 隨 x 的增大而增大；x h 時， y隨 x 的增大而減?。粁h 時， y 有最小值 0 x=hxh 時， y 隨 x 的增大而減??；x h 時， y隨 x 的增大而增大；xh 時， y 有最大值 0 對稱軸性質(zhì)xh 時， y 隨 x 的增大而

3、增大；x h 時， yx=hxh 時， y 有最小值 k 隨 x 的增大而減小；xh 時， y 隨 x 的增大而減??；x h 時， yx=hxh 時， y 有最大值 k 隨 x 的增大而增大；二、二次函數(shù)圖象的平移1. 平移步驟：;.方法一： 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點式y(tǒng) a x2h ，k ；hk ，確定其頂點坐標(biāo) 保持拋物線 yax2 的形狀不變，將其頂點平移到h ，k 處，具體平移方法如下：向上 (k0)【或向下 (k0)【或左 ( h0) 【或左 (h0)【或左 (h0) 【或下 (k0) 【或下 (k0)】平移 |k|個單位y=a(x-h)2+k2. 平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“h 值

4、正右移，負左移；k 值正上移，負下移”概括成八個字“左加右減，上加下減”方法二： yax2bxc 沿 y 軸平移 :向上（下）平移m 個單位， yax2bxc 變成yax 2bx cm （或 yax 2bxcm ） yax2bxc 沿軸平移：向左（右）平移m 個單位， yax 2bxc 變成ya( xm) 2b( xm)c （或 ya(xm) 2b( xm)c ）三、二次函數(shù)yaxh2ax2bxc 的比較k 與 y從解析式上看，yax2k 與 yax2bxc是兩種不同的表達形式，后者通過配h2b2b ，kb 2方可以得到前者，即yaxb4ac，其中 h4ac2a4a2a4a四、二次函數(shù) yax

5、2bxc 圖象的畫法五點繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)y2c 化為頂點式 y2k ，確定axbxa( x h)其開口方向、對稱軸及頂點坐標(biāo)，然后在對稱軸兩側(cè)，左右對稱地描點畫圖. 一般我們選取的五點為：頂點、與y 軸的交點0 ，c、以及 0 ，c 關(guān)于對稱軸對稱的點2h ，c、與 x 軸的交點x1 ，0 ， x2 ，0（若與 x 軸沒有交點，則取兩組關(guān)于對稱軸對稱的點）.畫草圖時應(yīng)抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與x 軸的交點，與 y 軸的交點 .五、二次函數(shù) yax2bxc 的性質(zhì)bb ，4ac b21.當(dāng) a0 時，拋物線開口向上，對稱軸為x，頂點坐標(biāo)為2a2a4a;.當(dāng) xb時， y

6、 隨 x 的增大而減?。?當(dāng) xb時， y 隨 x 的增大而增大； 當(dāng) xb2a2a2a時， y 有最小值 4ac2b 4a2.當(dāng) a0 時，拋物線開口向下，對稱軸為xb，頂點坐標(biāo)為b ，4acb2當(dāng)2a2a4axb 時， y 隨 x 的增大而增大；當(dāng) xb 時， y 隨 x 的增大而減??；當(dāng)xb時， y2a2a2a有最大值 4ac b24a六、二次函數(shù)解析式的表示方法1.一般式： yax 2bxc （ a ， b ， c 為常數(shù)， a0 ）；2.頂點式： ya ( xh)2k （ a ， h ， k 為常數(shù)， a 0 ）；3.兩根式： ya ( xx1 )( x x2 ) （ a 0 ， x

7、1 ， x2是拋物線與 x 軸兩交點的橫坐標(biāo)） .注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點式，只有拋物線與x 軸有交點，即b 24 ac0 時，拋物線的解析式才可以用交點式表示二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.七、二次函數(shù)的圖象與各項系數(shù)之間的關(guān)系1. 二次項系數(shù) a二次函數(shù)yax2bxc 中， a 作為二次項系數(shù)，顯然a0 當(dāng) a0 時，拋物線開口向上，a 的值越大，開口越小，反之a(chǎn) 的值越小，開口越大； 當(dāng) a0 時，拋物線開口向下，a 的值越小，開口越小，反之a(chǎn) 的值越大，開口越大總結(jié)起來，a 決定了拋物線開口的大小和方向，a 的正負決定開

8、口方向，a 的大小決定開口的大小2. 一次項系數(shù) b在二次項系數(shù)a 確定的前提下，b 決定了拋物線的對稱軸 在 a0 的前提下，當(dāng) b0時，b0，即拋物線的對稱軸在y 軸左側(cè)；2a當(dāng) b0時，b0，即拋物線的對稱軸就是y 軸；2a當(dāng) b0時，b0，即拋物線對稱軸在y 軸的右側(cè)2a 在 a0 的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即當(dāng) b0時，b0，即拋物線的對稱軸在y 軸右側(cè)；2a當(dāng) b0時，b0，即拋物線的對稱軸就是y 軸；2a當(dāng) b0時，b0，即拋物線對稱軸在y 軸的左側(cè)2a總結(jié)起來，在a 確定的前提下，b 決定了拋物線對稱軸的位置;.bab 的符號的判定：對稱軸x在 y 軸左邊則 ab0 ，在

9、y 軸的右側(cè)則 ab0 ，2a概括的說就是“左同右異”總結(jié)：3. 常數(shù)項 c 當(dāng) c0 時，拋物線與y 軸的交點在x 軸上方，即拋物線與y 軸交點的縱坐標(biāo)為正； 當(dāng) c0 時，拋物線與y 軸的交點為坐標(biāo)原點，即拋物線與y 軸交點的縱坐標(biāo)為0 ； 當(dāng) c0 時，拋物線與y 軸的交點在x 軸下方，即拋物線與y 軸交點的縱坐標(biāo)為負總結(jié)起來，c 決定了拋物線與y 軸交點的位置總之，只要a ，b ，c 都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的二次函數(shù)解析式的確定：根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式， 通常利用待定系數(shù)法 用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點，選擇適當(dāng)?shù)男问?，才能使解題簡便一般來說，有

10、如下幾種情況：1. 已知拋物線上三點的坐標(biāo)，一般選用一般式；2. 已知拋物線頂點或?qū)ΨQ軸或最大（小）值，一般選用頂點式；3. 已知拋物線與 x 軸的兩個交點的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；4. 已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點，常選用頂點式八、二次函數(shù)圖象的對稱二次函數(shù)圖象的對稱一般有四種情況，可以用一般式或頂點式表達1. 關(guān)于 x 軸對稱y2b x 關(guān)c于 x 軸對稱后，得到的解析式是y2bxc ；a xaxya x2y a xh2hk 關(guān)于 x 軸對稱后，得到的解析式是k ；2. 關(guān)于 y 軸對稱y2b xcyax2bxca x；關(guān)于 y 軸對稱后，得到的解析式是ya x2k 關(guān)于 y 軸對稱后，得到的解析式是ya xh2k ；h3. 關(guān)于