模糊數(shù)學(xué)模型.ppt

1、暑期培訓(xùn): 模糊數(shù)學(xué)劉云芬 2011.8.16,模糊綜合評判,一、概述：什么是模糊數(shù)學(xué),禿子悖論: 天下所有的人都是禿子,設(shè)頭發(fā)根數(shù)n,n=1 顯然,若n=k 為禿子,n=k+1 亦為禿子,模糊概念,模糊概念：從屬于該概念到不屬于該概念之間 無明顯分界線,年輕、重、熱、美、厚、薄、快、慢、大、小、高、低、長、短、貴、賤、強(qiáng)、弱、軟、硬、陰天、多云、暴雨、清晨、禮品。,共同特點(diǎn)：模糊概念的外延不清楚。,術(shù)語來源,Fuzzy: 毛絨絨的，邊界不清楚的,模糊，不分明，弗齊，弗晰，勿晰,模糊概念導(dǎo)致模糊現(xiàn)象,模糊數(shù)學(xué)就是用數(shù)學(xué)方法研究模糊現(xiàn)象。,模糊性與精確性： 對立統(tǒng)一，相互依存，可互相轉(zhuǎn)化 - 精

2、確的概念可表達(dá)模糊的意思： 如“望廬山瀑布” “飛流直下三千尺，凝是銀河落九天” - Fuzzy的概念也能表達(dá)精確的意思： 模糊數(shù)學(xué)不是讓數(shù)學(xué)變成模模糊糊的東西， 而是讓數(shù)學(xué)進(jìn)入模糊現(xiàn)象這個(gè)禁區(qū)，即用 精確的數(shù)學(xué)方法去研究處理模糊現(xiàn)象,模糊性與隨機(jī)性的區(qū)別,事物 事物分確定性現(xiàn)象與非確定性現(xiàn)象 - 確定性現(xiàn)象：指在一定條件下一定會發(fā)生的現(xiàn)象 - 非確定性現(xiàn)象分隨機(jī)現(xiàn)象與模糊現(xiàn)象 * 隨機(jī)性是對事件的發(fā)生而言，其事件本身有著明確的含義， 只是由于發(fā)生的條件不充分，事件的發(fā)生與否有多種可能性 * 模糊性是研究處理模糊現(xiàn)象的，它所要處理的事件本身是模 糊的,模糊數(shù)學(xué)發(fā)展簡介,模糊數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用性,模

3、糊技術(shù)是21世紀(jì)的核心技術(shù) 模糊數(shù)學(xué)的應(yīng)用幾乎滲透到自然科學(xué)與社會科學(xué)的所有領(lǐng)域： 1）軟科學(xué)方面：投資決策、企業(yè)效益評估、經(jīng)濟(jì)宏觀調(diào)控等 2）地震科學(xué)方面：地震預(yù)報(bào)、地震危害分析 3）工業(yè)過程控制方面：模糊控制技術(shù)是復(fù)雜系統(tǒng)控制的有效手段 4）家電行業(yè)：模糊家電產(chǎn)品 5）航空航天及軍事領(lǐng)域：指揮自動(dòng)化系統(tǒng) 6）人工智能與計(jì)算機(jī)高技術(shù)領(lǐng)域：模糊推理機(jī)、F-C等 7）其它,國內(nèi)外的研究現(xiàn)狀,日本與歐美的模糊技術(shù)熱 1 從八十年代起開展了模糊控制的研究與開發(fā) 2 九十年代日本興起模糊控制技術(shù)是高新技術(shù)領(lǐng)域的一次革命 3 模糊產(chǎn)品給日本帶來巨額利潤 4 日本模糊技術(shù)21世紀(jì)的長遠(yuǎn)規(guī)劃（6個(gè)重點(diǎn)課題）

4、 1）基礎(chǔ)研究 2）模糊電腦 3）機(jī)器智能 4）人機(jī)系統(tǒng) 5）人與社會系統(tǒng) 6）自然系統(tǒng),我國的模糊技術(shù)研究,1) 70年代后期傳到我國，起步晚，但發(fā)展快，“國際四強(qiáng)” 2) 理論研究居世界領(lǐng)先地位，但應(yīng)用與發(fā)達(dá)國家有差距 3）“模糊技術(shù)產(chǎn)業(yè)化” 4) 近幾年國內(nèi)掀起了模糊控制技術(shù)的研究與開發(fā)熱，成績喜人 - 企業(yè)：大型家電集團(tuán)已成功開發(fā)了國產(chǎn)模糊控制洗衣機(jī) 如： “小天鵝”，“海爾”，“小鴨”，“金羚” 等名牌智能洗衣機(jī) - 研究所，高校：清華大學(xué) 北京師范大學(xué) 四川大學(xué)（劉應(yīng)明院士） ,經(jīng)典集合與特征函數(shù),論域U中的每個(gè)對象u稱為U的元素。,概述：模糊集合及其運(yùn)算,其中,函數(shù) 稱為集合A的

5、特征函數(shù)。,、模糊集合及其運(yùn)算,1、模糊子集,模糊子集通常簡稱模糊集，其表示方法有：,（1）Zadeh表示法,這里 表示 對模糊集A的隸屬度是 。,如“將一1,2,3,4組成一個(gè)模糊集合”可表示為,可省略,（3）向量表示法,（2）序偶表示法,若論域U為無限集，其上的模糊集表示為：,例 設(shè)論域U = x1 (140), x2 (150), x3 (160), x4 (170), x5 (180), x6 (190)(單位：cm)表示人的身高，那么U上的一個(gè)模糊集“高個(gè)子”(A)的隸屬函數(shù)A(x)可定義為,也可用Zadeh表示法：,還可用向量表示法：,A = (0, 0.2, 0.4, 0.6,

6、0.8, 1).,另外，還可以在U上建立一個(gè)“矮個(gè)子”、“中等個(gè)子”、“年輕人”、“中年人”等模糊子集. 從上例可看出： (1) 一個(gè)有限論域可以有無限個(gè)模糊子集,而經(jīng)典子集是有限的； (2) 一個(gè)模糊子集的隸屬函數(shù)的確定方法是主觀的. 隸屬函數(shù)是模糊數(shù)學(xué)中最重要的概念之一，模糊數(shù)學(xué)方法是在客觀的基礎(chǔ)上，特別強(qiáng)調(diào)主觀的方法.,如：考慮年齡集U=0,100，A=“年老”，A也是一個(gè)年齡集，u = 20 A，40 呢？扎德給出了 “年老” 集函數(shù)刻畫:,1,0,U,50,100,再如，B= “年輕”也是U的一個(gè)子集，只是不同的年齡段隸屬于這一集合的程度不一樣，查德給出它的隸屬函數(shù)：,1,0,25,

7、50,U,B（u）,2、模糊集的運(yùn)算,定義：設(shè)A，B是論域U的兩個(gè)模糊子集，定義,相等：,包含：,并：,交：,余：,幾個(gè)常用的算子：,（1）Zadeh算子,（2）取大、乘積算子,（3）環(huán)和、乘積算子,概述：模糊集合及其運(yùn)算,（4）有界和、取小算子,（5）有界和、乘積算子,（6）Einstain算子,模糊集合及其運(yùn)算,模糊集的并、交、余運(yùn)算性質(zhì),冪等律：AA = A， AA = A； 交換律：AB = BA，AB = BA； 結(jié)合律：(AB)C = A(BC)， (AB)C = A(BC) ； 吸收律：A(AB) = A，A( AB)= A； 分配律：(AB)C = (AC)(BC)； (AB)

8、C = (AC)(BC)； 0-1律： AU = U，AU = A； A = A，A = ； 還原律： (Ac)c = A ；,對偶律：(AB)c = AcBc， (AB)c = AcBc；,對偶律的證明：對于任意的 xU (論域)， (AB)c(x) = 1 - (AB)(x) = 1 - (A(x)B(x) = (1 - A(x)(1 - B(x) = Ac(x)Bc(x) = AcBc (x),模糊集的運(yùn)算性質(zhì)基本上與經(jīng)典集合一致，除了排中律以外，即 AAc U， AAc . 模糊集不再具有“非此即彼”的特點(diǎn)，這正是模糊性帶來的本質(zhì)特征.,例 設(shè)論域U = x1, x2, x3, x4,

9、 x5(商品集)，在U上定義兩個(gè)模糊集： A =“商品質(zhì)量好”， B =“商品質(zhì)量壞”，并設(shè),A = (0.8, 0.55, 0, 0.3, 1). B = (0.1, 0.21, 0.86, 0.6, 0).,則Ac=“商品質(zhì)量不好”, Bc=“商品質(zhì)量不壞”.,Ac= (0.2, 0.45, 1, 0.7, 0). Bc= (0.9, 0.79, 0.14, 0.4, 1).,可見Ac B, Bc A.,又 AAc = (0.8, 0.55, 1, 0.7, 1) U, AAc = (0.2, 0.45, 0, 0.3, 0) .,3、模糊矩陣,（1）模糊矩陣間的關(guān)系及運(yùn)算,定義：設(shè) 都是

10、模糊矩陣，定義,相等：,包含：,模糊集合及其運(yùn)算,并：,交：,余：,例：,模糊集合及其運(yùn)算,（2）模糊矩陣的合成,例：,模糊集合及其運(yùn)算,（3）模糊矩陣的轉(zhuǎn)置,（4）模糊矩陣的 截矩陣,模糊集合及其運(yùn)算,例：,模糊集合及其運(yùn)算,三、隸屬函數(shù)的確定,1、模糊統(tǒng)計(jì)法,模糊統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)的四個(gè)要素：,模糊集合及其運(yùn)算,特點(diǎn)：在各次試驗(yàn)中， 是固定的，而 在隨機(jī)變動(dòng)。,模糊統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)過程：,（1）做n次試驗(yàn)，計(jì)算出,模糊集合及其運(yùn)算,確定“青年人”的隸屬函數(shù),以人的年齡作為論域U，調(diào)查n個(gè)人選 請他們認(rèn)真考慮“青年人”的含義后，提出自己認(rèn)為“青年人”最合適的年齡區(qū)間 對于確定年齡（如27），若n個(gè)人選中，有m

11、個(gè)人的年齡區(qū)間覆蓋27，則稱m/n為27對于“青年人”的隸屬頻率 隨著n的增加，隸屬頻率趨于穩(wěn)定。,一個(gè)實(shí)驗(yàn),在武漢建材學(xué)院進(jìn)行大規(guī)模抽樣調(diào)查，請被抽取的大學(xué)生給出“青年人”的區(qū)間 隨機(jī)抽取129人的結(jié)果,27的隸屬頻率,穩(wěn)定在0.78附近 A(27)=0.78,重復(fù)實(shí)驗(yàn),用同樣的方法 在另外兩個(gè)單位做實(shí)驗(yàn)武漢大學(xué)，西安工學(xué)院 得到如下曲線,三所大學(xué)的調(diào)查,2、指派方法,3、其它方法,模糊集合及其運(yùn)算,二、模糊聚類分析,、基本概念及定理,模糊聚類分析,例：設(shè)對于模糊等價(jià)矩陣,基于模糊等價(jià)關(guān)系的聚類,模糊聚類分析,例：設(shè)有模糊相似矩陣,模糊聚類分析,二、模糊聚類的一般步驟,、建立數(shù)據(jù)矩陣,模糊聚

12、類分析,（1）標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)化,模糊聚類分析,（2）極差正規(guī)化,（3）極差標(biāo)準(zhǔn)化,模糊聚類分析,、建立模糊相似矩陣,（1）相似系數(shù)法,夾角余弦法,相關(guān)系數(shù)法,模糊聚類分析,（2）距離法,Hamming距離,Euclid距離,Chebyshev距離,模糊聚類分析,（3）貼近度法,最大最小法,算術(shù)平均最小法,幾何平均最小法,模糊聚類分析,3、聚類并畫出動(dòng)態(tài)聚類圖,（1）模糊傳遞閉包法,步驟：,模糊聚類分析,模糊聚類分析,解：,由題設(shè)知特性指標(biāo)矩陣為,采用最大值規(guī)格化法將數(shù)據(jù)規(guī)格化為,模糊聚類分析,用最大最小法構(gòu)造 模糊相似矩陣得到,用平方法合 成傳遞閉包,模糊聚類分析,取 ，得,模糊聚類分析,取 ，得

13、,取 ，得,模糊聚類分析,取 ，得,取 ，得,模糊聚類分析,畫出動(dòng)態(tài)聚類圖如下：,模糊聚類分析,模糊聚類分析的簡要流程:,實(shí)例分析：,實(shí)例：松毛蟲生態(tài)地理的模糊聚類,松毛蟲的每個(gè)生態(tài)環(huán)境都具有一定的生態(tài)條件，它和氣候、植被、土壤、地形、天敵等構(gòu)成自然地理景觀。,從湖南省38個(gè)縣、市的考察資料中抽出8個(gè)地區(qū)的資料作為分類樣本。從28個(gè)因子中選取了6個(gè)主要因子進(jìn)行模糊聚類，現(xiàn)將原始資料列表如下：,第一步：數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化,首先，建立原始數(shù)據(jù)矩陣，對數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，采用如下公式：,第二步：標(biāo)定（建立模糊相似矩陣）,給論域X=1,2,3,4,5,6,7,8中的元素兩兩之間都賦以0,1內(nèi)的一個(gè)數(shù)，稱為相似

14、系數(shù)。利用如下夾角余弦公式：,現(xiàn)得到8個(gè)地區(qū)之間，受松毛蟲侵害的受災(zāi)程度的相似矩陣如下：,應(yīng)用傳遞閉包法，將模糊相似矩陣改造成模糊等價(jià)矩陣（略），得動(dòng)態(tài)聚類圖。,第三步：聚類（求動(dòng)態(tài)聚類圖）,現(xiàn)取=0.83，則可以分成三類： 常德、祁東、永興(常災(zāi)區(qū)3、5、6)， 源陵、益陽、安仁(偶災(zāi)區(qū)4、8、1)， 龍山、茶陵(無蟲區(qū)2、7),對于未知類型的地區(qū)（例如：蘭山地區(qū)）欲知其屬于那類？,預(yù)報(bào)：,我們可以將上述已經(jīng)劃分出的三類地區(qū)，以其各因子的平均值作代表，分別記為樣本、。對未知地區(qū)作為樣本。其生態(tài)地理因子列表如下：,各樣本原始資料,重復(fù)前面數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化、標(biāo)定過程，并用傳遞閉包得模糊等價(jià)矩陣：,取=

15、0.88，有,說明：蘭山與祁東、常德、永興的地理?xiàng)l件相同，應(yīng)預(yù)報(bào)為 常災(zāi)區(qū),作業(yè)題,為了了解兒童的生長發(fā)育規(guī)律，今隨機(jī)抽樣統(tǒng)計(jì)了男孩從出生到11歲每年平均增長的重量數(shù)據(jù)下表，試問男孩發(fā)育可分為幾個(gè)階段？,111歲兒童每年平均增長的重量,三、模糊模式識別,已知某類事物的若干標(biāo)準(zhǔn)模型，現(xiàn)有這類事物中的一個(gè)具體對象，問把它歸到哪一模型，這就是模型識別.,模型識別在實(shí)際問題中是普遍存在的.例如，學(xué)生到野外采集到一個(gè)植物標(biāo)本，要識別它屬于哪一綱哪一目；投遞員(或分揀機(jī))在分揀信件時(shí)要識別郵政編碼等等，這些都是模型識別.,模糊模型識別,所謂模糊模型識別,是指在模型識別中,模型是模糊的.也就是說,標(biāo)準(zhǔn)模型庫

16、中提供的模型是模糊的.,模型識別的原理,為了能識別待判斷的對象x = (x1, x2, xn)T是屬于已知類A1, A2, Am中的哪一類？ 事先必須要有一個(gè)一般規(guī)則, 一旦知道了x的值, 便能根據(jù)這個(gè)規(guī)則立即作出判斷, 稱這樣的一個(gè)規(guī)則為判別規(guī)則. 判別規(guī)則往往通過的某個(gè)函數(shù)來表達(dá), 我們把它稱為判別函數(shù)。 一旦知道了判別函數(shù)并確定了判別規(guī)則，最好將已知類別的對象代入檢驗(yàn)，這一過程稱為回代檢驗(yàn)，以便檢驗(yàn)?zāi)愕呐袆e函數(shù)和判別規(guī)則是否正確.,一最大隸屬原則,最大隸屬原則：,最大隸屬原則：,模糊模式識別,模糊模式識別,例 細(xì)胞染色體形狀的模糊識別,細(xì)胞染色體形狀的模糊識別就是幾何圖形的模糊識別,而幾

17、何圖形常常化為若干個(gè)三角圖形,故設(shè)論域?yàn)槿切稳w.即 X=(A,B,C )| A+B+C =180, ABC 標(biāo)準(zhǔn)模型庫=E(正三角形),R(直角三角形), I(等腰三角形),IR(等腰直角三角形),T(任意三角形).,某人在實(shí)驗(yàn)中觀察到一染色體的幾何形狀，測得其三個(gè)內(nèi)角分別為94,50,36,即待識別對象為x0=(94,50,36).問x0應(yīng)隸屬于哪一種三角形？,先建立標(biāo)準(zhǔn)模型庫中各種三角形的隸屬函數(shù).,直角三角形的隸屬函數(shù)R(A,B,C)應(yīng)滿足下列約束條件： (1) 當(dāng)A=90時(shí), R(A,B,C)=1; (2) 當(dāng)A=180時(shí), R(A,B,C)=0; (3) 0R(A,B,C)1.,

18、因此，不妨定義R(A,B,C ) = 1 - |A - 90|/90. 則R(x0)=0.955.,等腰三角形的隸屬函數(shù)I(A,B,C)應(yīng)滿足下列約束條件：,(1) 當(dāng)A = B 或者 B = C時(shí), I(A,B,C )=1; (2) 當(dāng)A = 180, B = 60, C = 0時(shí), I(A,B,C ) = 0; (3) 0I(A,B,C )1.,因此，不妨定義 I(A,B,C ) = 1 (A B)(B C)/60. 則I(x0) =0.766.,等腰直角三角形的隸屬函數(shù) (IR)(A,B,C) = I(A,B,C)R (A,B,C);,(IR) (x0)=0.7660.955=0.766.,任意三角形的隸屬函數(shù) T(A,B,C) = IcRcEc= (IRE)c.,T(x0) =(0.7660.9