成都市新都區(qū)2015-2016學(xué)年高一下期末數(shù)學(xué)試卷含答案解析

第 1 頁(yè)（共 17 頁(yè)） 2015年四川省成都市新都區(qū)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題（每題 5 分） 1 值為（ ） A B C D 2設(shè) x、 y R+，且 x y， a= ， b= ， c= ，則 a， b， c 的大小關(guān)系為（ ） A a b c B a b c C b a c D b c a 3如圖為某四面體的三視圖（都是直角三角形），則此四面體的表面三角形為直角三角形的個(gè)數(shù)為（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 4空間三條不同直線 l， m， n 和三個(gè)不同平面 ， ， ，給出下列命題： 若 m l 且 n l，則 m n； 若 m l 且 n l，則 m n； 若 m 且 n ，則 m n； 若 m ， n ，則 m n； 若 ， ，則 ； 若 ， ，則 ； 若 l， l，則 其中正確的個(gè)數(shù)為（ ） A 6 B 5 C 4 D 3 5在 ，角 A、 B、 C 所對(duì)的邊分別為 a、 b、 c，下列關(guān)系式正確的是（ ） A a= a= a= a=函數(shù) f（ x） =于直線 x= 對(duì)稱(chēng)，則 a 的取值集合為（ ） A 1 B 1， 1 C 1 D 0 7等差數(shù)列 等比數(shù)列 ，給出下列各式： a7=a3+a2+a6+a9=a3+a4+中一定正確的個(gè)數(shù)為（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 8數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 足 Sn= ，則（ ） 第 2 頁(yè)（共 17 頁(yè)） A B C D 9給出下列命題： 若 |a| b； 若 |a| b，則 若 a |b|，則 若 a |b| 其中一定正確的命題為（ ） A B C D 10對(duì)任意非零向量： ， ， 則（ ） A（ ） = （ ） B = ，則 = C | |=| | | D若 | + |=| |，則 =0 11若 ） A 1 B 0 C D 或 1 12點(diǎn) O、 I、 H、 G 分別為 直角三角形）的外心、內(nèi)心、垂心和重心，給出下列關(guān)系式 = ； += ； a +b +c = ； += 其中一定正確的個(gè)數(shù)是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 二、填空題（每題 5 分） 13等差數(shù)列 前 n 項(xiàng)和為 1， 4=191， 0000，則 k 的值為 _ 14三棱錐 P ， 0， ， ， ，點(diǎn) D、 E 分別在棱 運(yùn)動(dòng)，則 長(zhǎng)的最小值為 _ 15若平面向量 滿(mǎn)足 |2 | 3，則 的最小值是 _ 16已知函數(shù) f（ x） =出下列 4 個(gè)結(jié)論： f（ x）的值域?yàn)?0， 2； f（ x）的最小正周期為 ； f（ x）的圖象對(duì)稱(chēng)軸方程為 x= （ k Z）； f（ x）的圖象對(duì)稱(chēng)中心為（ ， ）（ k Z） 其中正確結(jié)論的序號(hào)是 _（寫(xiě)出全部正確結(jié)論的序號(hào)） 三、解答題 17若對(duì)任意實(shí)數(shù) x，不等式 m 1） 0 恒成立 （ 1）求實(shí)數(shù) m 的取值集合； （ 2）設(shè) a， b 是正實(shí)數(shù)，且 n=（ a+ ）（ ），求 n 的最小值 18如圖，四邊形 ，若 0， 0， 20， ， 第 3 頁(yè)（共 17 頁(yè)） （ 1）求 長(zhǎng)； （ 2）求 外接圓半徑 R； （ 3）求 長(zhǎng) 19 ， a=4， b=5， C= ，角 A、 B、 C 所對(duì)的邊分別為 a、 b、 c，點(diǎn) D 在邊 = （ 1）用 和 表示 ； （ 2）求 | 20四面體 ，已知 面 ， ， ， （ 1）求證：平面 平面 （ 2）求此四面體 體積和表面積； （ 3）求此四面體 外接球半徑和內(nèi)切球半徑 21 （非直角三角形），角 A、 B、 C 所對(duì)的邊分別為 a， b， c （ 1）求證： （ 2）若 ：（ 2）：（ 3），求 a： b： c 22在等比數(shù)列 前 n 項(xiàng)和為 n+r（ r 為常數(shù)），記 + （ 1）求 r 的值； （ 2）求數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 （ 3）記數(shù)列 的前 n 項(xiàng)和為 對(duì)任意正整數(shù) n，都有 + k+實(shí)數(shù) k 的最小值 第 4 頁(yè)（共 17 頁(yè)） 2015年四川省成都市新都區(qū)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 一、選擇題（每題 5 分） 1 值為（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 兩角和與差的正弦函數(shù) 【分析】 利用兩角差的正弦公式，求得要求 式子的值 【解答】 解： 45 30） = = ， 故選： C 2設(shè) x、 y R+，且 x y， a= ， b= ， c= ，則 a， b， c 的大小關(guān)系為（ ） A a b c B a b c C b a c D b c a 【考點(diǎn)】 不等式的基本性質(zhì) 【分析】 直接根據(jù)基本不等式即可判斷 【解答】 解： x、 y R+，且 x y， ， = ， a b c， 故選： B 3如圖為某四面體的三視圖（都是直角三角形），則此四面體的表面三角形為直角三角形的個(gè)數(shù)為（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 第 5 頁(yè)（共 17 頁(yè)） 【考點(diǎn)】 由三視圖求面積、體積 【分析】 根據(jù)三視圖的幾何體的結(jié)構(gòu)特征，利用直線平面的垂直判斷即可 【解答】 解：根據(jù)三視圖得出幾何體為三棱錐， 面 面 有 4 個(gè)， 故選： D 4空間三條不同直線 l， m， n 和三個(gè)不同平面 ， ， ，給出下列命題： 若 m l 且 n l，則 m n； 若 m l 且 n l，則 m n； 若 m 且 n ，則 m n； 若 m ， n ，則 m n； 若 ， ，則 ； 若 ， ，則 ； 若 l， l，則 其中正確的個(gè)數(shù)為（ ） A 6 B 5 C 4 D 3 【考點(diǎn)】 空間中直線與平面之間的位置關(guān)系 【分析】 利用空間直線與直線，線面平行和面面 平行的判定定理和性質(zhì)定理分別分析解答 【解答】 解： 若 m l 且 n l，則 m 與 n 可能平行、相交或者異面；故 錯(cuò)誤； 若 m l 且 n l，根據(jù)平行公理得到 m n； 正確； 若 m 且 n ，則 m n 或者相交或者異面；故 錯(cuò)誤； 若 m ， n ，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理得到 m n；故 正確； 若 ， ，則 或者相交；故 錯(cuò)誤； 若 ， ，則 ；正確 若 l， l，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理和面面平行的判定定理得到 故 正確； 所以正確的有四個(gè)； 故選 C 5在 ，角 A、 B、 C 所對(duì)的邊分別為 a、 b、 c，下列關(guān)系式正確的是（ ） A a= a= a= a= 6 頁(yè)（共 17 頁(yè)） 【考點(diǎn)】 正弦定理 【分析】 利用三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式可得 用正弦定理即可得解 B 正確 【解答】 解： A+B+C=， B+C） = 由正弦定理可得： a= 故選： B 6函數(shù) f（ x） =于直線 x= 對(duì)稱(chēng)，則 a 的取值集合為（ ） A 1 B 1， 1 C 1 D 0 【考點(diǎn)】 正弦函數(shù)的圖象；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用 【分析】 由題意 f（ x） = x+），其中 ，再根據(jù) f（ x）的圖象關(guān)于直線 x=對(duì)稱(chēng)， 求得 a 的值 【解答】 解：由題意， f（ x） =x+），其中 ， 其圖象關(guān)于直線 x= 對(duì)稱(chēng)， + =， k z， =， k z， =1， a=1， 故選： A 7等差數(shù)列 等比數(shù)列 ，給出下列各式： a7=a3+a2+a6+a9=a3+a4+中一定正確的個(gè)數(shù)為（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考點(diǎn)】 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 【分析】 設(shè)等差數(shù)列 公差是 d，等比數(shù)列 公比是 q，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式判斷 ，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式判斷 【解答】 解 ：設(shè)等差數(shù)列 公差是 d，等比數(shù)列 公比是 q， 、因?yàn)?a7=d， 4=2d，所以只有當(dāng) a1=d 時(shí) a3+立， 不正確； 、因?yàn)?a2+a6+4d， a3+a4+4d，所以 a2+a6+a9=a3+a4+正確； 、因?yàn)?= ， ， 所以當(dāng) b1=q 時(shí) 立， 不正確； 、因?yàn)?， ，所以當(dāng) =1 時(shí) 不正確， 所以一定正確的個(gè)數(shù)是 1， 第 7 頁(yè)（共 17 頁(yè)） 故選 A 8數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 足 Sn= ，則（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 數(shù)列遞推式 【分析】 由題意和當(dāng) n 2 時(shí) n 1 化簡(jiǎn)已知的等式，得到數(shù)列的遞推公式，利用累積法求出 【解答】 解：由題意得， Sn= 當(dāng) n 2 時(shí)， n 1=（ n 1） 21， 化簡(jiǎn)得， ， 則 ， ， ， ， 以上 n 1 個(gè)式子相乘得， = ， 又 ，則 ， 故選： A 9給出下列命題： 若 |a| b； 若 |a| b，則 若 a |b|，則 若 a |b| 其中一定正確的命題為（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 不等式的基本性質(zhì) 【分析】 利用不等式的性質(zhì)可得 正確， 舉反例可以判斷 錯(cuò)誤 【解答】 解：對(duì)于 a|2 |b|2|a| |b|，故正確， 對(duì)于 若 a=1， b= 2，雖然滿(mǎn)足若 |a| b，但 成立，故不正確， 對(duì)于 a |b|b|2，則 正確， 對(duì)于 ，若 a= 2， b=1，雖然滿(mǎn)足 是 a |b|不成立，故不正確， 故其中一定正 確的命題為 ， 故選： B 10對(duì)任意非零向量： ， ， 則（ ） A（ ） = （ ） B = ，則 = C | |=| | | D若 | + |=| |，則 =0 【考點(diǎn)】 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 【分析】 根據(jù)向量數(shù)量積的公式分別進(jìn)行判斷即可 【解答】 解： A（ ） =| | |， 與 共線， 第 8 頁(yè)（共 17 頁(yè)） （ ） = | | | 與 共線， 則（ ） = （ ）不一定成立，故 A 錯(cuò)誤， B由 = ，得 （ ） =0，則 （ ），無(wú)法得到 = ，故 B 錯(cuò)誤， C. =| | |， =| | |不一定成立，故 C 錯(cuò)誤， D若 | + |=| |，則平方得 | |2+| |2+2 =| |2+| |2 2 ，即 4 =0，即 =0 成立，故 D 正確 故選： D 11若 ） A 1 B 0 C D 或 1 【考點(diǎn)】 三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 【分析】 由等比中項(xiàng)的性質(zhì)列出方程，由二倍角的正弦公式、 0、 0 化簡(jiǎn)，由二倍角的余弦公式變形列出方程求解，結(jié)合條件求出 【解答】 解： （ 2=（ 2= 又 0， 2 又 0， 即 21=0，解得 或 1， 當(dāng) 時(shí)， ，舍去， 故選 C 12點(diǎn) O、 I、 H、 G 分別為 直角三角形）的外心、內(nèi)心、垂心和重心，給出下列關(guān)系式 = ； += ； a +b +c = ； += 其中一定正確的個(gè)數(shù)是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考點(diǎn)】 三角形五心 【分析】 根據(jù)三角形（非直角三角形）的外心、內(nèi)心、垂心和重心的向量表示與運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)選項(xiàng)中的命題逐一進(jìn)行分析、判斷正誤即可 【解答】 解：對(duì)于 ，點(diǎn) G 是 重心，如圖 所示， 第 9 頁(yè)（共 17 頁(yè)） 所以 = = （ + ） = （ + ）， 同理 = （ + ）， = （ + ）， + + = （ + + + + + ） = ， 所以 = ，命題正確； 對(duì)于 ，點(diǎn) O 是 外心，如圖 所示， B= 所以 S S S 所以 += ，命題正確； 對(duì)于 ，點(diǎn) I 是 內(nèi)心，如圖所示， 所以 S S S a： b： c，所以 a +b +c = ，命題正確； 對(duì)于 ，點(diǎn) H 是 直角三角形）的垂心，如圖所示， 第 10 頁(yè)（共 17 頁(yè)） 所以 S S S 所以 += ，命題正確 綜上，以上正確的命題有 4 個(gè) 故選： D 二、填空題（每題 5 分） 13等差數(shù)列 前 n 項(xiàng)和為 1， 4=191， 0000，則 k 的值為 100 【考點(diǎn)】 等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 【分析】 由 =81，求出 ，再求出 a1+ak=a5+4=9+191=200，由此利用 0000，能求出 k 【解答】 解： 等差數(shù)列 前 n 項(xiàng)和為 1， 4=191， 0000， =81， 解得 ， a1+ak=a5+4=9+191=200， =100k=10000， 解得 k=100 故答案為： 100 14三棱錐 P ， 0， ， ， ，點(diǎn) D、 E 分別在棱 運(yùn)動(dòng)，則 長(zhǎng)的最小值為 5 【考點(diǎn)】 棱錐的結(jié)構(gòu)特征 【分析】 把已知三棱錐沿棱 三棱錐側(cè)面剪開(kāi)并展開(kāi)，可得展開(kāi)圖如圖，再由余弦定理求得答案 【解答】 解：如圖， 沿棱 三棱錐側(cè)面剪開(kāi)并展開(kāi)，可得展開(kāi)圖如圖， 此時(shí) |=5，且角 120， 長(zhǎng)的最小值為 |= 故答案為： 15若平面向量 滿(mǎn)足 |2 | 3，則 的最小值是 【考點(diǎn)】 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 第 11 頁(yè)（共 17 頁(yè)） 【分析】 由平面向量 滿(mǎn)足 |2 | 3，知 ，故 =4| | | 4 ，由此能求出 的最小值 【解答】 解： 平面向量 滿(mǎn)足 |2 | 3， ， =4| | | 4 ， ， ， 故 的最小值是 故答案為： 16已知函數(shù) f（ x） =出下列 4 個(gè)結(jié)論： f（ x）的值域?yàn)?0， 2； f（ x）的最小正周期為 ； f（ x）的圖象對(duì)稱(chēng)軸方程為 x= （ k Z）； f（ x）的圖象對(duì)稱(chēng)中心為（ ， ）（ k Z） 其中正確結(jié)論的序號(hào)是 （寫(xiě)出全部正確結(jié)論的序號(hào)） 【考點(diǎn)】 三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；正弦函數(shù)的圖象 【分析】 利用公式 a3+ a+b）（ ab+簡(jiǎn) y=由二倍角公式化 簡(jiǎn)解析式， 根據(jù)余弦函數(shù)的值域判斷 ；由三角函數(shù)的周期公式判斷 ；由余弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸方程和整體思想，求出 f（ x）的對(duì)稱(chēng)軸判斷 ；由余弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心和整體思想，求出 f（ x）的對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng)中心判斷 【解答】 解： y= =1（ 2 31 + 、因?yàn)?1 1，所以 f（ x）的值域?yàn)?， 1， 不正確； 、由 T= = 得， f（ x）的最小正周期為 ， 正確； 、由 4x=k Z）得， f（ x）圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程是 ， 正確； 第 12 頁(yè)（共 17 頁(yè)） 、由 得， ， 則 f（ x）的圖象對(duì)稱(chēng)中心為（ ， ）（ k Z）， 正確， 綜上可得，正確的命題是 ， 故答案為： 三、解答題 17若對(duì)任意實(shí)數(shù) x，不等式 m 1） 0 恒成立 （ 1）求實(shí)數(shù) m 的取值集合； （ 2）設(shè) a， b 是正實(shí)數(shù)，且 n=（ a+ ）（ ），求 n 的最小值 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)的性質(zhì)；基本不等式 【分析】 （ 1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出 m 的值即可； （ 2）根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出 n 的最小值即可 【解答】 解：（ 1） m 1） 0 在 R 恒成立， =4（ m 1） 0，解得： m=2， 故 m 2； （ 2） m=2， a， b 是正實(shí)數(shù)， n=（ a+ ）（ ） =（ a+ ）（ 2b+ ） =2+ 2 + = ， 故 n 的最小值是 18如圖，四邊形 ，若 0， 0， 20， ， （ 1）求 長(zhǎng)； （ 2）求 外接圓半徑 R； （ 3）求 長(zhǎng) 【考點(diǎn)】 解三角形 【分析】 由題意可得，四邊形 圓內(nèi)接四邊形 第 13 頁(yè)（共 17 頁(yè)） （ 1）直接運(yùn)用余弦定理求得 長(zhǎng)； （ 2）由正弦定理求得 外接圓半徑 R； （ 3）在 ，由正弦定理得 長(zhǎng) 【解答 】 解：如圖， 由 0， 20，可知四邊形 圓內(nèi)接四邊形， （ 1）在 ，由 0， ， ，利用余弦定理得： 2D ； （ 2）由正弦定理得： ，則 外接圓半徑 R= ； （ 3）在 ，由正弦定理得： ， 19 ， a=4， b=5， C= ，角 A、 B、 C 所對(duì)的邊分別為 a、 b、 c，點(diǎn) D 在邊 = （ 1）用 和 表示 ； （ 2）求 | 【考點(diǎn)】 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；平面向量的基本定理及其意義 【分析】 （ 1）根據(jù)向量基本定理即可用 和 表示 ； （ 2）根據(jù)向量數(shù)量積與向量長(zhǎng)度之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量 積進(jìn)行計(jì)算即可求 | 【解答】 解：（ 1） = ， = ， 即 = ， 則 = + = + = + （ ） = + （ 2） a=4， b=5， C= ， =| | |4 = 10 第 14 頁(yè)（共 17 頁(yè)） = + 2=（ + ） 2= 2+2 + 2= 25+2 （ 10）+ 16= ， 則 | = 20四面體 ，已知 面 ， ， ， （ 1）求證：平面 平面 （ 2）求此四面體 體積和表面積； （ 3）求此四面體 外接球半徑和內(nèi)切球半徑 【考點(diǎn)】 棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；球的體積和表面積 【分析】 （ 1）證明 平面 可證明：平面 平面 （ 2）利用體積、面積公式求出此四面體 體積和表面積； （ 3）此四面體 外接球的球心是 中點(diǎn)，即可求此四面體 外接球半徑利用等體積求出內(nèi)切球半徑 【解答】 （ 1）證明： 面 ， C=B， 平面 面 平面 平面 （ 2）解：此四面體 體積 V= =10 第 15 頁(yè)（共 17 頁(yè)） 表面積 S= = ； （ 3）解：此四面體 外接球的球心是 中點(diǎn)，半徑為 = 設(shè)內(nèi)切球半徑為 r，則 （ ） r=10， r= 21 （非直角三角形），角 A、 B、 C 所對(duì)的邊分別為 a， b， c （ 1）求證： （ 2）若 ：（ 2）：（ 3），求 a： b： c 【考點(diǎn)】 三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求 值；正弦定理 【分析】 （ 1）利用三角形的內(nèi)角和定理以及由題意可得各個(gè)正切有意義，由兩角和的正切公式變形可得 A+B）（ 1 整體代入式子坐標(biāo)由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得； （ 2）結(jié)合（ 1）的結(jié)論設(shè)比例系數(shù)為 k，求出 k，得到 用三角函數(shù)的基本公式求出 合正弦定理求 a： b： c 【解答】 （ 1）證明： 是直角三角形， A、 B、 C 均不為直角， 且 A+B+C=，任意兩角和不為 ， 由兩角和的正切公式可得 A+B） = ， A+B）（ 1 = C）（ 1 = 1 1 + （ 2）由 ：（ 2）：（ 3）， 設(shè) k， 2k， 3k， 代入（ 1） 得到 k=36