2_4631110_2.集合中的計數(shù).高考中的亮點

2017年課標(biāo)高考 母題 備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)的一條捷徑 011 中國 高考數(shù)學(xué)母題 (第 002 號 ) 集合中的計數(shù) 集合計數(shù)問題與枚舉計數(shù)、排列和組合方法有關(guān) ,不僅具有綜合性 ,而且還具有技巧性 ,是數(shù)學(xué)競賽的熱點問題 ,隨著高考的繼續(xù)和深入 ,集合計數(shù)已成為高考的熱點問題 . 母題結(jié)構(gòu) :關(guān)于子集個數(shù)有如下結(jié)論 :如果 A是 則 n;滿足條件 A X=的個數(shù)等于集合 A 的子集個數(shù) ;滿足條件 A X=M 的集合 X 的個數(shù)等于集合 子集個數(shù) . 母題 解 析 : 由 集合 A 的 k=0,1,2, ,n) A 的子集個數(shù) = +n; 由 A X=M X=Y,其 Y A,則 集合 集合 集合 由 A X=M 集合 集合 集合 子集個數(shù) . 個數(shù) 子題類型 :(2013年 大綱 高考試題 )設(shè)集合 A=1,2,3,B=4,5,M=x|x=a+b,a A,b B,則 素的個數(shù)為 ( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 解析 :由 , ;又 由 為 3,M 中的最大元素為 8,且 M 中的元素構(gòu)成連續(xù)的整數(shù) M 中 元素的個數(shù) =8=B). 點評 :已知有限數(shù) 集 A,B,定義 集合 M=x|x 是 a 與 b 的 運算結(jié)果 ,a A,b B,求 集合 M 的 元 素的個數(shù)是高考中的一個特殊問題 ,問題的解決常常依賴于 枚舉 計數(shù) 、排列和組合 方法 . 同 奕 試題 : 1.(2012 年 江西 高考試題 )若 集合 A=,B=0,2,則集合 z|z=x+y,x A,y B中 元素的個數(shù) 為 ( ) (A)5 (B)4 (C)3 (D)2 2.(2012 年 課標(biāo) 高考試題 )己知 集合 A=1,2,3,4,5,B=(x,y)|x A,y A,A,則 B 中 所含 元素的個數(shù) 為 ( ) (A)3 (B)6 (C)8 (D)10 子題類型 :(2011 年安徽高考試題 )設(shè)集合 A=1,2,3,4,5,6,B=4,5,6,7,則滿足 S A,且 S B 的集合 S 的個數(shù)是 ( ) (A)57 (B)56 (C)49 (D)8 解析 :由 A 的子集個數(shù) =26,滿足 S B= 的集合 S 的個數(shù) =集合 1,2,3的子集個數(shù) =23 滿足 S A,且 S B 的集合 S 的個數(shù) =26B). 點評 :求滿足條件的子集個數(shù)所使 用 的 基 本 結(jié)論是 :n 元集合的子集個數(shù)為 2n;解決問題的 基 本 思 想 是 :把待求 的子集個數(shù) 轉(zhuǎn)化為某已知集合的子集個數(shù) . 同 奕 試題 : 3.(2011 年 課標(biāo) 高考試題 )已知 集合 M=0,1,2,3,4,N=1,3,5,P=M N,則 P 的子集 共有 ( ) (A)2 個 (B)4 個 (C)6 個 (D)8 個 4.(2006年遼寧高考試題 )設(shè)集合 A=1,2,則滿足 A B=1,2,3的集合 ) (A)1 (B)3 (C)4 (D)8 子題類型 :(2009 年 北京 高考試題 )設(shè) A 是整數(shù)集的一個非空子集 ,對于 k A,如 果 A,且 k+1 A,那么 k 是 立元” =1,2,3,4,5,6,7,8,由 個元素構(gòu)成的所有集合中 ,不含“孤立元”的集合共有 個 . 解析 :枚舉 ,不含“孤立元”的集合 :1,2,32,3,4,3,4,5,4,5,6,5,6,7,6,7,8,共 6 個 . 點評 :集合中的計數(shù)問題多種多樣 ,難度不一 ,高考中的集合計數(shù)問題一般是簡直的 ;解決問題的常用方法是 :枚舉 計數(shù) 、排列和組合 方法 . 同 奕 試題 : 012 備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)的一條捷徑 2017年課標(biāo)高考 母題 5.(20014 年 福建 高考試題 )若集合 a,b,c,d=1,2,3,4,且下列四個關(guān)系 : a=1; b 1; c=2, d 4 有且只有一個是正確的 ,則符合條件的有序數(shù)組 (a,b,c,d)的個數(shù)是 . 6.(2010 年 上海 高考試題 )從 集合 U=a,b,c,d的子集中選出 4 個不同的子集 ,需同時滿足以下兩個條件 : ,U 都要選 出 ; 對選出的任意兩個子集 ,必有 A B 或 B 種不同的選法 . 7.(2005 年湖北高考試題 )設(shè) P、 Q 為兩個非空實數(shù)集合 ,定義集合 P+Q=a+b|a P,b Q=0,2,5,Q=1,2,6,則 P+ ) (A)9 (B)8 (C)7 (D)6 8.(2010年全國高 中數(shù)學(xué)聯(lián)賽 遼寧 初 賽 試題 )集合 A=1,3,5,7,B=2,4,6,8,20=s|s=a+b,a A,b B,則集合 ) (A)9 (B)11 (C)13 (D)20 9.(2013年全國高 中數(shù)學(xué)聯(lián)賽 湖北 初 賽 試題 )設(shè)集合 A=1,3,5,7,9,B=2,4,6,18,若 C=a+b|a A,B B,則集合 . 10.(2008 年江西高考試題 )定義集合運算 :A*B=z|z=xy,x A,y B=1,2,B=0,2,則集合 A*B 的所有元素之和為( ) (A)0 (B)2 (C)3 (D)6 11.(2008年全國高 中數(shù)學(xué)聯(lián)賽 湖 南 初 賽 試題 )定義集合運算 :A B=z|z=xy,x A,y B=2,0,B=0,8則集合 A ) (A)16 (B)18 (C)20 (D)22 12.(2006年湖北高考試題 )定義集合運算 :A B=z|z=xy(x+y),x A,y B=0,1,B=2,3,則集合 A ) (A)0 (B)6 (C)12 (D)18 13.(2013 年 山東 高考試題 )己知 集合 A=0,1,2,則集合 B=x A,y A中 元素的個數(shù) 是 ( ) (A)1 (B)3 (C)5 (D)9 14.(2015 年 湖 北 高考試題 )已知集合 A=(x,y)|x2+1,x,y Z,B=(x,y)|x| 2,|y| 2,x,y Z,定義集合 AB=(x1+(x1, A,(x2, B,則 A B 中元素的個數(shù)為 ( ) (A)77 (B)49 (C)45 (D)30 15.(2005 年天津高考試題 )集合 A=x|0 a,b N,且 A B N=2,3,4,則整數(shù)對 (a,b)的個數(shù)為 ( ) (A)20 (B)25 (C)30 (D)42 34.(2008 年全國高 中數(shù)學(xué)聯(lián)賽 天津 初 賽 試題 )考慮集合 S=1,2, ,10的 所有非空子集 ,若一個非空子集中的偶數(shù)的數(shù)目不少 于奇數(shù)的數(shù)目 ,稱這個子集是“好子集” ,則“好子集”的數(shù)目有 ( )個 . (A)631 (B)633 (C)635 (D)637 由 =1+2=1,1+0=1,1+2=3 集合 z|z=,3C). 由 集合 A 中的 元素 構(gòu)成的實數(shù) (m,n)對有 5 5 個 ,其中 (m,m) B(m=1,2,3,4,5);又若 (m,n) B,則 (n,m) S,即當(dāng) m n 時 ,(m,n)與 (n,m)有且僅有一個屬于 B B 中的 元素 個數(shù) =21(5 5D). 由 P=M N=1,3 P 的子集 共有 22=4 個 B). 由 A=1,2,A B=1,2,3 B=3 X,其中 X 滿足 X A,所以 ,B 的個數(shù) =X 的個數(shù) =A 的子集 個數(shù) =22=C). 若 a=1 正確 ,則 b=1,矛盾 ;若 b 1 正確 ,則 a 1,c 2,d=4,此時 ,(a,b,c,d)=(3,2,1,4),(2,3,1,4),計 2 個 ; 若 c=2 正確 ,則 a 1,b=1,d=4,此時 ,(a,b,c,d)=(3,1,2,4),計 1 個 ;若 d 4 正確 ,則 a 1,b=1,c 2,此時 ,(a,b,c,d)= (3,1,4,2),(4,1,3,2),(2,1,4,3),計 3 個 符合條件的有序數(shù)組 (a,b,c,d)的個數(shù)是 2+1+3=6. 由 ,只需考慮另外兩個集合 X、 法 ,注意到 X Y,X ,Y U;若 則 X(如 X=a)有 種 選法 ,種 選法 (對 X=a,Y=a,b,a,c,a,d,a,b,c,a,b,d,a,c,d),計有 4 6=24種 選法 ; 若 X 是 二 元集 ,則 X(如 X=a,b)有 種 選法 ,Y 有 2 種 選法 (對 X=a,b,Y=a,b,c,a,b,d),計有 6 2=12 種 選法 . 綜上 ,共有 24+12=36 種不同的選法 . 由 0+1=1,0+2=2,0+6=6,2+1=3,2+2=4,2+6=8,5+1=6,5+2=7,5+6=11 P+Q=1,2,3,4,6,7,8,11B). 注意到 s 是奇數(shù) ,且最小值是 3,最大值是 27,中問缺少 17、 共有 11 個 元素 B). 由 a+b 是奇數(shù) ,且最小值是 3,大值是 27,中問缺少 17 集合 C 的所有元素之和 =13(3+27) 278. 由 A*B=0,2,4D). 由 A B=0,16A). 由 A B=0,6,12D). 由 0,1,2,2 B=1,0,1,2C). 由 ,1,1,0,1,2,1,1,0,1,2 x1+2,1,2,3,y1+2,1,2,3,其中 ,當(dāng) x1+3 或 3 時 ,y1+ A B 中元素的個數(shù) =2 5+5 7=C). 014 備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)的一條捷徑 2017年課標(biāo)高考 母題 由 集合 A 的子集個數(shù) =23=8 真子集的個數(shù) =C). 由 x2+=0 有兩不等根 M 的元素個數(shù) =C). 由 1 4 M=(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(1,4),(4,1)C). 由 A B=A B A,即求集合 A 的子集的個數(shù) =23=D). 由 A M A 是 M 的真子集 ,其 個 數(shù) =23,其中 ,11的子集的個數(shù) =2 集合 A 的個數(shù) =7. 由 包含 a,b的 S 的子集 個數(shù) =c,d,e的子集的個數(shù) =23=D). 由 A=1,2,B=1,2,3,4,則滿足條件 A C B 的 集合 C 的個數(shù) =3,4的子集 個數(shù) =22=D). 由 符合條件的集合 M 的個數(shù) =513,514, ,2013的子集 個數(shù) =22013=21501. 由 M 1=1,2,3的集合 M 的個數(shù) =1的子集 個數(shù) =B). 由 集合 M 的個數(shù) =CUa1,a2,子集 個數(shù) =B). 由 x X,則 12X,記 M=1,11,2,10,3,9,4,8,5,7,6,則 X 的個數(shù) =M 的真子集 的個數(shù) =263. 由 當(dāng) a A 時 ,必有 8A 記 M=1,7,2,6,3,5,4 A 的個數(shù) =M 的真子集 的個數(shù) =2 45. 由 2 A211=A)1(1 1=21 A 滿足條件元素個數(shù)最少的集合 A 為 2,1. 因滿足 A X=M 的集合 X 的個數(shù)等于集合 A 的子集個數(shù) ,由 A B=a1,a2,故有 : 當(dāng) A= 時 ,滿足條件的集合有1 個 ; 當(dāng) A 為單元集時 ,A 有 3 個 ,滿足條件的集合 B 有 2 個 ; 當(dāng) A 為二元集時 ,A 有 3 個 ,滿足條件的集合 B 有 4 個 ;當(dāng) A 為三元集