1_6354521_2.回歸“母體”.巧解三視圖

中國 高考數(shù)學(xué)母題一千題 (第 0001 號(hào) ) 回歸“母體” 視圖 三視圖還原幾何體 的 一 種 方 法 由三視圖還原幾何體 ,大都是直接給出幾何體 ,而沒有講清楚為什么是這樣 ,好像“只可意會(huì) ,不可言傳” ;長方體 具有“ 集裝箱 ” 功能 ,它可以 “ 裝載 ” 任意的幾何體 ;同時(shí) ,由 長方體 可以經(jīng) 切削、打磨 ,加工成 任意的幾何體 ;因此 ,長方體 是所有幾何體的 “ 母體 ” ;利用長方體 ,即回歸母體 還原三視圖所確定的 幾何 體 ,可以變“只可意會(huì) ,不可言傳”為“既能意會(huì) ,也可言傳” . 方法 母題 :(2015 年 安徽 高考試題 )一個(gè)四面體的三視圖如 圖所示 , 則該四面體的表面積是 ( ) (A)1+ 3 (B)2+ 3 (C)1+2 2 (D)2 2 解題 程序 :在 如圖 所示 的 長方體 中 ,由 正 視圖 和側(cè) 視圖 可確定 四面體的 頂點(diǎn) P 的位 置 ;由 正 視圖 和俯 視圖 可 確定 底面 四面體 直觀圖如 圖所示 : 其中 , 面積 = 面積 =1; 是邊長為 2 的正三角形 面積 =21( 2 )23 該四面體的表面積 =2 1+223=2+ 3 B). 子題類型 :(2014 年 重慶 高考試題 )某幾何體的三視圖如下圖 , 則幾何體的體積為 ( ) (A)12 (B)18 (C)24 (D)30 解析 :在 如圖 所示 的 長方體中 ,由 正 視圖 和側(cè) 視圖 可確定 面 A 和 面 A ,又由 俯 視圖 可 確定 幾何體 B C ,如 圖所示 ,其中 ,A A=5,B B=2,其體積 V=21 4 3 51 4 3 3=C). 點(diǎn)評(píng) :以 長方體的頂點(diǎn)為其部分頂點(diǎn) ,且其所有頂點(diǎn)均在長方體的表面上的幾何體稱為長方體的內(nèi)接幾何體 ;解答 其 三視圖 問題 的最佳選 擇 是在其母體中還原直觀圖 . 子題類型 :(2014 年 湖南 高考試題 )一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖右所示 , 將該石材切削、打磨 ,加工成球 ,則能得到的最大球的半徑等于 ( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析 :在 如圖 所示 的 長方體中 ,由 正 視圖 和側(cè) 視圖 可確定 面 面 由 俯 視圖 可 確定 幾何體 為三棱柱 中 ,2;易知不存在球與該三棱柱的上、 下底面及三個(gè)側(cè)面同時(shí)相切 ,故最大的球是與其三個(gè)側(cè)面同時(shí)相切 ,所以最大球的半徑為上 (下 )底面直角三角形內(nèi)切圓的半徑 r r=2 1086 =B). 點(diǎn)評(píng) :以長方體為母題模型 ,對(duì) 長方體進(jìn)行 切削 ,可構(gòu)成任意的幾何體 ,根據(jù)三視圖對(duì)長方體進(jìn)行切割 ,還原直觀圖是解決問題的最佳方法 . CBA245 子題類型 :(2008 年 課 標(biāo) 高考 試 題 )某幾何體的一條棱長為 7 ,在該幾何體的三視圖的正視圖中 ,這條棱的投影是長為 6 的線段 ,在該幾何體的側(cè) 視圖與俯視圖中 ,這條棱的投影分別是長為 a 和 b 的線段 ,則 a+ ) (A)2 2 (B)2 3 (C)4 (D)2 5 解析 :構(gòu)造長方體 ,并設(shè)長方體一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱長分別為 x,y,z,如圖 ,空間內(nèi) 任意一條線段 ,長為 m,則該線段在正視圖、側(cè) 視圖、俯視圖上的投影分別為 長 分別為 a、 b、 c a= 22 ,b= 22 ,c= 22 ,m= 222 a2+b2+題中 ,m=7 ,c= 6 ,由 a2+b2+a2+a+b)2 2(a2+ (a+b)2 16 a+b 4,故選 (C). 點(diǎn)評(píng) :關(guān)于 線與面的三視圖 : 線段視圖 公式 :長為 m 的線段 ,在三個(gè)視圖上的線段長分別為 a,b,c,則 a2+b2+面積視圖 公式 :面積為 在三視圖中的面積分別為 22+2. 1.(2015 年 北京 高考試題 )某三棱錐的三視圖如圖所示 , 則該三棱錐的表面積是 ( ) (A)2+ 5 (B)4+ 5 (C)2+2 5 (D)5 2.(2009 年 課 標(biāo) 高考試題 )一個(gè)棱錐的三視圖如下圖 , 則該棱錐的全面積 (單位 : ( ) (A)48+12 2 (B)48+24 2 (C)36+12 2 (D)36+2412 2 3.(2012 年 課 標(biāo) 高考試題 )如圖 ,網(wǎng)格紙上小正方 形的邊長為 1, 粗線畫出的是某 幾何體的三視圖 ,則此幾何體的體積為 ( ) (A)6 (B)9 (C)12 (D)18 4.(2014 年 四川 高考試題 )某三棱錐的側(cè)視圖、俯視圖如圖所示 ,則該三棱錐 的體積是 ( )(錐體體積公式 :V=31中 ,S 為底面面積 ,h 為高 ). (A)3 (B)2 (C) 3 (D)1 5.(2012 年北京高考試題 )某三梭錐的三視圖如圖所示 , 該三梭錐的表面積是 ( ) (A)28+6 (B)30+6 5 (C)56+12 5 (D)60+12 5 6.(2011 年北京高考試題 )某四面體的三視圖如圖所示 ,該四面體四個(gè)面的面積中 ,最大的是 ( ) (A)8 (B)6 2 (C)10 (D)8 2 7.(2014 年 北京 高考試題 )某 三棱錐的 三視圖 如圖所示 ,則該三棱錐的最長棱的 棱長 為 . 8.(2013 年 北京 高考試題 )某四 棱錐的三視圖如圖所示 ,則該四棱錐的體積為 . 側(cè)視圖 俯視圖1 12 22211俯視圖側(cè) （ 左 ） 視圖正 （ 主 ） 視圖111229.(2013 年 浙江 高考試題 )若某幾何體的三視圖 (單位 :圖所示 則此幾何體的體積等于 10.(2011 年江西 高考試題 )將長方體截去一個(gè)四棱錐 ,得到的幾何體如圖所示 ,則該幾何體的左視圖為 ( ) 11.(2010 年北京高考試題 )一個(gè)長方體去掉一個(gè)小長方體 ,所得幾何體的正 (主 )視圖與側(cè) (左 )視圖分別如圖所示 ,則該幾何體的俯視圖為 ( ) 12.(2014 年 高考 課 標(biāo) 試題 文科 第 8 題 )如 圖 , 網(wǎng)格紙的各小格都是正方形 ,粗實(shí)線畫出的是一個(gè) 幾何體的三視圖 ,則這個(gè)幾何體是 ( ) (A)三棱錐 (B)三棱柱 (C)四棱錐 (D)四棱柱 13.(2013 年 重慶 高考試題 )某幾何體的三視圖如 圖所示 , 則該幾何體的體積為 ( ) (A)3560(B)3580(C)200 (D)240 14.(2010 年天津高考試題 )(文 )一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示 ,則這個(gè)幾何體的體積為 . 15.(2015 年 福建 高考試題 )某幾何體的三視圖如圖所示 ,則該幾何體的表面積等于 ( ) (A)8+2 2 (B)11+2 2 (C)14+2 2 (D)15 16.(2012 年安徽高考試題 )某幾何體的三視圖如圖所示 ,該幾何體的表面積是 . 17.(2012 年遼寧高考試題 )一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示 ,則該幾何體的表面積為 _. 18.(2013 年浙江高考試題 )已知某幾何體的三視圖 (單位 :圖所示 : 則該幾何體的體積是 ( ) (A)108 (B)100C)92 (D)84 在 如圖 所示 的 長方體 中 ,由 三視圖 可得該 三棱錐 中 ,C= 5 ,C= 6 , 25 ,5 三棱錐 表面積是 2+2 5 C). 由 棱錐的三視圖 ,借長方體可得此棱錐 直觀圖如圖所示 ,底邊為直角三角形 ,頂點(diǎn) P 在 底面射影 H 為底邊 中點(diǎn) ,且由已知可知 C=6,=21 6 6+221 6 5+21 4 6 2 =48+12 2 A). 借 長 方體可得此 棱錐 直觀 圖如 圖所示 ,該幾何體 的 底面 面積 S=21 6 3=9,高 h=3 此幾何體的體積為 V=31B). 由 俯視圖 知 ,該三棱錐的底面 是邊長為 2 的正三角形 面積 S= 3 ;又由 側(cè)視圖 知 ,該三棱錐的 高 h= 3 體積 V= 31D). 從所給的三視圖可以得到該幾何體為三棱錐 ,圖中數(shù)字所表示的為直接從題目所給三視圖中讀出的長度 ,本題所求表面積應(yīng)為三棱錐四個(gè)面的面積之和 ,利用垂直關(guān) 系和三角形面積公式 可得該幾何體表面積 =30+6 5 B). 借 長 方體可得 該四面體四個(gè)面的面積中最大 =C). 借 長 方體可得 三棱錐中最長棱的長為 2 2 . 三視圖可知 ,該幾何體 是 底面為 邊長 =3 的正方形 ,高 =1 的四 棱 錐 體積 =31 32 1=3. 借 長 方體可得 該幾何體為該幾何體為一個(gè)直三棱柱截去一個(gè)三棱錐所得 ,此幾何體的體積 =V 柱 =304. 由 直觀圖 左 視圖 為 (D) (D). 容易看出這是一個(gè)面向我們的左上角缺了一小塊長方體的圖形 C). 根據(jù)網(wǎng)格紙的各小格都是正方形 ,粗實(shí)線 畫出的是一個(gè)幾何體的三視圖 ,可知幾何體如圖 B). 由幾何體的三視圖可得 ,該幾何體是一個(gè)橫放的直棱柱 ,棱柱底面為梯形 ,梯形兩底長分別為 2和 8,高為 4,棱柱的高為 10,故該幾何體體積 V21(2+8)410 200. 由 俯視圖可知該幾何體的底面為直角梯形 ,則正視圖和俯視圖可知該幾何體的高為 1,結(jié)合三個(gè)試圖可知該幾何體是底面為直角 梯形的直四棱柱 ,所以該幾何題的體積 V=21(1+2) 2 1=3. 在 如圖 所示 的 長方體 中 ,由 三視圖 可得該 幾何體 是四棱柱 中 ,D =1, 2 四棱柱 下底面積 =21(1+2) 1=23,側(cè)面積 =2(1+1+2+ 2 )=8+2 2 四棱柱面積 =11+2 2 B). 16 解 :由三視圖可知幾何體是底面 為直角 梯形的直 四 棱柱 ,其中直角 梯形的 上 、 下底長分別為 2、 5,高 =4,斜腰長 =5,直 四棱柱 的高 =4 直角 梯形的 面積 =21(2+5) 4=14,直角