14_5042184_11.立體幾何的模型解題理論

中國 高考數學母題一千題 (第 0001 號 ) 愿與您共建真實的中國高考數學母題 (楊培明 立體幾何的 模型解題理論 模型 解題法 總論 現行高中立體幾何有兩種解題理論 :一是以歐式幾何中的公理、定理及推論為基礎 ,以邏 輯 推理為手段綜合分析法 ;二借助空間直角坐標系 ,以向量為主要工 具的解析 向量法 ;實質上 ,立體幾何問題 大都以某空間幾何體為載體的 ,因此 ,我們可以 另辟蹊徑 ,著意于 幾何體 的研究 ,尤其是 幾何體 的類型、生成 ,即從 模型的 角度 ,通過尋找構造 幾何體 的“原型幾何體”或 “原 子 幾何體” ,來探索 立體幾 何問題 ,此種解題方法我們稱之為模型解題法 . 母題結構 :探討模型解題理論 ,即 模型解題 方 法 . 解 題 程序 :立體幾何 中 ,多面體 的“原型幾何體” 是平行六面體 (包括正方體和長方體 );多面體 的“原 子 幾何體” 是四面體 (包括正四面體、直角四面體和“鱉臑” (四個面均是直角三角形的四面體 )等 ;模型解題法 : 把題中的幾何體放置于“原型 體” 中 ,利用 “原型 體” 模型 ,解 決問 題 ; 尋找構造題中幾何體的 “原 子 體” ,通過 “原 子 體” ,解 決問 題 . 子題類型 :(1993 年 上海 高考試題 )設 a、 b 是兩條異面直線 ,在 下列命題中正確的是 ( ) (A)有且僅有一條直線與 a、 (B)有一平面與 a、 b 都垂直 (C)過直線 a 有且僅有一平面與 b 平行 (D)過空間中任一點必可作一條直線與 a、 b 都相交 解析 :構造 長方體 直線 a 為 線 b 為 圖 : 則由 a,b 平行于 線 c,均有 C a,c b (A)錯誤 ;若 平面 滿足 a ,b a b,矛盾 (B)錯 誤 ;由 相交直 線 定唯一平面 (C)正確 ;若 點 為 C, 則過點 C 且與 交 的 直 線 ,又因 平面 直 線 m 與 b 不 相交 (D)錯誤 C). 點評 :長方體 是最具模型功能的“原型幾何體” ,如 長方體 面直線 型 , 面直線 1異面直線 1長方體 的高 . 子題類型 :(2011 年 湖北 高考試題 )如圖 ,已知正三棱柱 ,側棱長為 3 2 , 點 E 在側棱 點 F 在側棱 且 2 ,2 . ( )求證 : ( )求二面角 解析 :由 F=6 ,1F=2 3 1F F 四面體 圖所示 ;( )由 F 平面 )由 F 二面角 面 角 ;又由 平面 F=6 50 二面角 450. 點評 :最具解題功能的“原子幾何體”是“鱉 臑 ” ,解答本題的關鍵是發(fā)現 四面體 “鱉 臑 ” ; 關于“鱉 臑 ” 更深入 的 解題功能 ,將在以后的中研究 . 子體 子題類型 :(2015 年 浙江 高考試題 )如圖 ,斜線段 平面所成的角為 600,B 為斜足 , 平面上的動點 P 滿足 00,則點 P 的軌跡是 ( ) (A)直線 (B)拋物線 (C)橢圓 (D)雙曲線的一支 解析 :由動點 P 滿足 00 動點 P 在以點 A 為頂點、直線 軸的圓錐 面 上 ;又由 斜線段 00 點 一個與圓錐 軸線 600角的平面 截圓錐 A 所得圖形為橢圓 C). 點評 :設 圓錐 的軸線與母線所成角為 ,軸線與 截面 所成角為 ,則 :當 =900時 , 1A 圓 ;當 900時 ,截線 是 橢圓 ;當 =時 ,截線 是 拋物線 ;當 00 時 ,截線 是 雙曲線 . 1.(2007 年 浙江 高考試題 )若 條異面直線 l,m 外的任意一點 ,則 ( ) (A)過點 P 有且僅有一條直線與 l,m 都平行 (B)過點 P 有且僅有一條直線與 l,m 都垂直 (C)過點 P 有且僅有一條直線與 l,m 都相交 (D)過點 P 有且僅有一條直線與 l,m 都異面 2.(1986年全國高考試題 )在正方形 E、 12現在沿 個四面體 ,使 重合后的點記為 在四面體 必有 ( ) (A) (B) (C) (D) 3.(2010 年 重慶 高考試題 )到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點 ( ) (A)只有 1 個 (B)恰有 3 個 (C)恰有 4 個 (D)有無窮多個 4.(2008 年四川高考試題 )己知直線 l 平面 ,經過外一點 A與 l、都成 300角的直線有且僅有 ( ) (A)1 條 (B)2 條 (C)3 條 (D)4 條 5.(2008 年 浙江 高考試題 )如圖 ,平面 的斜線段 ,A 為斜足 ,若點 P 在平面 內運動 , 使得 面積為定值 ,則動點 P 的軌跡是 ( ) (A)圓 (B)橢圓 (C)一條直線 (D)兩條平行直線 6.(2004 年 天津 高考試題 )如圖 ,定點 都在平面 內 ,定點 P , ,C 是 內異于 A 和 B 的動點 ,且 動點 C 在平面 內的軌跡是 ( ) (A)一條線段 ,但要去掉兩個點 (B)一個圓 ,但要去掉兩個點 (C)一個橢圓 ,但要去掉兩個點 (D)半圓 ,但要去掉兩個點 7.(2012 年課標高考試題 )如圖 ,在三棱柱 側棱垂直底面 , 00,C=21D 是棱 ( )證明 :平面 平面 ( )平面 求這兩部分體積的比 . 若 過點 l, l m,矛盾 (A)錯誤 ;由 異面直線 l, 過點 直線只有 一條 (B)正確 ;對于 (C)(D),構造 異面直線 模型 :長方體 l,A B 為直線 m;若點 1點 ,則顯然無法作出直線與兩直線都相交 (C) 錯誤 ;若 2點 ,則由圖中可知直 線 及 D l、 (D)錯誤 B). 由 理可得 四面體 直角 四面體 ,放 置于長方體中 A). 在 長方體 互相垂直的異面直線 ,則 線 段 D 與 相等 D). 過點 A 且與平面成 300角的直線構成以 A 為頂點的圓錐 面 ;又因 直線 直線 l 成 300角 ,過 圓錐 底 面圓 心 O,作與 直線 l 平行的 直線 與 圓 O 交于 B、 C 兩點 ,則 滿足條件 的直線 有且僅有 條 B). 由 線段 定長線段 ,而 面積為定值 動點 P 到線段 距離也是定值 點 P 在以 軸的圓柱側面上 動點 P 的軌跡是一個平面去斜切一個圓柱得到的切痕是橢圓 B). 由 點 點 內的軌跡是平面