16_4256758_27.橢圓共軛直徑的特殊性質(zhì)及應(yīng)用

中國 高考數(shù)學(xué)母題一千題 (第 0001 號(hào) ) 愿與您共建真實(shí)的中國高考數(shù)學(xué)母題 (楊培明 橢圓共軛直徑的特殊性質(zhì)及應(yīng)用 由橢圓共軛直徑的 特殊 性質(zhì) 生成 的 高考試 題 每一個(gè)數(shù)學(xué)問題都有它 的本質(zhì) ,面對(duì)一個(gè)問題 ,如果只看到它的表層 ,就無法深人到內(nèi)核 ,從而看不透問題的本質(zhì) ,正所謂“不識(shí)廬山真面目 ,只緣身在此山中” ,只有 揭示問題的本質(zhì) (母題 ),才能 使 問題的解決變得簡單而自然 . 母題結(jié)構(gòu) :己知 A(x1, B(x2,橢圓 G:222(ab0)上滿足 :22121 的 任 意兩點(diǎn) . 若 、是非零常數(shù) ),則動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡方程是222 2+ 2,特別的 ,點(diǎn) P 在 橢圓 G 上 2+ 2=1; 若 M 為線段中點(diǎn) ,射線 橢圓 C 與點(diǎn) P,則 2 母題 解 析 : 設(shè) P(x,y),由 x= x2,y= 22221 )(a +2221 )(b = 2 (221212 (22121 2(22222 2+ 2;由 點(diǎn) 圓 222 2+ 2=1; 設(shè) (t0),由 M 為線段 中點(diǎn) 2121 22 (2t)2+(2t)2=1 t= 2 2 子題類型 :(2011 年 重慶 高考 理科 試題 )如圖 ,橢圓的中心為原點(diǎn) O,離心率 e=22,一條準(zhǔn)線的方程為 x=2 2 . ( )求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 ; ( )設(shè)動(dòng)點(diǎn) P 滿足 2其中 M,N 是橢圓上的點(diǎn) M 與 斜率之積為 是否存在兩個(gè)定點(diǎn) 得 |定值 ？ 若存在 ,求 若不存在 ,說明理由 . 解析 :( )設(shè) 橢圓 :222(ab0),則 e=2, 2 a=2,c= 2 橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程 :42x+22y=1; ( )設(shè) P(x,y),M(x1,N(x2,由 21 ;由 2 x=x2,y=+ 2(=(4(4(20 點(diǎn) P 的軌跡 是左 、 右焦點(diǎn) 分別 為 10 ,0)、 10 ,0)的橢圓 存在兩個(gè)定點(diǎn) 得 |4 5 為定值 . 點(diǎn)評(píng) :母題 可拓展為 :若 A、 B 為橢圓 G:222(ab0)上的兩點(diǎn) , 、是非零常數(shù) ),則 點(diǎn) 上 ( 2+ 2-1) (0. 平方和定值 子題類型 :(2005 年全國 I 高考試題 )己知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn) O,焦點(diǎn)在 x 軸上 ,斜率為 1 且過橢圓右焦點(diǎn) F 的直線交橢圓于 A、 B 兩點(diǎn) , a=(3,線 . ( )求橢圓的離心率 ; ( )設(shè) M 為橢圓上任意一點(diǎn) ,且 , R),證明 : 2+ 2為定值 . 解析 :( )設(shè)橢圓方程為222(ab0),A(x1,B(x2,則21 21 21 21 =- 22由 1 21 =121 21 = 由 (x1+x2,y1+ a=(3,線 21 21 = 2231 e= 361 22 ( )由 ( )知橢圓 :由直線 AB:y=y1+y2=x1+x1+c,y1+c (x1+3(y1+=12 ;設(shè) M(x,y),則由 x= x2,y= ( +3( =3 2(3 2(+2 (33 2+ 2)+2 (3 2+ 2=1 為定值 . 點(diǎn)評(píng) :母題 的一個(gè)特殊情況 為 :斜率為 橢圓 G:222(ab0)的右焦點(diǎn) 、 若 (b2)k2= 、是非零常數(shù) ),則 點(diǎn) 上 2+ 2=1. 子題類型 :(2013年山東高考試題 )在平面直角坐標(biāo)系 已知橢圓 ,焦點(diǎn)在 短軸長為2,離心率為22.( )求橢圓 C 的方程 ; ( )A,上滿足 射線 與點(diǎn) P,設(shè) 求實(shí)數(shù) t 的值 . 解析 :( )設(shè)橢圓 C:222(ab0),由 2b=2,e=22122 a= 2 ,b=1 橢圓 C:22x+; ( )設(shè) A( 2 ,B( 2 ,0 0) t=2 或332. 點(diǎn)評(píng) :利用母題方法易得如下一般性的結(jié)果 :若 A,上滿足 ,射線 橢圓 ,則 24112 1.(2011 年 重慶 高考 文科 試題 )如圖 ,橢圓的中心為原點(diǎn) O,離心率 e=22,一條準(zhǔn)線的方程是 x=2 2 .( )求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 ; ( )設(shè)動(dòng)點(diǎn) P 滿足 :2其中 M,N 是橢圓上的點(diǎn) ,直線 斜率之積為 問 :是否存在定點(diǎn) F,使得 |點(diǎn) P 到直線 l:x=2 10 的距離之比為定值？若存在 ,求 F 的坐標(biāo) ;若不存在 ,說明理由 . 2.(2009 年全國 高考試題 )已知橢圓 C:2222 =1(ab0)的離心率為 33 ,過右焦點(diǎn) F 的直線 相交于 A、 B 兩 點(diǎn) ,當(dāng) L 的斜率為 1 時(shí) ,坐標(biāo)原點(diǎn) O 到 L 的距離為22.( )求 a, ( )C 上是否存在點(diǎn) P,使得當(dāng) L 繞 F 轉(zhuǎn)到某一位置時(shí) ,有 立？若存在 ,求出所有的 P 的坐標(biāo)與 L 的方程 ;若不存 在 ,說明理由 . 3.(2011 年全國 高考試題 )已知 O 為坐標(biāo)原點(diǎn) ,F 為橢圓 C:2y=1 在 y 軸正半軸上的焦點(diǎn) ,過 為 - 2 的直線 交于 A、 B 兩點(diǎn) ,點(diǎn) P 滿足 =0. ( )證明 :點(diǎn) 上 ; ( )設(shè)點(diǎn) P 關(guān)于點(diǎn) O 的對(duì)稱點(diǎn)為 Q,證明 :A、 P、 B、 Q 四點(diǎn)在同一圓上 . ( )設(shè) 橢圓 :222(ab0),則22122,2222 2 , 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程42x+22y=1; ( )設(shè) P(x,y),M(x1,N(x2,則由 直線 N 的斜率之積為 112 ;由 2 x=x2,y= , +2(=(4(4(20202x+102y=1 動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡是橢圓 :202x+102y=1,其右焦點(diǎn) F( 10 ,0),右準(zhǔn)線為 直線 l:x=2 10 |點(diǎn) P 到直線 l:x= 2 10 的距離之比為定值 e=22. ( )由 離心率為33 221 33 3222 時(shí) ,直線 y=由坐標(biāo)原點(diǎn)到 2c=22 c=1 a2= , a= 3 ,b= 2 ; ( )由 ( )知橢圓 23 22 =1,即 2,右焦點(diǎn) F(1,0),設(shè) A(x1,B(x2, 2,2,由 P(x1+x2,y1+假如 ,使得 ,則 2(x1+3(y1+=6 2=0;當(dāng)直線 l 的斜率不存在時(shí) , =(2,0) P(2,0),此時(shí)點(diǎn) P 不在橢圓 C 上 l 的斜率存在時(shí) ,設(shè)直線 l 的方程 為 :y= k(代入 2 得 :(2+3k2) x1+2326 ,232 63 k2(22324 22232 63 +322324 +3=0 x1+3 ,y1+y2=k(x1+(i)當(dāng) k= 2 時(shí) ,P(23 , 22 ),直線 y= 2 ();當(dāng) k=- 2 時(shí) ,P(23,22),直線 l 的方程為 y=- 2 ( ( )設(shè) A(x1,B(x2,由 F(0,1) 直線 l:y=- 2 x+1,y=- 2 x+1 與 2y=1 聯(lián)立得 :4 x1+22 y1+ 2 (x1+2=