《高等幾何》習(xí)題答案

高 幾 習(xí)題集及 解答 第一章 仿射幾何的基本概念 1、證明線(xiàn)段的中點(diǎn)是仿射不變性，角的平分線(xiàn)不是 仿 射不變性。 證明 ： 設(shè) T 為仿射變換，根據(jù)平面仿射幾何的基本定理， T 可使等腰 C）與一般 ABC相對(duì)應(yīng)，設(shè)點(diǎn) D 為線(xiàn)段 中點(diǎn)，則 =， T（ D） =D （圖 1）。 T 保留簡(jiǎn)比不變， 即（ =（ BCD） = D是 BC的中點(diǎn)。因此線(xiàn)段中點(diǎn)是仿射不變性。 在等腰 ， =。 設(shè) T（ ） = ， T（ ） = ， 但一般 ABC中，過(guò) A的中線(xiàn) AD并不平分 A， 即 B與 一般不等。 角平分線(xiàn)不是仿射不變性。 在等腰 ，設(shè) D 是 中點(diǎn)，則 C，由于 T( ABC（一般三角形）， D仍為 BC的中點(diǎn)。 由于在一般三角形中，中線(xiàn) AD并不垂直底 邊 BC。得下題 2、 兩條直線(xiàn)垂直是不是仿射不變性？ 答 :兩直線(xiàn)垂直不是仿射不變性。 3、 證明三角形的中線(xiàn)和重心是仿射不變性。 證明 ： 設(shè)仿射變換 T 將 為 ABC， D、 E、 F 分別是 的中點(diǎn)。 由于仿射變換保留簡(jiǎn)比不變，所以 D =T(D)， E=T(E)， F=T(F)分別是 BC,CA,AB 的中點(diǎn)，因此 AD， BE， CF是 ABC的三條中線(xiàn)（圖 2）。 設(shè) G 是 重心，且 G=T(G) G 結(jié)合性得 G AD； 又 （ =（ AGD） 即 31 D3311B E B E C F C G E G F G F 同 理 可 得 ： ， G是 ABC的重心。 4、 證明梯形在仿射對(duì)應(yīng)下仍為梯形。 證明 ： 設(shè)在仿射對(duì)應(yīng)下梯形 四邊形 ABCD相對(duì)應(yīng)， 由于仿射對(duì)應(yīng)保持平行性不變，因此 ABCD，所以 ABCD為梯形。 5、 證明兩個(gè)全等矩形經(jīng)過(guò)仿射變換為兩個(gè)等積平行四邊形。 證明 ： 設(shè) T 為仿射變換， 兩個(gè)全等矩形，其面積分別以 2。 )1(圖2圖由于 T 保留平行性，所以： T（ = 平行四邊形 A1B1C1D1, 面積記為 ： S1 T（ = 平行四邊形 A2B2C2D2, 面積記為 ： S2， 且 S1=K S2=1 12221S K S S A1B1C1D1 與 A2B2C2D2 是等積的平行四邊形 。 6、 經(jīng)過(guò) A（ 2）和 B（ 6， 1）兩點(diǎn)的直線(xiàn)被直線(xiàn) X+3 截于 P 點(diǎn) ， 求簡(jiǎn) 比 （ 解 ： 設(shè) P 點(diǎn)的坐標(biāo)為（ () A P A P P B （分割比 ）， 003 6 2,11 而 : 且 P 在直線(xiàn) x+3 上， 3 6 2( ) 3 ( ) 6 011 解 得 =1，即 P 是 點(diǎn)，且（ = 1。 7、 證明直線(xiàn) y+C=0 將兩點(diǎn) 聯(lián)線(xiàn)段分成 的比是1122A x B y CA x B y C 證明 設(shè)分點(diǎn)為 P（ 則分割比 = 1 2 1 200 , ( 1 )11x x y P（ 直線(xiàn) y+C=0 上， 1 2 1 2( ) ( ) 011x x y C y 1+C+()=0 1122A x B y CA x B y C 8、 證明一 直線(xiàn)上二線(xiàn)段之比是仿射不變量。 證明 ： 若直線(xiàn) a 上兩線(xiàn)段 仿射變換 T 后與直線(xiàn) a上的兩段 AB和 CD對(duì)應(yīng)圖 （ 3） ,A B A B B C A B B C A B C C D B C C D C D 得證。 9、 證明圖形的對(duì)稱(chēng)中心是仿射不變性，圖形的對(duì)稱(chēng)軸和對(duì)稱(chēng)平面是不是仿射不變性？ 證明 ： 設(shè)仿射變換 T 將中心對(duì)稱(chēng)圖形 F 變?yōu)閳D 形 F，點(diǎn) O 是 F 的對(duì)稱(chēng)中心， A， B 為圖形 F 上關(guān)于點(diǎn) O 對(duì)稱(chēng)的任意一對(duì)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。 設(shè) T（ O） =O， T（ A） =A T（ B） =B。 T（ F） =F，由結(jié)合性，點(diǎn) A， B在圖形 F上； )3(圖由簡(jiǎn)比不變性，（ = (ABO)。 所以 F是中心對(duì)稱(chēng)圖形， 從而 圖形的對(duì)稱(chēng)中心是仿射不變性。 如果點(diǎn) A、 B 關(guān)于直線(xiàn) l（平面 ）對(duì)稱(chēng)，則線(xiàn)段 1（ ）。 但仿射變換不保留角的度量，所以當(dāng) T（ A） =A， T（ B） =B， T（ 1） =1（ T（ ） =）時(shí)，線(xiàn)段 AB不一定垂直線(xiàn) 1（平面 ）。 10、在仿射坐標(biāo)系下，直線(xiàn)方程是一次的。 證明 ： 設(shè)在笛氏坐標(biāo)系下直線(xiàn)方程為： y+C=0 （ 1） （ x,y）為笛氏坐標(biāo)，（ x， y）為仿射坐標(biāo)。 笛氏到仿射的變換式為：121 2 01 2 0 120 ( 2 )x x yy x y 設(shè)其逆變換為： 121 2 01 2 0 120 ( 3 )a x a y ay b x b y b 將 （ 3） 式代入 （ 1） ，得 A（ +B (+C=0, 即： (b1)x+(b2)y+=0， 記為 ： 0A x B y C 是 x,y的一次式。 其中 A = B = C =0 且 ,，若不然， ， 1 2 1 21 2 1 200a a a ab b b b 與 矛 盾 。 11、 利用仿射變換式，試求在仿射變換下，三角形的面積是怎樣改變的？ （從而明確 理 5 所指常數(shù)的意義）。 解 ： A1A2A3 的面積分別以 S, S表示， 11223311121x = 1 1 1 1 2 1 1 3 2 1 1 2 2 1 2 31 1 2 1 2 2 1 3 2 1 2 2 2 2 2 31 1 3 1 2 3 1 3 2 1 3 2 2 3 2 311121a x a y a a x a y aa x a y a a x a y aa x a y a a x a y a 1 1 1 1 2 12 2 1 2 2 23 3 1 3 2 31012 11x y a ax y a ax y a a 12 ()S 常 數(shù) 這結(jié)果與 2 一 致，三角形（從而多邊形或曲線(xiàn)形）的面積經(jīng)仿射變換后乘以一個(gè)常數(shù) k，此地 進(jìn)一步 明確了這常數(shù)就是仿射變換式的行列式的絕對(duì)值，仿射變換式不同，這常數(shù)也不同。 12、 在等腰梯形中，兩底中心，兩對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)，兩腰（所在直線(xiàn)）交點(diǎn)，這四點(diǎn)顯然共線(xiàn)（在對(duì)稱(chēng)軸上），試用仿射變換于此圖形，得出什么推廣了的命題？ 解 ： 設(shè) E， F， Q， P 分別是等腰梯形 底，上底的中 點(diǎn) ，對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)，要腰所在直線(xiàn)交點(diǎn)， T 為仿射變換， 則梯形 梯形 ABCD， E T E為 BC中點(diǎn)， F T F為 AD 中點(diǎn)。 （ =（ BDQ） ,(（ ACQ） , （ =（ BAP） ,(CDP) 且 E， Q， F， P 共線(xiàn)， 由結(jié) 合 性得 E， Q， F， P 四點(diǎn)共線(xiàn)，但直線(xiàn) PE已不是對(duì)稱(chēng)軸（ 圖 4）。由此得出，任意梯形上、下底中 點(diǎn) ，對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)，兩腰所在直線(xiàn)交點(diǎn)凡四點(diǎn)共線(xiàn)。 13、 求仿射變換 3442x x yy x y 的自對(duì)應(yīng)點(diǎn)和自對(duì)應(yīng)直線(xiàn)； 解 ： 求自 對(duì)應(yīng) 點(diǎn) ： 設(shè) x=x, y =y，因此得 2 4 04 3 0解得 自對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為 x=y= 求自對(duì)應(yīng)直線(xiàn)，設(shè)任意直線(xiàn) l（ u,v,w）在所給的變換下的像 1 的方程為： ux+vy+w=0 u (3x y+4)+v (4x 2y) +w =0，或（ 3u+4v） x (u+2v)y+4u+w=0。 若 1 為自 對(duì) 應(yīng)直線(xiàn)，則 u=u， v=v， w=w，因此 3 4 0342 2 0 ( 1 )4 4 1 0v uu v v u vu w w 因?yàn)?u， v， w不全為零，所以方程組 (1)有非零解。 故 3 4 01 2 0 04 0 1 解 得 1=2， 2= 1， 3=1， 將 1=2 代入方程組 (1)，得 u= 4, v = 1， w =16。 將 2= 1 代入方程組 (1)，得 u=1, v= 1， w= 2。 將 3=1 代入方程組 (1)，得 u=0, v=0， w=1。 就本章內(nèi)容而言， =1時(shí)，自對(duì)應(yīng)直線(xiàn)不存在，故所求自對(duì)應(yīng)直線(xiàn)為： 4x y+16=0 和 x y 2=0。 第二章 歐氏平面的拓廣 1、 證明中心投影一般不保留共線(xiàn)三點(diǎn)的簡(jiǎn)比。 證 ： 設(shè) 等腰三角形（ C） ,過(guò) 1, 交 （圖 5） ，則 A,在中心 S 的投影下分別是 A,B,C)4(圖A 的像點(diǎn) ， （ = 2 而 （ = 11 ， （ （ , 即 中心投影一般不保留共線(xiàn)三點(diǎn)的簡(jiǎn)比 。 2、 以下面的坐標(biāo)表示的 直線(xiàn)是怎樣的直線(xiàn)？ （ 1）（ 1， 1 1）； （ 2）（ 1， 1， 0）；（ 3）（ 0， 1， 0）。 解 利用點(diǎn)線(xiàn)結(jié)合方程 ： . (1) , , 1, x1+，非齊次化為： x+y 1=0. (2) 或 x y=0。（ 3） 或 y=0 是 x 軸的方程。 3、 求聯(lián)接點(diǎn)（ 1,2, 1）與二直線(xiàn)（ 2,1,3），（ 1， 1， 0）之交點(diǎn)的直線(xiàn)方程。 解 先求二直線(xiàn)（ 2,1,3），（ 1， 1， 0） 的 交點(diǎn)坐標(biāo) ： 1 3 3 2 2 1: : 3 : 3 : 3 1 : 1 : 11 0 0 1 1 1 再求兩點(diǎn)（ 1， 1， 1），（ 1， 2， 1） 的 聯(lián)線(xiàn)的坐標(biāo) ： 1 1 1 1 1 1: : 1 : 0 : 12 1 1 1 1 2 所求直線(xiàn)方程為： x1+ 或 x+1=0 4、 求直線(xiàn)（ 1, 1,2）與二點(diǎn)（ 3， 4， 1） ,(5, 3,1)之聯(lián)線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)。 解 ： 先求二點(diǎn)（ 3， 4， 1）， (5, 3,1)的 聯(lián)線(xiàn)坐標(biāo) ： 4 1 1 3 3 4: : 1 : 8 : 2 93 1 1 5 5 3 再求二直線(xiàn)（ 1, 1,2），（ 1， 8， 29）的 交點(diǎn)坐標(biāo) ： 1 2 2 1 1 1: : 4 5 : 3 1 : 78 2 9 2 9 1 1 8 所求交點(diǎn)坐標(biāo)為（ 45， 31， 27）。 方程 代表什么？ 代表什么？ 解 ： 方程 表點(diǎn)（ 1， 1， 2）的方程 或表示以點(diǎn)（ 1， 1， 2）為中心的線(xiàn)束方程。 u1+（ = 0， u1+ 表示點(diǎn)（ 1， 1， 0）的方程； 表示點(diǎn)（ 1， 1， 0）的方程。 表示兩點(diǎn)（ 1， 1， 0）和（ 1， 1， 0）的方程。 6、 將 2x y+1 表示成 3x+y 2， 7x y 的線(xiàn)性組合，這種表達(dá)的幾何依據(jù)何在？ 解 ： 設(shè) 2x y+1=（ 3x+y 2） +（ 7x y） =（ 3+7） x+（ ） v 2， 得方程組 3 7 2121 11,22解 得 ： 2x y+1= 12(3x+y 2)+ 12(7x y)。 依據(jù)是若令它們?yōu)榱?，所得三直線(xiàn)共點(diǎn)。 7、 將（ 2， 1， 1）表成（ 1， 1， 1）和（ 1， 0， 0）的線(xiàn)性組合，這說(shuō)明什么幾何性質(zhì)？ 解 ： 設(shè)（ 2， 1， 1） =（ 1， 1， 1） +（ 1， 0， 0） （ 1） 則 211 此方程組無(wú)解， 即找不到 和 滿(mǎn)足 （ 1） 式，這說(shuō)明它們表示的三點(diǎn)（線(xiàn)）不共線(xiàn)（點(diǎn)） 。 8、 求直線(xiàn) x 2y+3=0 上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)。 解 ： 是無(wú)窮 遠(yuǎn)直線(xiàn)方程 1 2 332 3 00x x 從而 2, 取 , 得 , 所求無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)坐標(biāo)為（ 2, 9、 下列概念，哪些是仿射的，哪些是歐氏的？ 非平行線(xiàn)段的相等； 不垂直的直線(xiàn)； 四邊形； 梯形； 菱形； 平行 移 動(dòng)； 關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)； 關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)； 繞點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)； 面積的相等。 答 ： 歐 氏； 歐氏； 仿射； 仿射； 歐氏； 仿射； 仿射； 歐氏； 歐氏； 仿射。 第三章 一 維射影幾何 設(shè) A、 B、 C、 D、 E 為直線(xiàn)上五點(diǎn)，證明 (D)(E) (C)=1。 證明 : (D)(E) (C) 1A C B D A D B E A E B B C A E B D A C B E 2、 證明一線(xiàn)段中點(diǎn)是這直線(xiàn)上無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的調(diào)和共軛點(diǎn)。 證明 ： 設(shè) C 為線(xiàn)段 中點(diǎn)， D為直線(xiàn) 的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn) ， （ D） 1A C B D B C B C 3、 直線(xiàn)上順序四點(diǎn) A、 B、 C、 D 相鄰兩點(diǎn)距離相等，計(jì)算這四點(diǎn)形成的 六個(gè) 交比的值。 解 :（ 2 2 43 1 3A C B B C （ 13( , ) 4A B C D(1（ 41133 （ 1 3( , )A C B D （ 311 ( , ) 144A B D C （ 1 4( , )A D B C4、 求四點(diǎn)（ 2， 1， 1） ,（ 1， 1， 1） ,（ 1， 0， 0） ,（ 1， 5， 5）順這次序的交比。 解 ： 以（ 2， 1， 1）和（ 1， 1， 1）為基底。 則（ 2， 1， 1） +1（ 1， 1， 1） =（ 1， 0， 0） 1 1 1 12 1 1 11 0 0 ； （ 2， 1， 1） +2（ 1， 1， 1） =（ 1， 5， 2 2 2 22 1 1 31 5 5 2 所求交比為 1223 5、 設(shè) 2,1， 1， 1） ,（ 1， 1， 1） ,（ 1， 0， 1）且（ =2,求點(diǎn) 坐標(biāo)。 解 ： 以 基底，則（ 1， 1， 1） +2（ 1， 1， 1） （ 1， 0， 1）。 2 2 2 21 1 1 11 0 1 設(shè) 1 是基底 3 的參數(shù)，由已知條件（ =122 ，且 2=1， 1=2， 因此， 坐標(biāo)為（ 1， 1， 1） +2（ 1， 1） =（ 3， 3）。 6、 設(shè) A、 B、 C、 D 為共線(xiàn)四點(diǎn)， O 為 中點(diǎn)，且 A明（ 證明 ： A C O O C，由合分比得 O C O A O B O O A O B O C因此 ,A C C O D O B O D（ 1 ( , ) 1A C C B A C B D A B C D B A D B C ， 即 ：， 7、 設(shè) A、 B、 C、 D 成調(diào)和點(diǎn)列 ，即 ( 1， 求證 1 1 1 1( ) C A C B證明 ： 由假設(shè)得： (1A C B B C A C B D + B C A D = 0 ( 1 ) D D 入 （ 1） 式得 +=0， 化簡(jiǎn)得： D B+D A=0， D+B D+A=0 2A=D+D （ 2） 以 B （ 2） 式兩邊，得： 1 1 1 1( ) C A C B8、 證明在 X 軸 上由方程 和 之根所決定的兩個(gè)點(diǎn)偶成調(diào)和分割的充要條件是 2。 證明 ： 必要 性 ，設(shè)兩方程的根依次是 x1, x1+2112， x1x 2= 2211 x3+2112， x3x 4= 2211 （ 1） 若 ( 1，即1 3 2 41 4 2 3( ) ( ) 1( ) ( )x x x xx x x x 有 （ +（ =0， 2（ （ =0， （ 2） 將 （ 1） 代入 （ 2） ，得：2 2 2 2 1 2 1 21 1 1 1 1 1 1 12 2 4 0b a a bb a a b 。 充分 性， 以 11 112 2 的兩邊，得 2 2 2 2 1 2 1 21 1 1 1 1 1 1 12 2 2 2 0b a a bb a a b 將 （ 1） 代入上式后按必要 性 步驟倒推即得 ： ( 1。 9、 試證四直線(xiàn) 2x y+1=0,3x+y 2=0, 7x y=0,5x 1=0 共點(diǎn)，并順這次序求其交比。 證明 ： 以 2x y+1=0 和 3x+y 2=0 為基線(xiàn)表示 7x y=0， 5x 1=0， 7x y=0 與（ 2x y+1） +1（ 3x+y 2） =0 重合 ， 11 1 17 1 0 1 ;2 3 1 1 2 2 5x 1=0 與（ 2x y+1） +2（ 3x+y 2） =0 重合 . 22 2 25 0 1 1,2 3 1 1 2 所求交比為1212 ，由 于交比存在，所以四直線(xiàn)共點(diǎn)。 10、 試證，一角的兩邊和它的內(nèi)外分角線(xiàn)成調(diào)和線(xiàn)束。 證明 ： 設(shè)直線(xiàn) c、 d 是 a、 b 為邊的 角的內(nèi)外分角線(xiàn) ， 以直線(xiàn) 1 截 a、 b、 c、 d 分別于 A、 B、 C、 D （ A C B D A C B B C C B A D 1S A S S A （ =（ = 1。 11、 平行四邊形，過(guò) A 引 對(duì)角線(xiàn) 行，證明 A（ = 1。 證明 ： 設(shè) D=O， D=P（圖 7） ， 因此 A（ =（ =（ 1 12、 圓之直徑， C 為直徑 延 長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，從 C 向圓引切線(xiàn) 明 T 在 的垂直射影 D 是 C 對(duì)于 A、 B 的調(diào)和共軛點(diǎn)，若 C 在線(xiàn)段 身上，如何作它的調(diào)和共軛點(diǎn)？ 證 法 1： 設(shè) O 是 中點(diǎn)， D D 由 本章 6 題結(jié)論得（ = 1。 證 法 2： 內(nèi)外分角線(xiàn)（圖 8）， 因此（ =T（ = 1。 如果 C 在線(xiàn)段 部，過(guò) C 作 圓于 T，過(guò) T 作圓的切線(xiàn)交 延長(zhǎng)線(xiàn)于 D，則 A， B 調(diào) 和分割 C， D， 因?yàn)楫?dāng) C 確定后， T 也確定，所以點(diǎn) D 唯一確定。 13、 設(shè)兩點(diǎn)列同底，求一射影對(duì)應(yīng)使 0， 1， 分別變?yōu)?1， ， 0 8圖6圖7圖解 ： 設(shè)第四對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 x， x， 由于射影對(duì)應(yīng)保留交比不變， 所以（ 01,x） =（ 1， 0x） 由交比性質(zhì)得：（ 10， x） =(0x， 1) ，即： （ 10x） =（ 0x1）， 展開(kāi)得： 011 1 0 1 , 1 0110 1 1x xx x x 且14、 設(shè)點(diǎn)列上以數(shù) x 為笛氏坐標(biāo)的點(diǎn)叫做 x，試求一射影對(duì)應(yīng)，使點(diǎn)列上的三點(diǎn) 1,2,3 對(duì) 應(yīng) 于點(diǎn)列 上 三點(diǎn)： （ 1） 4,3,2；（ 2） 1,2,3；（ 3） 1, 2, 3. 解 ： 設(shè)第四對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn) x， x， （ 1） （ 12， 3x） =（ 43， 2x） 152 ( 2 ) 2 ( 3 ) , 5 , 1 001( 1 ) 1 ( 4 )xx 且（ 2） （ 12,3x） =(12,3x)， x=x 為恒等 變 換， 10 1001且（ 3） （ 12,3x） =（ ， x = - x 10 1001 且 15、 當(dāng)射影對(duì)應(yīng)使一點(diǎn)列上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)對(duì)應(yīng)于另一點(diǎn)列上 的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)時(shí)，證明兩點(diǎn)列的 對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成定比。 證 法 1： 三對(duì)對(duì) 應(yīng) 點(diǎn) AA ， BB ， CC ，決定射影對(duì)應(yīng)， 設(shè) MM 為任一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則由（ CM） =（ AB， CM）得： （ =（ ABM）， 即 A M A M A M B M A M B M A B M A M B M A M B M A B 定 比 。證 法 2： 射影變換式為； 0x x d 且 , 或 ： 因?yàn)楫?dāng) x 時(shí)， x ， 所以 c=0。 此時(shí)射影變換式為： ax ， 或 b=0。 設(shè) x1x 1， x2x 2 為兩對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，因此 b=0 b=0 式減 式，得 d( =a(1212xx ax x d 定 比 。 16、 圓周上的點(diǎn)和其上二定點(diǎn)相聯(lián)得兩個(gè)線(xiàn)束，如果把線(xiàn)束交于 圓周上的兩線(xiàn)叫做對(duì)應(yīng)直線(xiàn)，證明這樣的對(duì)應(yīng)是射影的。 證明 ： 設(shè) A， A為圓周上二定點(diǎn)， i=1， 2， 3， 4）為圓周上 任意四點(diǎn)（圖 9） 9圖 A（ =1 3 2 41 4 2 3s i n s i ns i n s i M M A M M A M = 1 3 2 41 4 2 3s i n s i ns i n s i M M A M M A M =A（ 3 。 A（ 3A（ 3 17、 從原點(diǎn)向圓（ x 2） 2+(y 2)2=1 作切線(xiàn) t1,求 x 軸， y 軸， t1,這次序的交比 。 （設(shè) 鄰近 x 軸的切線(xiàn)） 解： 設(shè)直線(xiàn) y=圓相切，則22211，兩邊平方得： 23 8 3 0 ， 解得： = 近 x 軸， 斜率為 47.3斜率為 473， 因此 y 473x=0， 方程為 y 473x=0， 故（ t1,=12 4747 。 18、 設(shè)點(diǎn) A（ 3， 1， 2）， B（ 3， 0）的聯(lián)線(xiàn)與圓 x2+5x 7y 6=0 相交于兩點(diǎn) ，求交點(diǎn) C， D 及交比（ 解 ： 圓方程齊次化： 57, 設(shè)直線(xiàn) 任一點(diǎn)的齊次坐標(biāo)是（ 3+3， 1 ， 2） ， 若此點(diǎn)在已知圓上，則 （ 3+3） 2+（ 1 ） 2 5（ 3+3） 2 7（ 1 ） 2+622 =0， 化簡(jiǎn)得： 102 10=0， 1=1， 2=直線(xiàn) 圓有兩個(gè)交點(diǎn) ， 設(shè) 1， 2分別對(duì)應(yīng)的交點(diǎn)是 C， D，則 C 的坐標(biāo)是（ 3,0,1） ， D 的坐標(biāo)是（ 0,1,1） 且（ =12 = 19、 一圓切于 x 軸和 y 軸，圓的動(dòng)切線(xiàn) m 交兩軸于 M 及 M，試證 M M。 證明 ： 設(shè)圓半徑為 r， M（ a,0）， M（ 0， b）， a， b 為參數(shù)（圖 10） ， 則 m 的方程為 1或 bx+， 由于 m 與圓相切， 因此22b r a r a ， 此式兩邊平方， 得 22或 22 2212 2022 r 點(diǎn) M， M的參數(shù)間有一個(gè)行列式不等于零的雙一次函數(shù)， 故 M M。 10圖20、 x 表直線(xiàn)上 點(diǎn)的 笛氏坐標(biāo)，這直線(xiàn)上的射影變換 , 0,在什么條件下以無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn) 作為二重點(diǎn)。 解 ： 設(shè) x=x是無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，因此 x= = 0 所 以 ， 以 無(wú) 窮 遠(yuǎn) 點(diǎn) 作 為 二 重 點(diǎn) 的 射 影 變 換 是, , a x b a b 其 中 21、 設(shè)兩個(gè)重迭一維射影幾何形式有兩個(gè)二重元素 證明它們之間的對(duì)應(yīng)式可以寫(xiě)作1122 ,k 是個(gè)常數(shù) 。 證明 ： 已知 2， 2，設(shè) 1 1 是第三對(duì)對(duì)元素， 是任一對(duì)對(duì)應(yīng)元素 ， 因?yàn)槿龑?duì)對(duì)應(yīng)元素 確定 唯一射影對(duì)應(yīng)， （ 1） =（ 1），因而 1 1 2 1 1 21 1 2 1 1 2( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )S S S S S 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 22 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )S S S S S S S S S S S 故 ： 其 中 k= 22、 設(shè) 對(duì)合對(duì)應(yīng)的二重元素，證明這對(duì)合可以寫(xiě)作 : 11220 證明 ： 設(shè) 是對(duì)合對(duì)應(yīng)下任一對(duì)對(duì)應(yīng)元素，從而（ ） = 12211 或1122 11220 23、 一直線(xiàn)上點(diǎn)的射影變換是 x= 324，證明這直線(xiàn)上有兩點(diǎn)保持不變，且這兩點(diǎn)跟任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的交比為一常數(shù)。 證明 ： 設(shè)固定點(diǎn)為 x=x ，所以 x(x+4)=3x+2，即 x2+x 2=0，解得固定點(diǎn)為 x= x=1 設(shè)任一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 x， 324， 交比：（ 1， 2， x 324） = 5 ( 1 ) ( 2 ) 5 ()2 ( 2 ) ( 1 ) 2 常 數(shù)24、 試證對(duì)合對(duì)應(yīng)的二線(xiàn)束中，一般只有一對(duì)互相垂直的對(duì)應(yīng)直線(xiàn)，若有兩對(duì)互垂的對(duì)應(yīng)直線(xiàn)，則每對(duì)對(duì)應(yīng)直線(xiàn)都互垂。 13圖證明 ： 取二線(xiàn)束公共頂點(diǎn)為原點(diǎn)，取對(duì)應(yīng)線(xiàn)的斜率為 、 ，則對(duì) 合方程為 b(+)+d=0, 且 ， 互垂對(duì)應(yīng)線(xiàn)應(yīng)滿(mǎn)足 = 1， 所以 ( ) 01a b d 2 2 2( ) 0 ( 1 ) ( ) 4 0b a d b a d b 所以 當(dāng) 方程 （ 1） 有兩個(gè)不等實(shí)根 1， 2時(shí)，只有一對(duì)互垂對(duì)應(yīng)線(xiàn)， 這是因?yàn)?12= 1,因而 1= 11 =2， 2=21 =1。 當(dāng)方程 （ 1） 有兩個(gè)相等實(shí)根時(shí)，必須 a d=0， b=0，這時(shí)對(duì)合變?yōu)?= 1， 每對(duì)對(duì)應(yīng)線(xiàn)都互垂。 25、 設(shè) A， A； B， B； C， C是對(duì)合的三對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，試證（ （ （ =1。 證明 ： 由對(duì)合對(duì)應(yīng)的相互交換性，有 AA ， BB ， AA ， CC ， 所以（ AC） =（ AB， 于是得 1A A B C A A B C B C B C A C B A C B A A C B A A C B A A C B A B C C A A B （ （ （ =1 26、 定圓直徑，作一組圓 使其中心都在直線(xiàn) 并且都跟定圓正交，證明這組圓跟直線(xiàn) 交點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)雙曲對(duì)合。 證明 ： 設(shè)圓 O是與定圓 O 正交的任一圓， T 為一個(gè)交點(diǎn)，且圓 O與直線(xiàn) 于點(diǎn)和P（圖 11） 已知 OT， P即 P 點(diǎn) P， P是以 A， B 為二重元素， O 為中心的雙曲對(duì)合 的一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)。 27、 O 是笛氏正交坐標(biāo)的原點(diǎn)， A 是 y 軸上一定點(diǎn)，以 A 為頂點(diǎn)的直角繞 A 旋轉(zhuǎn)，證明直角兩邊被 x 軸所 截的點(diǎn)偶構(gòu)成一個(gè)橢圓型對(duì)合。 證明 ： 設(shè)直角邊交 x 軸的任意兩個(gè)位置為 12） 設(shè) k，則 A2=k， 因?yàn)?x 軸上的位置為一正一負(fù)， 故 0， 因而 在 x 軸上構(gòu)成橢圓型對(duì)合 第四章 代沙格定理、四點(diǎn)形與四線(xiàn)形 1、 設(shè) 頂點(diǎn)， A， B， C 分別在共點(diǎn)的三直線(xiàn) ， ， 上移動(dòng)， 11圖12圖且直線(xiàn) 別通過(guò)定點(diǎn) P 和 Q，求證 通過(guò) 一個(gè)定點(diǎn) （ 圖 13）。 證 ： 設(shè) 上的一個(gè)定點(diǎn)， 于 于 則 13）。若 R 是定直線(xiàn) Q 的交點(diǎn)，從而 R 是 的定點(diǎn)，若 合于條件的， 因?yàn)樵?點(diǎn)， 根據(jù)代沙格定理， P， Q 及 C 共線(xiàn)，即 過(guò) Q=R（ 定 點(diǎn)）。 2、 二頂點(diǎn) A 與 B 分別在定直線(xiàn) 和 上移動(dòng)，三邊 別過(guò)共線(xiàn)的定點(diǎn) P， Q，R，求證頂點(diǎn) C 也在一定直線(xiàn)上移動(dòng)。 證 ：設(shè) =0（定點(diǎn)）， 滿(mǎn)足條件的定三 角 形， 滿(mǎn)足條件的任意三角形。 C=Q， C=R。由代沙格定理逆定理得， 三線(xiàn) 點(diǎn) O，即 C 在定直線(xiàn) 移動(dòng)（圖 14）。 3、 設(shè) P， Q， R， S 是完全四點(diǎn)形的頂點(diǎn)， A=R， B=S， C=S， 證明 CAB點(diǎn)共線(xiàn)。 證 ： 在 （圖 15）， 點(diǎn) S。 對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn) BAC點(diǎn)共線(xiàn)。 4、 已知線(xiàn)束中的三直線(xiàn) a， b， c 求作直線(xiàn) d 使（ = 1。 解 ： 設(shè)線(xiàn)束中心為 S，以直線(xiàn) 1 分別截 a,b， c 于 A， B， c 上 任意取一點(diǎn) Q，聯(lián) d 于 R，聯(lián) a 于 P，聯(lián) 1 交于 D （圖 16），則直線(xiàn) 所求。 因?yàn)椋?成一完全四點(diǎn)形， （ = 1， 從而（ =（ = 1。 14圖15圖16圖 5、 設(shè) 三高線(xiàn)， C=D，求證（ D） = 1， 在等腰三角形 C 的情況，這命題給出什么結(jié) 論？ 證明 ： 設(shè) P 為 垂心，由完全四點(diǎn)形 17）的性質(zhì)， 得（ = 1。 在等腰 ，若 C， D 為垂足， 因而 D 為 中 點(diǎn) 。 （ = 1， 所以 D為 線(xiàn)上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)， 因而 即在等腰三角形中，底邊的頂點(diǎn)到兩腰的垂足的聯(lián)線(xiàn)平行于底邊。 第五章射影坐標(biāo)系和射影變換 1、 將一維笛氏坐標(biāo)與射影坐標(biāo)的關(guān)系 ： , 0 ( 1 ) 以齊次坐標(biāo)表達(dá)。 解 設(shè)一維笛氏坐標(biāo)系中，一點(diǎn)的坐標(biāo)為 x，則齊次坐標(biāo)為（ 且 x12 一點(diǎn)的射影坐標(biāo)為 ，齊次坐標(biāo)為（ 1,2）且 =12 ，將 和 x 代入關(guān)系式（ 1） 有112122 ， 化簡(jiǎn)得：121 2 1 21 ( 0 )x x x x 令 1 1 22 1 20 且 為 齊 次 變 換 式 。 2、 在直線(xiàn)上取笛氏坐標(biāo)為 2， 0， 3 的三點(diǎn)作為射影坐標(biāo)系的 2, E， (i)求此直線(xiàn)上任一點(diǎn) P 的笛氏坐標(biāo) x 與射影坐標(biāo) 的關(guān)系；（ 有沒(méi)有一點(diǎn)，它的兩種坐標(biāo)相等？ 解 ：笛 氏 坐標(biāo) 0 2 3 x 射影坐標(biāo)： E （ i）由定義 =（ =（ 2 0， 3x） = ( 3 2 ) ( 0 )( 2 ) ( 3 0 ) 3 6 10 603636 故 ： ， 且( 若有一點(diǎn)它的兩種坐標(biāo)相等，即 x=則有36xx x ，即 37x=0， 17圖 當(dāng) x=0 及 x=73時(shí)兩種坐標(biāo)相等。 3、 在二維射影坐標(biāo)系下，求直線(xiàn) 方程和坐標(biāo)。 解 ： 坐標(biāo)三角形頂點(diǎn) 1， 0， 0） ,0， 1， 0） ,0， 0， 1）和單位點(diǎn) E（ 1， 1，1） 設(shè) P（ 直線(xiàn) 任一點(diǎn)，其方 程為： 1 2 31 0 0 01 1 1x x x 即 ， 線(xiàn)坐標(biāo)為（ 0， 1, 1） 直線(xiàn) 方程為： 1 2 30 1 0 01 1 1x x x ， 即 ，線(xiàn)坐標(biāo)為（ 1， 0， 1）； 直線(xiàn) 方程為： 1 2 30 0 1 01 1 1x x x ， 即 ，線(xiàn)坐標(biāo)為（ 1， 1， 0） 4、 寫(xiě)出分別通過(guò)坐標(biāo)三角形的頂點(diǎn) 直線(xiàn)方程。 解 ： 設(shè)平面上任意直線(xiàn)方程為 ， 過(guò)點(diǎn) ， 0， 0)時(shí) ，即為 ， 過(guò)點(diǎn) ， 1， 0)時(shí) ，即為 ， 過(guò)點(diǎn) ， 0， 1)時(shí) ，即為 。 5、 取笛氏坐標(biāo)系下三直線(xiàn) x y=0， x+y 1=0， x 2=0 分別作為 坐標(biāo)三角形的邊