2017年湖南省長(zhǎng)沙市四縣聯(lián)考高考數(shù)學(xué)模擬試卷（理科）含答案解析

2017 年湖南省長(zhǎng)沙市四縣聯(lián)考高考數(shù)學(xué)模擬試卷（理科）（ 3月份） 一、選擇題（共 12 小題，每小題 5 分，滿分 60 分） 1已知全集 U 為實(shí)數(shù)集，集合 A=x|2x 3 0， B=x|y=1 x） ，則 A （ （ ） A x|1 x 3 B x|x 3 C x|x 1 D x| 1 x 1 2 i 是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù) z 滿足 1+i，則復(fù)數(shù) z 的實(shí)部與虛部的和是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 3已知 m， n 為不同的直線， ， 為不同的平面，給出下列命題： ； ； ； 其中的正確命題序號(hào)是（ ） A B C D 4如圖，在一個(gè)棱長(zhǎng)為 2 的正方體魚(yú)缸內(nèi)放入一個(gè)倒置的無(wú)底圓錐形容器，圓錐的上底圓周與魚(yú)缸的底面正方形相切，圓錐的頂點(diǎn)在魚(yú)缸的缸底上，現(xiàn)在向魚(yú)缸內(nèi)隨機(jī)地投入一粒魚(yú)食，則 “魚(yú)食能被魚(yú)缸內(nèi)在圓錐外面的魚(yú)吃到 ”的概率是（ ） A 1 B C D 1 5已知點(diǎn) A（ 3， 0），過(guò)拋物線 x 上一點(diǎn) P 的直線與直線 x= 1 垂直相交于點(diǎn) B，若 |則點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為（ ） A 1 B C 2 D 6某幾何體的三視圖如圖，若該幾何體的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球面的表面積為（ ） A 4 B C D 20 7函數(shù) f（ x） = 的圖象可能是（ ） A B C D 8執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的 N 是 10，那么輸出的 S 是（ ） A 2 B 1 C 1 D 2 1 9中國(guó)歷法推測(cè)遵循以測(cè)為輔、以算為主的原則例如周髀算經(jīng)和易經(jīng)里對(duì)二十四節(jié)氣的晷（ 長(zhǎng)的記錄中，冬至和夏至的晷影長(zhǎng)是實(shí)測(cè)得到的，其它節(jié)氣的晷影長(zhǎng)則 是按照等差數(shù)列的規(guī)律計(jì)算得出的下表為周髀算經(jīng)對(duì)二十四節(jié)氣晷影長(zhǎng)的記錄，其中 表示 115 寸 1 分（ 1 寸 =10 分） 節(jié)氣 冬至 小寒 （大雪） 大寒 （小雪） 立春 （立冬） 雨水 （霜降） 驚蟄 （寒露） 春分 （秋分） 清明 （白露） 谷雨 （處暑） 立夏 （立秋） 小滿 （大暑） 芒種 （小暑） 夏至 晷影長(zhǎng) （寸） 135 125 知易經(jīng)中記錄的冬至晷影長(zhǎng) 為 ，夏至晷影長(zhǎng)為 ，那么易經(jīng)中所記錄的驚蟄的晷影長(zhǎng)應(yīng)為（ ） A B C D 10設(shè) 雙曲線 =1（ a 0， b 0）的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線右支上存在一點(diǎn) P，使（ + ） =0（ O 為坐標(biāo)原點(diǎn)），且 2| |=3| |，則雙曲線的離心率為（ ） A B C D 11已知集合 M=（ x， y） |y=f（ x） ，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)對(duì)（ M，存在（ M，使 成立，則稱集合 M 是 “垂直對(duì)點(diǎn)集 ”，給出下列四個(gè)集合： M=（ x， y） |y= ； M=（ x， y） |y=； =（ x， y） |y=2x 2； M=（ x， y） |y=其中是 “垂直對(duì)點(diǎn)集 ”的序號(hào)是（ ） A B C D 12定義在（ 1， + ）上的函數(shù) f（ x）滿足下列兩個(gè)條件：（ 1）對(duì)任意的 x（ 1， + ）恒有 f（ 2x） =2f（ x）成立； （ 2）當(dāng) x （ 1， 2時(shí)， f（ x） =2 x；記函數(shù) g（ x） =f（ x） k（ x 1），若函數(shù) g（ x）恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí) 數(shù) k 的取值范圍是（ ） A 1， 2） B C D 二、填空題 13若兩個(gè)非零向量 滿足 ，則向量 與 的夾角是 14已知（ ） 5 的展開(kāi)式中含 x 的項(xiàng)的系數(shù)為 30，則實(shí)數(shù) a= 15我們可以利用數(shù)列 遞推公式 （ n N+），求出這個(gè)數(shù)列各項(xiàng)的值，使得這個(gè)數(shù)列中的每一項(xiàng)都是奇數(shù)，則 16實(shí)數(shù) x、 y 滿足 ，若 z=ax+y 的最大值為 3a+9，最小值為 3a 3，則 a 的取值范圍是 三、解答題（共 5 小題，滿分 60 分） 17（ 12 分） 在 ，角 A， B， C 的對(duì)邊分別為 a， b， c，且滿足 = （ ）求角 A 的大??； （ ）若 a=2 ，求 積的最大值 18（ 12 分）如圖，在四棱錐 P ，底面 菱形， 0，Q 是 中點(diǎn) （ 1）若 D，求證：平面 平面 （ 2）若平面 平面 D=，點(diǎn) M 在線段 且滿足二面角 M C 的大小 19（ 12 分）近年來(lái)我國(guó)電子商務(wù)行業(yè)迎來(lái)發(fā)展的新機(jī)遇 2016 年 618 期間，某購(gòu)物平臺(tái)的銷(xiāo)售業(yè)績(jī) 高達(dá) 516 億人民幣與此同時(shí)，相關(guān)管理部門(mén)推出了針對(duì)電商的商品和服務(wù)的評(píng)價(jià)體系現(xiàn)從評(píng)價(jià)系統(tǒng)中選出 200 次成功交易，并對(duì)其評(píng)價(jià)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，對(duì)商品的好評(píng)率為 服務(wù)的好評(píng)率為 中對(duì)商品和服務(wù)都做出好評(píng)的交易為 80 次 （ ）先完成關(guān)于商品和服務(wù)評(píng)價(jià)的 2 2 列聯(lián)表，再判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò) 前提下，認(rèn)為商品好評(píng)與服務(wù)好評(píng)有關(guān)？ （ ）若將頻率視為概率，某人在該購(gòu)物平臺(tái)上進(jìn)行的 3 次購(gòu)物中，設(shè)對(duì)商品和服務(wù)全好評(píng)的次數(shù)為隨機(jī)變量 X： 求對(duì)商品和服務(wù)全好評(píng)的次數(shù) X 的分布列； 求 X 的數(shù)學(xué) 期望和方差 附臨界值表： P（ k） k 2 的觀測(cè)值： k= （其中 n=a+b+c+d） 關(guān)于商品和服務(wù)評(píng)價(jià)的 2 2 列聯(lián)表： 對(duì)服務(wù)好評(píng) 對(duì)服務(wù)不滿意 合計(jì) 對(duì)商品好評(píng) a=80 b= 對(duì)商品不滿意 c= d=10 合計(jì) n=200 20（ 12 分）已知橢圓的長(zhǎng)軸 長(zhǎng)為 6，離心率為 ， 橢圓的右焦點(diǎn) （ ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （ ）點(diǎn) M 在圓 x2+ 上，且 M 在第一象限，過(guò) M 作圓 x2+ 的切線交橢圓于 P， Q 兩點(diǎn)，判斷 周長(zhǎng)是否為定值并說(shuō)明理由 21（ 12 分）已知函數(shù) f（ x） = 的圖象為曲線 C，函數(shù) g（ x） = ax+b 的圖象為直線 l （ 1）當(dāng) a=2， b= 3 時(shí)，求 F（ x） =f（ x） g（ x）的最大值； （ 2）設(shè)直線 l 與曲線 C 的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為 證：（ x1+x2）g（ x1+ 2 請(qǐng)考生在 22、 23 題 中任選一題作答【選修 4標(biāo)系與參數(shù)方程】 22（ 10 分）在直角坐標(biāo)系 ，圓 C 的方程為（ x+6） 2+5 （ ）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求 C 的極坐標(biāo)方程； （ ）直線 l 的參數(shù)方程是 （ t 為參數(shù)）， l 與 C 交與 A， B 兩點(diǎn)，| ，求 l 的斜率 【選修 4等式選講】 23設(shè)函數(shù) f（ x） =|x a| 2|x 1| （ ）當(dāng) a=3 時(shí)，解不等式 f（ x） 1； （ ）若 f（ x） |2x 5| 0 對(duì)任意的 x 1， 2恒成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 2017 年湖南省長(zhǎng)沙市四縣聯(lián)考高考數(shù)學(xué)模擬試卷（理科）（ 3 月份） 參考答案與試題解析 一、選擇題（共 12 小題，每小題 5 分，滿分 60 分） 1已知全集 U 為實(shí)數(shù)集，集合 A=x|2x 3 0， B=x|y=1 x） ，則 A （ （ ） A x|1 x 3 B x|x 3 C x|x 1 D x| 1 x 1 【考點(diǎn)】 交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算 【分析】 解不等式求出集合 A，求函數(shù)定義域得出集合 B，再根據(jù)交集與補(bǔ)集的定義寫(xiě)出 A （ 【解答】 解：全集 U=R，集合 A=x|2x 3 0=x| 1 x 3， B=x|y=1 x） =x|1 x 0=x|x 1， 則 x|x 1， 所以 A （ =x|1 x 3 故選： A 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了集合的基本運(yùn)算與不等式和函數(shù)定義域的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目 2 i 是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù) z 滿足 1+i，則復(fù)數(shù) z 的實(shí)部與虛部的和是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 【考點(diǎn)】 復(fù)數(shù)的基本概念；復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算 【分析】 利用復(fù)數(shù)的乘法求出復(fù)數(shù) z，然后求解結(jié)果即可 【解答】 解 ：復(fù)數(shù) z 滿足 1+i， 可得 z= = =1+i 復(fù)數(shù) z 的實(shí)部與虛部的和是： 1+1=2 故選： C 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算以及基本概念，考查計(jì)算能力 3已知 m， n 為不同的直線， ， 為不同的平面，給出下列命題： ； ； ； 其中的正確命題序號(hào)是（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 命題的真假判斷與應(yīng)用；平面與平面之間的位置關(guān)系 【分析】 由線面垂直及線線垂直的幾何特征可判斷 的真假；由線面垂直的性質(zhì)定理可判斷 的真假；根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理及面面 平行的判定方法可判斷 的真假；由面面平行的性質(zhì)及幾何特征可判斷 的真假，進(jìn)而得到答案 【解答】 解： 或 n，故 錯(cuò)誤； 由線面垂直的性質(zhì)定理可得 ，故 正確； 根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理及面面平行的判定方法可得 ，故 正確； 由面面平行的性質(zhì)及幾何特征可得 或 m， n 異面，故 錯(cuò)誤； 故選 A 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是命題的真假判斷與應(yīng)用，平面與平面之間的位置關(guān)系，熟練掌握空間線線關(guān)系，線面關(guān)系及面面關(guān)系的判定，性質(zhì)，及幾何特征是解答本題的關(guān)鍵 4如圖，在一個(gè)棱長(zhǎng)為 2 的正方體魚(yú)缸內(nèi)放入一個(gè)倒置的無(wú)底圓 錐形容器，圓錐的上底圓周與魚(yú)缸的底面正方形相切，圓錐的頂點(diǎn)在魚(yú)缸的缸底上，現(xiàn)在向魚(yú)缸內(nèi)隨機(jī)地投入一粒魚(yú)食，則 “魚(yú)食能被魚(yú)缸內(nèi)在圓錐外面的魚(yú)吃到 ”的概率是（ ） A 1 B C D 1 【考點(diǎn)】 幾何概型 【分析】 由題意，直接看頂部形狀，及正方形內(nèi)切一個(gè)圓，正方形面積為 4，圓為 ，即可求出 “魚(yú)食能被魚(yú)缸內(nèi)在圓錐外面的魚(yú)吃到 ”的概率 【解答】 解：由題意，正方形的面積為 22=4圓的面積為 所以 “魚(yú)食能被魚(yú)缸內(nèi)在圓錐外面的魚(yú)吃到 ”的概率是 1 ， 故選： A 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查概率的計(jì)算 ，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題 5已知點(diǎn) A（ 3， 0），過(guò)拋物線 x 上一點(diǎn) P 的直線與直線 x= 1 垂直相交于點(diǎn) B，若 |則點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為（ ） A 1 B C 2 D 【考點(diǎn)】 拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【分析】 利用拋物線的定義，結(jié)合 |即可求出點(diǎn) P 的橫坐標(biāo) 【解答】 解：由題意，可知 F（ 1， 0）， 過(guò)拋物線 x 上一點(diǎn) P 的直線與直線 x= 1 垂直相交于點(diǎn) B， | | | P 的橫坐標(biāo)為 2， 故選： C 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查拋物線的定義與性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ) 6某幾何體的三視圖如圖，若該幾何體的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球面的表面積為（ ） A 4 B C D 20 【考點(diǎn)】 球內(nèi)接多面體；球的體積和表面積 【分析】 由三視圖知，幾何體是一個(gè)三棱柱，三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為 2 的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)是 2，根據(jù)三棱柱的兩個(gè)底面的中心的中點(diǎn)與三棱柱的頂點(diǎn)的連線就是外接球的半徑，求出半徑即可求出球的表面積 【解答】 解：由三視圖知，幾何體是一個(gè)三棱柱，三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為 2 的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)是 2， 三棱柱的兩個(gè)底面的中心的中點(diǎn)與三棱柱的頂點(diǎn)的連線就是外接球的半徑， r= = ，球的表面積 4 = 故選： B 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了由三視圖求三棱柱的外接球的表面積，利用棱柱的幾何特征求外接球的半徑是解題的關(guān)鍵 7函數(shù) f（ x） = 的圖象可能是（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 函數(shù)的圖象 【分析】 由函數(shù)的解析式，可求出函數(shù)的定義域，可排除 B， D 答案；分析 x（ 2， 1）時(shí)，函數(shù)值的符號(hào)，進(jìn)而可以確定函數(shù)圖象的位置后可可排除 【解答 】 解：若使函數(shù) 的解析式有意義 則 ，即 即函數(shù) 的定義域?yàn)椋?2， 1） （ 1， + ） 可排除 B， D 答案 當(dāng) x （ 2， 1）時(shí)， 0， x+2） 0 則 0 可排除 C 答案 故選 A 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的圖象，熟練掌握函數(shù)定義域的求法及函數(shù)值符號(hào)的判定是解答的關(guān)鍵 8執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的 N 是 10，那么輸出的 S 是（ ） A 2 B 1 C 1 D 2 1 【考點(diǎn)】 程序框圖 【分析】 模 擬 執(zhí) 行 程 序 框 圖 可 知 程 序 框 圖 的 功 能 是 求 ，S= + + + + + 的值，用裂項(xiàng)法即可得解 【解答】 解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得 N=10， S=0， k=1 S= ， 滿足條件 k 10， k=2， S= + ， 滿足條件 k 10， k=3， S= + + ， 滿足條件 k 10， k=10，S= + + + + + = + += 1， 不滿足條件 k 10，退出循環(huán)，輸出 S 的值為 1 故選： C 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，考查了數(shù)列的求和，屬于基本知識(shí)的考查 9中國(guó)歷法推測(cè)遵循以測(cè)為輔、以算為主的原則例如周髀算經(jīng)和易經(jīng)里對(duì)二十四節(jié)氣的晷（ 長(zhǎng)的記錄中，冬至和夏至的晷影長(zhǎng)是實(shí)測(cè)得到的，其它節(jié)氣的晷影長(zhǎng)則是按照等差數(shù)列的規(guī)律計(jì)算得出的下表為周髀算經(jīng)對(duì)二十四節(jié)氣晷影長(zhǎng)的記錄，其中 表示 115 寸 1 分（ 1 寸 =10 分） 節(jié)氣 冬至 小寒 （大雪） 大寒 （小雪） 立春 （立冬） 雨水 （霜降） 驚蟄 （寒露） 春分 （秋分） 清明 （白露） 谷雨 （處暑） 立夏 （立秋） 小滿 （大暑） 芒種 （小暑） 夏至 晷影長(zhǎng) （寸） 135 125 知易經(jīng)中記錄的冬至晷影長(zhǎng)為 ，夏至晷影長(zhǎng)為 ，那么易經(jīng)中所記錄的驚蟄的晷影長(zhǎng)應(yīng)為（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用 【分析】 設(shè)晷影長(zhǎng)為等差數(shù)列 公差為 d， 用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出 【解答】 解：設(shè)晷影長(zhǎng)為等差數(shù)列 公差為 d， 則 2d=得 d= 5= 易經(jīng)中所記錄的驚蟄的晷影長(zhǎng)是 故選： C 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題 10設(shè) 雙曲線 =1（ a 0， b 0）的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線右支上存在一點(diǎn) P，使（ + ） =0（ O 為坐標(biāo)原點(diǎn)），且 2| |=3| |，則雙曲線的離心率為（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【分析】 由向量減法法則和數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，可得 = =c，從而得 到 以為 邊的直角三角形由此結(jié)合 ，運(yùn)用勾股定理算出 c， c，再根據(jù)雙曲線的定義得到 2可得到該雙曲線的離心率 【解答】 解： = ， 得 =0，所以 = =c ，邊 的中線等于 |一半，可得 ， 設(shè) ， ，（ 0） 得（ 3） 2+（ 2） 2=4得 = c c， c 由雙曲線的定義，得 2a=| |= c 雙曲線的離心率為 e= = 故選 A 【點(diǎn)評(píng)】 本題給出雙曲線上一點(diǎn) P 滿足 直角，且兩 直角邊之比為 ，求雙曲線的離心率，著重考查了向量的運(yùn)算和雙曲線的定義與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題 11已知集合 M=（ x， y） |y=f（ x） ，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)對(duì)（ M，存在（ M，使 成立，則稱集合 M 是 “垂直對(duì)點(diǎn)集 ”，給出下列四個(gè)集合： M=（ x， y） |y= ； M=（ x， y） |y=； =（ x， y） |y=2x 2； M=（ x， y） |y=其中是 “垂直對(duì)點(diǎn)集 ”的序號(hào)是（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 集合的表示法 【分析】 利用數(shù)形結(jié)合的方法解決，根據(jù)題意，若集合 M=（ x， y） |y=f（ x） 是 “垂直對(duì)點(diǎn)集 ”，就是在函數(shù)圖象上任取一點(diǎn) A，得直線 原點(diǎn)與 直的直線 與函數(shù)圖象相交即可 【解答】 解：由題意，若集合 M=（ x， y） |y=f（ x） 滿足： 對(duì)于任意 A（ M，存在 B（ M，使得 成立， 因此 所以，若 M 是 “垂直對(duì)點(diǎn)集 ”， 那么在 M 圖象上任取一點(diǎn) A，過(guò)原點(diǎn)與直線 直的直線 與函數(shù)圖象相交于點(diǎn) B 對(duì)于 ： M=（ x， y） |y= ，其圖象是過(guò)一、二象限，且關(guān)于 y 軸對(duì)稱， 所以對(duì)于圖象上的點(diǎn) A，在圖象上存在點(diǎn) B，使得 以 符合題意； 對(duì)于 ： M=（ x， y） |y=，畫(huà)出函數(shù)圖象， 在圖象上任取一點(diǎn) A，連 原點(diǎn)作直線 垂線 因?yàn)?y= 的圖象沿 x 軸向左向右無(wú)限延展，且與 x 軸相切， 因此直線 會(huì)與 y= 的圖象相交 所以 M=（ x， y） |y=是 “垂直對(duì)點(diǎn)集 ”，故 符合題意； 對(duì)于 ： M=（ x， y） |y=2x 2，其圖象過(guò)點(diǎn)（ 0， 1）， 且向右向上無(wú)限延展，向左向下無(wú)限延展， 所以，據(jù)圖可知，在圖象上任取一點(diǎn) A，連 過(guò)原點(diǎn)作 垂線 與 y=2 的圖象相交，即一定存在點(diǎn) B，使得 立， 故 M=（ x， y） |y=2x 2是 “垂直對(duì)點(diǎn)集 ”故 符合題意； 對(duì)于 ： M=x， y） |y=對(duì)于函數(shù) y= 過(guò)原點(diǎn)做出其圖象的切線 點(diǎn) T 在第一象限）， 則過(guò)切點(diǎn) T 做 垂線，則垂線必不過(guò)原點(diǎn)， 所以對(duì)切點(diǎn) T，不存在點(diǎn) M，使得 所以 M=（ x， y） |y=是 “垂直對(duì)點(diǎn)集 ”；故 不符合題意 故選： D 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查 “垂直對(duì)點(diǎn)集 ”的判斷，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用 12定義在（ 1， + ）上的函數(shù) f（ x）滿足下列兩個(gè)條件：（ 1）對(duì)任意的 x（ 1， + ）恒有 f（ 2x） =2f（ x）成立； （ 2）當(dāng) x （ 1， 2時(shí)， f（ x） =2 x；記函數(shù) g（ x） =f（ x） k（ x 1），若函數(shù) g（ x）恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) k 的取值范圍是（ ） A 1， 2） B C D 【考點(diǎn)】 函數(shù)零點(diǎn)的判定定理 【分析】 根據(jù)題中的條件得到函數(shù) 的解析式為： f（ x） = x+2b， x （ b， 2b，又因?yàn)?f（ x） =k（ x 1）的函數(shù)圖象是過(guò)定點(diǎn)（ 1， 0）的直線，再結(jié)合函數(shù)的圖象根據(jù)題意求出參數(shù)的范圍即可 【解答】 解：因?yàn)閷?duì)任意的 x （ 1， + ）恒有 f（ 2x） =2f（ x）成立，且當(dāng) x （ 1， 2時(shí)， f（ x） =2 x 所以 f（ x） = x+2b， x （ b， 2b 由題意得 f（ x） =k（ x 1）的函數(shù)圖象是過(guò)定點(diǎn)（ 1， 0）的直線， 如圖所示紅色的直線與線段 交即可（可以與 B 點(diǎn)重合但不能與 A 點(diǎn)重合） 所以可得 k 的范圍為 故選 C 【點(diǎn)評(píng)】 解決此類(lèi)問(wèn) 題的關(guān)鍵是熟悉求函數(shù)解析式的方法以及函數(shù)的圖象與函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要數(shù)學(xué)思想，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的必備的解題工具 二、填空題 13若兩個(gè)非零向量 滿足 ，則向量 與 的夾角是 120 【考點(diǎn)】 數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角 【分析】 將已知等式 平方得到 的模的關(guān)系及 ，然后利用向量的數(shù)量積公式求出 的夾角 【解答】 解： = = ， （ + ） （ ） = 2| |2， 設(shè) 的夾角為 0， 180 =120 故答案為 120 【點(diǎn)評(píng)】 求兩個(gè)向量的夾角，一般利用向量的數(shù)量積公式來(lái)求出夾角的余弦，進(jìn)一步求出夾角，但一定注意向量夾角的范圍為 0， 180 14已知（ ） 5 的展開(kāi)式中含 x 的項(xiàng)的系數(shù)為 30，則實(shí)數(shù) a= 6 【考點(diǎn)】 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 【分析】 根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，列出方程即可求出 r 與 a 的值 【解答】 解：（ ） 5 展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為： = =（ a） r ， 令 = ，解得 r=1； 所以展開(kāi)式中含 x 項(xiàng)的系數(shù)為： （ a） =30， 解得 a= 6 故答案為： 6 【點(diǎn) 評(píng)】 本題考查了二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式與應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目 15我們可以利用數(shù)列 遞推公式 （ n N+），求出這個(gè)數(shù)列各項(xiàng)的值，使得這個(gè)數(shù)列中的每一項(xiàng)都是奇數(shù)，則 66 【考點(diǎn)】 數(shù)列遞推式 【分析】 借助于遞推公式知道奇數(shù)項(xiàng)的值為其項(xiàng)數(shù)，而偶數(shù)項(xiàng)的值由對(duì)應(yīng)的值來(lái)決定，寫(xiě)出數(shù)列前幾項(xiàng)，即可得到所求值 【解答】 解：由題得：這個(gè)數(shù)列各項(xiàng)的值分別為 1， 1， 3， 1， 5， 3， 7， 1， 9，5， 11， 3 5=5=5=5=1+65=66 故答案為： 66 【點(diǎn)評(píng)】 本題是對(duì)數(shù)列遞推公式應(yīng)用的考查，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)觀察，注意尋找規(guī)律，避免不必要的錯(cuò)誤 16實(shí)數(shù) x、 y 滿足 ，若 z=ax+y 的最大值為 3a+9，最小值為 3a 3，則 a 的取值范圍是 1， 1 【考點(diǎn)】 簡(jiǎn)單線性規(guī)劃 【分析】 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可 【解答】 解：由 z=ax+y 得 y= ax+z，直線 y= ax+z 是斜率為 a， y 軸上的截距為 z 的直線， 作出不等式組 對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖： 則 A（ 3， 9）， B（ 3， 3）， C（ 3， 3）， z=ax+y 的最大值為 3a+9，最小值為 3a 3， 可知目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò) A 取得最大值，經(jīng)過(guò) C 取得最小值， 若 a=0，則 y=z，此時(shí) z=ax+y 經(jīng)過(guò) A 取得最大值，經(jīng)過(guò) C 取得最小值，滿足條件， 若 a 0，則目標(biāo)函數(shù)斜率 k= a 0， 要使目標(biāo)函數(shù)在 A 處取得最大值，在 C 處取得最小值， 則目標(biāo)函數(shù)的斜率滿足 a 1， 即 a 1，可得 a （ 0， 1 若 a 0，則目標(biāo)函數(shù)斜率 k= a 0， 要使目標(biāo)函數(shù)在 A 處取得最大值，在 C 處取得最小值，可得 a 1 a 0，綜上 a 1， 1 故答案為： 1， 1 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)條件確定 A， B 是最優(yōu)解是解決本題的關(guān)鍵注意要進(jìn)行分類(lèi)討論，是中檔題 三、解答題（共 5 小題，滿分 60 分） 17（ 12 分）（ 2017長(zhǎng)沙模擬）在 ，角 A， B， C 的對(duì)邊分別為 a， b，c，且滿足 = （ ）求角 A 的大??； （ ）若 a=2 ，求 積的最大值 【考點(diǎn)】 正弦定理；余弦定理 【分析】 （ I）把條件中所給的既有角又有邊的等式利用正弦定理變化成只有角的形式，整理逆用兩角和的正弦公式， 根據(jù)三角形內(nèi)角的關(guān)系，得到結(jié)果 （ 用余弦定理寫(xiě)成關(guān)于角 A 的表示式，整理出兩個(gè)邊的積的范圍，表示出三角形的面積，得到面積的最大值 【解答】 解：（ ） ， 所以（ 2c b） a正弦定理，得（ 2 整理得 2 2A+B） = 在 ， 0 ， （ ）由余弦定理 ， b2+20=220 20，當(dāng)且僅當(dāng) b=c 時(shí)取 “=” 三角形的面積 三角形面積的最大值為 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查正弦定理和余弦定理，本題解題的關(guān)鍵是角和邊的靈活互化，兩個(gè)定理的靈活應(yīng)用和兩角和的公式的正用和逆用 18（ 12 分）（ 2017長(zhǎng)沙模擬）如圖，在四棱錐 P ，底面 菱形， 0， Q 是 中點(diǎn) （ 1）若 D，求證：平面 平面 （ 2）若平面 平面 D=，點(diǎn) M 在線段 且滿足二面角 M C 的大小 【考點(diǎn)】 二面角的平面角及求法；平面與平面垂直的判定 【分析】 （ 1）推導(dǎo)出 而 平面 此能證明平面 平面 （ 2）以 Q 為原點(diǎn)， x 軸， y 軸， z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角 M C 的大小 【解答】 證明：（ 1） 在四棱錐 P ，底面 菱形， 0， Q 是 中點(diǎn) D， D= ， 平面 平面 平面 平面 解：（ 2） 平面 平面 D=，點(diǎn) M 在線段 且滿足 以 Q 為原點(diǎn)， x 軸， y 軸， z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系， Q（ 0， 0， 0）， B（ 0， ， 0）， P（ 0， 0， ）， C（ 2， ， 0）， M（， ， ）， =（ 0， ， 0）， =（ ， ， ）， 設(shè)平面 法向量 =（ x， y， z）， 則 ，取 z=1，得 =（ ）， 平面 法向量 =（ 0， 0， 1）， 設(shè)二面角 M C 的平面角為 ， 則 = ， =60， 二面角 M C 的大小為 60 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查面面垂直的證明，考查二面角的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng) 19（ 12 分）（ 2017長(zhǎng)沙模擬）近年來(lái)我國(guó)電子商務(wù)行業(yè)迎來(lái)發(fā)展的新機(jī)遇 2016年 618 期間，某購(gòu)物平臺(tái)的銷(xiāo)售業(yè)績(jī)高達(dá) 516 億人民幣與此同時(shí)，相關(guān)管理部門(mén)推出了針對(duì)電商的商品和服務(wù)的評(píng)價(jià)體系現(xiàn)從評(píng)價(jià)系統(tǒng)中選出 200 次成功交易，并對(duì)其評(píng)價(jià)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，對(duì)商品的好評(píng)率為 服務(wù)的好評(píng)率為 中對(duì)商品和服務(wù)都做出好評(píng)的交易為 80 次 （ ） 先完成關(guān)于商品和服務(wù)評(píng)價(jià)的 2 2 列聯(lián)表，再判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò) 前提下，認(rèn)為商品好評(píng)與服務(wù)好評(píng)有關(guān)？ （ ）若將頻率視為概率，某人在該購(gòu)物平臺(tái)上進(jìn)行的 3 次購(gòu)物中，設(shè)對(duì)商品和服務(wù)全好評(píng)的次數(shù)為隨機(jī)變量 X： 求對(duì)商品和服務(wù)全好評(píng)的次數(shù) X 的分布列； 求 X 的數(shù)學(xué)期望和方差 附臨界值表： P（ k） k 2 的觀測(cè)值： k= （其中 n=a+b+c+d） 關(guān)于商品和服務(wù)評(píng)價(jià)的 2 2 列聯(lián)表： 對(duì)服務(wù)好評(píng) 對(duì)服務(wù)不滿意 合計(jì) 對(duì)商品好評(píng) a=80 b= 40 120 對(duì)商品不滿意 c= 70 d=10 80 合計(jì) 150 50 n=200 【考點(diǎn)】 獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用 【分析】 （ ）由已知列出關(guān)于商品和服務(wù)評(píng)價(jià)的 2 2 列聯(lián)表，代入公式求得值，對(duì)應(yīng)數(shù)表得答案； （ ） 每次購(gòu)物時(shí)，對(duì)商品和服務(wù)全好評(píng)的概率為 X 的取值可以是 0，1， 2， 3， X B（ 3， 求出 相應(yīng)的概率，可得對(duì)商品和服務(wù)全好評(píng)的次數(shù)X 的分布列（概率用組合數(shù)算式表示）； 利用二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望和方差求 X 的數(shù)學(xué)期望和方差 【解答】 解：（ 1）由題意可得關(guān)于商品和服務(wù)評(píng)價(jià)的 2 2 列聯(lián)表如下： 對(duì)服務(wù)好評(píng) 對(duì)服務(wù)不滿意 合計(jì) 對(duì)商品好評(píng) 80 40 120 對(duì)商品不滿意 70 10 80 合計(jì) 150 50 200 2 分 4 分 故能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò) 前提下，認(rèn)為商品好評(píng)與服務(wù)好評(píng)有關(guān) 5分 （ 2） 每次購(gòu)物時(shí)，對(duì)商品和服務(wù)都好評(píng)的概率 為 X 的取值可以是 0，1， 2， 3 其中 P（ X=0） =； P（ X=1） =； 7 分 P（ X=2） =； P（ X=3） = 9 分 X 的分布列為： X 0 1 2 3 P 10 分 由于 X B（ 3， 則 E（ X） =3 D（ X） =3 2分 【點(diǎn)評(píng)】 本小題主要考查統(tǒng)計(jì)與概率的相關(guān)知識(shí)，對(duì)考生的對(duì)數(shù)據(jù)處理的能力有很高要求，是中檔題 20（ 12 分） （ 2017長(zhǎng)沙模擬）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 6，離心率為 ， 橢圓的右焦點(diǎn) （ ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （ ）點(diǎn) M 在圓 x2+ 上，且 M 在第一象限，過(guò) M 作圓 x2+ 的切線交橢圓于 P， Q 兩點(diǎn)，判斷 周長(zhǎng)是否為定值并說(shuō)明理由 【考點(diǎn)】 橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【分析】 （ ）由題意可知： 2a=6， ，求得 a 和 c 的值，由 b2=得 b，寫(xiě)出橢圓方程； （ ）設(shè) P（ Q（ 分別求出 | |結(jié)合相切的條件可得 |=| | ，可得 ， 同理|3，即可證明； 【解答】 解：（ I）根據(jù)已知，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ， 2a=6， a=3， ， c=1； b2=， （ 周長(zhǎng)是定值， 設(shè) P（ Q（ 則 ， ， 0 3， ，（ 7 分） 在圓中， M 是切點(diǎn)， ，（ 11 分） ， 同理 |3，（ 13 分） |3+3=6， 因此 周長(zhǎng)是定值 6 （ 14 分） 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相 交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、直線與圓相切性質(zhì)、勾股定理、三角形的周長(zhǎng)問(wèn)題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題 21（ 12 分）（ 2017長(zhǎng)沙模擬）已知函數(shù) f（ x） = 的圖象為曲線 C，函數(shù) g（ x） = ax+b 的圖象為直線 l （ 1）當(dāng) a=2， b= 3 時(shí)，求 F（ x） =f（ x） g（ x）的最大值； （ 2）設(shè)直線 l 與曲線 C 的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為 證：（ x1+x2）g（ x1+ 2 【考點(diǎn)】 導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用；分析法和綜合法 【分析】 （ 1） 由 a=2， b= 3，知 ， x （ 0，1）， F（ x） 0， F（ x）單調(diào)遞增， x （ 1， + ）， F（ x） 0， F（ x）單調(diào)遞減，由此能求出 F（ x） =f（ x） g（ x）的最大值 （ 2）設(shè) 證（ x1+g（ x1+ 2，只需證 ，由此入手，能夠證明（ x1+g（ x1+ 2 【解答】 解：（ 1） ， ， x （ 0， 1）， F（ x） 0， F（ x）單調(diào)遞增， x （ 1， + ）， F（ x） 0， F（ x）單調(diào)遞減， F（ x） （ 1） =2 （ 2 ）不妨設(shè) 要證（ x1+ g （ x1+ 2 ，只需證， ， ， ，即 ， ， 令 ， x （ + ）只需證， ，