2017年江西省全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)仿真試卷（五）含答案

絕密 啟用前 2017 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試 仿真卷 理科 數(shù)學(xué)（五） 本試題卷共 2 頁(yè)， 23 題（含選考題）。全卷滿分 150 分?？荚囉脮r(shí) 120 分鐘。 第 卷 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的 。 1 2017 重慶一中 已知集合 1, 2,3A ， | 1 2 0B x x x Z ，則 A C B Z（ ） A 1,2,3 B 1,2 C 2,3 D 3 【答案】 C 【解析】由 | 1 2 0B x x x Z 得： 10，B ，則 2 , 3A C B Z ，故選 C 2 2017 重慶聯(lián)考 已知 2i b （ 是實(shí)數(shù)），其中 i 是虛數(shù)單位 ，則 （ ） A 2 B 1 C 1 D 3 【答案】 A 【解析】由題設(shè)可得 2i i 1 ，則 12 ， ，故 2 ，應(yīng)選答案 A 3 2017 長(zhǎng)郡中學(xué) 在等差數(shù)列 ， 9 121 32，則數(shù)列 前 11 項(xiàng)和 11S （ ） A 24 B 48 C 66 D 132 【答案】 C 【解析】設(shè)等差數(shù)列 差為 d ，則 9 1 1 2 18 1 1a a d a a d ， ，所以有 1118 ( 1 1 ) 32a d a d ，整理得，1656a d a ，1 1 11 1 61 1 1 1 6 62 ，故選 C 4 2017 棗莊模擬 已知函數(shù) 0,2 ，則函數(shù) 2 8 2 xg x f x 的定義域?yàn)椋?） A 0,1 B 0,2 C 1,2 D 1,3 【答案】 A 【解析】由題意，得0 2 28 2 0 ，解得 01x ，故選 A 5 2017 衡陽(yáng)八中 甲、 乙兩名同學(xué)參加一項(xiàng)射擊比賽游戲，其中任何一人每射擊一次擊中目標(biāo)得 2 分，未擊中目標(biāo)得 0 分若甲、乙兩人射擊的命中率分別為 35 和 P ，且甲、乙兩人各射擊一次得分之和為 2 的概率為 920 假設(shè)甲、乙兩人射擊互不影響，則 P 值為（ ） A 35 B 45 C 34 D 14 【答案】 C 【解析】設(shè)： “甲射擊一次，擊中目標(biāo) ”為事件 A ， “乙射擊一次，擊中目標(biāo) ”為事件 B ，則 “甲射擊一次，未擊中目標(biāo) ”為事件 A ， “乙射擊一次，擊中目標(biāo) ”為事件 B ，則3 3 2( ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 15 5 5P A P A P B p P B p ， ， ， 依題意得： 3 2 9(1 )5 5 2 0 ，解得 34p ，故選 C 6 2017 云師附中 秦九韶算法是南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九 韶提出的一種多項(xiàng)式簡(jiǎn)化算法，即使在現(xiàn)代，它依然是利用計(jì)算機(jī)解決多項(xiàng)式問題的最優(yōu)算法，即使在現(xiàn)代，它依然是利用計(jì)算機(jī)解決多項(xiàng)式問題的最優(yōu)算法，其算法的程序框圖如圖所示，若輸入的 0 1 2 na a a a， ， ， ，分別為 01 n， ， ， ，若 5n ，根據(jù)該算法計(jì)算當(dāng) 2x 時(shí)多項(xiàng)式的值，則輸出的結(jié)果為（ ） A 248 B 258 C 268 D 278 【答案】 B 【解析】該程序框圖是計(jì)算多項(xiàng)式 5 4 3 2( ) 5 4 3 2f x x x x x x ，當(dāng) 2x 時(shí)，(2) 258f ，故選 B 7 2017 雅禮中學(xué) 四位男生和兩位女生排成一排，男生有且只有兩位相鄰，則不同排法的種數(shù)是（ ） A 72 B 96 C 144 D 240 【答案】 C 【解析】先從 4 為男生中選 2 為捆綁在一起，和剩余的 2 為男生，插入到 2 為女生所形成的空隙中，所以共有 2 2 34 2 3 144種不同的排法，故選 C 8 2017 師大附中 已知點(diǎn) 是拋物線 24上不同的兩點(diǎn)， F 為拋物線的焦點(diǎn)，且滿足 23，弦 中點(diǎn) P 到直線 1: 16 的距離記為 d ，若 22|M N d，則 的最小值為（ ） A 3 B 3 C 13 D 4 【答案】 A 【解析】 設(shè) |m ， |n 則拋物線的定義及梯形中位線的性質(zhì)可得 2d m n，2 2 2|M N m n m n ， 所以由題設(shè)可得22224 ( ) 44( ) ( )m n m n m nm n m n ， 因?yàn)?2( ) 4m n m n ，即 24 1()，所以 4 1 3 ，應(yīng)選答案 A 9 2017 湖南十三校 已知函數(shù) () ，且 (2) 2f ，又函 數(shù) ()y f x 的圖象如圖所示，若兩個(gè)正數(shù) 滿足 (2 ) 2f a b，則 22 的取值范圍是（ ） A 2( 2)3， B 2( ) ( 2 )3 ， ， C (2 )， D 2()3， 【答案】 A 【解析】由導(dǎo)函數(shù)圖象，可知函數(shù)在 (0 )， 上為單調(diào)增函數(shù) ， (2) 2f ，正數(shù) 滿足 (2 ) 2f a b， 2200 ， 又因?yàn)?22 表示的是可行域中的點(diǎn)與 ( 2 2)， 的連線的斜率 所以當(dāng) ( 2 2)， 與 (02)， 相連時(shí)斜率最大 ， 為 2 ， 當(dāng) ( 2 2)， 與 (10)， 相連時(shí)斜率最小 ， 為 23 ， 所以 22 的取值范圍是 2( 2)3， ，故選 A 10 2017 南陽(yáng)一中 如圖所示， A ， B ， C 是圓 O 上不同的三點(diǎn)，線段 延長(zhǎng)線與線段 ，若 O C O A O B（ R ， R ），則 的取值范圍是（ ） A (0,1) B (1, ) C ,1 D 1,0 【答案】 D 【解析】 O A O B O C， O C O A O B， 22O C O A O B，展開得22 21O A O B ， 22 2 c o s 1A O B ，當(dāng) 60 時(shí)， 222 1 即 2 11 ， 11 當(dāng) ,D 時(shí)，由平行四邊形法則可知 O C O E O F O A O B ，此時(shí)0, 0且 ， 0，因此 的取值范圍是 1,0 ，故選 D 11 2017 正定中學(xué) 如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為 1，粗實(shí)線及粗虛線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體外接球的表面積為（ ） A 8 B 252 C 414 D 12 【答案】 C 【解析】由三視圖可知，該幾何體為如圖所示的四棱錐 S ，其中四邊形 矩形，平面 平面 25A B C D A B C D B C A D S B ， ，該多面體的外接球球心 O 在 垂面 1，其中 1O 為三角形 心設(shè) 1BO x ，則由11O x得 22( 2 ) 1 ，解得54x ，所以該多面體的外接球半徑2 5 4 111 6 1 6R O B ，因此其表面積為 2 414 4，故選 C 12 2017 鄭州一中 已知函數(shù) ( ) x x x x ，若 k Z ，且 ( 1) ( )k x f x 對(duì)任意的 1x恒成立，則 k 的最大值為（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 【答案】 B 【解析】因?yàn)?( ) x x x x ，若 kZ ，且 ( 1) ( )k x f x 對(duì)任意的 1x 恒成立， 即 ( 1 ) x x x x ，因?yàn)?1x ， 即 x xk x ，對(duì)任意 1x 恒成立， 令 1x x x ，則 2l n 2() ( 1 )x ， 令 ( ) l n 2 ( 1 )h x x x x ，則 11( ) 1 0 ， 所以函數(shù) () (1 )， 上單調(diào)遞增 因?yàn)?( 3 ) 1 l n 3 0 ( 4 ) 2 2 l n 2 0 ， 所以方程 ( ) 0在 (1 )， 上存在唯一實(shí)根 0x ，且滿足 0 (3 4)x ， ， 當(dāng) 01 時(shí)， ( ) 0，即 ( ) 0 ，當(dāng) 0時(shí)， ( ) 0，即 ( ) 0 ， 所以函數(shù) 1x x x 在 0(1 )x， 上單調(diào)遞減，在 0()x ， 上單調(diào)遞增 ， 因?yàn)?0x 是 ( ) 0的 根，即 00 0 ， 所以 0 0 0 000m i n 00(1 l n ) (1 2 )( ) ( ) ( 3 4 )11x x x xg x g x ，所以 m ()k g x x，因?yàn)?0 (3 4)x ， ，故整數(shù) k 的最大值為 3，故選 B 第卷 本卷包括必考題和選考題兩部分 。 第 (13)(21)題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答 。 第(22)(23)題為選考題，考生根據(jù)要求作答 。 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分。 13 2017 湖南十三校 函數(shù) ( ) 3 c o s ( 3 ) s i n ( 3 )f x x x 是奇函數(shù)，則 等于_ 【答案】 3 【解析】因?yàn)楹瘮?shù) ( ) 3 c o s ( 3 ) s i n ( 3 )f x x x 是奇函數(shù)， 所以 0 3 c o s s i n 0f ，有 14 2017 天水一中 如圖，直三棱柱 1 1 1 B C 的六個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為 1 的半球面上，C ，側(cè)面 11半球底面 圓的內(nèi)接正方形，則側(cè)面 11面積為 【答案】 1 【解析】由圖可得 21,21 1 11 12A B B A A B 15 2017 湖南十三校 雙曲線22: 1 ( 0 0 )a ，的左、右焦點(diǎn)分別為 12F F P、 ，是 E 右 支上一點(diǎn)，且 2 12| | | | F ，直線 1圓 2 2 2x y a相切，則 E 的離心率為_ 【答案】 53 【解析】設(shè)直線 1圓 2 2 2x y a相切于點(diǎn) M ， 則 1|O M a O M P F， ， 取 1中點(diǎn) N ，連接 2 由于 122 2P F F F c，則 2 1 1| | | |N F P F N P N F， ， 由 2| | 2 | | 2N F O M a， 則 | | 2NP b ，即有 1| | 4PF b ， 由雙曲線的定義可得 12| | | | 2P F P F a， 即 4 2 2b c a，即 2b c a ， 224 ( )b c a ， 即 2 2 24 ( ) ( )c a c a ， 4 ( )c a c a ，即 35， 則 53e 故答案為： 53 16 2017 南白中學(xué) 設(shè) 等比數(shù)列，公比 2q ， 前 n 項(xiàng)和，記2117 a， *nN ，設(shè) 數(shù)列 最大項(xiàng)，則 n 【答案】 4 【解析】等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式得 1(1 )1 ， 則 2117 a211 21( 1 ) ( 1 )171 6 1 7 2 ( 1 2 )( 1 2 ) 2q a ， 令 2n t ，則1 1 6 1 1 6( 1 7 ) ( 2 1 7 )1 2 1 2nT t ， 當(dāng)且僅當(dāng) 16t t 時(shí)，即 4t 時(shí)等號(hào)是成立的，即 24n ，即 4n 時(shí) 得最大值 三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。 17（本小題滿分 12 分） 2017 湖北七校 已知函數(shù) 2( ) 2 3 s i n 2 s i n c o s 3f x x x x ， 113 24x ， （ 1）求函數(shù) () （ 2）已知銳角 的兩邊長(zhǎng)分別為函數(shù) () 的外接圓半徑為 324 ，求 的面積 【答案】（ 1） 32， ， （ 2） 2 【解析】（ 1） 2 ( ) 2 3 s i n 2 s i n c o s 3 2 s i n ( 2 )3f x x x x x 又 113 24x ， 7 23 3 1 2x ， 3 s i n ( 2 ) 123x ， 函數(shù) () 32， （ 2）依題意不妨設(shè) 32a b A B C， ， 的外接圓半徑 324r ， 3 6 3 2 2 2 1s i n c o s s i n c o 3 2 3 33 2 3 222 B ， ， ， 6s i n s i n ( ) s i n c o s c o s s i n 3C A B A B A B ， 1 1 6s i n 2 3 22 2 3a b C 18 （本小題滿分 12 分） 2017 長(zhǎng)沙一中 為了研究家用轎車在高速公路上的車速情況，交通部門對(duì) 100 名家用轎車駕駛員進(jìn)行調(diào)查，得到其在高速公路上行駛時(shí)的平均車速情況為：在55 名男性駕駛員中，平均車速超過 100h 的有 40 人，不超過 100h 的有 15 人在45 名女性駕駛員中，平均車速超過 100h 的有 20 人，不超過 100h 的有 25 人 （ 1）完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有 把握認(rèn)為平均車速超過 100h 的人與性別有關(guān) 平均車速超過100h 人數(shù) 平均車速不超過100h 人數(shù) 合計(jì) 男性駕駛員 人數(shù) 女性駕駛員人數(shù) 合計(jì) （ 2）以上述數(shù)據(jù)樣本來估計(jì)總體，現(xiàn)從高速公路上行駛的大量家用轎車中隨機(jī)抽取 3 輛，記這 3 輛車中駕駛員為男性且車速超過 100h 的車輛數(shù)為 X ，若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望 參考公式與數(shù)據(jù)： 22 n a d b ca b c d a c b d ，其中 n a b c d 2 0 ） k 答案】（ 1）列聯(lián)表見解析，有 的把握認(rèn)為平均車速超過 100h 與性別有 關(guān)；（ 2）分布列見解析， 【解析】（ 1） 平 均 車 速 超 過100h 人數(shù) 平均車速不超過100h 人數(shù) 合計(jì) 男性駕駛員人數(shù) 40 15 55 女性駕駛員人數(shù) 20 25 45 合計(jì) 60 40 100 因?yàn)?22 1 0 0 4 0 2 5 1 5 2 0 8 . 2 4 9 7 . 8 7 96 0 4 0 5 5 4 5 ， 所以有 的把握認(rèn)為平均車速超過 100h 與性別有關(guān) （ 6 分） （ 2）根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，從高速公路上行駛的大量家用轎車中隨機(jī)抽取 1 輛，駕駛員為男性且車速超過 100h 的車輛的概率為 40 2100 5 X 可取值是 0， 1， 2， 3，235 ， ，有： 0303 32 2 70 5 1 2 55P X C ， 1213 32 5 41 1 2 55P X C ， 2123 32 3 62 5 1 2 55P X C ， 3033 2 123 83 555P X C ，分布列為 X 0 1 2 3 P 27125 54125 36125 8125 2 7 5 4 3 6 80 1 2 3 1 . 21 2 5 1 2 5 1 2 5 1 2 5 （ 12 分） 19（ 本小題滿分 12 分） 2017 懷仁一中 三棱柱 1 1 1 B C 中，側(cè)棱與底面垂直，90 ， 1 2A B B C B B ， 分別是 1C， 的中點(diǎn) （ 1）求證： 面 11 （ 2）求證： 平面 11 （ 3）求二面角 11M B C A的余弦值 【答案】（ 1）詳見解析；（ 2）詳見解析；（ 3） 33 【解析】（ 1）連接 1 1在 1中， 是 1C， 中點(diǎn)， 1C ， 又 平面 11 面 11 （ 2）如圖，以 1B 為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 1B 則 1(0 0 0)B ， ， ， (0 2 2)C ， ， ， 1( 2 0 0)A ， ， ， ( 1 0 2)M ， ， ， ( 111)N ， ， ， 1 (0 2 2)， ， ， 11 (2 0 0) ， ， ， ( 0 1 1)， ， 設(shè)平面 11法向量 ()n x y z ， ， ， 1110 00n B C B ， 令 1z ，則 0x ， 1y ， (0 11)n ， ， ， n ， 平面 11 （ 3）設(shè)平面 1法向量為 0 0 0()m x y z ， ， ， 1 ( 1 0 2 )， ， ， 001001200 M ， 令 0 1z ，則 0 2x ， 0 1y ， (2 1 1)m ， ， ， 23c o s| | | | 326 ， ， 所求二面角 11M B C A的余弦值為 33 20（本小題滿分 12 分） 2017 廣東聯(lián)考 橢圓 22: 1 0a 的左、右焦點(diǎn)分別為 12 （ 1）若橢圓 E 的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距成等差數(shù)列，求橢圓 E 的離心率； （ 2）若橢圓 E 過點(diǎn) 02A ， ，直線 1 2橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)分別為點(diǎn) ，且的面積為 509c ，求橢圓 E 的方程 【答案】（ 1） 35 ； （ 2）22154 【解析】（ 1） 長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距成等差數(shù)列， 2b a c ， 2 2 242b a a c c ， 2 2 2 242a c a a c c ， 223 5 2 0a c a c ， 兩邊同除以 2a 得， 25 2 3 0 ， 解得 35ce a （ 2）由已知得 2b ， 把直線 2 2:2A F y 代入橢圓方程222 14，得 2 2 2 220a c x a c x ， 222 2 2422c c 2242， 由橢 圓的對(duì)稱性及平面幾何知識(shí)可知， 面積為： 222241 2 222 x y xc c c ， 22242 5 029cc ，解得 2 1c ， 2 5a 故所求橢圓的方程為22154 21（本小題滿分 12 分） 2017 撫州一中 已知函數(shù) e xf x x a ，其中 aR （ 1）若曲線 y f x 在點(diǎn) 0,l 與直線 22y a x平行，求 l 的方程； （ 2）若 1, 2a ，函數(shù) ， 上為增函數(shù)，求證： 2e 3 e 2 【答案】（ 1） 43或 4133；（ 2）證明見解析 【解析】（ 1） 0 1 2 2f a a ， 3a 或 13 ， 當(dāng) 3a 時(shí)， 3 e , 0 3xf x x f ， l 的方程為： 43， 當(dāng) 13a 時(shí)， 11e , 033xf x x f ， l 的方程為： 4133 （ 2）由題可得 1 e 0xf x x a 對(duì) e , 2 恒成立， ， 10 ，即 1 對(duì) e , 2 恒成立， 1 ，即 對(duì) 1,2a 恒成立， 設(shè) e 1, 1, 2ag a a a ， 則 e 1 0 ， 1,2 上遞增， 2m a x 2 e 3g a g ， 2 又 ，即 ， 2e 3 e 2 請(qǐng)考生在 22、 23 題中任選一題作答 ,如果多做 ,則按所做的第一題計(jì)分。 22（本小題滿分 10 分） 2017 衡陽(yáng)八中 選修 4標(biāo)系與參數(shù)方程 已知平面直角坐標(biāo)系 ，過點(diǎn) ( 1 2)P ， 的直線 l 參數(shù)方程為1 c o s