湖北省六校聯(lián)合體2017屆高三4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（文）含答案

2017 年春季湖北省六校聯(lián)合體四月聯(lián)考 高三數(shù)學(xué)文科試卷 第 卷（共 60 分） 一、 選擇題：本大題共 12 個(gè)小題 ， 每小題 5 分 ， 共 60 分 只有一項(xiàng)是符合題目要求的 . 1, 2, 3, 4A ，集合 2 2 0 B x x x ，則集合 ） A 1 B 2 C 3 D 4 兩組各 6 名學(xué)生在一 次數(shù)學(xué)測試中的成績（單位：分），已知甲組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為 124，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，則 , ） A 4， 4 B 5， 4 C 4， 5 D 5， 5 z 滿足 (1 ) 4 ， i 為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù) z 的虛 部是（ ） A 2 B C 2i D 2i 4. 已知雙曲線 22125 9上有一點(diǎn) M 到右焦點(diǎn)18，則點(diǎn) M 到左焦點(diǎn)2 ） A 8 B 28 C 12 D 8 或 28 ） A ()f x x x B ( ) x x x C 1() 12()f x x 6.莊子天下篇中記述了一個(gè)著名命題：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭 .”反映這個(gè)命題本質(zhì)的式子是（ ） A2111 22 11222B 11122n 12n 2 C21122 1 12n D21122 12n 1 1 ，且 2z x y的最大值和最小值分別為 m 和 n ，則（ ） A B C 0 D 1 1S ，那么判斷框中應(yīng)填入的關(guān)于 k 的條件是（ ） A 6k B 5k C 6k D 5k 該幾何體的體積為（ ） A 18 B 20 C 24 D 12 1a，1 2， 2 2 2 21 2 3 4nS a a a a 222 1 2等于（ ） A 1(2 1)3 n B 41 (1 2 )5 nC 1(4 1)3 n D 1(1 2 )3 n1,2)P 的直線與圓 221相切，且與直線 10ax y 垂直，則實(shí)數(shù) a 的值為（ ） A 0 B 43C 0 或 43D ，若 1( ) ( ) xf x a 在區(qū)間 (0,1) 上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，則 a 的取值范圍是（ ） A 0a B 0a C 1a D 0a 第 卷（共 90 分） 二、填空題（每題 5 分 ， 滿分 20 分 ， 將答案填在答題紙上） , 2， 2 13 ，則 a 與 b 的夾角為 燈持續(xù)時(shí)間為 30 秒，小明來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待 10 秒才出現(xiàn)綠燈的概率為 n 項(xiàng)和為322 3 1 2，則數(shù)列 中，已知點(diǎn) D 在邊 ， C ， 22s i ， 32，3，則 長為 三、解答題 （本大題共 6 小題 ， 共 70 分 明過程或演算步驟 .） 17. 已知向量 1(s )2， ( 3 c o s , c o s 2 )n x x ，函數(shù) ()f x m n （ 1）求函數(shù) () （ 2）將函數(shù) ()y f x 的圖象向左平移6個(gè)單位，得到函數(shù) ()y g x 的圖象，求 ()0, 2 上的值域 . 18. 2015 年 12 月，華中地區(qū)數(shù)城市空氣污染指數(shù)“爆表”，此輪污染為 2015 年以來最嚴(yán)重的污染過程，為了探究車流量與 濃度是否相關(guān)，現(xiàn)采集到華中某城市 2015 年 12月份某星期星期一到星期日某一時(shí)間段車流量與 數(shù)據(jù)如表： 時(shí)間 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 車流量 x （萬輛） 1 2 3 4 5 6 7 濃度y （微克 /立方米） 28 30 35 41 49 56 62 （ 1）由散點(diǎn)圖知 y 與 x 具有線性相關(guān)關(guān)系，求 y 關(guān)于 x 的線性回歸方程；（提示數(shù)據(jù)：711372 ） （ 2）（ I）利用（ 1）所求的回歸方程，預(yù)測該市車流量為 12 萬輛時(shí) 濃度；（ 定：當(dāng)一天內(nèi) 濃度平均值在 (0,50 內(nèi)，空氣質(zhì)量等級為優(yōu)；當(dāng)一天內(nèi) 濃度平均值在 (50,100 內(nèi)，空氣質(zhì)量等級為良，為使該市某日空氣質(zhì)量為優(yōu)或者為良，則應(yīng)控制當(dāng)天車流量不超過多少萬輛？（結(jié)果以萬輛為單位，保留整數(shù)）參考公式：回歸直線的方程是 y bx a，其中 11222( ) ( )()i i y n x y x x y n x x x ， a y . 19. 在四棱錐 P 中，底面是邊長為 2 的菱形， 060， 3D，11， D O . （ 1）設(shè)平面 面 l ，證明： /l （ 2）若 E 是 中點(diǎn)，求三棱錐 P 的體積P 20. 如圖，已知圓 22: ( 1 ) 4E x y 經(jīng)過橢圓 22:1( 0)的左右焦點(diǎn)12,橢圓 C 在第一象限的交點(diǎn)為 A ，且1F， E ， A 三點(diǎn)共線 . （ 1）求橢圓 C 的方程； （ 2）設(shè)與直線 O 為原點(diǎn)）平行的直線交橢圓 C 于 , 的面積取取最大值時(shí)，求直線 l 的方程 . 21. 設(shè)函數(shù) ( ) ( ) x x b x ， ()y f x 的圖象在點(diǎn) (1, (1)f 處的切線與直線 3平行 . （ 1）求 b 的值； （ 2）若函數(shù) ()( ) ( 2 )2x x e （ 0a ），且 ()區(qū)間 (0, ) 上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 . 請考生在 22、 23 兩題中任選一題作答 ， 如果多做 ， 則按所做的第一題記分 . l 的參數(shù)方程為3 c o s i （ t 為參數(shù)），以 O 為極點(diǎn)， x 軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線 C 的極坐標(biāo)方程為 c o s 2 ，（ 0 , 2 ) ） （ 1）寫出直線 l 經(jīng)過的定點(diǎn)的直角坐標(biāo)，并求曲線 C 的普通方程； （ 2）若4，求直線 l 的極坐標(biāo)方程，以及直線 l 與曲線 C 的交點(diǎn)的極坐標(biāo) . ) 1 2f x x m x . （ 1）若 1m ，求函數(shù) () （ 2）若 1m ，求不等 式 ( ) 3f x x 的解集 . 2017 年春季湖北省六校聯(lián)合體四月聯(lián)考 高三數(shù)學(xué)文科試卷 試卷答案 一、選擇題 1 6 11、 12： 、填空題 13. 060 14. 2315. 4 16. 3 三、解答題 17. 解： (1) 1( ) 3 s i n c o s c o s 22f x m n x x x c o )62 x . 所以 )(最大值為 1， 最小正周期為 . (2)由 (1)得 )62s )( (的圖象向左平移6個(gè)單位后得到 )62s i n (6)6(2s i n 圖象 . 因此 )62s ( 又 2,0 x， 所以 67,662 x， 1,21)62s ( 2,0上的值域?yàn)?1,21. 18. 解： (1)由數(shù)據(jù)可得 ： 4)7654321(71 2564941353028(71 y 7 1 27 1 140,1372 i ii ii 61 1 21 4 01 2 0 41 3 7 21221 196443 （注 :用另一個(gè)公式求運(yùn)算量小些） 故 y 關(guān)于 x 的線性回歸方程為 196 (2)( )當(dāng)車流量為 12 萬輛時(shí) ， 即 12x 時(shí) ， 9119126 y . 故車流量為 12 萬輛時(shí) ， 濃度為 91 微克 /立方米 . ( )根據(jù)題意信息得 ： 100196 x ， 即 x ， 故要使該市某日空氣質(zhì)量為優(yōu)或?yàn)榱?， 則應(yīng)控制當(dāng)天車流量在 13 萬輛以內(nèi) . 12 分 19. 解： (1)因?yàn)?， 面 面 所以 /面 又平面 面 ， 且 面 所以 . (2)因?yàn)榈酌媸橇庑?， 所以 ， 且 O 是 點(diǎn) ， 所以 . 又 ， 所以 所以 三棱錐 的高 . 因?yàn)?邊長為 2 的等邊 的中線 ， 所以 3 因?yàn)?等 腰 的 高線 ， 1,3 以 22 在 中 ， 11 3 22 所以 222 ， 所以 . 所以 6221 因?yàn)?E 是線段 中點(diǎn) ， 所以 621 S. 所以3 631 C 20. 解： (1) 1F ， E ， A 三點(diǎn)共線 ， 圓 E 的直徑 ， 且 41 212 )10( 22 x ， 得 3x ， 3c ， 412162212122 22 6221 3a . 222 ， 62 b ， 橢圓 C 的方程為 16922 (2)由 （ 1） 知 ， 點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 )2,3( ， 直線 斜率為 332， 故設(shè)直線 l 的方程為 332， 將 l 方程代入 16922 y 得： 0183346 22 設(shè) ),( 11 ,( 22 3221 ， 321 221 04327248 22 182 m 2323 m ， 又 ： 1221 221221 914284)(341 ， 點(diǎn) A 到直線 l 的距離 N 721914282121 2 22 )91428(1421 24 289141421 1431421 623 ， 當(dāng) 且 僅 當(dāng)9)914(2282 m， 即 3m 時(shí)等號成立 ， 此時(shí)直線 l 的 方 程 為3332 21. 解： (1)由題意知 ， 曲線 )(在點(diǎn) )1(,1( f 處的切線斜率為 3， 所以 3)1( f ， 又 1 即 311 b ， 所以 2b . (2)由 （ 1） 知 2)()( ， 所以 )0()2( x， 若 )( ),0( 上為單調(diào)遞減函數(shù) ， 則 0)( ),0( 上恒成立 ， 即 02 所以 . 令 )0( 則22111)( ， 由 0)( 得 1x ， 0)( 得 10 x ， 故 )( 1,0 上是減函數(shù) ， 在 ,1 上是增函數(shù) ， 則 xx )(最大值 ， 0)( ,0 上不恒成立 ， 故 )( ,0 不可能是單調(diào)減函數(shù) . 若 )( ,0 上為單調(diào)遞增函數(shù) ， 則 0)( ,0 上恒成立 ， 即 02 所以 ， 由前面推理知 ， 的最小值為 1)1( h ， 12 a ， 故 a 的取值范圍是 21,. 22. 解： (1)直線 l 經(jīng)過定點(diǎn) 21,23 ， 由 2 得 22 2co s ， 得曲線 C 的普通方程為 222 2 化簡得 442 (2)若4， 得的普通方程為 2 則直線 l 的極坐標(biāo)方程為 2c ， 聯(lián)立曲線 2c C ， 取2， 得 2