河北省2017屆高三二?？荚嚁?shù)學(xué)試題（理）含答案

河北省 2017 屆高三下學(xué)期二?？荚?數(shù)學(xué)（理）試題 第 卷（共 60 分） 一、 選擇題：本大題共 12 個小題 ,每小題 5 分 ,共 60 分 有一項是符合題目要求的 . 1. 設(shè)集合 0 ,1, 2 , 3, 4 , 5U ， 1,2,3A ， 2 5 4 0B x Z x x ， 則 B（ ） A 1,2,3 B 1,2 C 2,3 D 2 i 是虛數(shù)單位，則 21 （ ） A 1 B 22 C 2 D 2 3. 某路口的紅綠燈，紅燈時間 為 30 秒，黃燈時間為 5 秒，綠燈時間為 40 秒，假 設(shè)你在任何時間到達(dá)該路口是等可能的，則當(dāng)你到達(dá)該路口時，看見 不是 黃燈的概率是 （ ） A 1415B 115C 35D 且 21 2 4 3 72 4 , 4a a a a a ， 則5a（ ） A 116B D 40 邊長為 6， M 在邊 且 3M ， N 為 中點，則N（ ） A 6 B 12 D 12 若 x A B ,則 或 ； 2,x ， 都有 2 2 ； 若 , 是 22的充分不必要條件； “ 20 0 0, 2 3x R x x ” 的否定是 “ 2, 2 3x R x x ” . 其中真命題的個數(shù)是 （ ） A 1 B 2 D 4 7. 已知等比數(shù)列 q ，2 2 11 , 6n n na a a a ， 則 項和4S（ ） A 152B 152C. 15 D 30 8. 九章算術(shù)是中國古代第一部數(shù)學(xué)專著，書中有關(guān)于 “ 塹堵 ” 的記載， “ 塹堵 ” 即底面是直角三角形 的直三棱 柱 塹堵 ” 被 一 個平面截去一部分后，剩下部分的三視圖如圖所示，則剩下部分的體 積是 （ ） A 50 B 75 C. D . 已知函數(shù) 1 c o s 2 2 s i x m x m x ，其中 12m ） A 14B 1 C. 33 D 31 10. 已知 F 是雙曲線 22: 1 0 , 0a 的右焦點， , 的左、右頂點 D 為 C 上一點， DF x 軸 的直線 l 與線段 于點 E ，與 y 軸交于點 M ， 直線 y 軸交于點 N ，若 32N ，則雙曲線 C 的 離 心 率 為 （ ） A 3 B 4 C. 5 D 6 知橢圓 221 :14， 曲線 22 :1C y x與 y 軸的交點為 M ， 過坐標(biāo)原點 O 的直線 l 與2線 ,別與1 ， 則 D的值是 （ ） A 正數(shù) B 0 C. 負(fù)數(shù) D 皆有可能 x x ， 20 , 0 1 ,4 2 , 1 , 若方程 f x g x a有 4 個實根，則a 的取值范圍是 （ ） A 0,1 B 0, 2 C. 1,2 D 1,2 第 卷（共 90 分） 二、填空題（每 題 5 分，滿分 20 分，將答案填在答題紙上） s i n 0 , 0 ,2f x A x A 的部分圖象如圖所示，則 的直線： 1 2 0kx y k 與圓： 221 5 9 相切于點 N ，則 ， /C ， 0 2 4A B B C A B B C ， ， 交于點 E ，D 則 D 的等差數(shù)列 n 項和為2 5 11,a a *11 2 0 , , S m n m n N ，則 的值是 三、解答題 （本大題共 6 小題，共 70 分 明過程或演算步驟 .） 17. 在 中， ,對邊，且 2 2 3a c b a c . （ 1）求角 B 的大小 ； （ 2）若 2b ， 且 s i n s i n 2 s i n 2B C A A ， 求 的面積 . 18. 當(dāng)今，手機(jī)已經(jīng)成為人們不可或缺的交流工具，人們常常把喜歡玩手機(jī)的人冠上了名號“ 低頭族 ” ， 手機(jī)已經(jīng)嚴(yán)重影響了人們的生活，一媒體為調(diào)查市民對低頭族的認(rèn)識，從某社區(qū)的 500 名市民中，隨機(jī)抽取 n 名市民，按年齡情況進(jìn)行統(tǒng)計的頻率分布表和頻率分布直方圖如圖 ： （ 1）求出表中的 ,值 ，并補(bǔ)全頻率分布直方圖； （ 2）媒體記者為了做好調(diào)查工作，決定從所隨機(jī)抽取的市民中 按年齡采用分層抽樣的方法抽取 20 名接受采訪，再從抽出的這 20 名中年齡在 30,40 的選取 2 名擔(dān)任主要發(fā)言人記這 2 名 主要發(fā)言人 年齡在 30,40 的人數(shù)為 ，求 的分布列及數(shù)學(xué)期望 菱形 在平面互相垂直，如圖，其中 12D， ，3， 點 N 是線段 中點 . （ 1） 試 問 在 線 段 是 否 存 在 點 M ， 使得直線 /面 若存在，請證明/面 并求出 不存在，請說明理由； （ 2） 求二 面角 N 的正弦值 . 圓 22: 1 0a 的左 ， 右頂點，點 0, 2P ， 直線 于點 Q ， 32B 且 是等腰直角三角形 . （ 1） 求橢圓 E 的方程； （ 2） 設(shè)過點 P 的動直線 l 與 E 相交于 ,坐標(biāo)原點 O 位于以 直徑的圓外時，求直線 l 斜率的取值范圍 . p x x x ， xq x a xe a R. （ 1） 若 ，設(shè) f x p x q x，試證明 存在唯一零點0 10,x e， 并求 （ 2） 若關(guān)于 x 的不等式 p x q x 的解集中有且只有兩個整數(shù) ， 求實數(shù) a 的取值范圍 . 請考生在 22、 23 兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分 . 標(biāo)系與參數(shù)方程 在平面直角坐標(biāo)系 ，曲線1 3 c o s ,3 s （ 為參數(shù) ） 為極點， x 軸 的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線2 . （ 1） 分別寫出1 （ 2） 若射線 l 的極坐標(biāo)方程 03，且 l 分別交曲線12 兩點，求 等式選講 己知函數(shù) 3f x x x . (1)解 關(guān) 于 x 的不等式 5f x x ； （ 2） 設(shè) ,m n y y f x， 試比較 4與 2 的大小 . 試卷答案 一、選擇題 1 6 11、 12： 、填空題 13. 由圖中條件求得 2， 則 =2 ， 再代入點 ,23可得 =6 ， 故 2 s i n 2 6f x x 14. 4 15. 2 165A E C D A E C E A E C E B E 、解答題 1）把 2 2 3a c b a c 整理得 ， 2 2 2a c b ， 由余弦定理有 2 2 2 1c o 2a c b a cB a c a c ， . (2) 中， A B C ， 即 B A C ，故 s in s C， 由已知 s i n s i n 2 s i n 2B C A A 可得 s i n s i n 2 s i n 2A C C A A ， s i n c o s c o s s i n s i n c o s c o s s i n 4 s i n c o A C C A C A A A ， 整理得 c o s s i n 2 s i n c o A A . 若 A ，則2A ， 于是由 2b ，可得 2 2 3ta n 3c B， 此時 的面積為 1 2 323S . 若 A ，則 ， 由正弦定理可知， 2， 代入 2 2 2a c b 整理可得 234a ，解得 233a，進(jìn)而 433c， 此時 的面積為 1 2 3s i a c B. 綜上所述， 的面積為 233. 18. 解 :(1)由題意知頻率分布表可知 : 5 0 1 0 0n ，所以 1 0 0 0 3 5a ， 30 補(bǔ)全頻率分布直方圖，如圖 所示， (2)設(shè)抽出的 20 名受訪者年齡在 30,35 和 35,40 分 別 有 ,分層抽樣可得20100 35 30，解得 7, 6，所以年齡在 30,40 共有 13 名 . 故 可能取值為 0， 1， 2. 026721370 26 ， 116721371 13 ， 206721352 26 的 分布列為 ： 7 7 5 1 20 1 22 6 1 3 2 6 1 3E （ 1） 作 中點 P ，連接 點 M ， M 點即為所求的點 . 證明：連接 N 是 中點， P 是 中點， /F ， 又 平面 平面 直線 /面 / / , / /P E A D A D B C， /C ， 2E. （ 2） 由 （ 1） 知 D ， 又面 面 面 面 D ， 面 所以 面 故 ,P N A D P N N C. 以 N 為空間原點， ,C 別為 ,建立空間直角坐標(biāo)系 N ， 23A D C A D D C ， 為正三角形， 3， 0 , 0 , 0 , 3 , 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 1 , 1N C D E， 0 , 1 , 1 , 3 , 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , 3 , 1 , 0N E N C D E D C . 設(shè)平面 一個法向量 1 ,n x y z，則由110 , 0n N E n N C 可得 0,3 0,令 1y ，則 1 0,1, 1n . 設(shè)平面 一個法向量 2 1 1 1,n x y z，則由220 , 0n D E n D C 可得 1110,3 0,令1 1x，則 2 1, 3, 0n . 則12121236c o s ,422 ， 設(shè)二面角 N 的平面角為 ，則 26 1 0s i n 144 ， 二面角 N 的正弦值為 104. 20.（ 1） 22 14x y；（ 2） 332 , , 222 解 ：（ 1） 由題意知 是等腰直角三角形，所以 2 , 2 , 0 , 2 , 0a A B ， 設(shè) ,Q x y ，由 32B，解得 64,55P代入橢圓方程，解得 2 1b . 橢圓方程為 ： 22 14x y； （ 2） 由 題意可知，直線 l 的斜率存在 ，設(shè)其方程為 2y ， 1 1 2 2, , ,M x y N x y ，整理得 : 221 4 1 6 1 2 0k x k x . 由直線 l 與 E 有兩個不同的交點，則 0 ， 即 221 6 4 1 2 1 4 0 ，解得 :2 34k ， 由韋達(dá)定理可知 :1 2 1 2221 6 1 2,1 4 1 4kx x x ， 由坐標(biāo)原點 O 位于以 直徑的圓外， 則 0N，即1 2 1 2 0x x y y， 即 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 2 1 2 4x x y y x x k x k x k x x k x x 2 221 2 1 6101 4 1 4 ， 解得 : 2 4k ， 綜上可知，23 44 k， 解得 : 322k 或 3 22 k直線 l 斜率的取值范圍 332 , , 222 . 21.（ 1）證明：由題意知 l n 4 xf x x x e x e ， 于是 11111 1 1 x e x x e x e e x ex x x 令 1 xx ， 1 0 0xx e x e x ， x 在 0, 上單調(diào)遞減 . 又 110 1 0 , 1 0 ， 所以存在0 10,x e， 使得 0 0x ， 綜上 0,x e. 解：當(dāng) 00 , , 0x x x， 于是 0 ， 00, 當(dāng) 0 , , 0x x x ， 于是 0 ， 0,x 單調(diào)遞 減； 故 00 0 0m a x l n 4 x f x x x e x e ， 又 00010xx e x e ，001x xe e ，0001 ， 故 00m a n 1 l n 4 5 1 6x x x e . （ 2）解： p x q x 等價于 xx x a . l n 4 l n 4l n 4 x a x e ax e x e ， 令 ， 則 21 l n 5xx x ， 令 x x x ， 則 1 10 ，即 x 在 0, 上單調(diào)遞 增 . 又 3 l n 3 2 0 , 4 l n 4 0 ， 存在 0,， 使得 0t . 當(dāng) 0 , , 0x t x h x h x 在 0,t 上單調(diào)遞增 ； 當(dāng) , , 0x t x h x h x 在 ,t 上單調(diào)遞 減 . 23 l n 2 21 0 , 2 02 ， 3n 3 1303h e， 且當(dāng) x 時 ， 0， 又 233 2 l n 2 l n 3 11 , 2 323h h he e e ， 42h e， 故要使不等式 p x q x 解集中有且只有兩個整數(shù) ， a 的取值范圍 應(yīng)為32 1 2 . 1）將1 2 213 ， 即 222 2 0x y x ， 1 2 c o s 2 0 . 將2程化為 直角 坐標(biāo)方程為 221. （ 2）將 =3代入1:C 2 2 c o s 2