圓錐曲線軌跡及方程求法大全.doc

軌跡方程的若干求法求軌跡方程是高考中常見的一類問題.本文對(duì)曲線方程軌跡的求法做一歸納，供同學(xué)們參考.一、直接法 直接根據(jù)等量關(guān)系式建立方程.例1已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡是（）圓橢圓雙曲線拋物線解析：由題知，由，得，即，點(diǎn)軌跡為拋物線故選二、定義法運(yùn)用有關(guān)曲線的定義求軌跡方程例2在中，上的兩條中線長(zhǎng)度之和為39，求的重心的軌跡方程解：以線段所在直線為軸，線段的中垂線為軸建立直角坐標(biāo)系，如圖1，為重心，則有點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，其中所求的重心的軌跡方程為注意：求軌跡方程時(shí)要注意軌跡的純粹性與完備性.三、轉(zhuǎn)代法此方法適用于動(dòng)點(diǎn)隨已知曲線上點(diǎn)的變化而變化的軌跡問題. 例3已知abc的頂點(diǎn)，頂點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)，求的重心的軌跡方程解：設(shè)，由重心公式，得又在拋物線上，將，代入，得，即所求曲線方程是四、參數(shù)法如果不易直接找出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，可考慮借助中間變量（參數(shù)），把x，y聯(lián)系起來例4已知線段，直線垂直平分于，在上取兩點(diǎn)，使有向線段滿足，求直線與的交點(diǎn)的軌跡方程解：如圖2，以線段所在直線為軸，以線段的中垂線為軸建立直角坐標(biāo)系設(shè)點(diǎn)， 則由題意，得由點(diǎn)斜式得直線的方程分別為兩式相乘，消去，得這就是所求點(diǎn)m的軌跡方程評(píng)析：參數(shù)法求軌跡方程，關(guān)鍵有兩點(diǎn)：一是選參，容易表示出動(dòng)點(diǎn)；二是消參，消參的途徑靈活多變.五、待定系數(shù)法當(dāng)曲線的形狀已知時(shí)，一般可用待定系數(shù)法解決.例5 已知，三點(diǎn)不在一條直線上，且，（1）求點(diǎn)軌跡方程；（2）過作直線交以為焦點(diǎn)的橢圓于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)到軸的距離為，且直線與點(diǎn)的軌跡相切，求橢圓方程解：（1）設(shè)，由知為中點(diǎn)，易知又，則即點(diǎn)軌跡方程為；（2）設(shè)，中點(diǎn)由題意設(shè)橢圓方程為，直線方程為直線與點(diǎn)的軌跡相切，解得將代入橢圓方程并整理，得，又由題意知，即，解得故所求的橢圓方程為殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、選擇題1.已知橢圓的焦點(diǎn)是f1、f2，p是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果延長(zhǎng)f1p到q，使得|pq|=|pf2|，那么動(dòng)點(diǎn)q的軌跡是( )a.圓b.橢圓c.雙曲線的一支d.拋物線2.設(shè)a1、a2是橢圓=1的長(zhǎng)軸兩個(gè)端點(diǎn)，p1、p2是垂直于a1a2的弦的端點(diǎn)，則直線a1p1與a2p2交點(diǎn)的軌跡方程為( )a.b.c.d.二、填空題3.abc中，a為動(dòng)點(diǎn)，b、c為定點(diǎn)，b(,0),c(,0)，且滿足條件sincsinb=sina,則動(dòng)點(diǎn)a的軌跡方程為_.4.高為5 m和3 m的兩根旗桿豎在水平地面上，且相距10 m，如果把兩旗桿底部的坐標(biāo)分別確定為a(5，0)、b(5，0)，則地面觀測(cè)兩旗桿頂端仰角相等的點(diǎn)的軌跡方程是_.三、解答題5.已知a、b、c是直線l上的三點(diǎn)，且|ab|=|bc|=6，o切直線l于點(diǎn)a，又過b、c作o異于l的兩切線，設(shè)這兩切線交于點(diǎn)p，求點(diǎn)p的軌跡方程.6.雙曲線=1的實(shí)軸為a1a2，點(diǎn)p是雙曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，引a1qa1p，a2qa2p，a1q與a2q的交點(diǎn)為q，求q點(diǎn)的軌跡方程.7.已知雙曲線=1(m0,n0)的頂點(diǎn)為a1、a2，與y軸平行的直線l交雙曲線于點(diǎn)p、q.(1)求直線a1p與a2q交點(diǎn)m的軌跡方程；(2)當(dāng)mn時(shí)，求所得圓錐曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程和離心率.8.已知橢圓=1(ab0),點(diǎn)p為其上一點(diǎn)，f1、f2為橢圓的焦點(diǎn)，f1pf2的外角平分線為l，點(diǎn)f2關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為q，f2q交l于點(diǎn)r.(1)當(dāng)p點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求r形成的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)r形成的曲線為c，直線l：y=k(x+a)與曲線c相交于a、b兩點(diǎn)，當(dāng)aob的面積取得最大值時(shí)，求k的值.參考答案殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、1.解析：|pf1|+|pf2|=2a,|pq|=|pf2|,|pf1|+|pf2|=|pf1|+|pq|=2a,即|f1q|=2a,動(dòng)點(diǎn)q到定點(diǎn)f1的距離等于定長(zhǎng)2a,故動(dòng)點(diǎn)q的軌跡是圓.答案：a2.解析：設(shè)交點(diǎn)p(x,y）,a1(3,0),a2(3,0),p1(x0,y0),p2(x0,y0)a1、p1、p共線，a2、p2、p共線，解得x0=答案：c二、3.解析：由sincsinb=sina,得cb=a,應(yīng)為雙曲線一支，且實(shí)軸長(zhǎng)為,故方程為.答案：4.解析：設(shè)p(x,y），依題意有,化簡(jiǎn)得p點(diǎn)軌跡方程為4x2+4y285x+100=0.答案：4x2+4y285x+100=0三、5.解：設(shè)過b、c異于l的兩切線分別切o于d、e兩點(diǎn)，兩切線交于點(diǎn)p.由切線的性質(zhì)知：|ba|=|bd|，|pd|=|pe|，|ca|=|ce|，故|pb|+|pc|=|bd|+|pd|+|pc|=|ba|+|pe|+|pc|=|ba|+|ce|=|ab|+|ca|=6+12=186=|bc|，故由橢圓定義知，點(diǎn)p的軌跡是以b、c為兩焦點(diǎn)的橢圓，以l所在的直線為x軸，以bc的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，可求得動(dòng)點(diǎn)p的軌跡方程為=1(y0)6.解：設(shè)p(x0,y0）(xa),q(x,y).a1(a,0),a2(a,0).由條件而點(diǎn)p(x0,y0)在雙曲線上，b2x02a2y02=a2b2.即b2(x2)a2()2=a2b2化簡(jiǎn)得q點(diǎn)的軌跡方程為：a2x2b2y2=a4(xa).7.解：(1)設(shè)p點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1,y1)，則q點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,y1),又有a1(m,0),a2(m,0),則a1p的方程為：y=a2q的方程為：y=得：y2=又因點(diǎn)p在雙曲線上，故代入并整理得=1.此即為m的軌跡方程.(2)當(dāng)mn時(shí)，m的軌跡方程是橢圓.()當(dāng)mn時(shí)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(,0)，準(zhǔn)線方程為x=,離心率e=；()當(dāng)mn時(shí)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,),準(zhǔn)線方程為y=,離心率e=.8.解：(1)點(diǎn)f2關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為q，連接pq，f2pr=qpr，|f2r|=|qr|，|pq|=|pf2|又因?yàn)閘為f1pf2外角的平分線，故點(diǎn)f1、p、q在同一直線上，設(shè)存在r(x0,y0）,q(x1,y1),f1(c,0),f2(c,0).|f1q|=|f2p|+|pq|=|f1p|+|pf2|=2a,則(x1+c)2+y12=(2a)2.又得x1=2x0c,y1=2y0.