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專題講座小波變換,主要內(nèi)容,引言 時(shí)頻展開 使用Matlab 若干應(yīng)用場(chǎng)景,引言,傅里葉變換應(yīng)用非常廣泛的原因可能是: 直觀性 數(shù)學(xué)上的完美性 計(jì)算上的有效性 仍有局限性:在整個(gè)時(shí)間軸上積分,表示了信號(hào)的全局特征(變換后,時(shí)間是亞元) 如果需要分析信號(hào)的局部信號(hào)怎么辦? 樂譜 油田勘探 ,時(shí)頻展開,希望定義一種工具能幫助計(jì)算信號(hào)x(t)的瞬時(shí)傅里葉變換,記為X(,F) 如何定義一組能夠表現(xiàn)出信號(hào)瞬時(shí)性的基函數(shù),該基函數(shù)必須包括兩個(gè)基本變量時(shí)間和頻率F,時(shí)頻展開主要內(nèi)容,短時(shí)傅里葉變換STFT Gabor變換GT 連續(xù)小波變換CWT 小波變換WT,短時(shí)傅里葉變換STFT,確定信號(hào)局部頻率特性的比較簡(jiǎn)單的方法是在時(shí)刻附近對(duì)信號(hào)加窗,然后計(jì)算傅里葉變換。 X(,F)=STFTx(t)=FTx(t)w(t- ) 其中,w(t-)是一個(gè)以時(shí)刻為中心的窗函數(shù),注意信號(hào)x(t)中的時(shí)間t和X(,F)中的。,窗函數(shù)w根據(jù)進(jìn)行了時(shí)移,擴(kuò)展傅里葉變換表達(dá)式,短時(shí)傅里葉變換操作示意,問題,實(shí)際運(yùn)用中處理的問題與上述描述恰好相反:給定一個(gè)信號(hào),希望能夠在時(shí)域和頻域上定位信號(hào)發(fā)生的事件,因此時(shí)間和頻率F都是不確定的,即按上述的分析不可行(結(jié)果不確定或有誤差) 分析中,分辨率的損失是由于窗函數(shù)w(t)的時(shí)域?qū)挾燃案道锶~變換的頻率帶寬所決定的; 信號(hào)不能同時(shí)在時(shí)域和頻域準(zhǔn)確定位,測(cè)不準(zhǔn)定理,Gabor變換引言,STFT將一個(gè)連續(xù)時(shí)間變量t的信號(hào)x(t)變換為有兩個(gè)連續(xù)時(shí)間變量的X(,F) 意味著STFT包含了很多的冗余信息 將頻率F離散化,F(xiàn)=Kf0 將時(shí)間離散化,在=mT0采樣,Gabor變換,通過Gabor變換,信號(hào)x(t)被展開為:,Gabor變換公式:,小波變換是強(qiáng)有力的時(shí)頻分析(處理)工具,是在克服傅立葉變換缺點(diǎn)的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的。已成功應(yīng)用于很多領(lǐng)域,如信號(hào)處理、圖像處理、模式識(shí)別等。 小波變換的一個(gè)重要性質(zhì)是它在時(shí)域和頻域均具有很好的局部化特征,它能夠提供目標(biāo)信號(hào)各個(gè)頻率子段的頻率信息。這種信息對(duì)于信號(hào)分類是非常有用的。 小波變換一個(gè)信號(hào)為一個(gè)小波級(jí)數(shù),這樣一個(gè)信號(hào)可由小波系數(shù)來刻畫。,小波變換,數(shù)學(xué)顯微鏡,部分小波波形,小波基函數(shù),將信號(hào)在這個(gè)函數(shù)系上分解,就得到連續(xù)小波變換,小波分析,小波變換通過平移母小波(mother wavelet)可獲得信號(hào)的時(shí)間信息,而通過縮放小波的寬度(或者叫做尺度)可獲得信號(hào)的頻率特性。對(duì)母小波的縮放和平移操作是為了計(jì)算小波的系數(shù),這些系數(shù)代表小波和局部信號(hào)之間的相互關(guān)系。 連續(xù)小波變換 離散小波變換,連續(xù)小波變換,where: a 縮放因子 時(shí)間平移 注意:在CWT中,scale和position是連續(xù)變化的,CWT的變換過程,把小波(t)和原始信號(hào)f(t)的開始部分進(jìn)行比較 計(jì)算系數(shù)c 。該系數(shù)表示該部分信號(hào)與小波的近似程度。系數(shù) c 的值越高表示信號(hào)與小波越相似,因此系數(shù)c 可以反映這種波形的相關(guān)程度 把小波向右移,距離為k,得到的小波函數(shù)為(t-k),然后重復(fù)步驟1和2。再把小波向右移,得到小波(t-2k),重復(fù)步驟1和2。按上述步驟一直進(jìn)行下去,直到信號(hào)f(t)結(jié)束 擴(kuò)展小波(t),例如擴(kuò)展一倍,得到的小波函數(shù)為(t/2) 重復(fù)步驟14,CWT的變換過程圖示,CWT小結(jié),小波的縮放因子與信號(hào)頻率之間的關(guān)系可以這樣來理解??s放因子小,表示小波比較窄,度量的是信號(hào)細(xì)節(jié),表示頻率w 比較高;相反,縮放因子大,表示小波比較寬,度量的是信號(hào)的粗糙程度,表示頻率w 比較低。,離散小波變換,在計(jì)算連續(xù)小波變換時(shí),實(shí)際上也是用離散的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算的,只是所用的縮放因子和平移參數(shù)比較小而已。不難想象,連續(xù)小波變換的計(jì)算量是驚人的。 為了解決計(jì)算量的問題,縮放因子和平移參數(shù)都選擇2 j( j0的整數(shù))的倍數(shù)。 使用這樣的縮放因子和平移參數(shù)的小波變換叫做雙尺度小波變換(dyadic wavelet transform),它是離散小波變換(discrete wavelet transform,DWT)的一種形式。,離散小波變換定義,需要強(qiáng)調(diào)指出的是,這一離散化都是針對(duì)連續(xù)的尺度參數(shù)和連續(xù)平移參數(shù)的,而不是針對(duì)時(shí)間變量t的。,使用離散小波分析得到的小波系數(shù)、縮放因子和時(shí)間關(guān)系如圖所示。 圖(a)是20世紀(jì)40年代使用Gabor開發(fā)的短時(shí)傅立葉變換(short time Fourier transform,STFT)得到的時(shí)間-頻率關(guān)系圖 圖(b)是20世紀(jì)80年代使用Morlet開發(fā)的小波變換得到的時(shí)間-縮放因子(反映頻率)關(guān)系圖。,離散小波變換分析圖,DWT變換方法,執(zhí)行離散小波變換的有效方法是使用濾波器 該方法是Mallat在1988年開發(fā)的,叫做Mallat算法 這種方法實(shí)際上是一種信號(hào)的分解方法,在數(shù)字信號(hào)處理中稱為雙通道子帶編碼 用濾波器執(zhí)行離散小波變換的概念如圖所示 S表示原始的輸入信號(hào),通過兩個(gè)互補(bǔ)的濾波器產(chǎn)生A和D兩個(gè)信號(hào) A表示信號(hào)的近似值(approximations) D表示信號(hào)的細(xì)節(jié)值(detail),在許多應(yīng)用中,信號(hào)的低頻部分是最重要的,而高頻部分起一個(gè)“添加劑”的作用。 比如聲音,把高頻分量去掉之后,聽起來聲音確實(shí)是變了,但還能夠聽清楚說的是什么內(nèi)容。相反,如果把低頻部分去掉,聽起來就莫名其妙。 在小波分析中,近似值是大的縮放因子產(chǎn)生的系數(shù),表示信號(hào)的低頻分量。而細(xì)節(jié)值是小的縮放因子產(chǎn)生的系數(shù),表示信號(hào)的高頻分量。,雙通道濾波過程,離散小波變換可以被表示成由低通濾波器和高通濾波器組成的一棵樹 原始信號(hào)通過這樣的一對(duì)濾波器進(jìn)行的分解叫做一級(jí)分解 信號(hào)的分解過程可以疊代,也就是說可進(jìn)行多級(jí)分解。 如果對(duì)信號(hào)的高頻分量不再分解,而對(duì)低頻分量連續(xù)進(jìn)行分解,就得到許多分辨率較低的低頻分量,形成如圖所示的一棵比較大的樹。這種樹叫做小波分解樹(wavelet decomposition tree) 分解級(jí)數(shù)的多少取決于要被分析的數(shù)據(jù)和用戶的需要,小波分解樹,小波包分解樹,小波分解樹表示只對(duì)信號(hào)的低頻分量進(jìn)行連續(xù)分解。如果不僅對(duì)信號(hào)的低頻分量連續(xù)進(jìn)行分解,而且對(duì)高頻分量也進(jìn)行連續(xù)分解,這樣不僅可得到許多分辨率較低的低頻分量,而且也可得到許多分辨率較低的高頻分量。這樣分解得到的樹叫做小波包分解樹(wavelet packet decomposition tree),這種樹是一個(gè)完整的二進(jìn)制樹。,二維離散小波變換,標(biāo)準(zhǔn)分解流程示意,非標(biāo)準(zhǔn)分解是指使用一維小波交替地對(duì)每一行和每一列像素值進(jìn)行變換。首先對(duì)圖像的每一行計(jì)算像素對(duì)的均值和差值,然后對(duì)每一列計(jì)算像素對(duì)的均值和差值。這樣得到的變換結(jié)果只有1/4的像素包含均值,再對(duì)這1/4的均值重復(fù)計(jì)算行和列的均值和差值,依此類推。非標(biāo)準(zhǔn)分解的過程如下:,非標(biāo)準(zhǔn)分解,非標(biāo)準(zhǔn)分解流程示意,使用Matlab,dwt函數(shù) idwt函數(shù) wcodemat函數(shù) dwt2函數(shù) wavedec2函數(shù) idwt2函數(shù) waverec2函數(shù),dwt函數(shù),功能:1-D離散小波變換 格式: cA,cD=dwt(X,wname) cA,cD=dwt(X,Lo_D,Hi_D) 說明: cA,cD=dwt(X,wname)使用指定的小波基函數(shù)wname對(duì)信號(hào)X進(jìn)行分解,cA和cD分別是近似分量和細(xì)節(jié)分量; cA,cD=dwt(X,Lo_D,Hi_D)用指定的濾波器組Lo_D,Hi_D對(duì)信號(hào)進(jìn)行分解,idwt函數(shù),功能:1-D離散小波反變換 格式: X=idwt(cA,cD,wname) X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R) X=idwt(cA,cD,wname,L) X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R,L) 說明:由近似分量cA和細(xì)節(jié)分量cD經(jīng)過小波反變換,選擇某小波函數(shù)或?yàn)V波器組,L為信號(hào)X中心附近的幾個(gè)點(diǎn),wcodemat函數(shù),功能:對(duì)數(shù)據(jù)矩陣進(jìn)行偽真彩色編碼 格式: Y=wcodemat(X,NB,OPT,ABSOL) Y= wcodemat(X,NB,OPT) Y= wcodemat(X,NB) Y= wcodemat(X) 說明: Y=wcodemat(X,NB,OPT,ABSOL)返回?cái)?shù)據(jù)矩陣X的編碼矩陣Y;NB為編碼的最大值(缺省16),OPT是編碼方式,row行方式,col列方式mat整個(gè)矩陣編碼(缺?。珹BSOL是函數(shù)的控制方式,0返回編碼矩陣,1返回?cái)?shù)據(jù)矩陣的ABS(缺?。?dwt2函數(shù),功能:2-D離散小波變換 格式: cA,cH,cV,cD=dwt2(X,wname) cA,cH,cV,cD=dwt2(X,wname) 說明:cA近似分量,cH水平細(xì)節(jié)分量,cV垂直細(xì)節(jié)分量,cD對(duì)角細(xì)節(jié)分量,示例1:對(duì)圖象做2-D小波分解,load woman; nbcol=size(map,1); cA1,cH1,cV1,cD1=dwt2(X,db1); cod_X=wcodemat(X,nbcol); cod_cA1=wcodemat(cA1,nbcol); cod_cH1=wcodemat(cH1,nbcol); cod_cV1=wcodemat(cV1,nbcol); cod_cD1=wcodemat(cD1,nbcol); dec2d=cod_cA1,cod_cH1;cod_cV1,cod_cD1; subplot(1,2,1); imshow(cod_X,); subplot(1,2,2); imshow(dec2d,);,實(shí)驗(yàn)結(jié)果,wavedec2函數(shù),功能:2-D信號(hào)的多層小波分解 格式: C,S=wavedec2(X,N,wname); C,S=wavedec2(X,N,Lo_D,Hi_D); 說明:使用小波基函數(shù)或指定濾波器對(duì)2-D信號(hào)X進(jìn)行N層分解,idwt2函數(shù),功能:2-D離散反小波變換 格式: X=idwt2(cA,cH,cV,cD,wname) X=idwt2(cA,cH,cV,cD,Lo_R,Hi_R) X=idwt2(cA,cH,cV,cD,wname,S) X=idwt2(cA,cH,cV,cD,Lo_R,Hi_R,S) 說明:略,示例:2-D小波重構(gòu),load woman; sX=size(X); cA1,cH1,cV1,cD1=dwt2(X,db4); A0=idwt2(cA1,cH1,cV1,cD1,db4,sX); subplot(1,2,1); imshow(X,); Title(Original Image); subplot(1,2,2); imshow(A0,); Title(Image using idwt2);,實(shí)驗(yàn)結(jié)果,示例,load woman; nbcol=size(map,1); cA1,cH1,cV1,cD1=dwt2(X,db1); cod_X=wcodemat(X,nbcol); cod_cA1=wcodemat(cA1,nbcol); cod_cH1=wcodemat(cH1,nbcol); cod_cV1=wcodemat(cV1,nbcol); cod_cD1=wcodemat(cD1,nbcol); nbcol=size(cod_X,1); xcA1,xcH1,xcV1,xcD1=dwt2(cA1,db1); xcod_cA1=wcodemat(xcA1,nbcol); xcod_cH1=wcodemat(xcH1,nbcol); xcod_cV1=wcodemat(xcV1,nbcol); xcod_cD1=wcodemat(xcD1,nbcol); xdec2d=xcod_cA1,xcod_cH1;xcod_cV1,xcod_cD1; dec2d=xdec2d,cod_cH1;cod_cV1,cod_cD1; subplot(1,2,1); imshow(cod_X,); subplot(1,2,2); imshow(dec2d,);,實(shí)驗(yàn)結(jié)果,waverec2函數(shù),功能:2-D信號(hào)的多層小波重構(gòu) 格式: X=waverec2(C,S,wname) X=waverec2(C,S,Lo_R,Hi_R) 說明:略,示例:兩層分解重構(gòu),load woman; c,s=wavedec2(X,2,sym4); a0=waverec2(c,s,sym4); subplot(1,2,1); imshow(X,); Title(Original Image); subplot(1,2,2); imshow(a0,); Title(Image using idwt2);,實(shí)驗(yàn)結(jié)果,小波分析在信號(hào)降噪中的應(yīng)用,分解過程:選定一種小波,對(duì)信號(hào)進(jìn)行N層小波(包)分解; 作用閥值過程:選擇一個(gè)閥值,并對(duì)細(xì)節(jié)系數(shù)作用 重建過程:將處理后的系數(shù)經(jīng)過小波(包)重建原始信號(hào);,如何選擇一個(gè)閥值是關(guān)鍵,缺省的閥值確定模型 Birge-Massart策略確定模型 小波包中的penalty閥值 .,本課程不做介紹,基于Matlab的示例 基于小波變換,load noisdopp; x=noisdopp; c,l=wavedec(x,5,db4); ca=wrcoef(a,c,l,db4,5); index=l(2)+1:l(7); c1=c; c1(index)=c(index)/3; x2=waverec(c1,l,db4); subplot(311); plot(x); title(Original Signal); subplot(312); plot(ca); title(Recover Signal); subplot(313); plot(x2); title(Recover with dimming);,基于Matlab的示例:基于FFT,對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行FFT變換 根據(jù)頻譜,對(duì)比我們需要關(guān)心的成分,對(duì)不需要的頻譜進(jìn)行抑制; 進(jìn)行逆變換,信號(hào)的頻譜,利用FFT濾波(使用不同的寬度),load noisdopp; x=noisdopp; y=fft(x,1024); pyy=y.*conj(y);%Y f=1000*(0:512)/1024; %plot(f,pyy(1:513); % y1=y;y1(10:1024)=0; y2=y;y2(30:1024)=0; y3=y;y3(50:1024)=0; xd1=real(ifft(y1,1024); xd2=real(ifft(y2,1024); xd3=real(ifft(y3,1024); subplot(411);plot(x);title(Original Signal); subplot(412);plot(xd1);title(width=10); subplot(413);plot(xd2);title(width=30); subplot(414);plot(xd3);title(width=50);,FFT Vs DWT,FFT是一刀切的做法,DWT可以多重選擇; FFT保留的能量(有時(shí))比DWT多,但是相似性很差; 降噪的光滑性和相似性在時(shí)間和頻率兩個(gè)空間體上體現(xiàn)的比重不同 ,小波分析在信號(hào)壓縮中的應(yīng)用,對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行小波變換 零填充 編碼/量化 存儲(chǔ) 解碼 重建,注意: 本例只說明局部化壓縮,實(shí)際中一般不僅在第1層壓縮,load wbarb; ca1,ch1,cv1,cd1=dwt2(X,sym4); codca1=wcodemat(ca1,192); codch1=wcodemat(ch1,192); codcv1=wcodemat(cv1,192); codcd1=wcodemat(cd1,192); codx=codca1,codch1;codcv1,codcd1; rca1=ca1; rch1=ch1; rcv1=cv1; rcd1=cd1; rch1(33:97,33:97)=zeros(65,65); rcv1(33:97,33:97)=zeros(65,65); rcd1(33:97,33:97)=zeros(65,65); codrca1=wcodemat(rca1,192); codrch1=wcodemat(rch1,192); codrcv1=wcodemat(rcv1,192); codrcd1=wcodemat(rcd1,192); codrx=codrca1,codrch1;codrcv1,codrcd1; rx=idwt2(rca1,rch1,rcv1,rcd1,sym4); subplot(221);image(wcodemat(X,192);colormap(map);title(Original Image); subplot(222);image(wcodemat(codx,192);colormap(map);title(dwt); subplot(223);image(wcodemat(rx,192);colormap(map);title(zip image); subplot(224);image(wcodemat(codrx,192);colormap(map);title(about zip image);,DWT VS DCT,DCT在壓縮過程中不能提供時(shí)域信息,而DWT保留了這方面的特性; 局部壓縮特性,小波分析在圖象銳化和鈍化中的應(yīng)用,圖象的鈍化(銳化)就是提取出圖象中的低頻(高頻)部分; 目前的方法主要集中在時(shí)域和頻域上; 時(shí)域方法是依靠在圖象上做算子操作,快,但會(huì)丟失相關(guān)信息; 頻域需要兩次傅里葉變換,計(jì)算量大,而且 小波變換是上述兩種方法的折中。,算法比較,DCT法進(jìn)行高通濾波的結(jié)果比較純粹; 小波結(jié)果中高頻/低頻都有; 時(shí)間復(fù)雜度 DCT:2*O(nlogn)+O(n) DWT:2*O(n),load chess; blur1=X; blur2=X; ff1=dct2(X); for i=1:256 for j=1:256 ff1(i,j)=ff1(i,j)/(1+(32768/(i*i+j*j)2); end end blur1=idct2(ff1); c,l=wavedec2(X,2,db3); csize=size(c); for i=1:csize(2); if (abs(c(i)300) c(i)=c(i)*2; else c(i)=c(i)/2; end end blur2=waverec2(c,l,db3); subplot(221);image(wcodemat(X,192);colormap(gray(256);title(Original Image); subplot(222);image(wcodemat(blur1,192);colormap(gray(256);title(DCT Image); subplot(223);image(wcodemat(blur2,192);colormap(gray(256);title(DWT Image);,小波變換的應(yīng)用,現(xiàn)在,對(duì)于其性質(zhì)隨實(shí)踐是穩(wěn)定不變的信號(hào),處理的理想工具仍然是傅立葉分析。 但是在實(shí)際應(yīng)用中的絕大多數(shù)信號(hào)是非穩(wěn)定的,而特別適用于非穩(wěn)定信號(hào)的工具就是小波分析。,應(yīng)用領(lǐng)域,量子力學(xué)、理論物理; 軍事電子對(duì)抗與武器的智能化; 計(jì)算機(jī)分類與識(shí)別; 音樂與語言的人工合成; 醫(yī)學(xué)成像與診斷; 地震勘探數(shù)據(jù)處理; 大型機(jī)械的故障診斷等方面;,數(shù)學(xué)方面:用于數(shù)值分析、構(gòu)造快速數(shù)值方法、曲線曲面構(gòu)造、微分方程求解、控制論等。 信號(hào)分析方面:濾波、去噪聲、壓縮、傳遞等。 圖象處理方面:圖象壓縮、分類、識(shí)別與診斷,去污等。 醫(yī)學(xué)成像方面:減少B超、CT、核磁共振成像的時(shí)間,提高分辨率等。,小波分析在故障診斷中的應(yīng)用,小波分析在故障診斷中的應(yīng)用已取得了極大的成功。 小波分析不僅可以在低信噪比的信號(hào)中檢測(cè)到故障信號(hào), 而且可以濾去噪聲恢復(fù)原信號(hào),具有很高的應(yīng)用價(jià)值。,小波分析在語音信號(hào)處理中的應(yīng)用,語音信號(hào)處理的目的是得到一些語音參數(shù)以便高效地傳輸或存儲(chǔ). 利用小波分析可以提取語音信號(hào)的一些參數(shù), 并對(duì)語音信號(hào)進(jìn)行處理. 小波理論應(yīng)用在語音處理方面的主要內(nèi)容包括: 清濁音分割;基音檢測(cè); 去噪、重建與數(shù)據(jù)壓縮等幾個(gè)方面. 小波應(yīng)用于語音信號(hào)提取、語音合成、語音增加、波形編碼已取得了很好的效果.,小波分析在地球物理勘探中的應(yīng)用,在地球物理勘探中, 尋找地殼物質(zhì)物性參數(shù)的奇異性時(shí)是非常有意義的. 由于小波變換同時(shí)具有空間域和頻率域的局部性, 因此它是描述、檢測(cè)函數(shù)奇異性的有效工具。 利用小波變換和分形理論, 對(duì)石油、天然氣中的實(shí)際地震道數(shù)據(jù)進(jìn)了奇異性檢測(cè)和高分辨處理, 這對(duì)于油氣勘探及地震資料的高分辨處理都具有重大的理論意義和應(yīng)用價(jià)值.,小波分析在醫(yī)學(xué)中的應(yīng)用,淋巴細(xì)胞微核的識(shí)別在醫(yī)學(xué)中有重要的應(yīng)用價(jià)值, 可用于環(huán)境檢測(cè)、藥品及各種化合物的毒性檢測(cè). 在微核的計(jì)算機(jī)自動(dòng)識(shí)別中, 用連續(xù)小波就可準(zhǔn)確提取胞核的邊緣. 目前, 人們正在研究利用小波變 換進(jìn)行腦信號(hào)的分析與處理, 這樣可有效地消除瞬態(tài)干擾, 并檢測(cè)出腦電信號(hào)中短時(shí)、低能量的瞬態(tài)脈沖.,小波分析在數(shù)學(xué)和物理中的應(yīng)用,在數(shù)學(xué)領(lǐng)域, 小波分析是數(shù)值分析強(qiáng)有力的工具, 能簡(jiǎn)捷、有效地求解偏微分方程和積分方程, 亦能很好地求解線性問題和非線性問題. 而由此產(chǎn)生的小波有限元方法和小波邊界元方法, 極大的豐富了數(shù)值分析方法的內(nèi)容.如:Beylin-Coifman-Rokhlin 的論文為用小波方法與邊界元方法求解偏微分方程提供了標(biāo)準(zhǔn)用小波方法分析數(shù)學(xué)中“處處連續(xù)但處處不可導(dǎo)”問題特別有效 在物理領(lǐng)域中, 小

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