2019高中數(shù)學(xué)第一章計數(shù)原理1.4簡單計數(shù)問題精練（含解析）北師大版.docx

4簡單計數(shù)問題A組1.設(shè)集合A=0,2,4,B=1,3,5,分別從A,B中任取2個元素組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù),其中能被5整除的數(shù)共有()A.24個B.48個C.64個D.116個解析:只含0不含5的有:=12;(2)只含5不含0的有:=12;(3)含有0和5的有:當0在個位時,有=24;當5在個位時,有=16.共有12+12+24+16=64個.答案:C2.6把椅子擺成一排,3人隨機就座,任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為()A.144B.120C.72D.24解析:先把3把椅子隔開擺好,它們之間和兩端有4個位置,再把3人帶椅子插放在4個位置,共有=24種放法,故選D.答案:D3.從正方體六個面的對角線中任取兩條作為一對,其中所成的角為60的共有()A.24對B.30對C.48對D.60對答案:C4.將A,B,C,D,E排成一列,要求A,B,C在排列中順序為“A,B,C”或“C,B,A”(可以不相鄰),這樣的排列數(shù)有()A.12種B.20種C.40種D.60種解析:(排序一定用除法)五個元素沒有限制全排列數(shù)為,由于要求A,B,C的次序一定(按A,B,C或C,B,A),故除以這三個元素的全排列再乘以2,可得2=40.答案:C5.身穿紅、黃兩種顏色衣服的各有兩人,身穿藍色衣服的有一人,現(xiàn)將這五人排成一行,要求穿相同顏色衣服的人不能相鄰,則不同的排法種數(shù)為()A.24B.28C.36D.48解析:穿紅色衣服的人相鄰的排法有=48種,同理穿黃色衣服的人相鄰的排法也有48種.而紅色、黃色同時相鄰的有=24種.故穿相同顏色衣服的不相鄰的排法有-248+24=48種.答案:D6.某校準備參加2017年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽,把10個選手名額分配到高三年級的8個教學(xué)班,每班至少一個名額,則不同的分配方案共有種.解析:原問題等價于把10個相同的小球放入8個盒子里,每個盒子至少有一個小球的放法種數(shù)問題.將10個小球排成一排,從中間9個間隙中選出7個截成8段(有=36種截法),對應(yīng)放到8個盒子里,有36種放法.因此,不同的分配方案共有36種.答案:367.(2016山東濰坊高二檢測)張、王兩家夫婦各帶1個小孩一起到動物園游玩,購票后排隊依次入園,為安全起見,首尾一定要排兩位爸爸,另外,兩個小孩一定要排在一起,則這6人的入園順序排法種數(shù)為.(用數(shù)字作答)解析:第一步:將兩位爸爸排在兩端有2種排法;第二步:將兩個小孩視作一人與兩位媽媽任意排在中間的三個位置上有種排法;第三步:將兩個小孩排序有2種排法.故總的排法有22=24(種).答案:248.在8張獎券中有一、二、三等獎各1張,其余5張無獎.將這8張獎券分配給4個人,每人2張,不同的獲獎情況有種(用數(shù)字作答).解析:不同的獲獎情況分為兩種,一是一人獲兩張獎券一人獲一張獎券,共有=36種;二是有三人各獲得一張獎券,共有=24種.因此不同的獲獎情況有36+24=60種.答案:609.導(dǎo)學(xué)號43944014某市工商局對35種商品進行抽樣檢查,已知其中有15種不合格商品.現(xiàn)從35種商品中選取3種.(1)其中某一種不合格商品必須在內(nèi),不同的取法有多少種?(2)其中某一種不合格商品不能在內(nèi),不同的取法有多少種?(3)恰有2種不合格商品在內(nèi),不同的取法有多少種?(4)至少有2種不合格商品在內(nèi),不同的取法有多少種?(5)至多有2種不合格商品在內(nèi),不同的取法有多少種?解(1)從余下的34種商品中,選取2種,有=561(種),故某一種不合格商品必須在內(nèi)的不同取法有561種.(2)從34種可選商品中,選取3種,有種或者=5 984(種).故某一種不合格商品不能在內(nèi)的不同取法有5 984種.(3)從20種合格商品中選取1件,從15種不合格商品中選取2件有=2 100(種).故恰有2種不合格商品在內(nèi)的不同的取法有2 100種.(4)選取2件不合格商品有種,選取3件不合格商品有種,共有選取方式=2 100+455=2 555(種).故至少有2種不合格商品在內(nèi)的不同的取法有2 555種.(5)任意選取3件的總數(shù)有種,因此共有選取方式=6 545-455=6 090(種).故至多有2種不合格商品在內(nèi)的不同的取法有6 090種.B組1.6把椅子擺成一排,3人隨機就座,任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為()A.144B.120C.72D.24解析:插空法.在已排好的三把椅子產(chǎn)生的4個空檔中選出3個插入3人即可.故排法種數(shù)為=24.故選D.答案:D2.(2016廣東惠州市統(tǒng)考)任取三個互不相等的正整數(shù),其和小于100,則由這三個數(shù)構(gòu)成的不同的等差數(shù)列共有()A.528個B.1 056個C.1 584個D.4 851個解析:先確定等差數(shù)列的中間項,再確定第一、三項.設(shè)這三個成等差數(shù)列的數(shù)分別為a,b,c.由題意得a+b+c100,即3b100,得b可以取2,3,33,共32個數(shù).第一類,b=2時,a,c的取值共有2個(a=1,c=3和a=3,c=1,對應(yīng)的是兩個數(shù)列);第二類,b=3時,a,c的取值共有4個;第三十二類,b=33時,a,c的取值共有64個.根據(jù)分類加法計數(shù)原理,可得滿足題意的數(shù)列共有2+4+64=1 056個.答案:B3.(2016江西南昌高三聯(lián)考)將6名報名參加運動會的同學(xué)分別安排到跳繩、接力、投籃三項比賽中(假設(shè)這些比賽都不設(shè)人數(shù)上限),每人只參加一項,則共有x種不同的方案,若每項比賽至少要安排一人時,則共有y種不同的方案,其中x+y的值為()A.1 269B.1 206C.1 719D.756解析:依題意得x=36=729,當每項比賽至少要安排一人時,先分組,有=90種,再排列,有=6種,所以y=906=540,因此x+y=1 269,故選A.答案:A4.數(shù)字1,2,3,4,5,6按如圖形式隨機排列,設(shè)第一行的數(shù)為N1,其中N2,N3分別表示第二、三行中的最大數(shù),則滿足N1N2N3的所有排列的個數(shù)是.解析:(元素優(yōu)先法)由題意知6必在第三行,安排6有=3種方法,第三行中剩下的兩個空位安排數(shù)字有=20種方法,在留下的三個數(shù)字中,必有一個最大數(shù),把這個最大數(shù)安排在第二行,有=2種方法,剩下的兩個數(shù)字有=2種排法,按分步乘法計數(shù)原理,所有排列的個數(shù)是=240.答案:2405.(2016浙江寧波效實中學(xué)第一學(xué)期)對一個各邊長不相等的凸五邊形的各邊染色,每條邊可以染紅、黃、藍三種顏色中的一種,但是不允許相鄰的邊染相同的顏色,則不同的染色方法共有種.解析:不妨假設(shè)AB邊染黃色,BC邊染紅色,若CD邊染黃色,則DE邊染藍色,AE邊染紅色,或DE邊染紅色,AE邊染藍色,共2種情況;若CD邊染藍色,則DE邊染紅色,AE邊染藍色,或DE邊染黃色,AE邊染紅色或DE邊染黃色,AE邊染藍色,共3種情況,根據(jù)對稱性,不同的染色方案共有(2+3)32=30種.答案:306.從一架鋼琴挑出的十個音鍵中,分別選擇3個,4個,5個,10個同時按下,可發(fā)出和聲,若有一個音鍵不同,則發(fā)出不同的和聲,則這樣的不同的和聲數(shù)為(用數(shù)字作答).解析:可發(fā)出和聲的情況共分以下8類:當選擇3個音鍵時,有種情況;當選擇4個音鍵時,有種情況;當選擇10個音鍵時,有種情況.所以不同的和聲數(shù)為+=968.答案:9687.導(dǎo)學(xué)號43944015把7個完全相同的小球放置在三個盒子中,允許有的盒子一個也不放.(1)如果三個盒子完全相同,有多少種放置方法?(2)如果三個盒子各不相同,有多少種放置方法?解(1)因為小球完全相同,三個盒子也完全相同,所以把7個小球分成三份,比如分成3個、2個、2個這樣三份放入三個盒子中,無論哪一份小球放入哪一個盒子,均是同一種放置方法,因此,只需將7個小球分成如下三份:(7,0,0),(6,1,0),(5,2,0),(5,1,1),(4,3,0),(4,2,1),(3,3,1),(3,2,2)即可.所以共有8種不同的放置方法.(2)設(shè)三個盒子中小球的個數(shù)分別為x1,x2,x3,顯然有x1+x2+x3=7,于是,問題就轉(zhuǎn)化為求這個不定方程的非負整數(shù)解的組數(shù)問題,令yi=xi+1(i=1,2,3),得y1+y2+y3=10,問題又成為求不定方程y1+y2+y3=10的正整數(shù)解的組數(shù)的問題,把10個小球排成一排,在10個小球中間的9個空中,任取兩個空插入“隔板”,即可將10個球分成三組,故不定方程的解有=36組.故有36種放置方法.8.導(dǎo)學(xué)號43944016已知平面,在內(nèi)有4個點,在內(nèi)有6個點.(1)過這10個點中的3點作一平面