剛體的動(dòng)量與角動(dòng)量.ppt

第五章 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng) rotation of a rigid body,2019/5/10,鄭建洲,2,5- 1 剛體的平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng),1. 剛體rigid body,剛體是一種特殊的質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)， 無論它在多大外力作用下，系統(tǒng)內(nèi) 任意兩質(zhì)點(diǎn)間的距離始終保持不變。,2、剛體的平動(dòng)：translation of a rigid body,當(dāng)剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果剛體內(nèi)任何一條給定的直線，在運(yùn)動(dòng)中始終保持它的方向不變，這種運(yùn)動(dòng)叫平動(dòng)。,剛體的平動(dòng)過程,b,c,a,平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng),剛體的平動(dòng)過程,平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng),b,剛體的平動(dòng)過程,平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng),剛體的平動(dòng)過程,平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng),剛體的平動(dòng)過程,平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng),剛體的平動(dòng)過程,平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng),剛體的平動(dòng)過程,平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng),剛體的平動(dòng)過程,平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng),剛體的平動(dòng)過程,平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng),2019/5/10,鄭建洲,12,剛體在平動(dòng)時(shí)，在任意一段時(shí)間內(nèi)，剛體中所質(zhì)點(diǎn)的位移都是相同的。而且在任何時(shí)刻，各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度也都是相同的。所以剛體內(nèi)任何一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，都可代表整個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng)。,剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果剛體的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中都繞同一直線圓周運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)就叫做轉(zhuǎn)動(dòng)，這一直線就叫做轉(zhuǎn)軸。,平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng),3. 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng) rotation of a rigid body around a fix axis,定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：,定軸轉(zhuǎn)動(dòng),剛體上各點(diǎn)都繞同一轉(zhuǎn)軸作不同半徑的圓周運(yùn)動(dòng)，且在相同時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過相同的角度。,2019/5/10,鄭建洲,14,特點(diǎn)：,角位移，角速度和角加速度均相同； 質(zhì)點(diǎn)在垂直轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且作圓周運(yùn)動(dòng)。,剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng),角位移,角速度,角加速度,定軸轉(zhuǎn)動(dòng),剛體運(yùn)動(dòng)的角量描述:,2019/5/10,鄭建洲,15,4. 角速度矢量 angular velocity vector,角速度,角速度的方向：與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)方向呈右手螺旋關(guān)系。,角速度矢量,在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，角速度的方向沿轉(zhuǎn)軸方向。,2019/5/10,鄭建洲,16,5、角量與線量的關(guān)系:,對(duì)時(shí)間微分,方向,對(duì)于勻加速轉(zhuǎn)動(dòng),有下面公式:,2019/5/10,鄭建洲,17,(1) 滑輪的角加速度。,(2) 開始上升后,5秒末滑輪的角速度,(3) 在這5秒內(nèi)滑輪轉(zhuǎn)過的圈數(shù)。,(4) 開始上升后,1秒末滑輪邊緣上 一點(diǎn)的加速度(不打滑) 。,解: (1) 輪緣上一點(diǎn)的切向加速度與 物體的加速度相等,例題5-1:一條纜索繞過一定滑論拉動(dòng)一升降機(jī),滑論半徑為0.5m, 如果升降機(jī)從靜止開始以 a=0.4m/s2 勻加速上升, 求：,2019/5/10,鄭建洲,18,(2),(3),(4),合加速度的方向與輪緣切線方向夾角,已知at=a=0.4m/s2,2019/5/10,鄭建洲,19,*例題5-2 一飛輪轉(zhuǎn)速n=1500r/min，受到制動(dòng)后均勻 地減速，經(jīng)t=50 s后靜止。 （1）求角加速度a 和飛輪從制動(dòng)開始到靜止所轉(zhuǎn)過 的轉(zhuǎn)數(shù)N； （2）求制動(dòng)開始后t=25s 時(shí)飛 輪的加速度 ； （3）設(shè)飛輪的半徑r=1m，求在 t=25s 時(shí)邊緣上一點(diǎn)的速 度和加速度。,角速度,解 （1）設(shè)初角度為0方向如圖所示，,2019/5/10,鄭建洲,20,量值為0=21500/60=50 rad/s，對(duì)于勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)，可以應(yīng)用以角量表示的運(yùn)動(dòng)方程，在t=50S 時(shí)刻 =0 ，代入方程=0+at 得,角速度,從開始制動(dòng)到靜止，飛輪的角位移 及轉(zhuǎn)數(shù)N 分別為,2019/5/10,鄭建洲,21,角速度,（2）t=25s 時(shí)飛輪的角速度為,2019/5/10,鄭建洲,22,（3）t=25s 時(shí)飛輪邊緣上一點(diǎn)P 的速度。,的方向與0相同 ；,的方向垂直于 和 構(gòu)成的平面，如圖所示相應(yīng)的切向加速度和向心加速度分別為,角速度,由,2019/5/10,鄭建洲,23,邊緣上該點(diǎn)的加速度 其中 的方向 與 的方向相反， 的方向指向軸心， 的大小 為,的方向幾乎和 相同。,角速度,2019/5/10,鄭建洲,24,例題5-3 一飛輪在時(shí)間t內(nèi)轉(zhuǎn)過角度at+bt3-ct4 , 式中a、b、c 都是常量。求它的角加速度。,解：飛輪上某點(diǎn)角位置可用表示為 at+bt3-ct4 將此式對(duì)t求導(dǎo)數(shù)，即得飛輪角速度的表達(dá)式為,角加速度是角速度對(duì)t的導(dǎo)數(shù)，因此得,由此可見飛輪作的是變加速轉(zhuǎn)動(dòng)。,角速度,2019/5/10,鄭建洲,25,5-2 轉(zhuǎn)動(dòng)中的功和能 Work and energy in the rotation,1.力矩的功 work done by torque,力矩的功：當(dāng)剛體在外力矩作用下繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)而發(fā)生角位移時(shí)，就稱力矩對(duì)剛體做功。,力 對(duì)P 點(diǎn)作功：,2019/5/10,鄭建洲,26,因,力矩作功：,對(duì)于剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)情形，因質(zhì)點(diǎn)間無相對(duì)位移，任何一對(duì)內(nèi)力作功為零。,力矩的功,2019/5/10,鄭建洲,27,A、所謂力矩的功，實(shí)質(zhì)上還是力的功，并無任何關(guān)于力 矩的功的新的定義，只是在剛體轉(zhuǎn)動(dòng)中，用力矩和角位移 的積來表示功更為方便而己。,B、對(duì)于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體，所有內(nèi)力的功總和在任何過程中均為零。（內(nèi)力成對(duì)，大小相等方向相反，一對(duì)內(nèi)力矩的代數(shù)和為零；內(nèi)力矩的功總和為零。另一角度，內(nèi)力的功 相對(duì)位移為零 .）,C、功率：,當(dāng) M 與 同方向，A 和P 為正,當(dāng) M 與 反方向， A 和P 為負(fù),說明：,2019/5/10,鄭建洲,28,1).剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能:,剛體是有許多質(zhì)點(diǎn)組成的,第 i 小塊質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能,總動(dòng)能:,質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能,2.剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能rotational kinetic energy of a rigid body,2019/5/10,鄭建洲,29,2).轉(zhuǎn)動(dòng)慣量: rotational inertia (moment of inertia),如果剛體是連續(xù)分布的質(zhì)點(diǎn)系,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的物理意義,平動(dòng)：,質(zhì)點(diǎn)平動(dòng)動(dòng)能,動(dòng)量,剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能,轉(zhuǎn)動(dòng)：,角動(dòng)量,可見，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J是轉(zhuǎn)動(dòng)中慣性大小的量度,2019/5/10,鄭建洲,30,說明： A、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理也與質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)中講的動(dòng)能定理 相同，只是動(dòng)能的表示形式不同而己，,B、對(duì)剛體，內(nèi)力的功總和在任何過程中都為零。,3、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定律 rotational kinetic energy theorem,把質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理應(yīng)用到定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，由于剛體內(nèi)各個(gè)質(zhì)元間相互不作功，Ainr=0, 而Aext=Md.則,剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理：總外力矩對(duì)剛體所做的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。,2019/5/10,鄭建洲,31,4、剛體的重力勢(shì)能:,x,y,z,o,C,2019/5/10,鄭建洲,32,質(zhì)元的質(zhì)量,質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算,剛體的質(zhì)量可認(rèn)為是連續(xù)分布的，所以上式可 寫成積分形式,5.3 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算Calculation of moment of inertia (Calculation of rotational inertia),按轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義有,2019/5/10,鄭建洲,33,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是轉(zhuǎn)動(dòng)中慣性大小的量度。,質(zhì)量是平動(dòng)中慣性大小的量度。,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算,區(qū)別：,平動(dòng)： 平動(dòng)動(dòng)能,線動(dòng)量,轉(zhuǎn)動(dòng)： 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能,角動(dòng)量,例題5.4 P146,均勻圓環(huán) ：,dm,C R,2019/5/10,鄭建洲,35,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算,例題5.5 求圓盤對(duì)于通過中心并與盤面垂直的轉(zhuǎn)軸的 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。設(shè)圓盤的半徑為R，質(zhì)量為m，密度均勻。,解 設(shè)圓盤的質(zhì)量面密度為，在圓盤上取一半徑為r、,寬度為dr的圓環(huán)（如圖），環(huán)的面積為2rdr，環(huán)的,質(zhì)量dm= 2rdr ?？傻?2019/5/10,鄭建洲,36,例5.5 : 計(jì)算質(zhì)量為m, 半徑為R, 厚為l 的均勻圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量. 軸與盤面垂直并通過盤心。,l,解: 圓盤可以認(rèn)為由許多圓環(huán)組成。,實(shí)心圓柱對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,2019/5/10,鄭建洲,37,例題5.6 求質(zhì)量為m、長(zhǎng)為 l 的均勻細(xì)棒對(duì)下面 三種轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： （1）轉(zhuǎn)軸通過棒的中心并和棒垂直； （2）轉(zhuǎn)軸通過棒的一端并和棒垂直； *（3）轉(zhuǎn)軸通過棒上距中心為h的一點(diǎn) 并和棒垂直。,2019/5/10,鄭建洲,38,l,l,O,x,dx,A,解 如圖所示，在棒上離軸x 處，取一長(zhǎng)度元dx，如 棒的質(zhì)量線密度為，這長(zhǎng)度元的質(zhì)量為dm=dx。,（1）當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過中心并和棒垂直時(shí)，我們有,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算,2019/5/10,鄭建洲,39,因=m/ l ，代入得,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算,（2）當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過棒的一端A并和棒垂直時(shí)，我們有,2019/5/10,鄭建洲,40,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算,（3）當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過棒上距中心為h的B點(diǎn)并和棒垂 直時(shí)，我們有,這個(gè)例題表明，同一剛體對(duì)不同位置的轉(zhuǎn)軸，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量并不相同。,2019/5/10,鄭建洲,41,哪種握法轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大？,2019/5/10,鄭建洲,42,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與質(zhì)量分布有關(guān),轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與材料性質(zhì)有關(guān),平行軸定理:,剛體對(duì)任一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J,等于對(duì)過中心的平行軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 、 與二軸間的垂直距離d的平方和剛體質(zhì)量的乘積之和。,證明略，見例題5.6（3）,2019/5/10,鄭建洲,43,定軸,（相當(dāng)于 ）,剛體所受到的對(duì)于給定軸的總外力矩等于剛體對(duì)該軸的角動(dòng)量的時(shí)間變化率,由轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定律微分形式：,5.4 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律 law of rotation of a rigid body,兩邊除以dt:,2019/5/10,鄭建洲,44,a,例題5.8. 已知：M、R、m，繩質(zhì)量不計(jì)，求：物體由靜止開始下落h 高度時(shí)的速度和滑輪的角速度。,T1=T2=T,2019/5/10,鄭建洲,45,*例5.9. 物體 m1m2，滑輪（R，m）。阻力 矩Mf ， 繩子質(zhì)量忽略，不伸長(zhǎng)、不打滑。 求重物的加速度及繩中張力,解：,Mf,2019/5/10,鄭建洲,46,1.不計(jì)軸上摩擦 Mf=0,2019/5/10,鄭建洲,47,3.不計(jì)軸上摩擦、不計(jì)滑輪質(zhì)量(Mf=0, m=0),2.不計(jì)滑輪質(zhì)量 m=0,2019/5/10,鄭建洲,48,解：,外力：重力、軸的作用力,重力勢(shì)能的減少,1)、,例5.9：一勻質(zhì)細(xì)桿（l，m）繞光滑水平軸在豎直面內(nèi) 轉(zhuǎn)動(dòng),初始 時(shí)在水平位置，靜止釋放， 求: 1)、豎直位置時(shí)重力所作的功; 2)、下落角 時(shí)的角加速度、角速度; *3)、豎直位置時(shí)軸端所受的力。,2）、由轉(zhuǎn)動(dòng)定律：,2019/5/10,鄭建洲,49,由轉(zhuǎn)動(dòng)定律：,細(xì)棒在豎直位置時(shí)，端點(diǎn)A和中心點(diǎn)C的速度分別為,2019/5/10,鄭建洲,50,*3、轉(zhuǎn)動(dòng),質(zhì)心運(yùn)動(dòng),l,2019/5/10,鄭建洲,51,質(zhì)點(diǎn)mi對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量為：,因vi垂直于Ri,，所以Li的大小為,剛體對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量，等于各質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的矢量和。L并不和OZ 方向一致。感興趣的OZ的分量Lz,叫做剛體繞定軸的角動(dòng)量，即,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J,一、剛體的角動(dòng)量 angular momentum of a rigid body,5.5 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒law of conservation of angular momentum of a rotational rigid body around a fix axis,二、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量定理 angular momentum theorem of a rotational rigid body around a fix axis,轉(zhuǎn)動(dòng)物體所受合外力矩的沖量矩等于在這段時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)物體角動(dòng)量的增量-角動(dòng)量定理。,所以,由轉(zhuǎn)動(dòng)定律,當(dāng)物體所受合外力矩等于零時(shí)，物體的角動(dòng)量保持不變。-角動(dòng)量守恒定律,若,則,由角動(dòng)量定理,三、 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律 law of conservation of angular momentum of a rotational rigid body around a fix axis,角動(dòng)量守恒定律：,2019/5/10,鄭建洲,54,討論：,a.對(duì)于繞固定轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，因J 保持不變， 當(dāng)合外力矩為零時(shí)，其角速度恒定。,J=恒量,2019/5/10,鄭建洲,55,b.若系統(tǒng)由若干個(gè)剛體構(gòu)成,當(dāng)合外力矩為零時(shí),系 統(tǒng)的角動(dòng)量依然守恒。J 大 小,J 小 大。,c.若系統(tǒng)內(nèi)既有平動(dòng)也有轉(zhuǎn)動(dòng)現(xiàn)象發(fā)生，若對(duì)某一定軸的合外力矩為零,則系統(tǒng)對(duì)該軸的角動(dòng)量守恒。,定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律,2019/5/10,鄭建洲,56,L,A,B,A,B,C,C,常平架上的回轉(zhuǎn)儀,應(yīng)用事例：,定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律,精確制導(dǎo),2019/5/10,鄭建洲,57,應(yīng)用事例：,定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律,直升飛機(jī),2019/5/10,鄭建洲,58,直線運(yùn)動(dòng)與定軸轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律對(duì)照,質(zhì)點(diǎn)的直線運(yùn)動(dòng),剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng),定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律,2019/5/10,鄭建洲,59,例5.10 一長(zhǎng)為l 、質(zhì)量為m 的勻質(zhì)細(xì)桿，可繞光滑軸O 在鉛直面內(nèi)擺動(dòng)。當(dāng)桿靜止時(shí)，一顆質(zhì)量為m0 的子彈水平射入與軸相距為a 處的桿內(nèi)，并留在桿中，使桿能偏轉(zhuǎn)到q=300，求子彈的初速v0。,解：分兩個(gè)階段進(jìn)行考慮,其中,(1)子彈射入細(xì)桿,使細(xì)桿獲得初速度。因這一過程進(jìn)行得很快,細(xì)桿發(fā)生偏轉(zhuǎn)極小,可認(rèn)為桿仍處于豎直狀態(tài)。子彈和細(xì)桿組成待分析的系統(tǒng),無外力矩,滿足角動(dòng)量守恒條件。子彈射入細(xì)桿前、后的一瞬間,系統(tǒng)角動(dòng)量分別為,定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律,2019/5/10,鄭建洲,60,(2)子彈隨桿一起繞軸O 轉(zhuǎn)動(dòng)。以子彈、細(xì)桿及地球構(gòu)成一系統(tǒng)，只有保守內(nèi)力作功，機(jī)械能守恒。選取細(xì)桿處于豎直位置時(shí)子彈的位置為重力勢(shì)能零點(diǎn)，系統(tǒng)在始末狀態(tài)的機(jī)械能為：,由角動(dòng)量守恒，得：,(1),定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律,2019/5/10,鄭建洲,61,由機(jī)械能守恒，E=E0, 代入q=300，得：,將上式與 聯(lián)立，并代入J 值，得,定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律,2019/5/10,鄭建洲,62,例5.11：圓盤（R，M），人（m）開始靜止，人走一 周，求盤相對(duì)地轉(zhuǎn)動(dòng)的角度,解：,系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸,角動(dòng)量守恒,人 ，盤,2019/5/10,鄭建洲,63,例題5-12* 圖中的宇宙飛船對(duì)其中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J= 2103kgm2 ，它以=0.2rad/s的角速度繞中心軸旋轉(zhuǎn)。宇航員用兩個(gè)切向的控制噴管使飛船停止旋轉(zhuǎn)。每個(gè)噴管的位置與軸線距離都是r=1.5m。兩噴管的噴氣流量恒定，共是=2kg/s 。廢氣的噴射速率（相對(duì)于飛船周邊）u=50m/s，并且恒定。問噴管應(yīng)噴射多長(zhǎng)時(shí)間才能使飛船停止旋轉(zhuǎn)。,解 把飛船和排出的廢氣看作一個(gè)系統(tǒng)，廢氣質(zhì)量為m?？梢哉J(rèn)為廢氣質(zhì)量遠(yuǎn)小于飛船的質(zhì)量，,定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律,2019/5/10,鄭建洲,64,所以原來系統(tǒng)對(duì)于飛船中心軸的角動(dòng)量近似地等于飛船自身的角動(dòng)量，即,在噴氣過程中，以dm表示dt時(shí)間內(nèi)噴出的氣體，這些氣體對(duì)中心軸的角動(dòng)量為dm r(u+v)，方向與飛船的角動(dòng)量相同。因u=50m/s遠(yuǎn)大于飛船的速率v(= r) ，所以此角動(dòng)量近似地等于dm ru。在整個(gè)噴氣過程中噴出廢氣的總的角動(dòng)量Lg應(yīng)為,定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律,2019/5/10,鄭建洲,65,當(dāng)宇宙飛船停止旋轉(zhuǎn)時(shí)，其角動(dòng)量為零。系統(tǒng)這時(shí)的總角動(dòng)量L1就是全部排出的廢氣的總角動(dòng)量，即為,在整個(gè)噴射過程中，系統(tǒng)所受的對(duì)于飛船中心軸的外力矩為零，所以系統(tǒng)對(duì)于此軸的角動(dòng)量守恒，即L0=L1 ，由此得,即,定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律,2019/5/10,鄭建洲,66,于是所需的時(shí)間為,定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律,2019/5/10,鄭建洲,67,例題5-13* 一勻質(zhì)細(xì)棒長(zhǎng)為l ，質(zhì)量為m，可繞通過其端點(diǎn)O的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示。當(dāng)棒從水平位置自由釋放后，它在豎直位置上與放在地面上的物體相撞。該物體的質(zhì)量也為m ，它與地面的摩擦系數(shù)為 。相撞后物體沿地面滑行一距離s而停止。求相撞后棒的質(zhì)心C 離地面的最大高度h，并說明棒在碰撞后將向左擺或向右擺的條件。,解： 這個(gè)問題可分為三個(gè)階段進(jìn)行分析。第一階段是棒自由擺落的過程。這時(shí)除重力外，其余內(nèi)力與外力都不作功，所以機(jī)械能守恒。我們把棒在豎直位置時(shí)質(zhì)心所在處取為勢(shì)能,定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律,2019/5/10,鄭建洲,68,零點(diǎn)，用表示棒這時(shí)的角速度,則,（1）,第二階段是碰撞過程。因碰撞時(shí)間極短，自由的沖力極大，物體雖然受到地面的摩擦力，但可以忽略。這樣，棒與物體相撞時(shí)，它們組成的系統(tǒng)所受的對(duì)轉(zhuǎn)軸O的外力矩為零，所以，這個(gè)系統(tǒng)的對(duì)O軸的角動(dòng)量守恒。我們用v表示物體碰撞后的速度，則,（2）,式中 棒在碰撞后的角速度，它可正可負(fù)。 取正值，表示碰后棒向左擺；反之，表示向右擺。,定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律,2019/5/10,鄭建洲,69,第三階段是物體在碰撞后的滑行過程。物體作勻減速直線運(yùn)動(dòng)，加速度由牛頓第二定律求得為,（3）,由勻減速直線運(yùn)動(dòng)的公式得,由式（1）、（2）與（4）聯(lián)合求解，即得,（5）,定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律,2019/5/10,鄭建洲,70,亦即l6s；當(dāng) 取負(fù)值，則棒向右擺，其條件為,亦即l 6s,棒的質(zhì)心C上升的最大高度，與第一階段情況相似，也可由機(jī)械能守恒定律求得：,把式（5）代入上式，所求結(jié)果為,當(dāng) 取正值，則棒向左擺，其條件為,(6),定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律,2019/5/10,鄭建洲,71,例題4-14 工程上，兩飛輪常用摩擦嚙合器使它們以相同的轉(zhuǎn)速一起轉(zhuǎn)動(dòng)。如圖所示，A和B兩飛輪的軸桿在同一中心線上，A輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JA=10kgm2，B的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JB=20kgm2 。開始時(shí)A輪的轉(zhuǎn)速為600r/min，B輪靜止。C為摩擦嚙合器。求兩輪嚙合后的轉(zhuǎn)速；在嚙合過程中，兩輪的機(jī)械能有何變化？,定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律,2019/5/10,鄭建洲,