z能量均分與麥氏分布.ppt

1,第二章,能量均分原理與麥克斯韋速率分布,2,由分子平均平動動能與 溫度的關系,即在 x 方向上平均分配了 kT / 2 的能量。,3,由于分子運動在哪個方向都不占優(yōu)勢，因此，在 y、z 方向上也都平均分配 了 kT / 2 的能量。,氣體分子在每個運動方向上分配了kT/2的能量，這種平均能量在各方向上均勻分布的情況，稱為能量按自由度均分原理。,注意：上述計算中我們假定分子是剛性小球而得出來的。,自由度是描寫物體運動時所需的獨立坐標的個數(shù)。,4,例如：物體做一維直線運動，只需一個坐標，則自由度數(shù)為1。,所謂獨立坐標數(shù)是指描寫物體位置所需的最少的坐標數(shù)。,輪船在海平面上行駛，要描寫輪船的位置至少需要兩維坐標，即經(jīng)度和緯度，則自由度為 2。,5,飛機在天空中飛翔，要描寫飛機的空間位置至少需要三維坐標，則自由度為 3。,問題1、 質(zhì)點以半徑 r 做圓周運動自由度是多少？,問題2、 但對于火車在軌道上行駛時自由度是多少呢？,6,1. 一個質(zhì)點，描寫它的空間位置，需要 3 個平移（動）自由度，,2.兩個剛性質(zhì)點,描寫其質(zhì)心位置需3個平動自由度， t=3,描寫其取向還需3個轉(zhuǎn)動自由度，、 但是由于、不是獨立的受到,的限制，轉(zhuǎn)動自由度只有兩個， r=2,7,3.三個或三個以上的剛性質(zhì)點,需3個平動自由度和3個轉(zhuǎn)動自由度。,平動自由度 t=3,轉(zhuǎn)動自由度 r=3,總自由度 i=t+r=6,對于理想氣體在常溫下，分子內(nèi)各原子間的距離認為不變，只有平動自由度、轉(zhuǎn)動自由度。,2.兩個剛性質(zhì)點總自由度數(shù),8,平動動能,轉(zhuǎn)動動能,在氣體分子的運動中，由于分子間的激烈碰撞（幾億次/秒），使平動動能與轉(zhuǎn)動動能不斷轉(zhuǎn)換，,使平動動能與轉(zhuǎn)動動能達到相同，即每個轉(zhuǎn)動自由度上也平均分配了kT/2能量。,由此可知，分子有 i 個自由度，其平均動能就有i 份 kT/2 的能量。,分子平均動能,9,1.單原子分子氣體,例如：氦氣（He）、氖氣（Ne）、氬氣（Ar）等為單原子分子氣體。其模型可用一個質(zhì)點來代替。,平動自由度 t=3,轉(zhuǎn)動自由度 r=0,總自由度 i=t+r=3+0=3,2.雙原子分子氣體,例如：氫氣（H2）、氧氣（O2）、氮氣（N2）等為雙原子分子氣體。其模型可用兩個剛性質(zhì)點模型來代替。,平動自由度 t=3,轉(zhuǎn)動自由度 r=2,總自由度 i=t+r=3+2=5,10,3.多原子分子氣體,例如：二氧化碳氣體（CO2）、水蒸氣（H2O）、甲烷氣體（CH4）等為多原子分子氣體。其模型可用多個剛性質(zhì)點來代替。,平動自由度 t=3,轉(zhuǎn)動自由度 r=3,總自由度 i=t+r=3+3=6,11,E=分子的動能 +,對于理想氣體而言，分子間的作用力忽略不計，分子與分子間的勢能為 0。,由于只考慮常溫狀態(tài)，分子內(nèi)的原子間的距離可認為不變，則分子內(nèi)原子與原子間的勢能也可不計。,分子的平均能量為,分子與分子間的勢能,+分子中原子與原子間的勢能,12,1.分子的平均動能為:,2. 如果系統(tǒng)有N個氣體分子:,3.質(zhì)量為m的氣體能量為：,氣體內(nèi)能,13,由此可得理想氣體的內(nèi)能為：,單原子分子,雙原子分子,多原子分子,溫度發(fā)生改變T=T2T1時，理想氣體的內(nèi)能變化為：,14,例1：已知在 273k，1.0102大氣壓時，容器內(nèi)裝有雙原子分子理想氣體，其密度為 =1.24 102kg/m3。求（1）方均根速率，（2）氣體的摩爾質(zhì)量,(3)平均平動動能和轉(zhuǎn)動動能是多少？(4)0.3mol的該氣體內(nèi)能是多少？,解：由,再由,得,15,平均平動動能和轉(zhuǎn)動動能,0.3mol的該氣體內(nèi)能為,16,一. 解決粒子集體行為的統(tǒng)計方法 1.伽耳頓板演示 1) 實驗裝置,17,單個分子速率不可預知，大量分子的速率分布遵循統(tǒng)計規(guī)律，是確定的，這個規(guī)律也叫麥克斯韋速率分布律。,按統(tǒng)計假設，各種速率下的分子都存在，用某一速率區(qū)間內(nèi)分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比，表示分子按速率的分布規(guī)律。,1.將速率從 0 按等間隔分割成很多相等的速率區(qū)間。,18,2.總分子數(shù)為N，,例如速率間隔取100m/s ,19,任一速率區(qū)間內(nèi)分子出現(xiàn)的概率為,則可了解分子按速率分布的情況。,20,3.概率,與,v有關，不同 v 附近概率不同。,有關，速率間隔大概率大。,21,f(v)為速率分布函數(shù),子數(shù)為dN，在該速率區(qū)間內(nèi)分子出現(xiàn)的概率,寫成等式,22,5.速率分布函數(shù)的物理意義,表示在速率 v 附近，單位速率區(qū)間內(nèi)分子出現(xiàn)的概率，即概率密度。,或表示在速率 v 附近，單位速率區(qū)間內(nèi)分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。,麥克斯韋首先從理論上推導出理想氣體的速率分布函數(shù)。,23,1860年麥克斯韋推導出理想氣體的速率分布律：,1. f(v)v曲線,討論,24,2.在速率為v, 速率區(qū)間為dv內(nèi)分子出現(xiàn)的概率,25,3.在f(v)v曲線下的面積為該速率區(qū)間內(nèi)分子出現(xiàn)的概率。,26,4.在f(v)v整個曲線下的面積為 1 - 歸一化條件。,分子在整個速率區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)的概率為 1 。,27,例2：試說明下列各式的物理意義。,答：由速率分布函數(shù)可知,表示在速率v附近，dv速率區(qū)間內(nèi)分子出現(xiàn)的概率。,表示在速率v附近，dv速率區(qū)間內(nèi)分子的個數(shù)。,表示在速率v1v2速率區(qū)間內(nèi)，分子出現(xiàn)的概率。,28,利用麥克斯韋速率分布率可計算最概然速率、方均根速率、平均速率等物理量。,1.最概然速率vP,最概然速率表示在該速率下分子出現(xiàn)的概率最大。,表示在速率v1v2速率區(qū)間內(nèi)，分子出現(xiàn)的個數(shù)。,29,氣體分子各種運動速率都有，在哪個速率下出現(xiàn)的概率最大，即求 f(v) 的極大值對應的速率。,將 f(v) 對 v 求導，,令一次導數(shù)為 0,最概然速率,30,討論,1. vP與溫度T的關系,曲線的峰值右移,由于曲線下面積為1不變，所以峰值降低。,由,和,31,曲線的峰值左移,由于曲線下面積為1不變，所以峰值升高。,2. vP與分子質(zhì)量m0的關系,32,例：求空氣分子在27C時的最概然速率vP (=29g/mol)。,解：由公式,33,2.平均速率,氣體分子在各種速率的都有，那么平均速率是多大呢？,假設：速度為v1的分子有 個，,速度為v2的分子有 個，,則平均速率為：,34,計算一個與速率有關的物理量 g(v) 的統(tǒng)計平均值的公式：,利用此公式可計算分子的方均根速率、分子的平均平動動能等。,35,利用積分公式,設,36,上下同乘NA有,平均速率,例：求空氣分子在27C時的平均速率。,解：由公式,37,4.三種速率的比較,38,麥克斯韋在 1860 年從理論上預言了理想氣體的速率分布律。60 年后，也就是 1920 年斯特恩通過實驗驗證了這一規(guī)律，后來拉美爾將實驗進一步完善。,39,20世紀20年代以后，許多實驗成功地證實了麥克斯韋速率分布規(guī)律。下面的實驗裝置，介紹實驗原理。,動畫,40,7.8.1氣體分子的碰撞頻率與平均自由程,一. 平均碰撞頻率,二. 真空的概念,41,發(fā)難： 荷蘭化學家 巴洛特 - 擴散與,矛盾,分子運動論的佯謬,解釋：,粒子走了一條艱難曲折的路,42,平均自由程,平均碰撞頻率,描述的物理量是,43,一. 平均碰撞頻率,典型的推導,必要的假設： 1)同種分子 分子有效直