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有兩個約束條件的條件極值,推導(dǎo)三元函數(shù)在兩個約束條件下取得極值的必要條件,目標(biāo)函數(shù),約束條件,設(shè)函數(shù) u=f(x,y,z) 在點 (x, y, z) 處取得滿足兩個約束條件的極值。 由隱函數(shù)知識，兩個約束條件的方程可以確定兩個一元函數(shù) y=y(x) 和 z=z(x)。將這兩個一元函數(shù)代入目標(biāo)函數(shù)，則一元函數(shù)u=f(x,y(x),z(x)=u(x) 在點 x=x 處取得極值。 由極值的必要條件，,另一方面，將兩個一元函數(shù) y=y(x) 和 z=z(x) 代入兩個約束條件方程，得兩個恒等式：,以上二式兩端對 x 求導(dǎo)，得,由 (1), (2), (3) 式知道，以下三個梯度,在點(x, y, z)處都與向量 垂直。,所以這三個梯度在點 (x, y, z) 處是共面的。 這就是函數(shù) u=f(x,y,z) 在 (x,y,z) 處取得滿足兩個約束條件的極值的必要條件。,約束條件 和,函數(shù) 取得滿足,即它們的混合積為零：,的極值的必要條件是：,命題,華陽 南湖 2012.3.18,

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