鄭忠喜量子力學(xué).ppt

4 Schrodinger 方程,（一） 引 言 （二） 自由粒子滿(mǎn)足的方程 （三） 勢(shì)場(chǎng) V (r) 中運(yùn)動(dòng)的粒子 （四） 多粒子體系的Schrodinger方程,這些問(wèn)題在1926年Schrodinger 提出了波動(dòng)方程之后得到了圓滿(mǎn)解決。,微觀粒子量子狀態(tài)用波函數(shù)完全描述，波函數(shù)確定之后，粒子的任何一個(gè)力學(xué)量的平均值及其測(cè)量的可能值和相應(yīng)的幾率分布也都被完全確定，波函數(shù)完全描寫(xiě)微觀粒子的狀態(tài)。因此量子力學(xué)最核心的問(wèn)題就是要解決以下兩個(gè)問(wèn)題：,(1)在各種情況下，找出描述系統(tǒng)的各種可能的波函數(shù)； (2)波函數(shù)如何隨時(shí)間演化。,（一） 引 言,（一） 自由粒子滿(mǎn)足的方程,將上式對(duì) t 微商，得：,(1)(2)式,(1)(2)式,（二）勢(shì)場(chǎng) V(r) 中運(yùn)動(dòng)的粒子,該方程稱(chēng)為 Schrodinger 方程，也常稱(chēng)為波動(dòng)方程。,（三）多粒子體系的 Schrodinger 方程,設(shè)體系由 N 個(gè)粒子組成， 質(zhì)量分別為 i (i = 1, 2,., N) 體系波函數(shù)記為 ( r1, r2, ., rN ; t) 第i個(gè)粒子所受到的外場(chǎng) Ui(ri) 粒子間的相互作用 V(r1, r2, ., rN) 則多粒子體系的 Schrodinger 方程可表示為：,多粒子體系 Hamilton 量,對(duì)有 Z 個(gè)電子的原子，電子間相互作用為 Coulomb 排斥作用：,而原子核對(duì)第 i 個(gè)電子的 Coulomb 吸引能為：,假定原子核位于坐標(biāo)原點(diǎn)，無(wú)窮遠(yuǎn)為勢(shì)能零點(diǎn)。,例如：,（一） 定域幾率守恒,考慮低能非相對(duì)論實(shí)物粒子情況，因沒(méi)有粒子的產(chǎn)生和湮滅問(wèn)題，粒子數(shù)保持不變。對(duì)一個(gè)粒子而言，在全空間找到它的幾率總和應(yīng)不隨時(shí)間改變，即,在討論了狀態(tài)或波函數(shù)隨時(shí)間變化的規(guī)律后，我們進(jìn)一步討論粒子在一定空間區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)的幾率將怎樣隨時(shí)間變化。粒子在 t 時(shí)刻 r 點(diǎn)周?chē)鷨挝惑w積內(nèi)粒子出現(xiàn)的幾率即幾率密度是：,5 粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律,證：,考慮 Schrodinger 方程及其共軛式：,取共軛,在空間閉區(qū)域中將上式積分，則有：,閉區(qū)域上找到粒子的總幾率在單位時(shí)間內(nèi)的增量,J是幾率流密度，是一矢量。,所以(7)式是幾率（粒子數(shù)）守恒的積分表示式。,令 Eq.（7）趨于 ，即讓積分對(duì)全空間進(jìn)行，考慮到任何真實(shí)的波函數(shù)應(yīng)該是平方可積的，波函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)處為零，則式右面積分趨于零，于是 Eq.（7）變?yōu)椋?其微分形式與流體力學(xué)中連續(xù)性方程的形式相同,使用 Gauss 定理,單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)的封閉表面 S 流入（面積分前面的負(fù)號(hào)）內(nèi)的幾率,討論：,表明，波函數(shù)歸一化不隨時(shí)間改變，其物理意義是粒子既未產(chǎn)生也未消滅。,（1） 這里的幾率守恒具有定域性質(zhì)，當(dāng)空間某處幾率減少了，必然另外一些地方幾率增加，使總幾率不變，并伴隨著某種流來(lái)實(shí)現(xiàn)這種變化。,同理可得量子力學(xué)的電荷守恒定律：,表明電荷總量不隨時(shí)間改變,（二）再論波函數(shù)的性質(zhì),1. 由 Born 的統(tǒng)計(jì)解釋可知，描寫(xiě)粒子的波函數(shù)已知后，就知道了粒子在空間的幾率分布，即 d (r, t) = |(r, t)|2 d 2. 已知 (r, t)， 則任意力學(xué)量的平均值、可能值及相應(yīng)的幾率就都知道了，也就是說(shuō)，描寫(xiě)粒子狀態(tài)的一切力學(xué)量就都知道了。所以波函數(shù)又稱(chēng)為狀態(tài)波函數(shù)或態(tài)函數(shù)。 3.知道體系所受力場(chǎng)和相互作用及初始時(shí)刻體系的狀態(tài)后，由Schrodinger方程即可確定以后時(shí)刻的狀態(tài)。,（1）波函數(shù)完全描述粒子的狀態(tài),（2）波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件,1. 根據(jù)Born統(tǒng)計(jì)解釋 (r, t) = *(r, t) (r, t)是粒子在t時(shí)刻出現(xiàn)在 r點(diǎn)的幾率，這是一個(gè)確定的數(shù)，所以要求(r, t)應(yīng)是 r, t的單值函數(shù)且有限。,式右含有及其對(duì)坐標(biāo)一階導(dǎo)數(shù)的積分，由于積分區(qū)域是任意選取的，所以S是任意閉合面。要是積分有意義，必須在變數(shù)的全部范圍，即空間任何一點(diǎn)都應(yīng)是有限、連續(xù)且其一階導(dǎo)數(shù)亦連續(xù)。,2.根據(jù)粒子數(shù)守恒定律 :,概括之，波函數(shù)在全空間每一點(diǎn)通常應(yīng)滿(mǎn)足單值、有限、連續(xù)三個(gè)條件，該條件稱(chēng)為波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件。,6 定態(tài)Schrodinger方程,（一）定態(tài)Schrodinger方程 （二）Hamilton算符和能量本征值方程 （三）求解定態(tài)問(wèn)題的步驟 （四）定態(tài)的性質(zhì),（一）定態(tài)Schrodinger方程,現(xiàn)在讓我們討論 有外場(chǎng)情況下的定態(tài) Schrodinger 方程：,令：,于是：,V(r)與t無(wú)關(guān)時(shí)，可以分離變量,等式兩邊是相互無(wú)關(guān)的物理量，故應(yīng)等于與 t, r 無(wú)關(guān)的常數(shù),該方程稱(chēng)為定態(tài) Schrodinger 方程，(r)也可稱(chēng)為定態(tài)波函數(shù)，或可看作是t=0時(shí)刻(r,0)的定態(tài)波函數(shù)。,此波函數(shù)與時(shí)間t的關(guān)系是正弦型的，其角頻率=2E/h。 由de Broglie關(guān)系可知： E 就是體系處于波函數(shù)(r,t)所描寫(xiě)的狀態(tài)時(shí)的能量。也就是說(shuō)，此時(shí)體系能量有確定的值，所以這種狀態(tài)稱(chēng)為定態(tài)，波函數(shù)(r,t)稱(chēng)為定態(tài)波函數(shù)。,（1）一個(gè)算符作用于一個(gè)函數(shù)上得到一個(gè)常數(shù)乘以該函數(shù)這與數(shù)學(xué)物理方法中的本征值方程相似。 數(shù)學(xué)物理方法中：微分方程 + 邊界條件構(gòu)成本征值問(wèn)題；,（2）量子力學(xué)中：波函數(shù)要滿(mǎn)足三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)條件，對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)物理方法中的邊界條件，稱(chēng)為波函數(shù)的自然邊界條件。因此在量子力學(xué)中稱(chēng)與上類(lèi)似的方程為本征值方程。常量 E 稱(chēng)為算符 H 的本征值；稱(chēng)為算符 H 的本征函數(shù)。 （3）由上面討論可知，當(dāng)體系處于能量算符本征函數(shù)所描寫(xiě)的狀態(tài)（簡(jiǎn)稱(chēng)能量本征態(tài)）時(shí)，粒子能量有確定的數(shù)值，這個(gè)數(shù)值就是與這個(gè)本征函數(shù)相應(yīng)的能量算符的本征值。,（二）Hamilton算符和能量本征值方程,（三）定態(tài)的性質(zhì),（2）幾率流密度與時(shí)間無(wú)關(guān),（1）粒子在空間幾率密度與時(shí)間無(wú)關(guān),綜上所述，當(dāng)滿(mǎn)足下列三個(gè)等價(jià)條件中的任何一個(gè)時(shí)，就