江蘇省南京師范大學附屬中學2019屆高三數(shù)學5月模擬試題.docx

江蘇省南京師范大學附屬中學2019屆高三數(shù)學5月模擬試題(滿分160分，考試時間120分鐘)20195一、 填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分1. 已知集合Ax|x|1，xZ，Bx|0x2，則AB_2. 已知復數(shù)z(12i)(ai)，其中i是虛數(shù)單位若z的實部與虛部相等，則實數(shù)a的值為_3. 某班有學生52人，現(xiàn)將所有學生隨機編號，用系統(tǒng)抽樣方法，抽取一個容量為4的樣本已知5號、31號、44號學生在樣本中，則樣本中還有一個學生的編號是_4. 3張獎券分別標有特等獎、一等獎和二等獎甲、乙兩人同時各抽取1張獎券，兩人都未抽得特等獎的概率是_5. 函數(shù)f(x)log2(1x)的定義域為_6. 如圖是一個算法流程圖，則輸出k的值為_(第6題)(第7題)7. 若正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長均為2，點P為側(cè)棱AA1上任意一點，則四棱錐PBCC1B1的體積為_8. 在平面直角坐標系xOy中，點P在曲線C：yx310x3上，且在第四象限內(nèi)已知曲線C在點P處的切線方程為y2xb，則實數(shù)b的值為_9. 已知函數(shù)f(x)sin(2x)cos(2x)(00，b0)有相同的焦點，其左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2.若橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點為P，且F1PF1F2，則雙曲線的離心率為_12. 在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為(0，5)，點B是直線l：yx上位于第一象限內(nèi)的一點已知以AB為直徑的圓被直線l所截得的弦長為2，則點B的坐標為_13. 已知數(shù)列an的前n項和為Sn，a11，a22，an2則滿足2 019Sm3 000的正整數(shù)m的所有取值為_14. 已知等邊三角形ABC的邊長為2，2，點N，T分別為線段BC，CA上的動點，則取值的集合為_二、 解答題：本大題共6小題，共90分. 解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟15. (本小題滿分14分)如圖，在平面直角坐標系xOy中，以x軸正半軸為始邊的銳角的終邊與單位圓O交于點A，且點A的縱坐標是.(1) 求cos()的值；(2) 若以x軸正半軸為始邊的鈍角的終邊與單位圓O交于點B，且點B的橫坐標為，求的值16. (本小題滿分14分)如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB，AF1，M是線段EF的中點求證：(1) AM平面BDE；(2) AM平面BDF.17. (本小題滿分14分)某廣告商租用了一塊如圖所示的半圓形封閉區(qū)域用于產(chǎn)品展示，該封閉區(qū)域由以O(shè)為圓心的半圓及直徑AB圍成在此區(qū)域內(nèi)原有一個以O(shè)A為直徑、C為圓心的半圓形展示區(qū)，該廣告商欲在此基礎(chǔ)上，將其改建成一個凸四邊形的展示區(qū)COPQ，其中P，Q分別在半圓O與半圓C的圓弧上，且PQ與半圓C相切于點Q.已知AB長為40米，設(shè)BOP為2.(上述圖形均視作在同一平面內(nèi))(1) 記四邊形COPQ的周長為f()，求f()的表達式；(2) 要使改建成的展示區(qū)COPQ的面積最大，求sin 的值18. (本小題滿分16分)在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：1(ab0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，且點F1，F(xiàn)2與橢圓C的上頂點構(gòu)成邊長為2的等邊三角形(1) 求橢圓C的方程；(2) 已知直線l與橢圓C相切于點P，且分別與直線x4和直線x1相交于點M，N.試判斷是否為定值，并說明理由19. (本小題滿分16分)已知數(shù)列an滿足a1a2an2(nN*)，數(shù)列bn的前n項和Sn(nN*)，且b11，b22.(1) 求數(shù)列an的通項公式；(2) 求數(shù)列bn的通項公式；(3) 設(shè)cn，記Tn是數(shù)列cn的前n項和，求正整數(shù)m，使得對于任意的nN*均有TmTn.20. (本小題滿分16分)設(shè)a為實數(shù)，已知函數(shù)f(x)axex，g(x)xln x.(1) 當a0恒成立，求b的取值范圍；(3) 若函數(shù)h(x)f(x)g(x)(x0，xR)有兩個相異的零點，求a的取值范圍2019屆高三模擬考試試卷(二十一)數(shù)學附加題(滿分40分，考試時間30分鐘)21. 【選做題】 在A，B，C三小題中只能選做兩題，每小題10分，共20分若多做，則按作答的前兩題計分解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟A. (選修42：矩陣與變換)已知矩陣A，二階矩陣B滿足AB.(1) 求矩陣B；(2) 求矩陣B的特征值B. (選修44：坐標系與參數(shù)方程)設(shè)a為實數(shù)，在極坐標系中，已知圓2asin (a0)與直線cos()1相切，求a的值C. (選修45：不等式選講)求函數(shù)y的最大值【必做題】 第22，23題，每小題10分，共20分解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟22. 如圖，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，ABCBAD90，ADAP4，ABBC2，點M為PC的中點(1) 求異面直線AP與BM所成角的余弦值；(2) 點N在線段AD上，且AN，若直線MN與平面PBC所成角的正弦值為，求的值23. 在平面直角坐標系xOy中，有一個微型智能機器人(大小不計)只能沿著坐標軸的正方向或負方向行進，且每一步只能行進1個單位長度，例如：該機器人在點(1，0)處時，下一步可行進到(2，0)、(0，0)、(1，1)、(1，1)這四個點中的任一位置記該機器人從坐標原點O出發(fā)、行進n步后落在y軸上的不同走法的種數(shù)為L(n)(1) 求L(1)，L(2)，L(3)的值；(2) 求L(n)的表達式2019屆高三模擬考試試卷(二十一)(南師附中)數(shù)學參考答案及評分標準1. 0，12. 33. 184. 5. 0，1)6. 37. 8. 139. 10. 1811. 12. (6，3)13. 20，2114. 615. 解：因為銳角的終邊與單位圓O交于點A，且點A的縱坐標是，所以由任意角的三角函數(shù)的定義可知sin .從而cos .(3分)(1) cos()cos cos sin sin ().(6分)(2) 因為鈍角的終邊與單位圓O交于點B，且點B的橫坐標是，所以cos ，從而sin .(8分)于是sin()sin cos cos sin ().(10分)因為為銳角，為鈍角，所以(，)，(12分)從而.(14分)16. 證明：(1) 設(shè)ACBDO，連結(jié)OE， 四邊形ACEF是矩形， EFAC，EFAC. O是正方形ABCD對角線的交點， O是AC的中點又點M是EF的中點， EMAO，EMAO. 四邊形AOEM是平行四邊形， AMOE.(4分) OE平面BDE，AM平面BDE， AM平面BDE.(7分)(2) 正方形ABCD， BDAC. 平面ABCD平面ACEFAC，平面ABCD平面ACEF，BD平面ABCD， BD平面ACEF.(9分) AM平面ACEF， BDAM.(10分) 正方形ABCD，AD， OA1.由(1)可知點M，O分別是EF，AC的中點，且四邊形ACEF是矩形 AF1， 四邊形AOMF是正方形，(11分) AMOF.(12分)又AMBD，且OFBDO，OF平面BDF，BD平面BDF， AM平面BDF.(14分)17. 解：(1) 連結(jié)PC.由條件得(0，)在POC中，OC10，OP20，POC2，由余弦定理，得PC2OC2OP22OCOPcos(2)100(54cos 2)(2分)因為PQ與半圓C相切于點Q，所以CQPQ，所以PQ2PC2CQ2400(1cos 2)，所以PQ20cos .(4分)所以四邊形COPQ的周長為f()COOPPQQC4020cos ，即f()4020cos ，(0，)(7分)(沒寫定義域，扣2分)(2) 設(shè)四邊形COPQ的面積為S()，則S()SOCPSQCP100(cos 2sin cos )，(0，)(10分)所以S()100(sin 2cos22sin2)100(4sin2sin 2)，(0，)(12分)令S(t)0，得sin .列表：sin (0，)(，1)S()0S()增最大值減答：要使改建成的展示區(qū)COPQ的面積最大，sin 的值為.(14分)18. 解：(1) 依題意，2ca2，所以c1，b，所以橢圓C的標準方程為1.(4分)(2) 因為直線l分別與直線x4和直線x1相交，所以直線l一定存在斜率(6分) 設(shè)直線l：ykxm，由得(4k23)x28kmx4(m23)0.由(8km)24(4k23)4(m23)0，得4k23m20.(8分)把x4代入ykxm，得M(4，4km)，把x1代入ykxm，得N(1，km)，(10分)所以NF1|km|，MF1，(12分)由式，得3m24k2，把式代入式，得MF12|km|， ，即為定值.(16分)19. 解：(1) a122；(2分) 當n2時，an2n.所以數(shù)列an的通項公式為an2n(nN*)(4分)(2) 由Sn，得2Snn(b1bn)，所以2Sn1(n1)(b1bn1)(n2).由，得2bnb1nbn(n1)bn1，n2，即b1(n2)bn(n1)bn10(n2)，所以b1(n3)bn(n2)bn10(n3).由，得(n2)bn2(n2)bn1(n2)bn20，n3，(6分)因為n3，所以n20，上式同除以(n2)，得bn2bn1bn20，n3，即bn1bnbnbn1b2b11，所以數(shù)列bn是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，故bnn，nN*.(8分)(3) 因為cn1，(10分)所以c10，c20，c30，c40，c50.記f(n)，當n5時，f(n1)f(n)0，所以當n5時，數(shù)列f(n)為單調(diào)遞減數(shù)列，當n5時，f(n)f(5)1.從而，當n5時，cn10.(14分)因此T1T2T3T5T6所以對任意的nN*，T4Tn.綜上，m4.(16分)(注：其他解法酌情給分)20. 解：(1) 當a0時，因為f(x)a(x1)ex，當x0；當x1時，f(x)0，所以aex2xb對任意的a1及任意的x0恒成立由于ex0，所以aexex，所以ex2xb對任意的x0恒成立(4分)設(shè)(x)ex2x，x0，則(x)ex2，所以函數(shù)(x)在(0，ln 2)上單調(diào)遞減，在(ln 2，)上單調(diào)遞增，所以(x)min(ln 2)22ln 2，所以b22ln 2.(6分)(3) 由h(x)axexxln x，得h(x)a(x1)ex1，其中x0. 若a0時，則h(x)0，所以函數(shù)h(x)在(0，)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)h(x)至多有一個零零點，不合題意；(8分) 若a0.由第(2)小題知，當x0時，(x)ex2x22ln 20，所以ex2x，所以xex2x2，所以當x0時，函數(shù)xex的值域為(0，)所以存在x00，使得ax0ex010，即ax0ex01，且當x0，所以函數(shù)h(x)在(0，x0)上單調(diào)遞增，在(x0，)上單調(diào)遞減因為函數(shù)有兩個零點x1，x2，所以h(x)maxh(x0)ax0ex0x0ln x01x0ln x00.設(shè)(x)1xln x，x0，則(x)10，所以函數(shù)(x)在(0，)上單調(diào)遞增由于(1)0，所以當x1時，(x)0，所以式中的x01.又由式，得x0ex0.由第(1)小題可知，當ae，即a(，0)(11分)當a(，0)時，(i) 由于h()(1)0，所以h()h(x0)0.因為1e，設(shè)F(t)ettln t，te，由于te時，ln t2t，所以設(shè)F(t)0，即h()1時，x0ex0x0，且h()h(x0)0，同理可得函數(shù)h(x)在(x0，)上也恰有一個零點綜上，a(，0)(16分)2019屆高三模擬考試試卷(南師附中)數(shù)學附加題參考答案及評分標準21. A. 解：(1) 由題意，由矩陣的逆矩陣公式得BA1.(5分)(2) 矩陣B的特征多項式f()(1)(1)，(7分)令f()0，解得1或1，(9分)所以矩陣B的特征值為1或1.(10分)B. 解：將圓2asin 化成普通方程為x2y22ay，整理得x2(ya)2a2.(3分)將直線cos()1化成普通方程為xy0.(6分)因為相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即a，(9分)解得a2.(10分)C. 解：因為()2()2(33x3x2)(1)，(3分)所以y.(5分)當且僅當，即x，1時等號成立(8分)所以y的最大值為.(10分)22. 解：(1) 因為PA平面ABCD，且AB，AD平面ABCD，所以PAAB，PAAD.因為BAD90，所以PA，AB，AD兩兩互相垂直分別以AB，AD，AP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則由AD2AB2BC4，PA4，可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，4)因為點M為PC的中點，所以M(1，1，2)所以(1，1，2)，(0，0，4)，(2分)所以cos，(4分)所以異面直線AP，BM所成角的余弦值為.(5分)(2) 因為AN，所以N(0，0)(04)，則(1，1，2)，(0，2，0)，(2，0，4)設(shè)平面PBC的法向量