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第一講 基本數(shù)列及其性質(zhì)本講概述等差數(shù)列與等比數(shù)列是最常見(jiàn)的數(shù)列，有相當(dāng)多的數(shù)列問(wèn)題最后可歸結(jié)或轉(zhuǎn)化到等差等比數(shù)列問(wèn)題這兩種基本模型中來(lái).絕大部分等差等比數(shù)列的問(wèn)題都要用到下面最基本的四個(gè)公式：等差數(shù)列通項(xiàng)公式： 前n項(xiàng)和公式： 其中d為公差等比數(shù)列通項(xiàng)公式： 前n項(xiàng)和公式： 其中q為公比任意數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和間關(guān)系：1、等差數(shù)列的常用性質(zhì) （1）等差中項(xiàng)： （2）任意兩項(xiàng)之間關(guān)系： （3）當(dāng)時(shí)， （4）2、等比數(shù)列的常用性質(zhì)（1）等比中項(xiàng)： （2）任意兩項(xiàng)之間關(guān)系： （3）當(dāng)時(shí)， （4）對(duì)于的無(wú)窮等比數(shù)列，其各項(xiàng)和公式為以上性質(zhì)均極易證明，請(qǐng)各位同學(xué)自證.3、數(shù)列求和中經(jīng)常會(huì)用到以下公式：例題精講 【例1】 設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差均為非負(fù)整數(shù)，項(xiàng)數(shù)不小于3且各項(xiàng)的和為972，則這樣的數(shù)列共有_個(gè)【解析】 符合條件的等差數(shù)列共有4個(gè)注 本題為1997年全國(guó)高中聯(lián)賽題【例2】 各項(xiàng)為實(shí)數(shù)的等比數(shù)列an，前n項(xiàng)的和為Sn，若S1010，S3070，則S40等于( )A150 B200 C150或200 D400或50【解析】 故選A注 本題為1998年全國(guó)高中聯(lián)賽題【例3】 試證明【解析】 先證平方和公式：構(gòu)造恒等式： 或者 （*）化簡(jiǎn)即得再證立方和公式：記，則，化簡(jiǎn)即得注 按照(*)式實(shí)際上我們可以依次得到的表達(dá)式【例4】 求所有的正整數(shù)n3，使得下述命題成立：設(shè)a1，a2，an成等差數(shù)列，若a12a2nan為有理數(shù)，則a1，a2，an中至少有一個(gè)數(shù)為有理數(shù)【解析】 設(shè)數(shù)列的公差為d，則 如果3|(n1)，那么由上式可知a12a2nan，于是，在a12a2nan為有理數(shù)時(shí)，為有理數(shù)另一方面，若3(n1)時(shí)，令，則等差數(shù)列a1，a2，an中每一項(xiàng)都是無(wú)理數(shù)，而a12a2nan0是有理數(shù)綜上可知，滿足條件的正整數(shù)n構(gòu)成的集合為n|nN*，n1(mod 3)注 本題為基本功訓(xùn)練題，首先利用恒等變形給出一個(gè)條件中和式的最簡(jiǎn)形式，則答案就顯而易見(jiàn)了.解析中第五行也可以根據(jù)前面給出的平方和公式直接代入計(jì)算.【例5】 數(shù)列an的各項(xiàng)為正數(shù)，其前n項(xiàng)和Sn滿足Sn，求數(shù)列an的通項(xiàng)【解析】【例6】 已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且前n項(xiàng)之和Sn滿足3an2若a2、a4、a9成等比數(shù)列，求此數(shù)列的通項(xiàng)公式【解析】 an3n2【例7】 設(shè)an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且Sa1a2an，求an的前n項(xiàng)之積【解析】【例8】 數(shù)1，2，3，100能否是12個(gè)等比數(shù)列的項(xiàng)？【解析】 不能首先證明3個(gè)不同的素?cái)?shù)不可能在同一個(gè)等比數(shù)列中假設(shè)三個(gè)素?cái)?shù)p1p2p3，在以a1為首項(xiàng)q為公比的等比數(shù)列中，則，其中slk，tml都是正整數(shù)從而，上式左邊被P2整除，而右邊不能被P2整除，因而不可能成立由于1至100中含有25個(gè)素?cái)?shù)，而根據(jù)上面所證，每個(gè)等比數(shù)列中至多含有兩個(gè)素?cái)?shù)，因此25個(gè)素?cái)?shù)不可以包含于12個(gè)等比數(shù)列中所以答案是否定的注 想到考慮素?cái)?shù)本題就完成了一半，但是要嚴(yán)格地證明還是頗有技巧的【例9】 （*選講） 實(shí)數(shù)x為有理數(shù)的充分必要條件是：數(shù)列x，x1，x2， x3，中必有3個(gè)不同的項(xiàng)，它們組成等比數(shù)列【解析】 證 (1)充分性：若3個(gè)不同的項(xiàng)xi，xj，xk成等比數(shù)列，且ijk，則，即若ik2j0，則，于是得ijk與ijk矛盾故ik2j0，x且i、j、k都是正整數(shù)，故x是有理數(shù)(2)必要性：若x為有理數(shù)且x0，則必存在正整數(shù)k，使xk0令yxk，則正數(shù)列y，y1，y2，是原數(shù)列x，x1，x2，x3，的一個(gè)子數(shù)列，只要正數(shù)列y，y1，y2，中存在3個(gè)不同的項(xiàng)組成等比數(shù)列，那么原數(shù)列中必有3個(gè)不同的項(xiàng)組成等比數(shù)列，因此不失一般性，不妨設(shè)x0若xN，設(shè)q是大于1的正整數(shù)，則xqx、都是正整數(shù)令ixqx，則ij，即x、xi、xj是數(shù)列x，x1，x2，x3，中不同的三項(xiàng)，且x、xi(即xq)、xj(即xq2)成等比數(shù)列若x為正分?jǐn)?shù)，設(shè)(m、nN，且m、n互質(zhì)，m1)，可以證明x、xn、x(m2)n這三個(gè)不同的項(xiàng)成等比數(shù)列，事實(shí)上， ，所以xx(m2)n(xn)2，即三項(xiàng)x、xn、x(m2)n成等比數(shù)列綜上所述，實(shí)數(shù)x為有理數(shù)的充分必要條件是數(shù)列x，x1，x2，x3，中必有3個(gè)不同的項(xiàng)它們組成等比數(shù)列注 1、以上證明巧妙之處在于：當(dāng)x是正分?jǐn)?shù)時(shí)，在數(shù)列x，x1，x2，x3，尋求組成等比數(shù)列的三項(xiàng)，這三項(xiàng)是x、xn、x(m2)n2、本題為加拿大1993年高中競(jìng)賽題，難度較大。本題根據(jù)進(jìn)度可選講大顯身手1 有一群兒童，他們的年齡之和是50歲，其中最大的13歲，另有一個(gè)是10歲除10歲兒童外，其余兒童的年齡都是整數(shù)且恰好組成一個(gè)等差數(shù)列，問(wèn)有幾個(gè)兒童？每個(gè)兒童是幾歲？【解析】 設(shè)除去10歲的兒童外，他們的歲數(shù)分別是a、ad、and，且and13，于是a(ad)(and)5010，所以(n1)a，即(n1) (a13) 80 2 給定公比q(q1)的等比數(shù)列an，設(shè)b1a1a2a3，b2a4a5a6，bna3n2a3n1a3n，則數(shù)列是( )A等差數(shù)列 B公比為q的等比數(shù)列C公比為q3的等比數(shù)列 D既非等差數(shù)列又非等比數(shù)列【解析】 因故選C 注 本題為1999年全國(guó)高中聯(lián)賽題3 等差數(shù)列an中，試求(lm)ab(mn)bc(nl)ca的值【解析】 所求的值為0注 共線關(guān)系實(shí)際上用公差代換也易得到，本題仍然是一道代數(shù)基本運(yùn)算問(wèn)題 4 求和：（1） （2） （3）【解析】 （1）原式 （2） （3）由正切公式 得 注 本題提供了幾種常見(jiàn)的數(shù)列變形技巧5 （*選做）給定正整數(shù)n和正數(shù)M.對(duì)于滿足條件的所有等差數(shù)列a1，a2，a3，試求的最大值【解析】 S的最大值為 注 問(wèn)題的關(guān)鍵在于（*）式，它可以由待定系數(shù)得到： 記，比較系數(shù)易求得即得原式學(xué)習(xí)之外 發(fā)信人：ukim（我沒(méi)有理想），信區(qū)：Mathemtics標(biāo) 題：從今天開(kāi)始連載數(shù)學(xué)家們的故事發(fā)信站：北大未名站（2002年04月06日14:20:15星期六），轉(zhuǎn)信一次拓?fù)湔n，Minkowski向?qū)W生們自負(fù)的宣稱：“這個(gè)定理沒(méi)有證明的最要的原因是至今只有一些三流的數(shù)學(xué)家在這上面花過(guò)時(shí)間。下面我就來(lái)證明它。”.這節(jié)課結(jié)束的時(shí)候，沒(méi)有證完，到下一次課的時(shí)候，Minkowski繼續(xù)證明，一直幾個(gè)星期過(guò)去了一個(gè)陰霾的早上，Minkowski跨入教室，那時(shí)候，恰好一道閃電劃過(guò)長(zhǎng)空，雷聲震耳，Minkowski很嚴(yán)肅的說(shuō)：“上天被我的驕傲激怒了，我的證明是不完全的1942年的時(shí)候，Lefschetz去Havard做了個(gè)報(bào)告，Birkhoff是他的好朋友，講座結(jié)束之后，就問(wèn)他最近在Princeton有沒(méi)有什么有意思的東西。Lefschetz說(shuō)有一個(gè)人剛剛證明了四色猜想。Birkhoff嚴(yán)重的不相信，說(shuō)要是這是真的，就用手和膝蓋，直接爬到Princeton的Fine Hall去。有一個(gè)人叫做Paul Wolfskehl,大學(xué)讀過(guò)數(shù)學(xué)，癡狂的迷戀一個(gè)漂亮的女孩子，令他沮喪的是他被無(wú)數(shù)次被拒絕。感到無(wú)所依靠，于是定下了自殺的日子，決定在午夜鐘聲響起的時(shí)候，告別這個(gè)世界，再也不理會(huì)塵世間的事。Wolfskehl在剩下的日子里依然努力的工作，當(dāng)然不是數(shù)學(xué)，而是一些商業(yè)的東西，最后一天，他寫了遺囑，并且給他所有的朋友親戚寫了信。由于他的效率比較高的緣故，在午夜之前，他就搞定了所有的事情，剩下的幾個(gè)小時(shí)，他就跑到了圖書(shū)館，隨便翻起了數(shù)學(xué)書(shū)。很快,被Kummer解釋Cauchy等前人做Fermat大定理為什么不行的一篇論文吸引住了。那是一篇偉大的論文，適合要自殺的數(shù)學(xué)家最后的時(shí)刻閱讀。Wol