MATLAB的符號運算.ppt

第三講 MATLAB的符號運算,科學與工程技術中的數(shù)值運算固然重要，但自然科學理論分析中各種各樣的公式、關系式及其推導就是符號運算要解決的問題。 在Matlab7.0中，符號計算雖以數(shù)值運算的補充身份出現(xiàn)，但它們都是科學計算研究的重要內容。 Matlab開發(fā)了實現(xiàn)符號計算的工具包Symbolic Math Toolbox 。,符號數(shù)學工具箱中的工具是建立在功能強大的Maple的基礎上。 它最初是由加拿大的滑鐵盧(Waterloo)大學開發(fā)出來的。 如果要求Matlab7.0進行符號運算，那么首先由Maple計算并將結果返回到Matlab7.0命令窗口。,兩個數(shù)學分析的可視化界面,圖示化符號計算器 (由命令funtool引出) 泰勒級數(shù)逼近分析界面 (由命令taylortool引出),圖示化符號計算器,由三個獨立的窗口構成，通過函數(shù)運算控制窗口來演示另外兩個圖形窗口，任何時候，只有一個窗口屬于激活狀態(tài)。而被激活的函數(shù)圖像可隨運算控制窗口的操作而做相應的變化。 下面給出運算控制窗口的鍵位功能。,前兩行是函數(shù) f 和 g 的具體解析式，第三行是自變量 x 的取值范圍和常數(shù) a 的值。 第四行只對 f 起作用，如求導、積分、簡化、提取分子和分母、倒數(shù)、反函數(shù)。 第五行是處理 f 和 a 的加減乘除等運算。 第六行前四個進行 f 和 g 之間的運算，后三個分別是：求復合函數(shù)；把 f 傳遞給 ；swap是實現(xiàn) f 和 g 功能的交換。 最后一行是對計算器自身進行操作。,Funtool計算器存有一張函數(shù)列表fxlist 這7個功能鍵分別是： Insert：把當前激活窗的函數(shù)寫入列表 Cycle：依次循環(huán)顯示fxlist中的函數(shù) Delete：從fxlist列表中刪除激活窗的函數(shù) Reset：使計算器恢復到初始調用狀態(tài) Help：獲得關于界面的在線提示說明 Demo：自動演示 Close：關閉整個計算器,泰勒級數(shù)逼近分析,該界面用于觀察函數(shù)f(x)在給定區(qū)間被N階泰勒多項式Tn(x)逼近的情況。 f(x)的輸入可由命令taylortool(fx)引入，或者在欄中直接輸入表達式，回車確定。 N默認值為7，a是級數(shù)的展開點。 函數(shù)的觀察區(qū)間默認為(-2pi，2pi)。,符號運算的功能,符號表達式、符號矩陣的創(chuàng)建 符號線性代數(shù) 因式分解、展開和簡化 符號代數(shù)方程求解 符號微積分 符號微分方程,一、符號運算的基本操作,什么是符號運算 與數(shù)值運算的區(qū)別 數(shù)值運算中必須先對變量賦值，然后才能參與運算。 符號運算無須事先對獨立變量賦值，運算結果以標準的符號形式表達。,特點： 運算對象可以是沒賦值的符號變量，以推理解析的方式進行，因此不受計算誤差累積所帶來的困擾。 可以給出完全正確的封閉解或任意精度的數(shù)值解(當封閉解不存在時)。 符號計算指令的調用簡單，和經(jīng)典教科書公式相近。 計算所需的時間較長。 Symbolic Math Toolbox符號運算工具包通過調用Maple軟件實現(xiàn)符號計算的。 Maple軟件主要功能是符號運算，它占據(jù)符號軟件的主導地位。,2. 字符串與符號變量、符號常量,字符串對象 f = sin(x)+5x f 字符串名 sin(x)+5x 函數(shù)表達式 字符串標識 字符串表達式一定要用 單引號括起來Matlab才能識別。 用class( )來返回對象的數(shù)據(jù)類型。, 里的內容可以是函數(shù)表達式，也可以是方程。 例： f1=a*x2+b*x+c 二次三項式 f2= a*x2+b*x+c=0 方程 f3=Dy+y2=1 微分方程 函數(shù)表達式或方程可以賦給字符串或符號變量，以后方便調用。,符號變量,符號變量是內容可變的符號對象。 符號變量通常是指一個或幾個特定的字符，不是指符號表達式，甚至可以將一個符號表達式賦值給一個符號變量。 符號變量有時也稱自由變量，它的命名規(guī)則和數(shù)值變量的命名規(guī)則相同。 相關指令為： sym( ) 和 syms( ) （symbolic的縮寫）,例：用函數(shù)命令sym( )和syms( )來創(chuàng)建符號對象并檢測數(shù)據(jù)類型。 a=sym(a) 注意兩個 a的區(qū)別 b=sym(c) classa=class(a) classb=class(b) 可看出兩個變量均為符號對象 syms a b c d e f g h whos 也可以查看所有變量類型 從上述比較來看：當需要同時定義多個符號變量時，使用syms( )更簡潔一些。,符號常量,當數(shù)值常量作為sym( )的輸入?yún)⒘繒r，就建立了一個符號對象符號常量。 雖然看上去是一個數(shù)值量，但已經(jīng)是一個符號對象了。 例：a=3/4; b=3/4; c=sym(3/4); d=sym(3/4); whos 查看變量類型 a為實雙精度浮點數(shù)值類型；b為實字符類型；c和d都是符號對象類型。,由符號變量構成的符號函數(shù)和符號方程,符號表達式是由符號常量、符號變量、符號函數(shù)運算符以及專用函數(shù)連接起來的符號對象。 包括：符號函數(shù)和符號方程。判斷看帶不帶等號。 例：syms x y z; f1=x*y/z; f2=x2+y2+z2; f3=f1/f2; e1=sym(a*x2+b*x+c) e2=sym(sin(x)2+2*cos(x)=1) e3=sym(Dy-y=x),3.符號矩陣的創(chuàng)建 數(shù)值矩陣 clear clc A=1,2;3,4 A=a,b;c,d 不識別 用Matlab函數(shù)sym創(chuàng)建矩陣 命令格式：A=sym( ) 符號矩陣內容同數(shù)值矩陣 需用sym指令定義，需用 標識 注意與a,b;c,d的區(qū)別,例如：A = sym(a , 2*b ; 3*a , 0) A = a, 2*b 3*a, 0 這就完成了一個符號矩陣的創(chuàng)建。 注意：符號矩陣的每一行的兩端都有方 括號，這是與 Matlab數(shù)值矩陣的 一個重要區(qū)別。,用字符串直接創(chuàng)建矩陣,模仿Matlab數(shù)值矩陣的創(chuàng)建方法 需保證同一列中各元素字符串有相 同的長度。,例：A = a,2*b; 3*a, 0 A = a, 2*b 3*a, 0, 符號矩陣的修改,a.直接修改 可用、 鍵找到所要修改的矩陣，直接修改 b.指令修改 用A1=subs(A, new, old)來修改,例如：A = a, 2*b 3*a, 0,A(2,2)=4*b A1 = a, 2*b 3*a, 4*b,A2=subs(A1, c, b) A2 = a, 2*c 3*a, 4*c,將數(shù)值矩陣轉化為符號矩陣 函數(shù)調用格式：sym(A) clear A=1/3,2.5;1/0.7,2/5 A = 0.3333 2.5000 1.4286 0.4000 sym(A) ans = 1/3, 5/2 10/7, 2/5, 符號矩陣與數(shù)值矩陣的轉換,將符號矩陣轉化為數(shù)值矩陣 函數(shù)調用格式： numeric(A)? A = 1/3, 5/2 10/7, 2/5 numeric(A) ans = 0.3333 2.5000 1.4286 0.4000,由于Matlab7.0采用了重載技術，使得符號計算表達式的運算符和基本函數(shù)，無論在形狀、名稱上，還是在使用方法上，都與數(shù)值計算中的運算符和基本函數(shù)幾乎完全相同。這無疑給用戶帶來了極大的方便。 例外：在符號對象的比較中，沒有”大于”、 ”大于等于”、 ”小于”、 ”小于等于”的概念，而只有是否“等于”的概念。,二、符號運算,1.符號矩陣運算,數(shù)值運算中，所有矩陣運算操作指令都比較直觀、簡單。例如：a=b+c; a=a*b ；A=2*a2+3*a-5等。 符號運算中，很多方面在形式上同數(shù)值計算都是相同的，沒必要重新學習新的規(guī)則。,2. 任意精度的數(shù)學運算,在symbolic中有三種不同的算術運算： 數(shù)值類型 matlab的浮點算術運算 有理數(shù)類型 maple的精確符號運算 vpa類型 maple的任意精度算術 運算,浮點算術運算 format long (定義輸出格式) 1/2+1/3 ans = 0.83333333333333 符號運算 sym(1/2)+(1/3) 或sym(1/2+1/3) ans = 5/6 精確解,任意精度算術運算 digits(n) 設置近似解的精讀為n位有效數(shù)字，默認32位有效數(shù)字。 vpa(x,n) 求符號解的近似解，該近似解的有效位數(shù)由n來決定。 digits(25) vpa(1/2+1/3) ans = .8333333333333333333333333,vpa(5/6,40) ans = .8333333333333333333333333333333333333333 a=sym(1/4,exp(1);log(3),3/7) a = 1/4,exp(1) log(3), 3/7 vpa(a,10) ans = .2500000000, 2.718281828 1.098612289, .4285714286,3.符號表達式的化簡,可以對符號計算結果進行簡化，諸如因式分解、同類項合并、符號表達式的展開、符號表達式的化簡和通分等等。,合并同類項 collect(v) -將表達式v的相同次冪的項合并。 例：syms x t % 定義基本變量 f=(x-1)*(x-2)*(x-3) 定義符號表達式 collect(f) 合并f中x的同類項,expand(s) 將s中的各項進行展開，用于多項式，三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)。 例：syms x y; f=(x+y)3; f1=expand(f) f1 = x3+3*x2*y+3*x*y2+y3 例：h=cos(x-y) expand(h),factor(S) 將系數(shù)為有理數(shù)的多項式(矩陣)S，表示成低階多項式相乘的形式，如果不能分解，則返回S本身。 例：syms x y factor(x3-y3) simplify( ) 該函數(shù)是一個強有力的具有普遍意義的工具，它利用Maple化簡規(guī)則對表達式進行簡化。 例：S=sym(x2+5*x+6)/(x+2);sqrt(16) simplify(S),simple( ) 用幾種不同的算術簡化規(guī)則對符號表達式進行簡化，使其用最少的字符來表示。 雖然并非表達式中的字符越少，表達式就越簡單，但采用這個標準往往能夠得到滿意的結果，尤其是對于包含三角函數(shù)的表達式。 例：sym x simple(cos(x)2+sin(x)2) 從結果看出，simple比較這些不同函數(shù)的結果，最終把最少字符作為標準。,diff(f) 對缺省變量求f的微分 diff(f,v) 對指定變量v求微分 diff(f,n) 對默認變量求n階微分 diff(f,v,n) 對指定變量v求f的n階微分 例：syms a x f=sin(a*x) df=diff(f) dfa=diff(f,a,2),4. 符號微積分與積分變換,符號表達式的極限,limit(F,x,a) 求當xa時，表達式F的極限 limit(F, a) 默認自變量時，趨于a的極限 limit(F) 默認自變量，默認a=0 limit(F,x,a, left) 取F的左極限 limit(F,x,a, right) 取F的右極限 例：syms h n x dc=limit(sin(x+h)-sin(x)/h,h,0) %按照導數(shù)的定義求sin的導數(shù),注意：對于極限不存在，返回NaN 例： limit(1/x,x,0) limit(1/x,x,0, left) limit(1/x,x,0, right) 結果分別為： ans = NaN ans = -Inf ans = Inf,int(f) 對f表達式的缺省變量求不定積分 int(f,v) 對f表達式的v變量求不定積分 int(f,v,a,b) 對f表達式的v變量在（a,b) 區(qū)間求定積分 findsym(f) 可以找出f中的每個變量 注意：當函數(shù)的積分不存在時，Matlab7.0將簡單地返回原來的積分表達式。,符號表達式的積分,int（被積表達式，積分變量，積分上限， 積分下限） 定積分,缺省時為不定積分,例：int(-2*x/(1+x2)2) ans = 1/(1+x2) int(log(x) int(log10(x) int(sin(x),x,-pi,pi),taylor(f,n,v) n階泰勒級數(shù)展開 例：syms x f=1/(2+cos(x) r=taylor(f,8) symsum(f,v,a,b) 表達式f中變量 v從a變到b時的有限和 例：syms x k s1=symsum(1/k2,1,inf) s2=symsum(xk,k,0,inf) 上述都是求無窮級數(shù)的和,符號積分變換,ztrans(f) Z變換 Invztrans(f) 反Z變換 Laplace(f) 拉氏變換 Invlaplace(f) 反拉氏變換 fourier(f) 付氏變換 Invfourier(f) 反付氏變換 注意 ：上述函數(shù)均缺省了部分參數(shù),例1.計算二重不定積分,F=int(int(x*exp(-x*y),x),y) 例2.計算 f=x*exp(-x*10)的Z變換 F=ztrans(f) F= z*exp(-10)/(z-exp(-10)2,符號積分的例子, syms x y F=int(int(x*exp(-x*y),x),y) F = 1/y*exp(-x*y) syms x f=x*exp(-x*10); F=ztrans(f) F=ztrans(x*exp(-x*10); F = z*exp(-10)/(z-exp(-10)2,例3. 計算指數(shù)函數(shù)eAt。 用拉氏反變換法計算eAt的公式為： eAt = L-1(SI-A)-1 系統(tǒng)矩陣A=,結果：, a=0 1;-2 -3; syms s b=(s*eye(2)-a) b = s, -1 2, s+3 B=inv(b) (s+3)/(s2+3*s+2), 1/(s2+3*s+2) -2/(s2+3*s+2), s/(s2+3*s+2), b11=ilaplace(sym(b,1,1);b(1,1)=b11; b12=ilaplace(sym(b,1,2);b(1,2)=b12; b21=ilaplace(sym(b,2,1);b(2,1)=b21; b22=ilaplace(sym(b,2,2);b(2,2)=b22; b b = -exp(-2*t)+2*exp(-t), exp(-t)-exp(-2*t) -2*exp(-t)+2*exp(-2*t), 2*exp(-2*t)-exp(-t),5.符號代數(shù)方程求解,Matlab符號運算能夠解一般的線性方程、非線性方程、超越方程。當方程組不存在符號解時，又無其他自由參數(shù)，則給出數(shù)值解。 命令格式： solve(f,v) 求一個方程f=0的解 Solve(f1,f2, fn) 求n個方程的解,例1. f = ax2+bx+c 求解 f=a*x2+b*x+c; solve(f) 對缺省變量x求解 ans = 1/2/a*(-b+(b2-4*a*c)(1/2) 1/2/a*(-b-(b2-4*a*c)(1/2),計算機 格式,一般格式,例2. 符號方程cos(x)=sin(x) tan(2*x)=sin(x)求解 f1=solve(cos(x)=sin(x), f1 = 1/4*pi f2=solve(tan(2*x)=sin(x),solve(f , b ) 對指定變量b求解 加與不加效果一樣,例3. 解方程組 x+y+z=1 x-y+z=2 2x-y-z=1 g1=x+y+z=1,g2=x-y+z=2,g3=2*x-y-z=1 f=solve(g1,g2,g3) f=solve(x+y+z=1,x-y+z=2,2*x-y-z=1) f = z = 5/6, y = -1/2, x = 2/3,f=solve(x+y+z=1,x-y+z=2,2*x-y-z=1) f = x: 1x1 sym f.x ans =2/3 y: 1x1 sym f.y ans =-1/2 z: 1x1 sym f.z ans =5/6 x,y,z=solve(x+y+z=1,x-y+z=2,2*x-y-z=1) x = 2/3 y =-1/2 z =5/6,6. 符號微分方程求解 用一個函數(shù)可以方便地得到微 分方程的符號解 符號微分方程求解指令：dsolve 命令格式：dsolve(f,g) f 微分方程，可多至12個微分方程的求 解；g為初始條件 默認自變量為 x,可任意指定自變量t, u等 微分方程的各階導數(shù)項以大寫字母D表示,y1,y2=dsolve(x1,x2,xn) 返回 微分方程的解,一階微分方程 dsolve(Dx=y,Dy=x,x(0)=0,y(0)=1) ans = x(t) = sin(t), y(t) = cos(t) 二階微分方程 dsolve(D2y=-a2*y,y(0)=1,Dy(pi/a)=0) ans = cos(a*x),例.,y=dsolve(D2y+2*Dy+2*y=0,y(0)=1,Dy(0)=0) ans = exp(-x)*cos(x)+exp(-x)*sin(x) ezplot(y) 方程解y(t)的時間曲線圖,求該方程的解,三、maple函數(shù)符號運算的擴展,maple是專門進行數(shù)學運算的軟件工具， 具有超強的符號運算能力，提供了 幾乎包括所有數(shù)學領域的專用函數(shù) matlab依賴于maple的內核與函數(shù)庫，擴 展了自己的符號運算功能。 matlab還設計了對maple庫函數(shù)的調用功能 使得已有的maple數(shù)學功能，可以擴充matlab 中,作為自身符號運算能力的擴展。,1. maple內核訪問函數(shù),可以訪問maple內核的matlab函數(shù): maple 訪問maple內核函數(shù) mapleinit maple函數(shù)初始化 mpa maple函數(shù)定義 mhelp maple函數(shù)幫助命令 procread maple函數(shù)程序安裝,. maple 的調用格式,maple(表達式） 將表達式送至maple內核， 返回符號表達式結果。 maple （函數(shù)，變量1，變量2） 調用maple函數(shù)，傳遞給定 變量。,例1. 展開5階 bernoulli 多項式，計算 x=3 時bernoulli 數(shù)。 a=maple(bernoulli(5,x) a = -1/6*x+5/3*x3+x5-5/2*x4 a=maple(bernoulli(5,3) a = 85,例2. 化簡三角函數(shù)式sin2x+cos2x a=maple(simplify(sin(x)2+cos(x)2);) a = 1 例4. 求f(t)=e-3tsint的拉式變換 f=maple(laplace(exp(-3*t)*sin(t),t,s);) f = 1/(s+3)2+1),例4. 尋找二次多項式的完全平方 f (x) = x2+2x+2 a=maple(completesquare(x2+2*x+2) a = completesquare(x2+2*x+2),將工具包裝入內存,maple(with(student);) a=maple(completesquare(x2+2*x+2) a = (x+1)2+1,maple軟件中的所有函數(shù)，在初始化時并沒有完全裝入內存，可用readlib指令把庫函數(shù)讀入內存，或用with指令將應用工具包裝入內存。 調用格式 maple(readlib(函數(shù)名);) maple(with(工具包名);),例5.求sin(x2+y2)在x=0,y=0處泰勒級數(shù)展開式，8階截斷。 maple(mtaylor(sin(x2+y2),x=0,y=0,8) ans = mtaylor(sin(x2+y2),x = 0, y = 0,8) maple(readlib(mtaylor);) maple(mtaylor(sin(x2+y2),x=0,y=0,8) ans = x2+y2-1/6*x6-1/2*y2*x4-1/2*y4*x2-1/6*y6,2. mpa maple變量定義,任何一個matlab定義的函數(shù)f，可使用mpa語句直接調用，還可把 f 定義成maple變量v。 maple的工作空間與matlab工作空間是相互獨立的， 所以f 與v是屬于不同工作空間中的變量 mpa的調用格式： mpa(v,f) mpa v f,f為matlab工作空間中已存在的變量,例. 電磁力計算公式為 試I=0.5，x=0.1鄰域展開泰勒級數(shù)，3階截 斷，令常數(shù) ， 1.直接調用 maple(readlib(mtaylor);) maple(mtaylor(k*I2/x2,I=0.5,x=0.1,3);),2.定義符號函數(shù)f(matlab6.1無map函數(shù)) f=k*I2/x2; maple(mtaylor(f,I=0.5,x=0.1,3);) ans = mtaylor(f,I = .5, x = .1,3) mpa(u,f) maple(mtaylor(u,I=0.5,x=0.1,3);) ans = 25.*k-.50e3*k*(x-.1)+.10e3*k*(