結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算.ppt

1,16 結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算,2,16.1 兩類穩(wěn)定問題概述,結(jié)構(gòu)中的某些受壓桿件，當(dāng)荷載逐漸增大時(shí)，除了可能發(fā)生強(qiáng)度破壞外，還可能在材料抗力未得到充分發(fā)揮之前就因變形的迅速發(fā)展而喪失承載能力，這種現(xiàn)象稱失穩(wěn)破壞，其相應(yīng)的荷載稱為結(jié)構(gòu)的臨界荷載。壓桿的實(shí)際承載能力應(yīng)為上述兩種平衡荷載中的最小者。,3,所謂結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性是指它所處的平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。,球在三個(gè)位置都能處于平衡，但受到干擾后表現(xiàn)不同：,如小球受到干擾后仍能恢復(fù)到原先的平衡位置，則稱該狀態(tài)為 穩(wěn)定平衡,如小球受到干擾后失去回到原先的平衡位置的可能性，則稱該狀態(tài)為 不穩(wěn)定平衡,如小球受到干擾后可停留在任何偏移后的新位置上，則稱該狀態(tài)為 隨遇平衡,4,結(jié)構(gòu)隨荷載逐漸增大可能由穩(wěn)定的平衡狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定的平衡狀態(tài)，稱為失穩(wěn)。保證結(jié)構(gòu)在正常使用的情況下處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)是結(jié)構(gòu)穩(wěn)定分析的目的。,結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)類型,第一類失穩(wěn)（分支點(diǎn)失穩(wěn)）,第二類失穩(wěn)（極值點(diǎn)失穩(wěn)）,5,第一類失穩(wěn)的基本特征,FPcr,I 穩(wěn)定,II 不穩(wěn)定,FP FPcr時(shí)，桿件僅產(chǎn)生壓縮變形。輕微側(cè)擾，桿件微彎；干擾撤消，狀態(tài)復(fù)原（平衡路徑唯一）。,FP FPcr時(shí)，桿件既可保持原始的直線平衡狀態(tài)，又可進(jìn)入彎曲平衡狀態(tài)（平衡路徑不唯一）。,完善體系,結(jié)構(gòu)失穩(wěn)前后平衡狀態(tài)所對應(yīng)的變形性質(zhì)發(fā)生改變，分支點(diǎn)處平衡形式具有兩重性，分支點(diǎn)處的荷載即為臨界荷載，稱分支點(diǎn)失穩(wěn)。,6,發(fā)生第一類失穩(wěn)的還有：,他們的共同特點(diǎn)是從加載到失穩(wěn)過程中結(jié)構(gòu)變形的性質(zhì)發(fā)生突變，產(chǎn)生了兩種性質(zhì)截然不同平衡路徑。,7,第二類失穩(wěn)的基本特征,FP,FPcr,初始缺陷使得開始加載桿件便處于微彎狀態(tài)，撓度引起附加彎矩。隨荷載增加側(cè)移和荷載呈非線性變化，且增長速度越來越快。荷載達(dá)到一定數(shù)值后，增量荷載作用下的變形引起的截面彎矩的增量將無法再與外力矩增量相平衡，桿件便喪失原承載能力。,非完善體系,是結(jié)構(gòu)由于初始缺陷的存在，荷載與位移間呈非線性變化。失穩(wěn)前后變形性質(zhì)沒有變化，力-位移關(guān)系曲線存在極值點(diǎn)，該點(diǎn)對應(yīng)的荷載即為臨界荷載，稱極值點(diǎn)失穩(wěn)。,8,他們的共同特點(diǎn)是從加載到失穩(wěn)過程中結(jié)構(gòu)變形的性質(zhì)不發(fā)生突變，而是平衡路徑產(chǎn)生了極值點(diǎn)。,發(fā)生第二類失穩(wěn)的情況：,FP,9,當(dāng)荷載、變形達(dá)到一定程度時(shí)，可能從凸形受壓的結(jié)構(gòu)翻轉(zhuǎn)成凹形的受拉結(jié)構(gòu)，這種急跳現(xiàn)象本質(zhì)上也屬極值點(diǎn)失穩(wěn)（跳躍屈曲）。,扁平拱式結(jié)構(gòu)的跳躍失穩(wěn)的基本特征,FP,FPcr,由極值點(diǎn)的失穩(wěn)問題突然轉(zhuǎn)化為受拉的強(qiáng)度問題,10,穩(wěn)定性分析有基于小變形的線性理論和基于大變形的非線性理論。非線性理論考慮有限變形對平衡的影響，分析結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果較吻合，但分析過程復(fù)雜。不管是第一類穩(wěn)定問題，還是第二類穩(wěn)定問題，它們都是一個(gè)變形問題，穩(wěn)定計(jì)算都必須根據(jù)其變形狀態(tài)來進(jìn)行，有時(shí)還要求研究超過臨界狀態(tài)之后的后屈曲平衡狀態(tài)。,11,16.2 有限自由度體系的臨界荷載,確定體系失穩(wěn)時(shí)的位移形態(tài)所需要的獨(dú)立的幾何參數(shù)的數(shù)目稱為體系失穩(wěn)的自由度。,DOF = 1,DOF = 2,DOF = ,12,主要計(jì)算方法：,靜力法根據(jù)臨界狀態(tài)的靜力特征（即平衡形式的二重性），尋找平衡路徑交叉的分支點(diǎn)，可精確得到理論上的臨界荷載值。 能量法依據(jù)能量特征來確定體系失穩(wěn)時(shí)臨界荷載。體系取得平衡的充要條件是任意可能位移和變形均使勢能取得駐值。,13,一、靜力法,在原始平衡狀態(tài)附近的新的位移狀態(tài)上建立靜力平衡方程，并以新位移形態(tài)取得非零解的條件確定失穩(wěn)的臨界荷載。,第一解：,第二解：,1、單自由度完善體系的分支點(diǎn)失穩(wěn),A,B,A,B,14,臨界荷載：,(1) 大撓度理論,FPcr,I 穩(wěn)定,II 不穩(wěn)定,(2) 小撓度理論,大、小撓度理論 臨界荷載相同,15,2、單自由度非完善體系的極值點(diǎn)失穩(wěn),A,B,A,B,16,1.57,求極值點(diǎn)處的臨界荷載,1.00,(1) 大撓度理論,17,(2) 小撓度理論,A,B,18,結(jié)構(gòu)的初始缺陷影響臨界荷載，對穩(wěn)定性是不利的。 當(dāng)結(jié)構(gòu)缺陷逐漸減小并趨于消失時(shí)，極值點(diǎn)的臨界荷載將隨之增大并趨于分支點(diǎn)失穩(wěn)的臨界荷載。 非線性理論分析表明存在極值點(diǎn)失穩(wěn)，與實(shí)際吻合。實(shí)際結(jié)構(gòu)不可避免地存在構(gòu)件的初始缺陷，嚴(yán)格地說失穩(wěn)都屬于第二類失穩(wěn)。 第二類失穩(wěn)屬于幾何非線性問題，而當(dāng)結(jié)構(gòu)變形達(dá)到一定程度時(shí)通常伴有材料非線性的出現(xiàn)，因此計(jì)算比較復(fù)雜，但卻是精確解。,分析結(jié)論,19,第一類失穩(wěn)?？捎梦锢砀拍钋逦慕馕鍪奖磉_(dá)，計(jì)算較簡單，有利于對影響臨界荷載的各種因素形成直觀的認(rèn)識。但計(jì)算出的臨界荷載偏大，不安全。 第一類失穩(wěn)的臨界荷載是第二類臨界荷載的上限值，對因缺陷引起的第二類失穩(wěn)問題?？梢詫⒌谝活愂Х€(wěn)的臨界荷載乘以折減系數(shù)，或?qū)ζ浔磉_(dá)式進(jìn)行適當(dāng)修改，以求其臨界荷載值，這便于設(shè)計(jì)應(yīng)用。,分析結(jié)論,第一類失穩(wěn)仍有其重要地位,20,例題：用靜力法求圖示結(jié)構(gòu)的臨界荷載FPcr,平衡方程,特征方程,特征根,解：從臨界平衡狀態(tài)的兩重性出發(fā),21,例題：靜力法求圖示體系的臨界荷載FPcr.,解：體系的失穩(wěn)形態(tài)可用B，C處的位移y1，y2確定，從臨界平衡狀態(tài)的兩重性出發(fā)列平衡方程。,22,穩(wěn)定方程,屈曲時(shí)可確定 y1和 y2的比值,位形圖,臨界荷載,23,l,l,l,k,k,FP,A,B,C,D,EI= ,EI= ,EI= ,例題：靜力法求圖示體系的臨界荷載FPcr.,解：體系的失穩(wěn)形態(tài)可用B，C處的位移y1，y2確定，從臨界平衡狀態(tài)的兩重性出發(fā)列平衡方程。,24,1,1,1,1,25,計(jì)算步驟：,1 中心受壓直桿處于臨界狀態(tài)，設(shè)產(chǎn)生偏離原平衡位置的一個(gè)可能變形狀態(tài)； 2 在可能變形狀態(tài)下，分析結(jié)構(gòu)受力，作隔離體受力圖； 建立隔離體的平衡方程，由邊界條件確定穩(wěn)定分析的特征方程； 由特征方程求解特征值，繪制失穩(wěn)位形圖； 5 最小特征值即臨界荷載。,26,多自由度體系失穩(wěn)的基本特點(diǎn)：,1 多自由度體系的靜力平衡方程是代數(shù)方程； 2 具有n個(gè)自由度體系的失穩(wěn)時(shí)共有n個(gè)特征對，即有n個(gè)可能失穩(wěn)形態(tài)； 3 對稱體系在軸線荷載作用下的失穩(wěn)位移形態(tài)是對稱或反對稱的； 4 真實(shí)的臨界荷載是n個(gè)特征值中的最小者，其它特征值所對應(yīng)的失穩(wěn)位移形態(tài)只有在比它小的所有特征值對應(yīng)的失穩(wěn)位移形態(tài)被阻止時(shí)才有可能發(fā)生。,27,二、能量法,依據(jù)能量特征來確定體系失穩(wěn)時(shí)的臨界荷載的方法。,勢能駐值原理：彈性體系平衡的充分必要條件是任何可能的位移和變形均使得總勢能 EP 取得駐值，即總勢能的一階變分等于零（EP =0）。,該駐值條件等價(jià)于平衡條件,保證體系位變狀態(tài)的穩(wěn)定性，既要滿足勢能的駐值條件又要考察體系總勢能的二階變分狀態(tài)：,穩(wěn)定平衡,隨遇平衡,不穩(wěn)定平衡,28,變形體系勢能：,= 荷載勢能 + 變形勢能,由廣義坐標(biāo)變分的任意性,關(guān)于廣義坐標(biāo)ai 的齊次方程,廣義坐標(biāo)非零解的條件就是特征方程，它的最小特征根就是臨界荷載，對應(yīng)的廣義坐標(biāo)顯示出失穩(wěn)形態(tài)。,關(guān)于廣義坐標(biāo)的總勢能駐值條件：,29,例題：用能量法求圖示結(jié)構(gòu)的臨界荷載FPcr,解：從臨界平衡狀態(tài)的能量特征出發(fā),系統(tǒng)總勢能,30,例題：用能量法求圖示結(jié)構(gòu)的臨界荷載FPcr,解：從臨界平衡狀態(tài)的能量特征出發(fā),表明勢能為駐值且位移有非零解的能量特征與勢能的二階變分為零的內(nèi)力準(zhǔn)則在本質(zhì)上是相同的,31,l,l,l,k,k,FP,A,B,C,D,EI= ,EI= ,EI= ,例題：用能量法求圖示體系的臨界荷載FPcr.,解：,32,1,1,1,1,勢能駐值條件,特征向量方程組,特征方程（非零解條件）,特征值,特征向量（失穩(wěn)形態(tài)）,臨界荷載,33,k,k,FP,A,B,C,D,EI= ,EI= ,EI= ,從能量角度觀察失穩(wěn)位移圖形可以發(fā)現(xiàn): 當(dāng)兩種情況下鉸結(jié)點(diǎn)(彈簧)位移數(shù)值相等時(shí),反對稱位移形態(tài)的D點(diǎn)水平位移較大?；蛘哒f，D點(diǎn)水平位移相同時(shí)，反對稱的彈簧變形較小，這說明在所有可能的失穩(wěn)位移形態(tài)中，臨界荷載所對應(yīng)的位移形態(tài)應(yīng)使體系發(fā)生失穩(wěn)位移所引起的應(yīng)變能是最小的。,34,16.3 無限自由度體系的臨界荷載,引入假定： 1 桿件無初始缺陷、無初應(yīng)力，屈曲時(shí)荷載方向保持不變； 2 材料是線彈性的； 3 屈曲時(shí)只發(fā)生平面內(nèi)微小變形，忽略剪切變形的影響。,無限自由度穩(wěn)定問題的主要計(jì)算方法仍然是靜力法和能量法,35,1. 等截面壓桿的臨界荷載,靜力法的解題思路：根據(jù)平衡形式的二重性先對變形狀態(tài)建立平衡方程，然后由位移為非零解的條件得到穩(wěn)定方程（特征方程），穩(wěn)定方程的最小根就是臨界荷載。,一、靜力法,對無限自由度體系，平衡方程是微分方程而不是代數(shù)方程，這是與有限自由度體系不同的。,A,B,A,B,36,1. 等截面壓桿的臨界荷載,邊界條件: x = 0 時(shí), y = 0 ; x = l 時(shí), y = 0,A,B,A,B,37,邊界條件: x = 0 時(shí), y = 0 ; y =0 x = l 時(shí), y = 0,例題：靜力法求圖示體系的臨界荷載FPcr.,解：建立變形體平衡方程,A,B,A,B,38,非零解需要系數(shù)行列式為零，得穩(wěn)定方程,這是以l為自變量的超越方程，通常用試算法或圖解法求解穩(wěn)定方程的最小正根。,零解表示無側(cè)移撓度的直線形式平衡狀態(tài)。,39,設(shè)： y1= l y2= tan l,變形曲線不是唯一的，是一組形狀相同而幅度不同的曲線族（類似振型）。,圖解法:,兩條線有無窮多交點(diǎn)，即有無窮組解。,最小的非零根： l=4.493,40,例題：靜力法求圖示排架的臨界荷載FPcr，和柱AB的計(jì)算長度。,解：建立變形體平衡方程,41,邊界條件: x = 0 時(shí) y = 0 x = l 時(shí) y = y = 0,42,展開，得超越方程：,討論：,（1）如果I2= 0，則 k = 0,當(dāng)EI1為有限值時(shí)，l0，所以,（2）如果I2= ，則 k = ,43,（3）如果I2= I1 ，則 k = 3EI/l3,有討論（1）、（2）知,試算法:,令,則,所以,27.09,4.4,3.0,5.86,2.3,0.5,0.043,2.21,2.20,-0.024,-0.5,2.0,1.6,-34.5,44,分析對稱桿件的失穩(wěn)變形形態(tài),FP,FP,由于荷載對稱，所以失穩(wěn)的位移形態(tài)也是對稱或反對稱的。,實(shí)際結(jié)構(gòu)中壓桿的支承常是彈性的：,45,對稱的失穩(wěn)的位移形態(tài),反對稱失穩(wěn)的位移形態(tài),46,當(dāng)結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)約束不足以完全阻止剛架柱底的轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，應(yīng)將固定支座改為彈性鉸支座。彈性支承條件下壓桿的臨界荷載上限、下限可由概念分析得出。,反對稱情況，如剛架梁EI10,對應(yīng)懸臂柱，得臨界荷載下限：,反對稱情況，如剛架梁EI1,對應(yīng)滑動(dòng)支座，得臨界荷載上限：,討 論：,剛架反對稱臨界荷載變化范圍：,對稱失穩(wěn)臨界荷載下限發(fā)生在EI10時(shí)，壓桿柱頂相當(dāng)于鉸鏈支座，相應(yīng)臨界荷載大于反對稱失穩(wěn)時(shí)的臨界荷載上限值，故剛架的失穩(wěn)只能是反對稱的。,47,2. 變截面壓桿的臨界荷載,工程中常見的變截面壓桿有兩類：階形桿和截面連續(xù)變化桿。這兩類桿或是穩(wěn)定方程階數(shù)過高，不易展開和求解，或是形成變系數(shù)的撓曲線微分方程，常很難積分成為有限形式，計(jì)算較為復(fù)雜。,FP,以圖示體系為例分段建立平衡微分方程：,設(shè)：,48,2. 變截面壓桿的臨界荷載,平衡方程的解：,積分常數(shù)由邊界條件和兩段連接點(diǎn)連續(xù)條件確定：,當(dāng)x = 0 時(shí)，y1 = 0；從而導(dǎo)出 B1 = 0,當(dāng)x = l 時(shí)， y20 ；導(dǎo)出 A2 B2 tan2l = 0,當(dāng)x = l1 時(shí)，y1 = y2 、 y1= y2導(dǎo)出,FP,49,2. 變截面壓桿的臨界荷載,由齊次方程非零解條件，令系數(shù)行列式為零：,展開后求得特征方程,當(dāng)EI2=10EI1, l2= l1= 0.5l 時(shí),得最小根1l 1= 3.953,50,二、能量法,對變截面壓桿或軸向荷載復(fù)雜情況用靜力法確定臨界荷載比較繁雜。此時(shí)用能量法可取得較好效果。,能量法的基本原理和步驟同于有限自由度體系穩(wěn)定分析，即利用勢能駐值原理，在勢能的一階變分等于零的情況下，根據(jù)位移取非零解的條件確定荷載特征值，臨界荷載是所有特征值中的最小值。,壓桿的失穩(wěn)曲線可以用一組滿足邊界條件的基函數(shù)線性組合而成。其組合系數(shù)稱為廣義坐標(biāo)，廣義坐標(biāo)個(gè)數(shù)為自由度數(shù)。,51,壓桿在撓曲平衡狀態(tài)時(shí),若有多個(gè)沿軸向作用不同位置的荷載，則荷載勢能,應(yīng)變能,荷載勢能,52,體系勢能,由體系勢能的駐值條件,53,臨界荷載的上限,由于壓桿失穩(wěn)的位移曲線一般很難精確預(yù)計(jì)和表達(dá)，用假設(shè)的位移曲線通過能量法求得的臨界荷載往往是近似解，其近似程度取決于選取位移曲線與真實(shí)曲線的吻合程度。所以恰當(dāng)選取位移函數(shù)是成功應(yīng)用能量法的關(guān)鍵。,54,由邊界條件設(shè)變形函數(shù),例題：能量法求圖示體系的臨界荷載.,取一項(xiàng)時(shí),一階基函數(shù),廣義坐標(biāo) a1,解：,A,B,55,代入能量法的駐值條件,誤差48,由廣義坐標(biāo)非零解的要求,56,誤差3.6,取兩項(xiàng)時(shí),57,由邊界條件設(shè)變形函數(shù),微段以上部分荷載,微段以上外力勢能：,例題：能量法求圖示懸臂柱在自重作用下的臨界荷載.,解：,取一項(xiàng)時(shí),58,外力勢能,應(yīng)變能,體系勢能,由廣義坐標(biāo)非零解要求,由體系勢能駐值條件,誤差5.88,59,取兩項(xiàng)時(shí),變形能,外力勢能,體系勢能,60,由勢能的駐值條件,由廣義坐標(biāo)非零解要求,61,穩(wěn)定方程最小根,比精確解僅大0.01,顯然按單自由度計(jì)算誤差較大，而按雙自由度計(jì)算，誤差明顯減少。但自由度的增加，計(jì)算工作量也大幅增加。 用能量法求得的臨界荷載通常高于精確解。原因是假定的位移曲線只是全部可能位移曲線集合中的一個(gè)子集，或說這相當(dāng)于對體系的變形施加了某種約束，從而增加了體系剛度，使體系抵抗失穩(wěn)的能力提高了。,62,例題：試選擇不同的位移函數(shù)，用能量法求圖示簡支柱的臨界荷載.,解：,（1）假設(shè)撓曲線為拋物線,A,B,63,（2）假設(shè)撓曲線為柱中作用一水平集中荷載FH引起的撓曲線,比精確解大22.0,64,比精確解大1.3,65,（3）假設(shè)撓曲線為正弦曲線,與精確解完全重合，說明所設(shè)位移曲線就是失穩(wěn)的位移曲線。,66,例題：試求兩端簡支的變截面壓桿的臨界荷載。已知截面慣性矩為：,解：,根據(jù)邊界位移條件設(shè)變形函數(shù),（1）取一項(xiàng)作為近似位移函數(shù),求得,A,B,67,（2）取兩項(xiàng)作為近似位移函數(shù),求得,兩次計(jì)算結(jié)果已經(jīng)很接近，相對差值不到0.01，由此可以了解近似程度。,68,16.4 組合壓桿的臨界荷載,由歐拉臨界荷載計(jì)算公式可知：要提高臨界荷載的數(shù)值，應(yīng)加大截面慣性矩或減小計(jì)算長度。,通過施加約束可以改變計(jì)算長度；通過分散截面面積可以增大截面慣性矩。利用組合結(jié)構(gòu)可以達(dá)到增大慣性矩的目的。,由于承重的需要或構(gòu)造上的原因而在工程施工中廣為應(yīng)用的組合壓桿（如橋梁的上弦桿、廠房的雙支柱、無線電桅桿和起重塔吊等），通常是由兩個(gè)型鋼（肢桿）用若干聯(lián)接件相聯(lián)組成的“空腹柱”，按其聯(lián)接件形式分綴條式和綴板式兩種。,69,綴條式：用角鋼或小型槽鋼與肢桿連成桁架式。綴條與肢桿的連接視為鉸結(jié)。,綴板式：用條形鋼板將肢桿連成封閉剛架形式。綴板與肢桿的連接視為剛結(jié)。,綴合構(gòu)件通常有兩種形式：,70,組合壓桿的橫截面,當(dāng)繞 y-y 軸失穩(wěn)時(shí)，臨界荷載的計(jì)算與實(shí)腹桿相同。,當(dāng)繞 x-x 軸失穩(wěn)時(shí)，由于綴合構(gòu)件的連接，截面慣性矩增大，但剪切變形也增大，使得臨界荷載值相應(yīng)下降。,組合壓桿穩(wěn)定性分析的關(guān)鍵在于確定整體剪切變形對臨界荷載的影響,71,彎矩產(chǎn)生的曲率,剪力產(chǎn)生的附加曲率,截面形狀系數(shù) 矩形截面為1.2 圓形截面為1.11,一、剪切變形對臨界荷載的影響,微元體分析剪切變形,72,對兩端鉸支桿壓桿（FR=0）,所以,73,為不計(jì)剪變臨界歐拉力,剪力修正系數(shù),實(shí)體壓桿中剪力對臨界荷載的影響很小，可略去不計(jì)。但對組合壓桿必須考慮剪切影響,74,二、綴條式組合壓桿的臨界荷載,首先取壓桿的一個(gè)節(jié)間分析,當(dāng)剪切角不大時(shí),通常肢桿的橫截面面積遠(yuǎn)大于綴條的橫截面面積，因此只需計(jì)入綴條的影響。相鄰節(jié)間共用一對綴條，故計(jì)算時(shí)只需計(jì)算圖中的一對橫桿。,75,設(shè) Ap-水平綴條截面積.,Aq-傾斜綴條截面積.,76,若略去橫桿影響，兩側(cè)都有綴條，則上式為:,77,若用r 代表兩肢桿截面對整個(gè)截面形心軸 x 的回轉(zhuǎn)半徑,即,并且,一般為3060,故可取,并引入長細(xì)比,若采用換算長細(xì)比h ,則有,上式既是鋼結(jié)構(gòu)規(guī)范中推薦的綴條式組合壓桿換算長細(xì)比的公式.,78,三、綴板式組合壓桿的臨界荷載,將綴板式組合壓桿視為單跨多層剛架，近似認(rèn)為肢桿由剪力作用引起的彎曲變形的反彎點(diǎn)位于相鄰結(jié)點(diǎn)的中點(diǎn)處。,首先取壓桿的一個(gè)層間分析,79,一般綴板的彎曲線