物體物理第五章晶體中的電子狀態(tài)5.3-2.ppt

能量算符和平移算符具有共同的本征函數(shù),周期勢(shì)場(chǎng)模型下的晶體中，電子波函數(shù)為：,周期勢(shì)場(chǎng)中的電子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)：,平移算符的本征值是波矢k的周期函數(shù):k=2/a,平移算符的本征值及其物理意義,原胞之間電子波函數(shù)位相的變化,（2）,平移算符本征值量子數(shù),簡(jiǎn)約波矢，不同的簡(jiǎn)約波矢，原胞之間的位相差不同,（1）,簡(jiǎn)約波矢改變一個(gè)倒格子矢量,平移算符的本征值,（3）,近似條件：周期勢(shì)場(chǎng)隨位置的變化很小，引起的電子勢(shì)能比動(dòng)能小，這種情況下采取“準(zhǔn)自由電子”近似法，用微擾來(lái)處理。,5.3準(zhǔn)自由電子近似法,1. 零級(jí)近似,零級(jí)近似的波動(dòng)方程：,一. 一維情形（非簡(jiǎn)并態(tài)）,零級(jí)近似的解為恒定場(chǎng)V中的自由粒子的解，即本征函數(shù)和本征值：,L=Na，N為原胞數(shù),k為本征值的量子數(shù),零級(jí)近似下的解為自由電子，故稱為近自由電子近似,滿足歸一化條件：,2、微擾計(jì)算,根據(jù)微擾理論：,本征值的一級(jí)修正：,本征值的二級(jí)修正：,求解矩陣元,因?yàn)閂(x)晶格的周期性，所以對(duì)整個(gè)晶格的積分可以化為對(duì)每個(gè)原胞積分的和。,第n個(gè)原胞：,=0,按原胞劃分:,對(duì)不同元胞n引入積分變數(shù),(1),(2),一級(jí)修正得到的電子函數(shù)表現(xiàn)出了具有類似于布洛赫函數(shù)的形式：由自由粒子的波函數(shù)乘上具有晶格周期性的函數(shù),考慮微擾后的波函數(shù)(k-k=n2/a),當(dāng)x變化a的整數(shù)倍的時(shí)候，波函數(shù)的值不變,受微擾市場(chǎng)的影響，波函數(shù) 中摻入了滿足 的所有零級(jí)近似下的波函數(shù) ，摻 入量的大小由k和k對(duì)應(yīng)的能量之差決定，能量差越小，摻入的量越大，即k和k的能級(jí)越近，兩個(gè)波函數(shù)越互相影響。 即：此時(shí)矩陣元存在，且k和k的能量不相等。,考慮微擾后的能量（k-k=n2/a）：,但是，當(dāng),利用非簡(jiǎn)并態(tài)的微擾理論得到的能量二級(jí)修正在n/a附近發(fā)散，此時(shí)應(yīng)采用簡(jiǎn)并微擾。,由于修正項(xiàng)一般較小，所以色散關(guān)系接近拋物線形式,總結(jié)上述， 在非簡(jiǎn)并情況下，利用一般微擾論得到，受擾動(dòng)體系的能量和態(tài)矢量分別由下式給出：,若要兩個(gè)表達(dá)式有意義，級(jí)數(shù)應(yīng)該收斂，那么：,說(shuō)明： （1）|Vn|=|要小，即微擾矩陣元要??； （2）|EkEk,|要大，即能級(jí)間距要寬。,3.簡(jiǎn)并微擾計(jì)算 （ k=n/a ， k=-n/a ）,將能量簡(jiǎn)并的各狀態(tài)線性組合構(gòu)成新波函數(shù)作為零級(jí)近似0，代入波動(dòng)方程(k和k)：,滿足本征方程：,假設(shè) 是簡(jiǎn)并的，那么屬于 的本征值為 的本征函數(shù)為n個(gè)歸一化的本征函數(shù):,其中?。?帶入波動(dòng)方程：,分別乘以 和 并積分，得到下式：,a，b有解的條件是：,離 較遠(yuǎn),(1),將能量 按 展開(kāi)：,只考慮了在微擾中簡(jiǎn)并態(tài)之間的相互影響,使原來(lái)能量較高的 態(tài)能量提高，原來(lái)能量較低的 態(tài)能量降低。但修正項(xiàng)較小，所以能量改變不明顯，能量曲線接近拋物線。,當(dāng) 時(shí),將 按 展開(kāi)：,(2)不能取兩者之間的值。 其能量不連續(xù)間隔為：,(1)電子的能量在布里淵 區(qū)界 從 跳變 到 。,當(dāng)kn/a，能量曲線斷開(kāi)，能級(jí)間發(fā)生排斥作用，產(chǎn)生突變，使準(zhǔn)連續(xù)的能級(jí)分裂成一系列的帶，即能帶。,4.布里淵區(qū)、能帶和能隙,b.在準(zhǔn)自由電子模型中，由于周期勢(shì)場(chǎng)的微擾作用，波函數(shù)具有布洛赫函數(shù)的形式，能量有所修正：,a.在零級(jí)近似下電子被看成自由粒子，能量與波矢呈拋物線型 ，而波函數(shù)則是平面波形式。,當(dāng)k不在n/a附近，能量修正較?。?當(dāng)k在n/a附近，能量修正值較大；,c.各能帶之間的間隔為“帶隙”或“能隙”或“禁帶”，能隙大小為2Vn，在能隙中不存在能級(jí)，每個(gè)帶大小為一個(gè)倒格子原胞長(zhǎng)度即2/a，包含等于晶體原胞數(shù)目N的狀態(tài)。,d.每一個(gè)能量連續(xù)區(qū)域稱為布里淵區(qū)。當(dāng)N很大的時(shí)候，k取值密集，可以看成能量準(zhǔn)連續(xù)。,V(x)變化越劇烈，Vn越大，能隙越寬。,簡(jiǎn)單驗(yàn)證：,每一個(gè)能帶所占的k空間為一個(gè)布里淵區(qū)：,每一個(gè)能帶中k取值可能數(shù),考慮自旋,e.每個(gè)能帶包含2N個(gè)量子態(tài)（考慮自旋）,的取值：,相鄰k取值間隔：,每一個(gè)能帶中的狀態(tài)數(shù)：N,考慮電子波波矢的周期性，將各個(gè)布里淵區(qū)平移 ，合并到第一布里淵區(qū)，得到簡(jiǎn)約布里淵區(qū)；將簡(jiǎn)約布里淵區(qū)圖形按周期展開(kāi)，得到周期布里淵區(qū)；,二. 三維情形,1. 零級(jí)近似,其中：,2. 微擾計(jì)算,有能量跳躍：,從原點(diǎn)出發(fā)與Gn的連線的垂直平分面方程,3. 布里淵區(qū)和能帶交疊,a.布里淵區(qū)在 空間，原點(diǎn) 與所有倒格點(diǎn)連線的垂直平分 面將 空間分割成的各個(gè)區(qū)域；,在布里淵區(qū)內(nèi)，能量準(zhǔn)連續(xù)變化；,每個(gè)布里淵區(qū)的大小為：,每個(gè)布里淵區(qū)(對(duì)應(yīng)一個(gè)能帶)所包含電子態(tài)數(shù)：2N,在布里淵區(qū)邊界處，能量發(fā)生突變；,以二維作圖為例，畫出簡(jiǎn)單立方的二維布里淵區(qū)分布,每個(gè)布里淵區(qū)的體積相同,等于倒空間一個(gè)原胞的體積,原點(diǎn)和6個(gè)近鄰格點(diǎn)連線的垂直平分面圍成的立方體,簡(jiǎn)單立方的第一布里淵區(qū),三維情況：,原點(diǎn)和12個(gè)近鄰格點(diǎn)連線的垂直平分面圍成的正十二面體,體心立方晶體的第一布里淵區(qū),原點(diǎn)和8個(gè)近鄰格點(diǎn)連線的垂直平分面圍成的正八面體，沿立方軸的6個(gè)次近鄰格點(diǎn)連線的垂直平分面割去八面體的六個(gè)角，形成的14面體 八個(gè)面是正