曲線積分與曲面積分-2.ppt

1,小結 思考題 作業(yè),預備知識,概念的引入,概念與性質(zhì),第二類曲面積分的計算法,兩類曲面積分之間的聯(lián)系,第九章 曲線積分與曲面積分,第五節(jié) 第二類曲面積分,2,觀察以下曲面的側,曲面分上側和下側,曲面分內(nèi)側和外側,通常光滑曲面都有兩側.,(假設曲面是光滑的),一、預備知識,有兩側的曲面.,(1)雙側曲面,1. 曲面的分類,3,(2) 單側曲面,莫比烏斯(Mobius)帶.,B、C 粘在一起形成的環(huán),不通過邊界可以,這在雙側曲面上是不能實現(xiàn)的.,它是由一張長方形紙條ABCD,扭轉一下,將A、D粘在一起，,行帶.,小毛蟲在莫比烏斯帶上,爬到任何一點去.,Mobius(1790-1868) 19世紀德國數(shù)學家,4,規(guī)定,2.有向曲面,決定了側的雙側曲面,有向曲面上任一點處的法向量的方向總是指向曲面指定的一側。,5,3. 有向曲面在坐標面上的投影,設是有向曲面.,假定,的余弦,上各點處的法向量與 z軸的夾角,有相同的符號.,在有向曲面,取一小塊,(上側),(下側),在xOy面上的投影,在xOy面上的投影區(qū)域的面積附以一定的,實際上就是,正負號.,6,類似地,可定義 在yOz面及zOx面的投影:,希自己寫出,7,流向曲面一側的流量.,流量,實例,( 為平面A的單位法向量),(斜柱體體積),(1),流速場為常向量,有向平面區(qū)域 A,求單位時間流過A的流體的質(zhì)量,(假定密度為1).,二、概念的引入,8,(2) 設穩(wěn)定流動的不可壓縮流體,給出,函數(shù),(假定密度為1),的速度場由,當,不是常量,曲面,求在單位,時間內(nèi)流向,指定側的,流體的質(zhì)量,是速度場中的一片有向曲面,9,分割,則該點流速為 ，,法向量為,10,求和,取近似,該點處曲面的單位法向量,高,底,通過流向指定側的流量,取極限,11,上式右端極限恰好是數(shù)量值函數(shù),在曲面上的第一類曲面積分，,故 可表為,12,二、第二類曲面積分的概念和性質(zhì),在上有界，,向量值函數(shù),是定向曲面上點,處的單位法向量，,如果第一類曲面積分,存在，,則稱此積分為,向量值函數(shù),在定向曲面上的積分，,也稱為,第二類曲面積分,或,對坐標的曲面積分,13,記作,即,則由定義,如曲面為封閉曲面:,14,前面講過，,如果在曲面上取一微元dS,則dS在xOy,yOz, zOx面上投影的面積分別為,所以，,有向曲面微元dS在xOy面上的有向投影為,有向曲面微元dS在yOz,zOx面上的有向投影分別為,15,所以，,兩類曲面積分之間的聯(lián)系,其中,不論哪一側都成立.,坐標形式,16,4.物理意義,如:上述流向指定側的流量為:,也可寫成,有向曲面元,向量的形式,3. 存在條件,在有向光滑,連續(xù),第二類曲面積分存在.,17,5.性質(zhì),當曲面垂直于xOy平面時，,(1),表示相反的一側,(2),其有向曲面微元dS,在xOy平面上的投影,同理，,當曲面垂直于zOx平面時,當曲面垂直于yOz平面時,18,四、第二類曲面積分的計算法,化為二重積分計算.,設定向曲面分片光滑，且向量值函數(shù),在上連續(xù)。,計算第二類,曲面積分,步驟：,先分別計算,然后將它們相加。,19,求xy型積分,(1),(2),20,第二類曲面積分,必須注意曲面所取的,側.,于是，,上側為正下側為負,前側為正后側為負,右側為正左側為負,21,計算第二類曲面積分時:,(1) 認定對哪兩個坐標的積分,將曲面表為 這兩個變量的函數(shù),并確定的投影域.,(2) 將 的方程代入被積函數(shù),化為投影域上 的二重積分.,(3) 根據(jù)的側(法向量的方向)確定二重積分 前的正負號.,總結：,一投，,二代，,三定向。,22,解,投影域,例,計算,其中是球面,外側在,的部分.,23,24,時，,按前面的方法計算,需先把分別向yOz, zOx, xOy平面投影，,比較麻煩。,下面給出比較簡單的計算公式。,上各點處的單位法向量,由于,取上側，,則,(1),25,于是，,其中符號當取上側時為正，下側時為負。,優(yōu)點：,只需將曲面向xOy面投影。,26,其中符號當取右側時為正，左側時為負。,(2),(3),其中符號當取前側時為正，后側時為負。,27,解,例,下側.,28,由對稱性,29,例,其中,解,法一,直接用第二類曲面積分計算法.,在第一卦限部分的,上側.,所以，,30,法二,利用兩類曲面積分的聯(lián)系計算.,取上側,銳角.,31,32,則,符號的正負與曲面的定側相對應。,33,關于曲面?zhèn)鹊男再|(zhì),六、小結,第二類曲面積分的計算,第二類曲面積分的概念,四步:分割、取近似、求和、取極限,思想: 化為二重積分計算;,注意:,“一投,二代,三定號”,第二類曲面積