自動控制原理第7章離散控制系統(tǒng).ppt

第7章 離散控制系統(tǒng),自動控制原理,普通高等教育“十一五”國家級規(guī)劃教材,機械工業(yè)出版社,2019/7/12,2,離散系統(tǒng)與連續(xù)系統(tǒng)相比，既有本質(zhì)上的不同，又有分析和研究方法的相似性。利用Z變換法研究離散系統(tǒng)，可以將連續(xù)系統(tǒng)中的許多概念和方法，推廣至離散系統(tǒng)中。本章主要討論離散時間線性系統(tǒng)的分析方法。首先建立信號采樣和保持的數(shù)學(xué)描述，然后介紹Z變換理論與性質(zhì)，以及系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)，最后研究系統(tǒng)穩(wěn)定性分析和最少拍系統(tǒng)設(shè)計方法。,第7章 離散控制系統(tǒng),7.1概述 7.2采樣過程與采樣定理 7.3 Z變換理論 7.4 離散控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述 7.5 離散控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計,2019/7/12,3,7.1 概述,如果系統(tǒng)中的變量都是連續(xù)時間信號，稱該系 統(tǒng)為連續(xù)時間系統(tǒng)。但在許多實際系統(tǒng)中，連續(xù)控 制是十分困難的，甚至是難以實現(xiàn)的。 離散控制系統(tǒng)（又稱為采樣控制系統(tǒng)），它與 連續(xù)控制系統(tǒng)的根本區(qū)別在于：離散系統(tǒng)有一處或 幾處信號是時間的離散函數(shù)。 一般情況下，控制信號是離散型時間函數(shù)r*(t)， 因此取系統(tǒng)輸出端的負(fù)反饋信號也需要采取離散型 時間函數(shù)b*(t)，于是比較后得到的偏差信號將是離 散型時間函數(shù)，即,(7-1),2019/7/12,4,因此在離散系統(tǒng)中，通過控制器對被控對象進 行控制的偏差信號e*(t)仍是離散信號。圖7.1是離 散系統(tǒng)的方框圖。圖中兩個采樣開關(guān)的動作一般是 同步的，因此可等效地簡化為圖7.2的形式。其中離 散反饋信號b*(t)是由連續(xù)型的時間函數(shù)b(t)通過采 樣而獲得的。采樣開關(guān)經(jīng)一定時間T后閉合，每次閉 合時間為(T)，如圖7.3所示。,圖7.1 離散系統(tǒng)方框圖,圖7.2 離散系統(tǒng)簡化方框圖,2019/7/12,5,圖7.3 離散型時間函數(shù),離散控制系統(tǒng)最常見形式是數(shù)字控制系統(tǒng)。圖 7.4是數(shù)字控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。圖中用于控制的計算 機D工作在離散狀態(tài)，被控對象G(s)工作在模擬狀態(tài)。,2019/7/12,6,圖7.4 數(shù)字控制系統(tǒng),圖中連續(xù)控制信號r(t)和反饋信號b(t)經(jīng)A/D 轉(zhuǎn)換器被轉(zhuǎn)換成離散數(shù)字信號r*(t)和b*(t)，相比 較后得到離散偏差信號e*(t)=r*(t)b*(t)。通過計 算機運算，產(chǎn)生離散控制序列u*(t)。u*(t)再經(jīng)D/A 轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)換成模擬信號u(t)去控制被控對象，使系 統(tǒng)輸出滿足性能指標(biāo)的要求。,2019/7/12,7,由于A/D和D/A轉(zhuǎn)換器的轉(zhuǎn)換精度一般都比較高，轉(zhuǎn)換所造成的誤差通常可忽略不計，因此A/D和D/A轉(zhuǎn)換器可以用采樣開關(guān)來表示。圖7.5是圖7.4所示的數(shù)字控制系統(tǒng)簡化后的等效框圖，其中采樣開關(guān)的動作是同步的。,圖7.5 數(shù)字控制系統(tǒng)的簡化框圖,2019/7/12,8,數(shù)字控制系統(tǒng)較之一般的連續(xù)控制系統(tǒng)具有如下一些優(yōu)點：,能夠保證足夠的計算精度； 在數(shù)字控制系統(tǒng)中可以采用高精度檢測元件和執(zhí)行元件，從而提高整個系統(tǒng)的精度； 數(shù)字信號或脈沖信號的抗干擾性能好，可以提高系統(tǒng)的抗干擾能力； 可以采用分時控制方式，提高設(shè)備的利用率，并且可以采用不同的控制規(guī)律進行控制； 可以實現(xiàn)一些模擬控制器難以實現(xiàn)的控制律，特別對復(fù)雜的控制過程，如自適應(yīng)控制、最優(yōu)控制、智能控制等，只有數(shù)字計算機才能完成。,2019/7/12,9,7.2 采樣過程與采樣定理,離散系統(tǒng)的特點是：系統(tǒng)中一處或數(shù)處的信號 是脈沖序列或數(shù)字序列。為了將連續(xù)信號變換為離 散信號，需要使用A/D轉(zhuǎn)換器(采樣器)；另一方面， 為了控制連續(xù)的被控對象，又需使用D/A轉(zhuǎn)換器(保 持器)將離散信號轉(zhuǎn)換為連續(xù)信號。因此，為了定量 地研究離散系統(tǒng)，有必要對信號的采樣和恢復(fù)過程 進行描述。,2019/7/12,10,7.2.1 采樣過程及其數(shù)學(xué)描述,將連續(xù)信號通過采樣開關(guān)(或采樣器)變換成離 散信號的過程稱為采樣過程。相鄰兩次采樣的時間 間隔稱為采樣周期T。,本章僅限于討論等速同步采樣過程。,等速采樣:采樣開關(guān)以相同的采樣周期T動作，又稱為周期采樣 多速采樣:系統(tǒng)中有n個采樣開關(guān)分別按不同周期動作 隨機采樣:采樣開關(guān)動作是隨機的,采樣頻率：,采樣角頻率：,采樣可分為：,2019/7/12,11,采樣過程如圖7.6所示。連續(xù)信號x(t)經(jīng)過采 樣開關(guān)轉(zhuǎn)換成離散信號x*(t)。如果x*(t)的幅值經(jīng) 整量化用數(shù)字(或數(shù)碼)來表示，則x*(t)在幅值上 也是離散的?？紤]到采樣開關(guān)的閉合時間遠(yuǎn)小于采 樣周期T和系統(tǒng)連續(xù)部分的最大時間常數(shù)，可認(rèn)為 采樣時間=0，x(t)在內(nèi)變化很小，因此x*(t) 可用幅值為x(kT)，寬度為的脈沖序列近似表示。,(a),(b),(c),圖7.6 采樣過程,2019/7/12,12,由圖7.6(c)，可寫出脈沖序列x*(t)表達式為,式中1(tkT)1(tkT)表示一個發(fā)生在kT時刻，高度為1，寬度為，即面積為的矩形脈沖。由于T，故該矩形脈沖可近似用理想單位脈沖來描述，即,式中(tkT)為t=kT(k=0,1,2,)時刻具有單位強度的理想脈沖。,(7-2),(7-3),2019/7/12,13,需要指出，具有無窮大幅值和持續(xù)時間無窮小 的理想單位脈沖只是數(shù)學(xué)上的假設(shè)，在實際物理系 統(tǒng)中是不存在的。因此，在實際應(yīng)用中，對理想單 位脈沖(面積為1)來說，只有討論其面積，或強度才 有意義。式(7-3)就是基于這種觀點，從矩形脈沖及 理想脈沖的面積來考慮的。 采樣開關(guān)對連續(xù)信號x(t)進行采樣后，其輸出 的離散時間信號x*(t)可表示為,(7-4),式中(kT)表示發(fā)生在kT時刻脈沖的強度，其值與 被采樣的連續(xù)信號x(t)在采樣時刻kT時的值相等。,2019/7/12,14,式(7-4)表明，離散信號是由一系列脈沖組成，在采樣時刻t=kT，脈沖的面積就等于該時刻連續(xù)信號x(t)的值x(kT)。式(7-4)也可寫作,(7-5),因此，采樣過程從物理意義上可以理解為脈沖調(diào)制過程。在這里，采樣開關(guān)起著理想單位脈沖發(fā)生器的作用，通過它將連續(xù)信號x(t)調(diào)制成脈沖序列x*(t)。,2019/7/12,15,7.2.2 采樣定理,在設(shè)計離散控制系統(tǒng)中，采樣周期的選擇是一 個關(guān)鍵問題。如果采樣周期T越短，即采樣角頻率越 高，則x*(t)中包含的x(t)信息越多。但采樣周期不 可能無限短。假設(shè)連續(xù)信號x(t)的頻率特性為,(7-6),該信號的頻譜|X(j)|是一個單一的連續(xù)頻譜，其 最高頻率為max，如圖7.7(a)所示。從圖中可見，x(t)不包含任何大于max的頻率分量。 根據(jù)式(7-5)，離散信號x*(t)的拉普拉斯變換為,(7-7),2019/7/12,16,(a),圖7.7 連續(xù)信號及離散信號的頻譜,式中s=2/T為采樣頻率，X(s)為x(t)的拉氏變 換。若X*(s)的極點全都位于s左平面，可令s=j， 求得x*(t)的傅氏變換為,(7-8),2019/7/12,17,式中X(j)為連續(xù)信號x(t)的傅氏變換，|X(j)| 即為x(t)的頻譜，即,(7-9),式(7-9)中離散信號x*(t)的頻譜|X*(j)|是以采樣頻率s為周期，由無限多x(t)的頻譜|X(j)|疊加而成。當(dāng)s2max時，離散信號的頻譜為無限多個孤立頻譜組成的離散頻譜，其中與k=0對應(yīng)的是采樣前原連續(xù)信號的頻譜，幅值為原來的1/T，如圖7.7(b)所示。 若s2max，離散信號x*(t)的頻譜不再由孤立頻譜構(gòu)成，而是一種與原來連續(xù)信號x(t)的頻譜毫不相似的連續(xù)頻譜，如圖7.7(c)所示。,2019/7/12,18,(b),圖7.7 連續(xù)信號及離散信號的頻譜,(c),2019/7/12,19,要從離散信號x*(t)中完全復(fù)現(xiàn)出采樣前的連續(xù)信號x(t)，必須使采樣頻率s足夠高，以使相鄰兩頻譜不相互重疊。,定理7.1(Shannon定理)：如果對一個具有有限頻譜 (-maxmax)的連續(xù)信號采樣，當(dāng)采樣角頻率,或采樣頻率,時，則由采樣得到的離散信號能夠無失真地恢復(fù)到原來的連續(xù)信號。,(7-10),幾點說明： (1) 采樣定理給出的是由采樣脈沖序列無失真地再 現(xiàn)原連續(xù)信號所必需的最大采樣周期或最低采樣頻 率。在控制工程實踐中，一般取s2max。,2019/7/12,20,(2) 若式(7-10)成立，將離散信號x*(t)通過一 個理想低通濾波器，就可以把smax的高頻分量全部濾除掉，使X*(j)中僅留下X(j)/T部分， 再經(jīng)過放大器對1/T進行補償，便可無失真地將原連續(xù)信號x(t)完整地提取出來。理想低通濾波器特性如圖7.7(b)中虛線所示。 (3) 采樣周期T是離散控制系統(tǒng)中的一個關(guān)鍵參數(shù)。如果采樣周期選得越小，即采樣頻率越高，對被控系統(tǒng)的信息了解得也就越多，控制效果也就越好。但同時會增加計算機的運算量。反之，如果采樣周期選擇越大，由于不能全面掌握被控系統(tǒng)的信息，會給控制過程帶來較大的誤差，降低系統(tǒng)的動態(tài)性能，甚至有可能使整個控制系統(tǒng)變得很不穩(wěn)定。,2019/7/12,21,7.2.3 信號的恢復(fù),離散信號還原成連續(xù)信號時需使用的理想濾波器在物理上是無法實現(xiàn)的。實際中廣泛應(yīng)用的濾波器是保持器(或保持電路)。 信號恢復(fù)/保持就是將離散時間信號變成連續(xù)時間信號。實現(xiàn)保持功能的器件稱為保持器。保持器是具有外推功能的元件，其外推作用表現(xiàn)為當(dāng)前時刻的輸出信號是過去時刻離散信號的外推。保持器在離散系統(tǒng)中的位置應(yīng)處在采樣開關(guān)之后(圖7.8)。,圖7.8 保持器方塊圖,2019/7/12,22,能夠物理實現(xiàn)的保持器都必須按現(xiàn)在時刻或過 去時刻的采樣值實行外推，而不能按將來時刻的采 樣值外推。具有常值、線性、二次函數(shù)(如拋物線) 型外推規(guī)律的保持器，分別稱為零階、一階、二階 保持器。 工程實踐中普遍采用零階保持器。零階保持器 是一種按常值規(guī)律外推的保持器。它把前一個采樣 時刻kT的采樣值x(kT)不增不減地保持到下一個采 樣時刻(k+1)T。當(dāng)下一個采樣時刻(k+1)T到來時應(yīng) 換成新的采樣值x(k+1)T繼續(xù)外推。也就是說， kT時刻的采樣值只能保存一個采樣周期T，到下一 個采樣時刻到來時應(yīng)立即停止作用，下降為零。,2019/7/12,23,零階保持器的時域特性gh(t)如圖7.9(a)所示。 它是高度為1寬度為T的方波。高度等于1，說明采 樣值經(jīng)過保持器既不放大、也不衰減；寬度等于T，說明零階保持器對采樣值保存一個采樣周期。圖7.9(a)所示的gh(t)可以分解為兩個階躍函數(shù)之和， 如圖7.9(b)所示。,圖7.9 零階保持器的時域特性,(b),(a),2019/7/12,24,(7-11),則零階保持器的傳遞函數(shù)為,(7-12),令s=j，帶入式(7-12)中得零階保持器頻率特性為,(7-13),或?qū)懗?(7-14),因此零階保持器的單位脈沖響應(yīng)gh(t)是一個幅值為1、持續(xù)時間為T的矩形脈沖，可表示為兩個階躍函數(shù)之和，即,2019/7/12,25,式(7-14)中，|Gh(j)|為零階保持器的幅頻特性或頻譜；Gh(j)為零階保持器的相頻特性。它們與頻率的關(guān)系分別為,(7-15),(7-16),2019/7/12,26,從幅頻特性來看，零階保持器是具有高頻衰減 特性的低通濾波器，且頻率越高衰減越劇烈，0 時的幅值為T；從相頻特性來看，零階保持器具有負(fù) 的相角，會對閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性產(chǎn)生不利的影響。,圖7.10 零階保持器的幅頻與相頻特性,2019/7/12,27,零階保持器有無窮多個截止頻率，除允許主頻 譜分量通過外，還允許部分高頻分量通過。所以零 階保持器并不是只有一個截止頻率的理想低通濾波 器，因此由零階保持器恢復(fù)的連續(xù)信號xh(t)與原連 續(xù)信號x(t)是有差異的，主要表現(xiàn)在xh(t)具有階梯 形狀，采樣周期取得越小，上述差別也就越小。,圖7.11 零階保持器的輸出信號,2019/7/12,28,需要指出，在相位上存在滯后現(xiàn)象，是各階保持器具有的共性。零階保持器相對于其他類型的保持器具有最小的相位滯后，且容易實現(xiàn)，因此在離散控制系統(tǒng)中應(yīng)用最為廣泛。對于通過零階保持器的高頻分量，它對系統(tǒng)的被控制信號的影響不大，這是由于一般系統(tǒng)中的連續(xù)部分均具有較好的低通濾波特性，可以使絕大部分的高頻分量被抑制掉。因此，在離散控制系統(tǒng)中采用零階保持器來恢復(fù)離散信號已足夠，沒有必要采用更復(fù)雜的高階保持器。,此外零階保持器引入了附加的滯后相移，xh(t) 比x(t)在時間上平均滯后半個采樣周期（如圖7.11中虛線所示），這使系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性有所降低。,2019/7/12,29,7.3 Z變換理論,Z變換的思想來源于連續(xù)系統(tǒng)。在分析連續(xù)時 間線性系統(tǒng)的動態(tài)和穩(wěn)態(tài)特性時，采用拉普拉斯變 換，將系統(tǒng)時域的微分方程轉(zhuǎn)換成s域的代數(shù)方程， 并得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，從而便于分析系統(tǒng)的性能。 與此相似，在分析離散時間系統(tǒng)的性能時，可使用 Z變換建立離散時間線性系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)，進 而分析系統(tǒng)的性能。Z變換又稱為離散拉普拉斯變 換，是分析離散系統(tǒng)的重要數(shù)學(xué)工具。,2019/7/12,30,7.3.1 Z變換定義,設(shè)連續(xù)時間函數(shù)x(t)可進行拉普拉斯變換，其拉氏變換為X(s)。連續(xù)時間函數(shù)x(t)經(jīng)采樣周期為T的采樣開關(guān)后，得到離散信號x*(t)(式7-4)，即,對上式表示的離散信號進行拉氏變換，可得,(7-17),式中X*(s)是離散時間函數(shù)x*(t)的拉氏變換。,2019/7/12,31,因復(fù)變量s包含在指數(shù)函數(shù)e-kTs中不便計算，故引進一個新變量z，即,(7-18),式中，T為采樣周期。將式(7-18)代入式(7-17)， 便得到以z為變量的函數(shù)X(z)，即,(7-19),式中X(z)稱為離散時間函數(shù)X*(s)的Z變換，記為,在Z變換中，考慮的是連續(xù)時間信號經(jīng)采樣后的離散時間信號，或者說考慮的是連續(xù)時間函數(shù)在采樣時刻的采樣值，而不考慮采樣時刻之間的值。,2019/7/12,32,式(7-19)只適用于離散時間函數(shù)，只能表征連 續(xù)時間信號在采樣時刻的信息，不能給出采樣時刻 之間的信息。從這個意義上說，連續(xù)時間函數(shù)x(t) 與相應(yīng)的離散時間函數(shù)x*(t)具有相同的Z變換，即,(7-20),Z變換中一般項x(kT)z-k與離散函數(shù)的拉氏變換 中一般項x(kT)e-kTs物理意義相同。z-k表征采樣脈沖 出現(xiàn)時刻，x(kT)表征該時刻采樣脈沖幅值。Z變換 實際上是拉氏變換的一種演化，目的是把原來是s的 超越函數(shù)X*(s)則變?yōu)閦的有理函數(shù)X(z)，以便于對 離散系統(tǒng)進行分析和設(shè)計。從離散拉氏變換到離散 z變換，就是由復(fù)變量s平面到復(fù)變量z平面的映射變 換，這個映射關(guān)系就是式(7-18)。,2019/7/12,33,7.3.2 Z變換方法,(1)級數(shù)求和法 式(7-19)是離散函數(shù)x*(t)的Z變換的級數(shù)展開形式，將其改寫成,(7-21),該式是Z變換的一種級數(shù)表達式。顯然，只要知道 連續(xù)時間函數(shù)x(t)在各采樣時刻kT (k=0,1,2,) 上的采樣值x(kT)，便可求出Z變換的級數(shù)展開式。 這種級數(shù)展開式具有無窮多項，是開放的，如果不 能寫成閉式，是很難應(yīng)用的。一些常用函數(shù)的Z變換 的技術(shù)展開式可以寫成閉式的形式。,2019/7/12,34,例7-1,試求單位階躍函數(shù)1(t)的Z變換。,解 單位階躍函數(shù)1(t)在所有采樣時刻上的采樣值均為1，即,將上式代入式(7-21)，得,或,(7-22),上式中，若|z|1，可寫成如下的封閉形式，即,(7-23),2019/7/12,35,例7-2,試求衰減的指數(shù)函數(shù)e-at(a0)的Z變換。,解 將e-at在各采樣時刻的采樣值代入式(7-21)中，得,(7-24),若|eatz|1,則上式可寫成閉式的形式，即,(7-25),例7-3,試求理想脈沖序列 的Z變換。,解 因為T為采樣周期，所以,2019/7/12,36,因此，理想脈沖的級數(shù)展開式為,(7-26),將上式寫成閉合形式,(7-27),例7-4,試求函數(shù)ak的Z變換。,解 將ak在各采樣時刻的采樣值代入式(7-21)中得,(7-28),將該級數(shù)寫成閉合形式，得ak的Z變換，即,(7-29),2019/7/12,37,例7-5,試求函數(shù)x(t)=sint的Z變換。,解 因為,所以,(7-30),通過級數(shù)求和法求取已知函數(shù)Z變換的缺點在于： 需要將無窮級數(shù)寫成閉合形式。在某些情況下需要 很高的技巧。Z變換的無窮級數(shù)形式(7-21)的優(yōu)點 在于具有鮮明的物理含義。,2019/7/12,38,(2) 部分分式法 設(shè)連續(xù)時間函數(shù)x(t)的拉普拉斯變換X(s)為有理函數(shù)，并具有如下形式,將X(s)展開成部分分式和的形式，即,由拉氏變換知，與 項相對應(yīng)的時間函數(shù)為 ，根據(jù)式(7-25)便可求得其Z變換為 ，因此，函數(shù)x(t)的Z變換可由X(s)求得,(7-31),2019/7/12,39,例7-6,利用部分分式法求取正弦函數(shù)sint的Z變換。,解 已知 ，將 分解成部分分式 和的形式，即,由于 拉氏變換的原函數(shù)為 ；再根據(jù)式 (7-25)可求得上式的Z變換,(7-32),2019/7/12,40,例7-7,已知連續(xù)函數(shù)x(t)的拉氏為 ， 求連續(xù)時間函數(shù)x(t)的Z變換。,解 將X(s)展成如下部分分式,對上式逐項取拉氏反變換，得,據(jù)求得的時間函數(shù)，逐項寫出相應(yīng)的Z變換，得,(7-33),2019/7/12,41,(3) 留數(shù)計算法 假如已知連續(xù)時間函數(shù)x(t)的拉氏變換X(s)及 全部極點si(i=1,2,3,n)，則x(t)的Z變換X(z) 可通過留數(shù)計算求得。,先分析X(z)和X(s)的關(guān)系。由拉氏反變換式有,當(dāng)對x(t)以采樣周期T進行采樣后，其采樣值為,(7-34),而x(kT)的Z變換為,(7-35),2019/7/12,42,將式(7-34)代入式(7-35)得,符合收斂條件|z|eTs|時，,可寫成閉式,將此其代入式(7-35)，得,(7-36),這就是由拉普拉斯變換函數(shù)直接求相應(yīng)的Z變換函數(shù) 的關(guān)系式。這個積分可以應(yīng)用留數(shù)定理來計算。,2019/7/12,43,即,(7-37),式中，si為X(s)的極點；n為X(s)的極點個數(shù)；,表示求F(s)在s=si處的留數(shù)。,(7-38),若si為X(s)的ri重極點，則,(7-39),若si為X(s)的單極點，則,2019/7/12,44,例7-8,求x(t)=t-at的Z變換。,解 由于 ，所以s1=0，r1=2。根據(jù)式(7-39)得,求x(t)=teat的Z變換。,例7-9,解 由于 ，所以s1=a，r1=2。根據(jù) 式(7-39)計算X(z)，即,2019/7/12,45,例7-10,已知 ，求X(z)。,解 由X(s)可知s1=1，s2=2均為單極點，則可根據(jù) 式(7-38)計算留數(shù)，即,2019/7/12,46,常用函數(shù)的Z變換及相應(yīng)的拉氏變換如表7.1所 示。這些函數(shù)的Z變換都是z的有理分式，且分母多 項式的次數(shù)大于或等于分子多項式的次數(shù)。表中各 Z變換的有理分式中，分母z多項式的最高次數(shù)與相 應(yīng)的傳遞函數(shù)分母s多項式的最高次數(shù)相等。,表7.1 Z變換表,2019/7/12,47,表7.1 Z變換表（續(xù)）,2019/7/12,48,7.3.3 Z變換性質(zhì),Z變換有一些基本定理，可以使Z變換的應(yīng)用變 得簡單和方便，在許多方面與拉普拉斯變換的基本 定理有相似之處。,(1) 線性定理 設(shè)函數(shù)x(t)、x1(t)、x2(t)的Z變換分別為X(z)、X1(z)及X2(z)，a為常數(shù)，則有,(7-40),(7-41),此定理可由Z變換定義直接證得。,2019/7/12,49,(2) 時移定理 如果函數(shù)x(t)的z變換為X(z)，則,式(7-42)亦稱延遲定理，式(7-43)亦稱超前定理。,(7-42),(7-43),證明 首先證明式(7-42)。令ik=r，由,則求得,2019/7/12,50,如果t0時x(t)=0，則x(kT)=x(2T)= x(T)=0，則式(7-42)可寫成,(7-44),延遲定理說明，原函數(shù)在時域中延遲k個采樣周期，相當(dāng)于像函數(shù)乘以zk 。,2019/7/12,51,再證明式(7-43)，由 ，令 i+k=r，則求得,若滿足x(0)=x(T)=x(k1)T=0，上式可簡寫為,(7-45),算子zk的意義，相當(dāng)于把時間信號超前k個采樣周期。,2019/7/12,52,(3) 初值定理 如果函數(shù)x(t)的Z變換為X(z)，并且t0時有 x(t)=0，則,(7-46),證明 由Z變換定義可得,在上式中，當(dāng)z時，除第一項外，其余各項均為 零，即,2019/7/12,53,(4) 終值定理 如果函數(shù)x(t)的Z變換X(z)的極點均位于z平面的單位圓內(nèi)，且不含有z =1的二重以上的極點，則x(t)的終值為,(7-47),證明 由,得,當(dāng)z1時，兩邊取極限得,2019/7/12,54,7.3.4 Z反變換方法,根據(jù)X(z)求離散時間信號x*(t)或采樣時刻值 的一般表達式x(kT)的過程稱為Z反變換，記為 Z-1X(z)。下面介紹三種常用求Z反變換的方法。 (1) 長除法 由函數(shù)的Z變換表達式，直接利用長除法求出 按z-1升冪排列的級數(shù)形式，再經(jīng)過拉氏反變換， 求出原函數(shù)的脈沖序列。 X(z)的一般形式為,2019/7/12,55,用長除法求出z-1的升冪形式，即,(7-48),求X(z)= 的Z反變換，其中e-aT=0.5。,例7-11,解 用長除法將X(z)展開為無窮級數(shù)形式,相應(yīng)的脈沖序列為,2019/7/12,56,(2) 部分分式法 通過部分分式法求取Z反變換的過程，與應(yīng)用 部分分式法求取拉普拉斯反變換很相似。首先需將 用部分分式法展開成形式的諸項之和，即,(7-49),再將等號兩邊同乘以復(fù)變量z，通過Z反變換求取相應(yīng)的時間函數(shù)，最后將上述各時間函數(shù)求和即可。,例7-12,求 的Z反變換。,解 首先將 展開成下列部分分式,2019/7/12,57,由此可得,得,根據(jù)t=kT，并且只考慮采樣時刻的函數(shù)值，則x*(t) 還可用x(t)來表示，即,再由,2019/7/12,58,(3) 留數(shù)計算法 留數(shù)法又稱反演積分法。實際問題中遇到的Z變換函數(shù)X(z)除有理分式外也可能是超越函數(shù)，此時無法應(yīng)用部分分式法或冪級數(shù)法來求取Z反變換，只能采用留數(shù)計算法。若x(kT)的Z變換為X(z)，則有,(7-50),式中，積分曲線c為逆時針方向包圍X(z)zk-1全部極 點的圓。式(7-50)可等效為,(7-51),上式表明，x(kT )為函數(shù)X(z)zk-1在其全部極點上的留數(shù)之和。,2019/7/12,59,例7-13,求 的Z反變換。,或,解,例7-14,求 的Z反變換。,解 X(z)中互不相同的極點為z1=a及z2=1，,2019/7/12,60,由此可求得X(z)的Z反變換為,以上列舉了求取Z反變換的三種常用方法。其中 長除法最簡單，但是由長除法得到的Z反變換是開式 而非閉式，因此應(yīng)用時較為困難。而部分分式法和 留數(shù)計算法得到的Z反變換均為閉式。,其中z1為單極點，即r1=1；z2為二重極點，即r2=2，不相同的極點數(shù)為l=2。則,2019/7/12,61,7.4 離散控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述,系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)中各變量之間相互 關(guān)系的數(shù)學(xué)表達式。分析連續(xù)時間系統(tǒng)時，一般采 用微分方程來描述系統(tǒng)輸入變量與輸出變量之間的 關(guān)系。而在分析研究離散時間系統(tǒng)時，需建立系統(tǒng) 的數(shù)學(xué)表達式，可以采用差分方程描述在離散的時 間點上（即采樣時刻），輸入離散時間信號與輸出 離散時間信號之間的相互關(guān)系。,2019/7/12,62,7.4.1 線性常系數(shù)差分方程,對于一般的連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)，輸入和輸 出信號都是連續(xù)時間的函數(shù)，用連續(xù)時間系統(tǒng)的微 分方程或積分方程描述其內(nèi)在規(guī)律。而離散時間系 統(tǒng)的輸入和輸出信號都是離散時間函數(shù)，kT時刻的 輸出不但與kT時刻的輸入有關(guān)，還與kT時刻以前若 干個采樣時刻的輸入和輸出有關(guān)，其動力學(xué)行為不 能用時間的微商來描述，必須用差分方程來描述。 差分方程是反映離散系統(tǒng)輸入-輸出序列之間的 運算關(guān)系。微分方程中的各項包含有連續(xù)自變量的 函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)。差分方程中自變量是離散的，方程 的各項除了包含有這種離散變量的函數(shù)，還包含此 函數(shù)序數(shù)增加或減少的函數(shù)。,2019/7/12,63,設(shè)系統(tǒng)為一階慣性環(huán)節(jié)，如圖7.12(a)所示。系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為,其微分方程為,該連續(xù)系統(tǒng)對應(yīng)的離散系統(tǒng)如圖7.12(b)所示。采樣開關(guān)Ka對輸入信號每隔T秒采樣一次，得序列 。輸出經(jīng)過與Ka同步的采樣開關(guān)Kb后 的序列為 。下面來研究y(kT)與x(kT)之間的關(guān)系。,(7-52),2019/7/12,64,(a),(b),圖7.12 連續(xù)時間系統(tǒng)和離散時間系統(tǒng)的方框圖,與連續(xù)時間系統(tǒng)中求解微分方程的方法一樣， 對于離散時間系統(tǒng)，求解差分方程時也可以分別求 出其零輸入分量和零狀態(tài)分量，然后迭加得到方程 的全解?？疾煸趖kT時的情況。當(dāng)tkT而該時刻 的脈沖尚未施加時，由該時刻開始的零輸入分量為,(7-53),2019/7/12,65,由于此系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)是 。,(7-54),于是，tkT后的系統(tǒng)總輸出為,(7-55),當(dāng)t=(k+1)T時，式(7.55)為,或,(7-56),(7-57),所以當(dāng)t=kT，第k個脈沖x(kT)(tkT)加于系統(tǒng)后，系統(tǒng)輸出的零狀態(tài)分量為,2019/7/12,66,差分方程式(7-56)或(7-57)是描述描述了系統(tǒng)在第k個采樣周期時輸入與輸出信號的關(guān)系。從式中可以看出，差分方程的系數(shù)與采樣周期T有關(guān)。 比較式(7-52)和式(7-57)可以看出，若y(t)與y(kT)相當(dāng)，則y(kT)中離散變量序號加1與y(t)對連續(xù)變量t取一階導(dǎo)數(shù)相當(dāng)，于是上面兩式中各項都可一一對應(yīng)。差分方程和微分方程不僅形式相似，而且在一定條件下還可以互相轉(zhuǎn)化。假設(shè)時間間隔T足夠小，當(dāng)t=kT時，有,因此，式(7-52)可改寫為,2019/7/12,67,經(jīng)整理后，可得,(7-58),式(7-58)與式(7-57)形式相同。當(dāng)T足夠小時， 微分方程(7-52)可以近似為差分方程式(7-58)，采 樣時間T越小，則近似得越好。對于一個物理系統(tǒng)， 用常系數(shù)線性n階差分方程來描述時，一般形式為,(7-59),式中，ai和bi(i=0,1,2,n)均為常數(shù)。式(7-59) 再次說明輸出y(k)不僅取決于當(dāng)前的輸入x(k)，而 且與前n個輸入x(ki)以及前n個輸出y(ki)有關(guān)， 且其關(guān)系是線性的。,2019/7/12,68,7.4.2 脈沖傳遞函數(shù),引入z變換的一個重要作用是用于導(dǎo)出離散時 間線性定常系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)，這為離散時間系 統(tǒng)的分析和控制帶來極大的方便。 (1) 脈沖傳遞函數(shù)定義 在線性連續(xù)系統(tǒng)中，當(dāng)初始條件為零的情況下 分別取輸入r(t)和輸出c(t)的拉氏變換，則它們的 比值C(s)/R(s)=G(s)稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。在離散 系統(tǒng)中也有同樣的表達方法，在初始條件為零的情 況下取輸出Z變換與輸入Z變換之比,(7-60),上式稱為系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)，也稱z傳遞函數(shù)。,2019/7/12,69,下面從系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)的角度推導(dǎo)脈沖傳遞函 數(shù)，并說明其物理意義。設(shè)輸入信號r(t)經(jīng)采樣開 關(guān)后為一脈沖序列，如圖7.13(a)所示。,這一脈沖序列作用于系統(tǒng)的G(s)時，系統(tǒng)輸出為一 系列脈沖響應(yīng)之和，如圖7.13所示。,(a),(b),(c),圖7.13 脈沖響應(yīng),2019/7/12,70,當(dāng)0tT時，作用于G(s)的輸入脈沖為r(0)時，則 系統(tǒng)的輸出響應(yīng)為,式中g(shù)(t)為系統(tǒng)G(s)的單位脈沖響應(yīng)，且滿足,當(dāng)Tt2T時，系統(tǒng)處于兩個輸入脈沖的作用下： 一個是t=0時的r(0)脈沖作用，它產(chǎn)生的響應(yīng)依然存在；另一個是t=T時的r(T)脈沖作用。因此在此區(qū)間內(nèi)的系統(tǒng)輸出響應(yīng)為,2019/7/12,71,在kTt1(k+1)T時，系統(tǒng)輸出響應(yīng)為,(7-61),(7-62),因為系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)是從t=0才開始出現(xiàn)信號， 當(dāng)t0時，g(t)=0，所以當(dāng)ik時，式(7-62)中,可見當(dāng)系統(tǒng)輸入為一系列脈沖時，輸出為各脈 沖響應(yīng)之和。在t=kT時刻系統(tǒng)輸出的采樣信號值為,2019/7/12,72,因此，kT時刻以后的輸入脈沖，如r(k+1)T, r(k+2)T,不會對kT時刻的輸出信號產(chǎn)生影 響，故式(7-62)中求和上限可擴展為i，可得,(7-63),由Z變換的定義，得,(7-64),于是有下式成立,2019/7/12,73,(7-65),令ki=n，同樣考慮到當(dāng)n0時，g(nT)=0，又有,(7-66),故,(7-67),G(z)就是圖7.13(b)所示系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。 由于式(7-67)是脈沖響應(yīng)函數(shù)的采樣序列的Z變換， 所以又稱為系統(tǒng)的z傳遞函數(shù)。,2019/7/12,74,有兩點需要說明： 物理系統(tǒng)在輸入為脈沖序列的作用下，其輸出量是時間的連續(xù)函數(shù)，如圖7.14的c(t)。但如前所述，Z變換只能表征連續(xù)時間函數(shù)在采樣時刻的采樣值。因此，這里所求得的脈沖傳遞函數(shù)，是取系統(tǒng)輸出的脈沖序列作為輸出量。因此，在方框圖上可在輸出端虛設(shè)一個同步采樣開關(guān)，如圖7.14所示。實際系統(tǒng)中這個開關(guān)并不存在。,圖7.14 z傳遞函數(shù),2019/7/12,75, G(s)表示線性環(huán)節(jié)本身的傳遞函數(shù)，而G(z) 表示圖7.14中的線性環(huán)節(jié)與采樣開關(guān)組合形成的傳 遞函數(shù)。盡管計算G(z)時只需知道該環(huán)節(jié)的G(s)即 可，但計算出來的G(z)卻包括了采樣開關(guān)。若無采 樣開關(guān)且輸入信號是連續(xù)時間函數(shù)，那么就無法求 出z傳遞函數(shù)，即在此情況下不能將輸入信號和線性 環(huán)節(jié)分開進行Z變換，只能求出輸出信號的Z變換。 若G(s)形式比較復(fù)雜，要先展開成部分分式， 以便與拉氏變換和Z變換中的基本形式相對應(yīng)。,例7-15,系統(tǒng)如圖7.14所示，已知,求z傳遞函數(shù)G(z)。,2019/7/12,76,解 將G(s)分解成部分分式,查表7.1可得,例7-16,離散系統(tǒng)的差分方程為,假設(shè)系統(tǒng)的初始條件為零，試求系統(tǒng)的z傳遞函數(shù)。,解 對上式兩側(cè)進行Z變換，由時移定理中的延遲定理，并提出公因子可,2019/7/12,77,整理后得,例7-17,設(shè)離散系統(tǒng)的差分方程為,式中,試求系統(tǒng)響應(yīng)c(k)。,解 對差分方程兩側(cè)取Z變換得,整理并注意到r(k)的Z變換R(z)=1，得,查表7.1Z變換表，并應(yīng)用延遲定理，可以得到,2019/7/12,78,(2) 串聯(lián)環(huán)節(jié)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù) 當(dāng)開環(huán)離散系統(tǒng)由幾個環(huán)節(jié)串聯(lián)組成時，其脈 沖傳遞函數(shù)的求法與連續(xù)系統(tǒng)情況不完全相同。即 使兩個開環(huán)離散系統(tǒng)的組成環(huán)節(jié)完全相同，但是由 于采樣開關(guān)的數(shù)目和位置不同，所求的開環(huán)脈沖傳 遞函數(shù)也是截然不同的。離散系統(tǒng)中總的脈沖傳遞 函數(shù)可歸納為兩種典型形式，串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無采樣 開關(guān)(圖7.15)和串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)(圖7.16)。 1) 串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無采樣開關(guān) 圖7.15(a)所示為系統(tǒng)串聯(lián)的兩個環(huán)節(jié)G1(s)和G2(s)之間無采樣開關(guān)的情形。根據(jù)方框圖簡化原則可簡化為圖7.15(b)。開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)可由連續(xù)工作狀態(tài)的傳遞函數(shù)G1(s)和G2(s)的乘積求得,2019/7/12,79,(7-68),即等于各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)之積的z變換。,(a),(b),圖7.15 環(huán)節(jié)之間無采樣器分隔,上述結(jié)論可推廣到無采樣開關(guān)間隔的n個環(huán)節(jié)串聯(lián)的情況。,2019/7/12,80,例7-18,兩串聯(lián)環(huán)節(jié)G1(s)和G2(s)之間無采樣開關(guān)，,試求串聯(lián)環(huán)節(jié)等效的脈沖傳遞函數(shù)G(z)。,解 串聯(lián)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為,2019/7/12,81,2) 串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān),圖7.16 環(huán)節(jié)之間有采樣器分隔,圖7.16所示為兩串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)的情 形。圖中采樣器T1和T2是同步的。對于第一個環(huán)節(jié)， 由于前后都存在采樣開關(guān)，其輸入為采樣輸入r(kT)， 輸出經(jīng)采樣器后為c1(kT)，有,2019/7/12,82,對于第二個環(huán)節(jié)，其輸入為c1(kT)，輸出為c(t)， 其Z變換為,兩環(huán)節(jié)串聯(lián)后，其總的脈沖傳遞函數(shù)為,(7-69),當(dāng)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)時，系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)等于這兩個環(huán)節(jié)脈沖傳遞函數(shù)的乘積。上述結(jié)論可以推廣到多個環(huán)節(jié)串聯(lián)而且環(huán)節(jié)間都存在同步采樣開關(guān)的情形，總的脈沖傳遞函數(shù)等于各個環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)的乘積。,2019/7/12,83,例7-19,兩串聯(lián)環(huán)節(jié)G1(s)和G2(s)之間有采樣開關(guān)，,試求串聯(lián)環(huán)節(jié)等效的脈沖傳遞函數(shù)G(z)。,解 串聯(lián)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為,說明：在串聯(lián)環(huán)節(jié)間有無采樣開關(guān)其脈沖傳遞函數(shù)是完全不同的。勿將G1G2(z)與G1(z)G2(z)相混淆。G1G2(z)表示兩個串聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)相乘后再取z變換，而G1(z)G2(z)表示G1(s)和G2(s)先各自取z變換后再相乘。通常G1G2(z)G1(z)G2(z)。,2019/7/12,84,(3) 閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù) 由于采樣開關(guān)在閉環(huán)系統(tǒng)中可能存在于多個位置，因此閉環(huán)離散系統(tǒng)沒有唯一的結(jié)構(gòu)形式。下面介紹幾種常用的閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。 1) 設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)如圖7.17所示。圖中虛線所示的理想采樣開關(guān)是為了便于分析而虛設(shè)的。所有采樣開關(guān)都是同步工作的。在系統(tǒng)中，誤差信號是采樣的。由方框圖可得,式中，E(z)、R(z)和B(z)分別是e(t)、r(t)和b(t) 經(jīng)采樣后脈沖序列的Z變換；GH(z)為環(huán)節(jié)串聯(lián)且環(huán)節(jié)之間無采樣器時的脈沖傳遞函數(shù)，它是G(s)H(s)的Z變換，由以上兩式可求得,2019/7/12,85,(7-70),系統(tǒng)輸出的Z變換為C(z)=G(z)E(z)，即,(7-71),或,(7-72),式(7-72)為圖7.17所示閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。,圖7.17 閉環(huán)離散系統(tǒng),2019/7/12,86,2) 設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)如圖7.18所示。討論系統(tǒng)的連續(xù)部分有擾動輸入n(t)時的脈沖傳遞函數(shù)。此時假設(shè)給定輸入信號為零，即r(t)=0。由方框圖得到,由以上兩式可求得,(7-73),圖7.18 擾動輸入時的離散閉環(huán)系統(tǒng),2019/7/12,87,式中，由于作用在連續(xù)環(huán)節(jié)G2(s)輸入端的擾動未經(jīng)采樣，所以只能得到輸出量的Z變換式，而不能得出對擾動的脈沖傳遞函數(shù)，這與連續(xù)系統(tǒng)有所區(qū)別。,例7-20,設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖7.19所示，試求系統(tǒng) 輸出的z變換。,圖7.19 例7-20的閉環(huán)離散系統(tǒng),解 由于,2019/7/12,88,整理，得,由上式無法解出C(z)/R(z)，因此也不能求出閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。,例7-21,系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖7.20所示，試求閉環(huán)系統(tǒng)的 單位階躍響應(yīng)。,圖7.20 例7-21閉環(huán)離散系統(tǒng),2019/7/12,89,解 系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為,其閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為,對于單位階躍輸入，,因此，可求得輸出量C(z)如下,2019/7/12,90,系統(tǒng)輸出c(kT)如圖7.21所示。,圖7.21 c(kT)與kT的關(guān)系曲線,2019/7/12,91,例7-22,設(shè)閉環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖7.22所示，試求 其閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。,圖7.22 例7-22閉環(huán)離散系統(tǒng),解 從系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可以得到,2019/7/12,92,以上三個方程是對輸出變量和實際采樣開關(guān)兩 端的變量列出的方程，其中均有離散信號的拉氏變 換。求以上三式對應(yīng)的Z變換可以得到,進一步整理，可得,即,由此可得系統(tǒng)的Z變換為,2019/7/12,93,由圖可見，該系統(tǒng)由于R(s)未經(jīng)采樣就輸入到 G1(s)，所以系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)無法求出。根 據(jù)采樣開關(guān)在閉環(huán)離散系統(tǒng)中的不同位置，表7.2列 出了系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖及其輸出信號的Z變換C(z)。,表7.2 閉環(huán)采樣系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖,2019/7/12,94,表7.2 閉環(huán)采樣系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖（續(xù)）,2019/7/12,95,(4) Z變換法的局限性 1) Z變換的推導(dǎo)過程是建立在采樣開關(guān)是理想開關(guān)的基礎(chǔ)之上。即假設(shè)采樣是瞬時完成的，則采樣開關(guān)的輸出是一系列理想脈沖，在采樣瞬時每個理想脈沖的面積等于采樣開關(guān)輸入信號的幅值。前面曾經(jīng)提到，若采樣開關(guān)的持續(xù)時間遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于采樣周期，也遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于系統(tǒng)連續(xù)部分的最大時間常數(shù)時，那么上述假設(shè)是成立的。 2) 無論是開環(huán)還是閉環(huán)離散系統(tǒng)，其輸出大多是連續(xù)信號c(t)而不是采樣信號c(kT)。而用一般的Z變換只能求出采樣輸出c(kT)，這樣就不能反映采樣間隔內(nèi)的c(t)值。如果要研究采樣間隔內(nèi)的c(t)值，可以采用修正Z變換法或等分采樣周期法。,2019/7/12,96,雖然Z變換是研究離散時間線性系統(tǒng)的有效工具，但由于上述原因，研究用c(kT)來代替c(t)時，就會提出精確程度的疑問，以及由此產(chǎn)生的錯誤的結(jié)果如何處理，是否存在限制條件等問題。下面對此進行討論。 用Z變換法研究(開環(huán))離散系統(tǒng)時，首先必須 滿足：系統(tǒng)連續(xù)部分傳遞函數(shù)G(s)的極點至少比零點多兩個，或者滿足,否則，用Z反變換所得到的c(kT)，將其用光滑曲線 連接起來，與c(t)相比有較大誤差，有時甚至是錯 誤的。為了說明這個問題，下面舉例進行說明。,2019/7/12,97,例7-23,設(shè)開環(huán)離散系統(tǒng)如圖7.23所示，系統(tǒng)連續(xù)部 分傳函G(s)不滿足上述條件。設(shè)r(t)=1(t)， 采樣周期T=1s，試比較c*(t)與c(t)。,圖7.23 例7-23的開環(huán)離散系統(tǒng),解 先用Z變換法求出c*(t)。因為,所以,2019/7/12,98,用冪級數(shù)法將C(z)展成,于是得,作出c*(t)如圖7.24所示。,圖7.24 例7-23的采樣輸出函數(shù),求出當(dāng)系統(tǒng)連續(xù)部分的輸入為 時，系統(tǒng)連續(xù)輸出c(t)，如圖7.25所示。,2019/7/12,99,由此例可知，當(dāng)假設(shè)采樣開關(guān)為理想開關(guān)的情況下，系統(tǒng)連續(xù)部分的輸入為一系列理想脈沖，當(dāng)連續(xù)部分的傳遞函數(shù)不滿足極點數(shù)比零點數(shù)多兩個 的條件時，系統(tǒng)的連續(xù)輸出信號在采樣點會發(fā)生跳躍，從而導(dǎo)致了c*(t)與c(t)的顯著差別。因此，不可能用c*(t)來完整地描述c(t)。,圖7.25 例7-23的連續(xù)輸出函數(shù),2019/7/12,100,7.5 離散控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計,和連續(xù)時間控制系統(tǒng)一樣，離散時間控制系 統(tǒng)的分析也包括四方面內(nèi)容：系統(tǒng)穩(wěn)定性、瞬態(tài) 性能、穩(wěn)態(tài)性能和最少拍設(shè)計。,2019/7/12,101,7.5.1 穩(wěn)定性分析,為了將連續(xù)系統(tǒng)在s平面上的穩(wěn)定性理論移植 到z平面上分析離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性，首先研究s平面與z平面的映射關(guān)系，隨后討論如何在z域中分析離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 (1) s域到z域的映射 在連續(xù)時間線性系統(tǒng)中，系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以根據(jù)特征方程的根在s平面的位置來確定。若系統(tǒng)特 征方程的根都具有負(fù)實部，即都分布在s平面左半部，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。由于離散時間線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是建立在z變換的基礎(chǔ)上，所以為了分析系 統(tǒng)的穩(wěn)定性，首先介紹s平面和z平面之間的映射關(guān)系。,2019/7/12,102,在Z變換定義中，z=eTs給出了s域到z域的關(guān)系。 s域中的任意點可表示為s=+j，映射到z域為,(7-74),于是，s域到z域的基本映射關(guān)系式為,(7-75),令=0，相當(dāng)于取s平面的虛軸，當(dāng)從變到時，由式(7-74) 知，映射到z平面的軌跡是以原點 為圓心的單位圓。當(dāng)s平面上的點沿虛軸從變到 時，z平面上相應(yīng)的點沿著單位圓轉(zhuǎn)了無窮多圈。這是由于當(dāng)s平面上的點沿虛軸從s/2移動到s/2時，z平面上的相應(yīng)點沿單位圓從逆時針變化到，轉(zhuǎn)了一圈，其中s為采樣角頻率。依此類推， 如圖7.26所示。,2019/7/12,103,由圖可見，可以把s平面劃分為無窮多條平行于實軸的周期帶，其中從s/2到s/2的周期帶為主頻帶，其余的周期帶為次頻帶。離散函數(shù)z變換的這種周期特性，也說明了連續(xù)函數(shù)經(jīng)離散化后，其頻譜會產(chǎn)生周期性的延拓。,(a),(b),圖7.26 s平面內(nèi)頻帶映射到z平面,2019/7/12,104,(2) z平面內(nèi)的穩(wěn)定條件 根據(jù)第3章所述，連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)的閉環(huán)極點均在s平面左半部，s平面的虛軸 是穩(wěn)定區(qū)域的邊界。如果系統(tǒng)中有極點在s平面右半部，則系統(tǒng)就不穩(wěn)定了，如圖7.27(a)所示。對于離散系統(tǒng)，其穩(wěn)定的條件是系統(tǒng)的閉環(huán)極點均在z平面 上以原點為圓心的單位圓內(nèi)，z平面上的單位圓為穩(wěn)定域的邊界。如果系統(tǒng)中有閉環(huán)極點在z平面上的單位圓外，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。這個結(jié)論很容易得到證實。 根據(jù)s域到z域的映射關(guān)系,2019/7/12,105,可知i與|zi|存在如下關(guān)系： 在s平面內(nèi) 在z平面內(nèi) i0 右半平面(不穩(wěn)定域) |zi|1 單位圓的外部 i=0 虛軸上(臨界穩(wěn)定) |zi|=1 單位圓的圓周 i0 左半平面(穩(wěn)定域) |zi|1 單位圓的內(nèi)部,(a),(b),圖7.27 s平面與z平面的對應(yīng)關(guān)系,2019/7/12,106,由此可見，s平面上的虛軸在z平面上映射成一 個以原點為中心的單位圓。s左半平面與z平面上單 位圓內(nèi)部相對應(yīng)，s右半平面與z平面上單位圓的外 部相對應(yīng)。s平面和z平面的這種對應(yīng)關(guān)系如圖7.27 所示。,定理7.2 離散時間線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為： 離散時間線性系統(tǒng)的全部特征根zi(i=1,2,n) 都分布在z平面的單位圓內(nèi)，或者說全部特征根的 模都小于1，即|zi|1(i=1,2,n)。如果在上述特征根中，有位于z平面單位圓之外的特征根，則 閉環(huán)系統(tǒng)將是不穩(wěn)定的。,2019/7/12,107,例7-24,二階離散系統(tǒng)的方框圖如圖7.28所示。試判 斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，設(shè)采樣周期T=1s，K=1。,圖7.28 二階離散系統(tǒng),解 先求出系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為,式中,閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為,2019/7/12,108,將K=1，T=1代入，可得,特征方程的兩個根都在單位圓內(nèi)，所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的。若保持采樣周期T=1s不變，將系統(tǒng)開環(huán)放大系數(shù)增大到K=5，則其z特征方程為,解之得到,解之得到,特征方程有一個根在單位圓外，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 如果上述二階離散系統(tǒng)是二階連續(xù)系統(tǒng)，只要 K值是正的，則連續(xù)系統(tǒng)一定是穩(wěn)定的。但是當(dāng)系統(tǒng)成為二階離散系統(tǒng)時，即使K值是正的，也不一定能保證系統(tǒng)是穩(wěn)定的。這就說明了采樣過程的存在影 響了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,2019/7/12,109,(3) 穩(wěn)定性代數(shù)判據(jù) 根據(jù)上述z平面上的穩(wěn)定條件，假如系統(tǒng)的z特 征方程式為,(7-76),求出該方程的根zi(i=1,2,n)就可知道系統(tǒng)穩(wěn)定與否。與連續(xù)系統(tǒng)相似，不求特征根zi，而借助于穩(wěn)定判據(jù)，同樣可分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 連續(xù)系統(tǒng)的勞斯-赫爾維茨判據(jù)，是通過系統(tǒng) 特征方程的系數(shù)及其符號來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。這個判據(jù)實質(zhì)是判斷系統(tǒng)特征方程的根是否都在s平面左半平面。但是在離散時間線性系統(tǒng)中需要判斷系統(tǒng)特征根是否都在z平面上的單位圓內(nèi)。因此連續(xù)時間線性系統(tǒng)的勞斯-赫爾維茨判據(jù)不能直接使用，必須尋找一個新變量。,2019/7/12,11