函數(shù)的單調(diào)性[上學(xué)期]江蘇教育版1.ppt

函數(shù)的單調(diào)性,創(chuàng)設(shè)情境，引入新課 建立函數(shù)的目的是研究函數(shù)值與自變量的關(guān)系，自變量的變化對(duì)函數(shù)值變化的影響是經(jīng)常受到關(guān)注的問題例如水位的漲落隨時(shí)間變化的規(guī)律，是防澇抗旱工作中必須解決的實(shí)際問題下面我們開始研究函數(shù)在這方面的一個(gè)主要性質(zhì)函數(shù)的單調(diào)性,下面是某一天溫度的變化圖象：,1、在上午6時(shí)的氣溫約是多少？全天的最高、最低氣溫分別是多少？,2、什么時(shí)刻氣溫是0度？,3、在什么時(shí)段內(nèi)，氣溫在0度以上？,4、說出這一天的氣溫變化趨勢(shì)，怎樣用數(shù) 學(xué)語言刻畫這一特征。,問題1:,問題1、觀察自己所作函數(shù)圖象，并指出圖象的變化的趨勢(shì),學(xué)生活動(dòng),自己作出下列函數(shù)的圖象：,-1,問題2：你能明確說出“圖象呈下降趨勢(shì)”的意思嗎？,在某一區(qū)間內(nèi)； 當(dāng)x的增大時(shí)，函數(shù)值y反而減小,學(xué)生討論,圖象在該區(qū)間內(nèi)呈下降趨勢(shì)；,問題3：你能明確說出“圖象呈上升趨勢(shì)”的意思嗎？,在某一區(qū)間內(nèi)； 當(dāng)x的增大時(shí)，函數(shù)值y也增大,學(xué)生討論,結(jié)論,圖象在該區(qū)間內(nèi)呈上升趨勢(shì)；,在某一區(qū)間內(nèi) 當(dāng)x的增大時(shí)，函數(shù)值y反而減小,圖象在該區(qū)間內(nèi)呈下降趨勢(shì)；,在某一區(qū)間內(nèi) 當(dāng)x的增大時(shí)，函數(shù)值y也增大,圖象在該區(qū)間內(nèi)呈上升趨勢(shì)；,函數(shù)的這 種性質(zhì)稱為函數(shù)的單調(diào)性。,X不斷增大，f(x)也不斷增大,0,X,Y,X1,X2,f(X1),f(X2),Y,X,0,X不斷增大，f(x)不斷減小,X1,X2,f(X2),f(X1),函數(shù)f (x)在給定區(qū)間上為增函數(shù)。,如何用x與 f(x)來描述上升的圖象？,如何用x與 f(x)來描述下降的圖象？,函數(shù)f (x)在給定區(qū)間上為減函數(shù)。,如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值x1 、x2，當(dāng)x1x2時(shí)，都有f（x1） f（x2），那么就說f（x）.,在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù).,如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值x1 、x2，當(dāng)x1x2時(shí)，都有f（x1） f（x2），那么就說f（x） .,在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù).,增函數(shù)與減函數(shù)定義,建構(gòu)數(shù)學(xué),說明1,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，就稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上具有單調(diào)性， D稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。,說明2,說函數(shù)的單調(diào)性必須指出所對(duì)應(yīng)的單調(diào)區(qū)間,單調(diào)區(qū)間可能是定義域的一部分(如:y=x2),也可能是全部定義域(如:y=x3);一個(gè)函數(shù)在定義域內(nèi)可以劃分出若干個(gè)單調(diào)區(qū)間,不同的單調(diào)區(qū)間上可以表現(xiàn)出不同的單調(diào)性.,增函數(shù)和減函數(shù)的定義中兩個(gè)變量x1,x2: 1. 必須在同一單調(diào)區(qū)間上; 2. 必須是任意的,不能用定值代替; 3. 必須設(shè)定它們的大小關(guān)系后,比 較y1,y2 的大小才有意義.,例:下圖是定義在5，5上的函數(shù)yf（x）的圖象，根據(jù)圖象說出yf（x）的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上， yf（x）是增函數(shù)還是減函數(shù).,解：,yf（x）的單調(diào)區(qū)間有,5，3），3，1）,1，3），3，5.,其中yf（x）在5，3）， 1，3）上,是減函數(shù)，,在3，1）， 3，5）上是增函數(shù).,數(shù)學(xué)應(yīng)用,1. 如圖,已知y=f(x) 的圖象(包括端點(diǎn)),根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,以及在每一單調(diào)區(qū)間上,函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù).,作圖是發(fā)現(xiàn)函數(shù)單調(diào)性的法之一,演練反饋,單調(diào)遞增區(qū)間：,單調(diào)遞減區(qū)間：,例1：證明函數(shù)f(x)=2x+1在區(qū)間(-,+)上是增函數(shù)。,注意：我們?cè)谧C明函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，不能“以圖代證”, 而是嚴(yán)格按照定義證明.,回想一下,定義的本質(zhì)是什么?本題怎樣用定義來證明?,證明：,（條件）,（論證結(jié)果）,（結(jié)論）,例1：證明函數(shù)f(x)=2x+1在區(qū)間(-,+)上是增函數(shù)。,證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：,第一步：取值.即任取區(qū)間內(nèi)的兩個(gè)值，且x1x2,第二步：作差變形.將f(x1)f(x2)通過因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判斷差的符號(hào)的方向變形。,第三步：定號(hào).確定差的符號(hào)，適當(dāng)?shù)臅r(shí)候需要進(jìn)行討論。,第四步：判斷.根據(jù)定義作出結(jié)論。,取值,作差變形,定號(hào),判斷,證明：,設(shè)x1，x2（0，+），且x1x2，則,減函數(shù),例2：判斷函數(shù)f(x)=1/x在區(qū)間(0,+)上是增函數(shù)還是減函數(shù)？并證明你的結(jié)論。,f(x)在定義域 上是減函數(shù)嗎？,解：,函數(shù) f（x） x21 在（0，）上是增函數(shù).,下面給予證明：,設(shè)x1，x2（0，），且x1x2,函數(shù)f（x）x21在（0，）上是增函數(shù).,例3：判斷函數(shù)f(x)=x2+1在區(qū)間(0,+)上是增函數(shù)還是減函數(shù)？并給予證明。,演練反饋,2.求證：函數(shù)y= - 5x+3在R上為減函數(shù).,3.求證：函數(shù)f (x) = -x3 + 1在(- , + )上是減函數(shù). (能力提高題),證明: 設(shè)x1 ,x2R 且 x1 x2, x1 x2 x1 x2 0,則 f (x2)f (x1) =(x23 + 1) (x13 + 1) = x13 x23 = (x1 x2)(x12 + x1x2 + x22),f(x1) f (x2),f(x) = x3 + 1在(, + )上是減函數(shù).,小結(jié)：,（1）單調(diào)遞增函數(shù)的定義：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮,如果對(duì)于屬于I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值x1、x2,當(dāng)x1x2時(shí)都有f(x1)f(x2)，那么就說f(x)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)。,（2）單調(diào)遞減函數(shù)的定義：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮,如果對(duì)于屬于I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值x1、x2,當(dāng)x1f(x2)，那么就說f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)。,x1,x2,y1,y2,x2,x1,y1,y2,小結(jié)