特征值與特征向量概念.ppt

第四章 特征值和特征向量、 矩陣的相似對角化,第一節(jié) 特征值與特征向量,一 特征值與特征向量的概念,二 特征值和特征向量的求法,第一節(jié) 特征值與特征向量,三 特征值和特征向量的性質(zhì),一、特征值與特征向量的概念,定義,若,則稱為的特征值，,稱為的特征向量,（）,注, 并不一定唯一；, 階方陣的特征值，就是使齊次線性方程組, 特征向量 ，特征值問題只針對與方陣；,有非零解的值，即滿足,的都是方陣的特征值,定義,稱以為未知數(shù)的一元次方程,為的特征方程,定義,稱以為變量的一元次多項式,為的特征多項式,定理,設(shè)階方陣 的特征值為,則,證明,當(dāng) 是的特征值時，的特征多項,式可分解為,令,得,即,證明,因為行列式,它的展開式中，主對角線上元素的乘積,是其中的一項，由行列式的定義，展開式中的其它項至,多含個主對角線上的元素，,含 的項只能在主對角線上元素的乘積項中,故有,比較，有,因此，特征多項式中,定義,方陣的主對角線上的元素之和稱為方陣的跡.,記為,二、特征值和特征向量的性質(zhì),推論,階方陣可逆的個特征值全不為零.,若數(shù)為可逆陣的的特征值，,特別,單位陣的一個特征值為,三、應(yīng)用舉例,、若為可逆陣的特征值，則,的一個特征值為（ ）,、證階方陣的滿足 ，則的特征值為,或,、三階方陣的三個特征值為、，則,（ ）,、求下列方陣的特征值與特征向量,四、特征向量的性質(zhì),定理,互不相等的特征值所對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)。,定理,互不相等的特征值對應(yīng)的各自線性無關(guān)的特征,向量并在一塊，所得的向量組仍然線性無關(guān)。,定理,若階矩陣的任 重特征值,對應(yīng)的線性無,關(guān)的特征向量的個數(shù)不超過 ,一 相似矩陣的定義、性質(zhì),二 矩陣可相似對角化的條件,三 應(yīng)用舉例,第二節(jié) 矩陣相似對角化,一、定義,定義,設(shè)、都是階矩陣，若有可逆矩陣，,使得,則稱是的相似矩陣，或者說矩陣,與相似,稱為對進(jìn)行相似變換，,對進(jìn)行運(yùn)算,可逆矩陣稱為把變成的相似變換矩陣,記作：,二、性質(zhì),（1） 反身性：,（2） 對稱性：,（3） 傳遞性：,；,，則；,，則；,（4），則,（5），則,（6），且可逆，則,定理,若階矩陣與相似，則與有相同的特征 多項式，從而與有相同的特征值,推論,若階矩陣與對角矩陣,相似，,則,若有可逆矩陣使,（8），則的多項式,特別,這樣可以方便地計算的多項式,（7），則,若能尋得相似變換矩陣使,對階方陣，,稱之為把方陣對角化,三、相似對角化,定理的推論說明，如果階矩陣與對角矩陣相,似，,則的主對角線上的元素就是的全部特征值,設(shè)存在可逆，,使得,有,于是有,因為可逆，,故,關(guān)的特征向量。,反之，,即,設(shè),可逆，且,則,若有個線性無關(guān)的特征向量,所以,即與對角矩陣相似,定理,階矩陣能與對角矩陣相似,有階線性無關(guān)的特征向量,推論,如果階矩陣有個不同的特征值，則矩陣,注意,的順序一致,（1）,可相似對角化,（2）,因此也是不唯一的,（3）,所以如果不計,的排列順序，,推論,若階矩陣可相似對角化的任 重特征值,對應(yīng) 個線性無關(guān)的特征向量,例題：,3.實對稱矩陣的相似對角化,1.n元實向量的內(nèi)積、施密特正交化方法、正交矩陣,2.實對稱矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì),第三節(jié) 實對稱矩陣的相似對角化,一、內(nèi)積的定義與性質(zhì),1、定義,設(shè)維實向量,稱實數(shù),為向量與的內(nèi)積，記作,注：內(nèi)積是向量的一種運(yùn)算，用矩陣形式表示，有,、性質(zhì),（1）對稱性：,（2）線性性：,（3）正定性：,當(dāng)且僅當(dāng),時,推廣性質(zhì)：,、長度的概念,二、向量的長度與夾角,令,為維向量,的長度（?；蚍稊?shù)）.,特別,長度為的向量稱為單位向量.,（1）正定性：,（2）齊次性：,（3）三角不等式：,、性質(zhì),（4）柯西施瓦茲（CauchySchwarz）不等式:,當(dāng)且僅當(dāng)與的線性相關(guān)時，等號成立.,注,當(dāng),時，,由非零向量得到單位向量,是的單位向量.,稱為把單位化或標(biāo)準(zhǔn)化.,的過程,、夾角,設(shè)與為維空間的兩個非零向量，與的夾,角的余弦為,因此與的夾角為,例,解,練習(xí),三、正交向量組及其求法,1、正交,注, 若 ，則與任何向量都正交., 對于非零向量與，,2、正交組,若向量組中的向量兩兩正交，且均為非零向量，則,這個向量組稱為正交向量組，簡稱正交組.,3、標(biāo)準(zhǔn)正交組,由單位向量組成的正交組稱為標(biāo)準(zhǔn)正交組.,定理,4、性質(zhì),正交向量組必為線性無關(guān)組.,定理,若向量與,與,中每個向量都正交，則,的任一線性組合也正交.,5、正交基,若正交向量組,則稱,為向量空間上的一個正交基.,為向量空間上的一個基，,6、標(biāo)準(zhǔn)正交基,若標(biāo)準(zhǔn)正交組,則稱,為向量空間上的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基.,為向量空間上的一個基，,7、施密特（Schmidt）正交化法,設(shè),是向量空間的一個基，要求向量空,間的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基，就是要找到一組兩兩正交的單,位向量,，使,與,等價，,此問題稱為把,這組基標(biāo)準(zhǔn)正交化.,1）正交化,令,就得到的一個標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.,的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.,如果,上述方法稱為施密特（Schmidt）正交化法.,2）標(biāo)準(zhǔn)化,令,是的一組基，則,就是,注,上述方法中的兩個向量組對任意的,與,都是等價的.,四、應(yīng)用舉例,例1,的充要條件是 正交.,解,所以,成立的充要條件是,即 正交.,已知三維向量空間中，,例2,正交，,解,設(shè),則,即,例4,解,設(shè)非零向量 都于 正交，,即滿足方程,或,其基礎(chǔ)解系為,令,1）正交化,令,2）標(biāo)準(zhǔn)化,令,五、正交矩陣和正交變換,1、定義,如果階矩陣滿足：,則稱為正交矩陣.,則,可表示為,若按列分塊表示為,亦即,其中, 的列向量是標(biāo)準(zhǔn)正交組.,的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基.,正交矩陣的個列（行）向量構(gòu)成向量空間,2、正交矩陣的充要條件, 的行向量是標(biāo)準(zhǔn)正交組.,注,3、正交變換,若為正交矩陣，則=線性變換稱為正交變換.,設(shè)=為正交變換，則有,經(jīng)正交變換后向量的長度保持不變,內(nèi)積保持不變,注,從而夾角保持不變.,判斷下列矩陣是否為正交矩陣.,定理 對稱矩陣的特征值為實數(shù).,說明：本節(jié)所提到的對稱矩陣，除非特別說明，均指實對稱矩陣,定理 對稱矩陣的互異特征值對應(yīng)的特征向量正交.,定理 若階對稱陣的任 重特征值 對應(yīng)的線性,無關(guān)的特征向量恰有 個（不證）,定理 若為階對稱陣，則必有正交矩陣，使得,六、實對稱矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì),根據(jù)上述結(jié)論，利用正交矩陣將對稱矩